close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование нестационарного температурного поля в прямоугольной пластине интерлинационным методом конечных элементов.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
49
MCS 65N30
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАНОО ТЕМПЕАТУНОО ПОЛЯ
В ПЯМОУОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЕ ИНТЕЛИНАЦИОННЫМ
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
О.Н. Литвин, Л.С. Лобанова, .В. Залужная
Украинская инженерно-педагогическая академия,
ул. Университетская, 16, Харьков, 61003, Украина, e-mail: zal_artemmail.ru
Аннотация. Исследуются некоторые аспекты численной реализации интерлинационного
метода конечных элементов (МКЭ) решения нестационарной задачи теплопроводности для
прямоугольной пластины. Исследование проводится с использованием точных решений, метод построения которых предложено авторами, а также сравнением с результатами, полученными классическим МКЭ. Интерлинационный метод конечных элементов позволяет свести
нестационарную задачу теплопроводности к задаче Коши для системы обыкновенных диеренциальных уравнений меньшего порядка, чем в классическом методе конечных элементов.
Ключевые слова: нестационарная задача теплопроводности, метод конечных элементов,
интерлинация ункций.
МКЭ является одним из наиболее используемых методов решения реальных нестационарных задач по распределению температуры в областях сложной
ормы. Практика иногда требует решения задач с большим количеством элементов,
а следовательно, и неизвестных ункций Ck (t) , k = 1, M , которые определяют следы
Ck (t) = u (xk , yk , t) , k = 1, M приближенного решения u (x, y, t) в узлах Ak (xk , yk ) элементов разбиения. Поэтому актуальной является разработка и исследование новых методов решения нестационарных задач теплопроводности, которые используют меньшее
количество элементов для достижения той же точности ? > 0 [1-5?. Такими методами
являются методы, основанные на использовании интерлинации ункций двух и трех
переменных [1,2?.
В работе [5? рассмотрена аналогичная задача для прямоугольной пластины с проведением анализа численного эксперимента для случая, когда u (x, y, t) есть бесконечное
число раз диеренцированная ункция, но без теоретического (априорного) анализа оценок погрешности. В данной работе эти результаты анализируются также и для
случая, когда точное решение u (x, y, t) ? W21 (G) ? C ? [0; +?).
Дан анализ возможностей интерлинационного
метода конечных элементов на основе результатов вычислительного эксперимента.
Для ограниченной области G ? R2 будем решать нестационарную краевую задачу:
Введение.
Основные утверждения работы.
50
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
?u
?
Lu ?
?
?t
?x
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
?u
?
?u
a1 (x, y)
?
a2 (x, y)
+ b (x, y) u = f (x, y, t) ,
?x
?y
?y
(1)
(x, y) ? G, t > 0
при следующих начальной и граничной условиях:
(2)
u (x, y, 0) = u0 (x, y) , (x, y) ? G, G ? ?, ? = E 2 , E = [0, 1] ,
u (x, y, t)|?G = ? (x, y, t)|?G .
(3)
C (G Ч R+ ),
Считаем, что a1 (x, y) , a2 (x, y) ? C 1 (G), b (x, y) ? C (G), f (x, y, t) ?
R+ = [0, ?) и решение поставленной задачи удовлетворяет условиям:
1) u (x, y, t) имеет непрерывные производные до 2-го порядка включительно по пременным x и y , u(p,q,0) (x, y, t) ? C (G Ч R+), ?t ? 0, 0 ? p, q ? 2;
2) ?u
? C G Ч R+ .
?t
Кроме этого, считаем, что граничная ? (x, y, t) и начальная u0 (x, y) ункции удовлетворяют соотношению: ? (x, y, 0)|?G = u0 (x, y)|?G .
Заменим задачу (1)-(3) соответствующей задачей с однородными начальным и граничным условиями. Для этого введем вместо ункции u (x, y, t) ункцию v (x, y, t) следующим образом:
u (x, y, t) = v (x, y, t) + ? (x, y, t) + u0 (x, y) ? ? (x, y, 0) .
Функция v (x, y, t) должна удовлетворять диеренциальному уравнению и однородным начальному и граничному условиям:
Lv (x, y, t) = f (x, y, t) ? L? (x, y, t) ? L (u0 (x, y) ? ? (x, y, 0)) ,
v (x, y, 0) = 0, v (x, y, t)|?G = 0,
u (x, y, t) ? C 2,2,1 G Ч R+ = v : v (p,q,1) (x, y, t) ? C G Ч R+ , 0 ? p, q ? 2 .
Если u построенная указанным методом ункция, то она является точным решением соответствующей начально-краевой задачи. Далее считаем начальное и граничное
условия однородными.
Введем оператор-интерлинант
Of (x, y, t) =
m
X
i=0
h (mx ? i) f
X
n
i
j
, y, t +
h (ny ? j) f x, , t ?
m
n
j=0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
51
m X
n
X
i j
?
f
, , t h (mx ? i) h (ny ? j),
m n
i=0 j=0
который имеет свойства:
Of
i
j
j
i
, y, t = f
, y, t , Of x, , t = f x, , t , i = 0, m; j = 0, n.
m
m
n
n
Погрешность приближения ункции f (x, y, t) ? C 2,2,? (G Ч R+) с помощью оператораинтерлинанта (при (x, y) ? E ):
|f (x, y, t) ? Of (x, y, t)| = O
1
1
· 2
2
m n
4
=O ?
, ? = max
1 1
,
m n
, ? ? 0.
Заменим в ормуле оператора-интерлинанта каждую из ункций f mi , y, t , f
ее соответствующим интерполянтом по пространственным переменным:
f
n2
X
i
i ?
, y, t ? A1 i f (y, t) =
f
, 2 , t h n2 y ? ? ,
m
m n
?=0
m2
X
j
k j
f x, , t ? A2j f (x, t) =
f
, , t h m2 x ? k
2
n
m n
k=0
с погрешностями
i
1
f
, y, t ? A1i f (y, t) = O
?y ? [0, 1] , t ? 0 ,
m
m2
f x, j , t ? A2j f (x, t) = O 1 ?x ? [0, 1] , t ? 0.
n
n2
В результате получим оператор:
Jf (x, y, t) =
m
X
h (mx ? i) A1i f (y, t) +
i=0
n
X
h (ny ? j) A2j f (x, t)?
j=0
m X
n
X
i j
?
f
, , t h (mx ? i) h (ny ? j),
m n
i=0 j=0
который приближает ункцию f (x, y, t) с погрешностью
|f (x, y, t) ? Jf (x, y, t)| = O ?4 ?t ? 0.
В более детальной записи имеем интерполянт:
x, nj , t
52
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Jf (x, y, t) =
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
m
X
i=0
n2
X
i ?
, 2 , t h n2 y ? ? +
h (mx ? i)
f
m n
?=0
m2
X
k j
2
+
h (ny ? j)
f
,
,
t
h
m
x
?
k
?
2 n
m
j=0
k=0
n
X
m X
n
X
i j
?
f
, , t h (mx ? i) h (ny ? j) =
m n
i=0 j=0
=
m
X
2
n
X
h (mx ? i)
i=0
?=0
?6=0,n,2n,...,n2
+
n
X
j=0
f
i ?
, 2 , t h n2 y ? ? +
m n
2
h (ny ? j)
m
X
k=0
k6=0,m,2m,...,m2
f
k j
, , t h m2 x ? k +
2
m n
m X
n
X
i j
+
f
, , t [ h (mx ? i) h n2 y ? jn +
m n
i=0 j=0
+ h (ny ? j) h m2 x ? im ? h (mx ? i) h (ny ? j)]
со следующими свойствами:
i ?
i ?
, ,t = f
, , t , i = 0, m, ? = 0, n2 ,
Jf
m n2
m n2
k j
k j
Jf
, ,t = f
, , t , k = 0, m2 , j = 0, n .
m2 n
m2 n
Этот интерполянт приближает ункцию f (x, y, t) с погрешностью O (?4) ?t ? 0. Итак,
порядок погрешности относительно ? ? 0 такой же, как и порядок погрешности приближения с помощью оператора-интерлинанта |f (x, y, t) ? Jf (x, y, t)| = O (?4), (x, y) ?
E , ?t ? 0.
Если u (x, y, t) точное решение задачи (1)-(3) и u ? C 2,2 (E 2) ?t ?
0 , то найденная методом ЛИДУ (линейных интегро-диеренциальных уравнений)
ункция u2 будет приближать точное решение u с такой погрешностью:
Теорема.
?M2 (t) > 0 : ku ? u2 kC(?) ? M2 (t) ?21 ?22 = O ?4
?t ? 0.
Для упрощения доказательства будем считать граничное условие однородным.
Применяя к уравнению (1), граничному и начальному условиям (2)-(3) интегральное
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
преобразование Лапласа с параметром
ункции u? граничную задачу:
p u? (x, y, p) =
R?
0
?
L1 [u?(x, y, p)] := pu? ? (a1 (x, y) u??x)x ? a2 (x, y) u??y
?
y
u (x, y, t) e?pt dt,
53
получим для
+ b (x, y) u? = f?(x, y, p) + u0 (x, y) ,
(4)
(x, y) ? E 2 = [0, 1]2 , ?p ,
(5)
u? (x, y, p) = 0, (x, y) ? ?G .
мы пришли к эллиптической задаче (4)-(5). Считаем, что a (u, v) =
R R Таким
? ?образом,
? ?
a1 ux vx + a2 uy vy + (p + b) uv dx dy ? V - эллиптическая, непрерывная, симметрическая билинейная орма уравнения (4), которая удовлетворяет условиям:
G
?? (p) > 0, M4 (?) : a (v, v) ? ? kvk2 0
W21 (G)
, a (u, v) ? M4 kuk
0
W21 (G)
kvk
0
W21 (G)
,
0
u, v ? W21 (G) ?p .
Тогда, если u?2 приближенное решение задачи (4)-(5), найденное методом ЛИДУ,
то справедливо такое обобщение леммы Сеа [6?:
(6)
Здесь inf берется по ункциям w ? V , где V бесконечномерное линейное пространство ункций, определяемых оператором J ,
?K (p) > 0 : ku? ? u?2 kC(G) ? K (p) inf ku? ? wkC(G) .
V = w = Jv : v (x, y, p) ? C 2,2 (G) , v|?G = 0, ?p .
Если выполняются условия относительно билинейной ормы a (u, v), написанной
выше, и u ? C 2,2 (E 2) , то для множителя справа в ормуле (6) можем написать [7?:
(7)
поскольку ункция w (x, y, p) строится в виде, который имеет те же следы на линиях
интерлинации, что и ункция u? (x, y, p) . Это означает, что погрешность u? ? w? приближения ункции u? (x, y, p) с помощью ункции w? (x, y, p) будет определяться для
каждого значения параметра p ормулой для оценки погрешности интерлинации на
системе взаимно перпендикулярных прямых [7, с. 167?. Учитывая это, можно записать:
ku? ? wkC(G) ? C (p) · ?21 · ?22 , C (p) > 0 , ?p ,
u (x, y, t) ? w (x, y, t) =
M X
N
X
i=1 j=1
hi (x) hj (y)
Zx Zy
x i yj
u2,2,0 (?, ?, t) (x ? ?) (y ? ?)d?d? ,
54
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
откуда в изображениях получаем равенство
u? (x, y, p) ? w? (x, y, p) =
M X
N
X
i=1 j=1
hi (x) hj (y)
Zx Zy
u?2,2,0 (?, ?, p) (x ? ?) (y ? ?) d? d?,
x i yj
а также неравенство
ku? (·, ·, p) ? w? (·, ·, p)k ? u?2,2,0 (·, ·, p) · ?21 · ?22 · C, C > 0.
С учетом неравенств (6) и (7) можно утверждать, что для приближенного решения
u?2 (x, y, p) , найденного методом ЛИДУ, будет выполняться неравенство
?M3 (p) > 0 : ku? ? u?2 kC(G) ? M3 (p) ?21 ?22 ?p, M3 (p) = K (p) · C (p)
при условии, что граничная задача Коши для системы интегро-диеренциальных
уравнений интерлинационного метода решается точно. При решении задачи (1)-(3) классическим МКЭ с кусочно-линейными
вспомогательными ункциями погрешность приближенного решения u1 (при том же
разбиении области G на элементы) удовлетворяет такое неравенство:
Замечание 1.
?M1 (t) > 0 : ku ? u1 kC(G) ? M1 (t) max ?21 , ?22 ?t ? 0 .
Итак, интерлинационный метод требует для достижения точности ? = O (?4) раз-
биения области интегрирования на N = O (n2m2) = O (??2) = ? = ?1/4 = O ??1/2
элементов, а классический МКЭ требует для достижениятой же точности разбиения
области интегрирования на N2 = O (n4m4) = O (??4) = ? = ? = O (??1) элементов. То есть в классическом МКЭ каждую сторону области G нужно разбивать не на
n1 = O (n) , а на n2 = O (n2 ) отрезков.
Если в ормуле для w (x, y, p) следы на линиях интерлинации заменяем сплайн-интерполяционными ормулами, которые приближают следы также с
погрешностью O (?4) , то получаем схемы МКЭ, которые для каждого p будут иметь
ту же за порядком погрешность, что и метод ЛИДУ.
Приведем результаты вычислительного эксперимента для решения такой
тестовой нестационарной задачи теплопроводности:
1
4
Замечание 2.
Пример.
?u(x1 , y1 , t)
= a2
?t
? 2 u(x1 , y1 , t) ? 2 u(x1 , y1 , t)
+
?x21
?y12
(x, y) ? ? = [0, ?] Ч [0, ?] ,
u(x1 , y1 , 0) = ?(x1 , y1 ) ,
+ f (x1 , y1 , t),
(8)
t > 0,
(x1 , y1 ) ? ?? ,
(9)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
55
(10)
Для безразмерных переменных x = x1/?, y = y1/?, F o = a2t/?2, u? = u/u0 (u0 постоянная, которая имеет размерность температуры) задача (8)-(10) принимает вид:
u(x1 , y1 , t)|?? = 0 ?t ? 0 .
?u? (x, y, F o) ? 2 u? (x, y, F o) ? 2 u? (x, y, F o)
=
+
+ f ? (x, y, F o) ,
?F o
?x2
?y 2
u? (x, y, 0) = ?? (x, y) ,
(x, y) ? G = [0, 1] Ч [0, 1] ,
u? (x, y, F o)|?G = 0 ,
Для случая ??(x, y) = A · x(1 ? x)y(1 ? y),
?F o ? 0 .
(11)
(12)
(13)
f ? (x, y, F o) = Ae??·F o · (2x (1 ? x) + 2y (1 ? y) ? ?x (1 ? x) y(1 ? y)) ,
точное решение задачи имеет вид: u?(x, y, F o) = A · e??·F ox(1 ? x)y(1 ? y).
Вычислительный эксперимент проводился для решении этой задачи предложенным
методом (ИМКЭ) и классическим методом (МКЭ) при условии, что соответствующие
системы диеренциальных уравнений решались методом унге-Кутта с иксированным шагом ?F o : ?F o = 0,001 (при M=3, N=3), ?F o = 0,0001 (при M=4, N=4).
ис. 1. раическое изображение точного (а) и приближенного (б) решений.
Анализ результатов вычислительного эксперимента позволяет сделать следующие
выводы:
1) максимальная погрешность при a > 1 равна произведению значений a и максимальной погрешности при a = 1 ;
56
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
2) погрешность уменьшается при увеличении числа Фурье F o (это можно объяснить тем, что правые части в системе диеренциальных уравнений уменьшаются при
увеличении числа Фурье) в e?? F o раз, если задача Коши для системы обыкновенных
диеренциальных уравнений решается точно;
3) погрешность ? = O (10?3) при M = N = 3 достигалась при использовании в
2,4 раза большего количества диеренциальных уравнений в МКЭ (классическом)
по сравнению с ИМКЭ (интерлинационным) и при M = N = 4 в 2,8 раз большего
количества диеренциальных уравнений в МКЭ
по сравнению с ИМКЭ. В общем
2
случае интерлинационный МКЭ требует (n ? 1) (2n + 1) количества уравнений, что на
порядок меньше, чем в классическом МКЭ - (n2 ? 1)2 уравнений.
При решении задачи нестационарной теплопроводности для квадратной
пластины с погрешностью O (?2) классическим МКЭ необходимо решать задачу Коши
для системы n4 обыкновенных диеренциальных уравнений. Использование сплайнинтерполяции ункции u (x, y, t) ? C 2,2,? (G Ч R+ ) пространственных переменных x, y
, построенной на основе сплайн-интерлинации этих ункций, позволяет уменьшить на
порядок количество диеренциальных уравнений для достижения той же по порядку
точности.
?
Вывод.
Литература
1. Сергиенко И.В., Литвин О.Н. Численная реализация метода ЛИДУ для уравнения нестационарной теплопроводности // Доповiдi НАНУ. Сер. А. 1990. ќ10. С.69-73. (на
украинском языке)
2. Сергиенко И.В., Литвин О.Н., Дробот Е.И. Численная реализация метода ЛИДУ для
уравнения нестационарной теплопроводности с тремя пространственными переменными // Доповiдi НАНУ. 2000. ќ2. С.67-73. (на украинском языке)
3. Сергиенко И.В., Литвин О.Н., Лобанова Л.С., Залужная .В. Анализ вычислительных
возможностей интерлинационного метода конечных элементов решения нестационарной
задачи теплопроводности // Доповiдi НАНУ. 2014. ќ3. С.43-50. (на украинском
языке)
4. Литвин О.Н., Лобанова Л.С., Залужная .В. Численная реализация метода линейных
интегро-диеренциальных уравнений для уравнения нестационарной теплопроводности с двумя пространственными переменными // Управляющие системы и машины:
Киев, 2012. ќ4. С.11-19.
5. Литвин О.Н., Лобанова Л.С., Залужная .В. ешение нестационарной задачи теплопроводности для пластины интерлинационным методом конечных элементов // Труды
Международного симпозиума ѕВопросы оптимизации вычисленийї (ПОО - XXXV). Киев: Институт кибернетики имени В.М. лушкова НАН Украины, 2009. C.14-19. (на
украинском языке)
6. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Пер. с англ. М.: Мир,
1980. 512 с.
7. Литвин О.Н. Интерлинация ункций и некоторые ее применения // Харьков: Основа,
2002. 544 с. (на украинском языке)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
57
STUDY OF UNSTEADY TEMPERATURE FIELD IN RECTANGULAR PLATE
BY INTERLINATION METHOD OF FINITE ELEMENTS
O.N. Lytvyn, L.S. Lobanova, G.V. Zalyzhna
Ukrainian Engineering Pedagogial Aademy,
Universitetskaya St., 16, Kharkiv, 61003, Ukraine, e-mail: zal_artemmail.ru
Abstrat. Some aspets of numerial realization of interlination nite elements method (FEM)
for solutions of non-stationary heat ondution problem in retangular plate are studied. The
researh is onduted using exat solutions whih are proposed by authors as well as the omparison
with results obtained by lassial FEM. Interlination nite elements method allows to redue the
transient problem of heat ondution to the Cauhy problem for system of ordinary dierential
equations of lower order than in the lassial nite elements method.
Key words:
transient heat ondution problem, nite elements method, funtions interlination.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа