close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование положительных по кривизне решений системы уравнений равновесия замкнутой цилиндрической оболочки.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 11 (462)
Посвящается Анатолию Дмитриевичу Ляшко в связи с его семидесятилетием
УДК 519.68
Р.Р. ШАГИДУЛЛИН
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ПО КРИВИЗНЕ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ЗАМКНУТОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
1. Введение
Исследуются выпуклые формы равновесия замкнутой бесконечно длинной упругой цилиндрической оболочки при стремлении изгибной жесткости к нулю. Упрощающие исследования
предположения: касательно приложенные внешние нагрузки, а также внешние моменты отсутствуют, срединная поверхность нерастяжима, первоначальная форма оболочки круговая.
Уравнения статического равновесия цилиндрической оболочки в этих допущениях следующие [1]:
dT + k(s)N (s) = 0; dN ; k(s)T (s) ; f (s) = 0; dM ; N (s) = 0:
(1)
ds
ds
ds
Здесь T (s), N (s) | соответственно касательное и перерезывающее усилия в точке контура
деформированного цилиндра с дуговой координатой s; f (s) | линейная плотность нормально
действующей нагрузки; при движении в направлении возрастания s внешняя нормаль направлена вправо; M (s) | изгибающий момент, связанный с кривизной направляющей k(s) формулой
Лява,
M (s) = D(k(s) ; k (s));
(2)
D | изгибная жесткость, kн (s) | кривизна контура цилиндра в недеформированном состоянии.
Пусть s меняется в пределах интервала [0; 2], тогда kн (s) = . Дополнительно к (1) и (2) ставятся
условия замкнутости
н
Z
0
2
cos
Z
0
s
k()d ds =
Z
2
0
sin
Z
s
0
k()d ds = 0
(3)
и условие на угол поворота касательной при полном обходе контура
Z
2
0
k( )d = 2:
(4)
Рассматриваются только классические решения задачи (1), (2); предполагается, что k(s) 2
C [0; 2]. Из последнего уравнения (1), исключая M с помощью (2), получаем N (s) = Dk0 (s), и
2
тогда из первого уравнения (1) следует, что величина
! = TD(s) + 12 k2 (s)
(5)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(код проекта 98-01-00260).
85
является константой, не зависящей от s. Второе уравнение системы (1) преобразуется в уравнение
k00 (s) + 12 k3 (s) ; !k(s) = D1 f (s):
(6)
Предположим, что нагрузка f (s) симметрична относительно s = 1. Например, рассматривается деформация при симметричном обтекании упругого цилиндра, удерживаемого в потоке
жестким защемлением в точке s = 0. Нет принципиальных трудностей в переносе полученных результатов на общий случай, предположение введено для упрощения доказательств. Для
симметричного относительно s = 1 решения k(s) условия (3), (4) принимают вид
Z
1
0
cos
Z
s
1
Z
k()d ds = 0; k0 (1) = 0;
1
0
k(s)ds = :
(7)
Результаты исследования неотрицательных решений задачи (6), (7) при D, стремящемся к
нулю, подытожены в теоремах 1, 2. Результат теоремы 2 получен при помощи техники, применявшейся для доказательства теоремы 1, с привлечением теории Лэре{Шаудера.
Из работ других авторов, изучавших изгиб упругого кольца, отметим работу [2]. Из нее, в
частности, следует, что множество всех решений (6), (7) может быть неограниченным в пространстве W21(0; 1). Автору настоящей статьи, однако, неизвестны публикации, содержащие результаты, подобные теореме 1.
2. Вспомогательные результаты
Пусть последовательность строго положительных чисел D1 ; D2 ; : : : стремится к нулю, и для
каждого натурального числа n обозначим через kn (s) непрерывное неотрицательное решение
уравнения (6), при условиях (7) определяющее кривую без самопересечений и соответствующее значению D = Dn . Функция f (s) предполагается принадлежащей C 1[0; 1]. Константа !n
определяется задачей (6), (7).
Лемма 1. Пусть !n Dn > 0 для всех n, и пусть " | произвольно фиксированное положительное число. Тогда существует такое число
Mn
функции
kn (s), достигаемое
N,
что любое экстремальное значение
в критической точке, при
nN
удовлетворяет одному из
Mn =p!n ":
Доказательство. В дальнейшем символами c; c ; c ; : : : будем обозначать константы, не зависящие от n; ; ; ; : : : | константы, от n не зависящие, которые можно брать произвольно
малыми, если ограничиться достаточно большими номерами n; "; " ; " ; : : : | малые константы, задаваемые априорно. Пусть Mn | произвольно фиксированное экстремальное значение
функции kn (s), принимаемое этой функцией в критической точке bn 2 [0; 1].
Покажем существование константы c со следующим свойством: для всякого n функция kn (s)
в некоторой точке an удовлетворяет неравенствам kn (an ) c, jkn0 (an )j c. Если имеет место случай kn0 (0) 0 или kn (0) > , то в качестве an можно взять точку, где kn (s) достигает наименьшего значения. Tогда kn (an ) , kn0 (an ) = 0. В противном случае определим положительную
константу c неравенствами c =(c ; ) 2, c . Если есть критическая точка n , в которой kn (n ) c , то в качестве c оставляем c , полагая an = n. Иначе рассмотрим наибольший
интервал [0; ], на котором kn (s) c . Вне [0; ] всюду kn (s) > c , поэтому
Z
(1 ; )с < k(s)ds = или > 1 ; c :
В некоторой точке n интервала [0; ] имеем, что
kn0 (n ) = (c ; k(0))= c =(c ; ) 2c :
jMn=2p!n ; 1j "
неравенств
или
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
1
1
86
1
1
2
Эти рассуждения показывают, что константа 2с1 обладает нужными нам свойствами для всех
n. Введем обозначения kn (an ) = mn , kn0 (an ) = ln . Умножая обе части уравнения (6) на k0(s)
и интегрируя по интервалу (an ; s), получим следующее равенство (ниже, где это не вызывает
недоразумений, индекс n опускаем для удобства записи):
Z s
8
0
0
2
4
2
4
2
2
4(k ) = ;k (s) + 4!k (s) + m ; 4!m + 4l + f (s)k(s) ; f (t)k(t)dt ; f (a)m : (8)
s
D
a
Отсюда, в частности, следует, что экстремальные значения функции k(s) удовлетворяют соотношению
'
M ; 4M ! + D + 4!m ; m ; 4l = 0;
4
где ' обозначает величину
2
2
4
2
(9)
2 f (b)M ; Z b f 0(t)k(t)dt ; f (a)m:
M2
a
Интерпретируя (9) как квадратное уравнение относительно M 2 , получаем
p
'
M = 2 ! + D 2! 1 + ;
(10)
2
где
2' + ' ; m + m + 4l :
= !D
!D
!
4!
2
2
2
4
2
2
2
Выбору знака плюс в (10) перед квадратным корнем соответствует представление
1
2
2
4
2
X
'
m
m
+
4
l
'
j
;
1 (2j ; 3)!! j
2
M = 2 2! + 2 D + 2!D2 ; 2 + 8! + ! (;1)
(2j )!! :
j =2
(11)
Минусу соответствует разложение в ряд
1
X
m
'
m
+
4
l
(2
j
;
3)!!
j
;
j
M = 2 2 ; 2!D ; 8! ; ! (;1)
(12)
(2j )!! :
j
Фиксируем некое положительное число E и рассмотрим экстремальные значения Mn E .
Для таких Mn числа Mn j'n j равномерно ограничены по n и возможному выбору Mn , ибо
2
2
2
4
2
1
2
Z
b
a
=2
f 0(t)k(t)dt max jf 0 (t)j
для всех a; b 2 [0; 1], mn =Mn c=E , 1=Mn 1=E . Аналогичное утверждение справедливо для
последовательности n : jn j c1 =Mn + 1 .
Рассмотрим экстремальные значения Mn , удовлетворяющие уравнению (12) | уравнению,
имеющему вид
M 2 = m2 ; m4 + 4l2 ; '2 ; 2 ();
!
!
4!2
!2 D2
где () | непрерывная, ограниченная на ограниченных интервалах функция. Учитывая оценки для 'n , n , получаем неравенство M 2 =! c2 =M 2 + 2 , откуда
2
для n N1 .
q
;
M ! + ! + 4c ! =2 (1 + )! "!
2
2
2
2
2
87
2
2
При номерах n N1 экстремальные значения Mn , большие чем ("!)1=2 , удовлетворяют,
следовательно, уравнению (11), которое перепишем в виде
M 2 = 1 + ' + '2 ; m2 + m4 + 4l2 + 2 ():
4!
!D 4!2 D2 4!
16!2
Отсюда вытекает оценка jM 2 =(4!) ; 1j c3 =("!)1=2 + 3 . Увеличивая, если необходимо, N1 ,
добьемся того, чтобы c3 =("!)1=2 + 3 ". Увеличивая, если необходимо, N1 еще более,
p добьемся
того, чтобы все экстремальные значения M < E удовлетворяли соотношению M=(2 !) ".
Итак, требуемое разбиение экстремальных значений функции kn (s) на две непересекающиеся
группы при достаточно больших номерах n получено.
Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Существуют положительные числа N , E
p! , если таковой
такие, что для n N максимальный интервал (n ; n ), на котором kn (s) >
n
существует, обладает свойством n = 0, n "; на [2"; 1] функция kn (s) E , на [0; 2"] функция
kn(s) cp!n.
p! разделяет две полученных группы экстремумов, и на одном
Доказательство. Число
из концов интервала (n ; n ) функция kn (s) равна p!n . Допустим, что это левый конец; пусть
sn | координата первого максимума kn (s) на [n ; n ]. В следующих ниже оценках интеграла
I произведена замена переменной x = k(t), индексы n опущены, использовано представление
производной (8)
I=
Z
k(s)
k(t)dt Z
s
k(t)dt =
Z
k(s)
p!n
xt0xdx =
;1=2
Z t(x)
8
0
4
2
2
2
= p 2x ; x + 4!x + D xf (t(x)) ;
f ( )x( )d ; f (a)m + m ; 4! m + 4l
dx:
a
!n
Z
4
2
Rt
Функция Q(t) = ; f 0 ( )kn ( )d по модулю равномерно по n ограничена. В интеграле, оцениваa
p
ющем I снизу, перейдем от переменной x к переменной y: x = 2 !y, получим
Z k(s)=2p! 4
2
2 ;1=2
p
I
dy:
2y y2 ; y4 + 2!12 D (Q(t(x(y))) + f (t(x(y)))2 !y ; f (a)m) + m16+!24l ; m
4!
1=2
Правая сторона неравенства имеет предел при ! ! 1, равный 2 p1dy;y2 = 23 . Следователь1=2
p
но, число обсуждаемых интервалов [; ], k() = !, для рассматриваемого решения k(s) при
достаточно большом n не больше, чем [=(2=3)] = 1. Если бы интервал (; ) был внутренним,
R
интеграл k(t)dt оценивался бы снизу числом 4=3, что невозможно. Аналогичные рассуждения
можно провести для случая kn (n ) = p!n . При этом заметим, что точка первого максимума,
лежащая левее , может не быть критической, совпадая с s = 0. Таким образом, приходим к
выводу, что либо = 0, либо = 1. Заметим,
что длина интервала становится сколь угодно
малой с ростом n, поскольку n ; n =p!n . Для замкнутых, выпуклых форм равновесия,
представляемых функцией kn (s), интервал (n ; 1) со свойствами, о которых идет речь в лемме,
отсутствует при больших n. Действительно, на малом участке изменения s, длины меньшей ",
угол наклона касательной изменяется более, чем на
Z 1
2 kn (t)dt 43 ; "1 :
n
Следовательно, диаметр выпуклой фигуры, ограничиваемой контуром деформированной оболочки, меньше, чем "(1 + 1=(2 sin(=6))). Соответственно, длина контура меньше, чем 3" ([3],
R1
88
с. 87), тогда как она равна 2. Поэтому далее полагаем n = 0. Взяв произвольно " > 0, определим интервал [n ; 1], где в качестве n берем точку n + "=3, если в интервале (n ; n + "=3) нет
экстремальных точек; берем первую экстремальную точку в противном случае. Убедимся, что
lim k ( )=p!n = 0:
n!1 n n
Действительно, пусть это не так, и kn (n )=p!n = > 0 для какой-то последовательности чисел
n. Поскольку в этом случае n | не критические точки, имеем
Z
1
n
kn (t)dt Z n
n
kn (t)dt p!n "=3 ! 1
R1
при n ! 1. Это противоречит тому, что kn (t)dt = . По свойству экстремумов каждой группы
0
из доказанного следует, что на интервалах [n ; 1] отношение kn (s)=p!n равномерно по s стремится к нулю при n ! 1.
Возьмем число E такое, чтобы выполнялось соотношение tmax
jf (t)j 14 E . На любом по2[0;1]
динтервале n [n ;;1], где2 kn (s) E , функция
kn(s) выпуклая. Действительно, для t 2 n
f
(t)
1 kn (t)
00
имеем kn (t) = !nkn (t) 1 ; 2 !n + Dn !n kn (t) . Последнее слагаемое в скобках допускает оценку
f (t) jf j1 1 ;
D ! k (t) E 4
n n n
поскольку kn2 (t) !n , то для достаточно больших n имеем kn00 (t) 41 !nkn (t) > 0. Пусть n |
максимальный интервал, на котором kn (s) E . Из выпуклости kn (s) на n следует, что n
не может быть внутренним подинтервалом в [n ; 1], поэтому множество t : t 2 [n ; 1]; kn (t) E ,
представляется интервалом [n ; n ]. На [n ; n ] функция kn (s) монотонно убывает, kn0 (n ) 0, с
учетом этого для точек t 2 [n ; n ] проводим следующие оценки:
Z 0
0
kn() ; k (t) = k00 (s)ds ( ; t) 14 !E;
t
;k0 (t) ( ; t) 14 !E;
Z Z 0
k(t) ; k() = ; k (s)ds ( ; t) 41 !E dt = 18 ( ; t)2 !E;
t
t
1
k(n ) 8 (n ; n)2 !E:
p
Поскольку nlim
!1(n ; n ) = 0. Поэтому jn ; n j "=3,
!1 kn (n )= !n = 0, заключаем, что nlim
(n ; n ) "=3 для достаточно больших n.
Лемма 3. Если lim !n Dn = 1 и " | произвольное фиксированное положительное число,
n!1
p
то справедливо утверждение леммы 2 с заменой E на En = 1= !n Dn .
Доказательство такое же, как и для леммы 2. Величина Dn !fn(tk)n (t) теперь меньше, чем
C=Dn !nEn | числа, стремящегосяpк нулю при n ! 1. В соответствующем
оцениваем
p! месте
k
(
)
=
=
0.
kn(n ) (n ; n )2!nEn = (n ; n )2 !n =Dn , и учитываем, что nlim
n
!1 n n
Лемма 4. Пусть последовательность положительных функций kn (s) представляет решения уравнения (6) при условиях замкнутости (3) и симметричности нагрузки f (s) относительно s = 1. Пусть дополнительно выполнено условие lim j!n jDn = > 0. Тогда
n!1
lim
j
!
j
D
<
1
.
n!1 n n
89
Предполагая противное, примем, что nlim
слу!1 j!n jDn = +1. Рассмотрим
p
чай !n > 0 для всех n. Согласно лемме 3 функция kn (s) ограничена числом En = 1= !n Dn
вне интервала [0; 2"] при произвольно взятом " > 0, если n достаточно большое. При этом
R2"
kn(t)dt 23 , ибо противоположное неравенство ведет к противоречию (см. доказательство
Доказательство.
0
R1
R1
леммы 2). Следовательно, kn (t)dt 3 , с другой стороны, kn (t)dt p!n1 Dn ;;;!
0.
n!1
2"
2"
Обратимся теперь к случаю, когда !n < 0 для всех n. Интегрируя по интервалу (0; 1) равенство ;!n Dn kn (s) = ;Dn kn00 (s) ; 12 Dn Kn3 (s) + f (s), получим при условиях (7), что ;Dn !n R1
f (s)ds + Dn kn0 (0). Оценим kn0 (0), исходя из формулы (8), 4(k0 (0))2 D2 ;4!D2c + Dk(0)c1 + c2 .
0
Рассуждения, использованные
при доказательстве леммы 1, проходят и для случая ! < 0,
p
2
2
поэтому имеемpk(0)
p c3 j! j. Собирая вместе три последних неравенства, получаем 2 (D! ) 4Dcj!Dj + c1 c3 D j!Dj + c4 . Это соотношение не может выполняться для сколь угодно больших
значений j!Dj. Полученные противоречия опровергают предположение.
3. Поведение положительных по k (s) решений системы
(1); (3); (4) при
D
!
0
Dn > 0, где Dn ! 0, n = 1; 2; : : : , выбрано положительное
kn(s) уравнения (6), где s 2 (0; 1), а дополнительными выступают условия
функция f 2 C [0; 1] и не равна тождественно нулю. Тогда справедливы
Теорема 1. Пусть для каждого
непрерывное решение
(7).
Пусть,далее,
1
p
следующие утверждения.
kn (s) допускает оценку kn (s) C= Dn с константой C , не зависящей
угодно малом > 0 последовательность kn (s) равномерно ограничена на
Последовательность
от
s, n. При сколь
[; 1].
отрезке
C [0; 1] ограничена соответствующая kn (s) последовательность функций
Tn (s), а функции момента Mn (s) стремятся к нулю при n ! 1. Перерезывающие усилия Nn (s) стремятся к нулю равномерно на [0; 1], если !n < 0, или на [; 1], если
!n > 0 .
Если !n > 0, то некоторая подпоследовательность kn (s) слабо сходится в L (; 1) к k (s),
а соответствующие Tn (s) равномерно сходятся к константе T при любом > 0. При этом
k (s), T не зависят от и являются решениями системы (1) при N = M = 0 в области (0; 1)
В пространстве
касательных усилий
2
0
0
0
0
с условием
Z
0
1
cos
Z
1
s
k ( )d ds = 0:
0
Проверим, что = lim j!n jDn > 0. Предположим противное, и пусть
n!1
lim j!n jDn = 0. Для соответствующей подпоследовательности перепишем (10) в виде
Доказательство.
n!1
M D = 2 !D + ' (! D + 2'!D + ' ; !D m + D (m + 4l )) = :
2
2
2
2
2
2
1
4
2
4
2
1 2
(13)
2
Убедимся, что nlim
!1(Mn Dn ) = 0. Если это не так, то некоторая подпоследовательность Mnj
стремится к бесконечности. Следовательно, 'nj стремятся к нулю, ибо допускают оценку j'nj j 2
c1 =Mnj + c2 =Mn2j . Итак, в (13) все слагаемые стремятся к нулю, поэтому jlim
!1(Mnj Dnj ) = 0.
Противоречие доказывает утверждение. Фиксируем > 0. Последовательность kn2 ( )Dn также
стремится к нулю, ибо в противном случае для некоторой подпоследовательности kn2 j ( )Dnj c.
R
Кроме того, на [0; ] функции kn (s) в этом случае убывают. Следовательно, kn (s)ds 0
90
pDc
;;;! 1. Из основного уравнения (6) для e; d 2 [; 1] получаем
n n!1
d
Z
e
Dn( kn
1
2
2
(s) ; !n)kn (s)ds + Dn (k0 (d) ; k0 (e)) =
n
n
Левый интеграл I допускает оценку
jI j "n
(8)
d
Z
e
d
Z
e
f (s)ds:
kn(s)ds = "n ; "n = max
(j kn (s) ; !njDn ); "n ! 0:
s
1
1
2
2
Для оценки внеинтегрального слагаемого вновь обращаемся к основной \рабочей" формуле
4D2 (k0 (s))2 4j!jD2 k2 (s) + D2 j!jc1 + Dk(s)c2 + Dc3 :
Rd
Переходя к пределу при n ! 1, заключаем, что f (s)ds = 0, следовательно, f (s) 0 на [0; 1] в
e
противоречие с допущениями теоремы. Итак, > 0. (Исключительный случай f (s) 0 на [0; 1]
рассмотрен в лемме 7.)
Леммы 1, 2 (или их доказательства,
очевидным образом измененные для случая ! < 0)
p
приводят к оценке kn (s) 2 j!n j(1 + "n ), "n ! 0, s 2 [0; 1]; и к оценке kn (s) E на [; 1].
Утверждаемое относительно последовательности kn (s) следует теперь из леммы 4.
Вспомним, что !n =pkn2 (s)=2 + Tn (s)=Dn . Поэтому jTn j=Dn j!n j + kn2 (s)=2. Учитывая, что
j!nj C=Dn , kn(s) C= Dn; получаем для некоторой константы c оценку jTn(s)j c для всех
n и всех s 2 [0; 1].
Утверждение для моментной функции следует из равенства Mn (s) = Dn (kn (s) ; kн (s)) и
полученной уже оценки kn (s), утверждения относительно последовательности Nn (s) = Dkn0 (s)
вытекают из формулы (8) и лемм 2, 4.
Предположим, наконец, что все !n положительны. Для любой финитной в (0; 1) функции
'(s) имеем
Z 1
Z 1
'(s)Nn0 (s)ds = ; '0 (s)Nn (s)ds ;;;!
0;
n!1
0
0
вся последовательность Nn0 (s) в смысле распределений стремится к нулю в области (0; 1). Пусть
последовательность knj (s) сходится слабо к k0 (s) в L2 (; 1); вследствие первого уравнения системы (1) Tnj (s) ! T0 при j ! 1 в C [; 1], где T0 | константа. Переходя к пределу во втором
уравнении (1) по последовательности nj , получаем в области (; 1) равенство в смысле распределений
;k0(s)T0 ; f (s) = 0:
(14)
Ввиду непрерывности f (s) равенство (14) имеет место поточечно. Уменьшая и выбирая
подпоследовательность из предыдущей последовательности, убеждаемся, что (14) имеет место
в области (0; 1). Для k0 (s) = ;f (s)=T0 сохраняется условие замкнутости
Z
0
1
cos
Z
1
s
k ( )d ds = 0: 0
Замечание. Если рассматриваемое как уравнение относительно T0 последнее равенство имеет не более одного физически приемлемого решения, то вся исходная последовательность kn (s)
сходится к k0 (s) в смысле распределений в области (0; 1).
Теорема 1 может быть использована для организации вычислений напряженно-деформированного состояния моментной оболочки как безмоментной с поправками типа погранслоя. В
линейной постановке для сетчатых оболочек вращения алгоритм подобных вычислений подробно изложен в [4].
Теорема 1 сохраняет силу, если учитывать растяжимость срединной поверхности оболочки
при линейном законе Гука, но при этом на последовательность положительных решений kn (s)
91
накладывать дополнительное условие n (s) > 0 для всех n, где n (s) = ds=d | степень
удлинения, | дуговая координата, отсчитываемая по недеформированному контуру.
Можно априори утверждать, что константа ! > 0, если f (s) 0.
4. Существование положительных решений
Технику доказательства лемм 1{4 можно использовать и для получения теоремы существования положительных решений задачи (6), (7).
t
1
Лемма 5. Пусть f (s) 0, f 2 C [0; 1]. Введем функцию '(s; t) =
D f (s), D | фиксированная изгибная жесткость, параметр t меняется в интервале [0; 1].
Множество положительных решений задачи
k00(s) + 12 k (s) ; !k(s) = '(s; t); s 2 (0; 1);
(15)
3
(7) для всевозможных t 2 [0; 1] ограничено в пространстве W2(1)[0; 1].
Доказательство. Пусть tn таковы, что решения kn (s) 0, а соответствующие !n стремятся
к бесконечности; это влечет, конечно, равенство nlim
!1(!n D) = 1. Последовательно проводим
рассуждения лемм 1{4 с очевидными изменениями и приходим к противоречию, как в лемме
4. Отсюда следует, что множество всех !, соответствующих положительному решению задачи
(15), (7) при каком-либо t, ограничено.
Рассмотрим скалярное произведение
при условиях
;
;
k00 (s) + 1 k3 (s) ; !k(s); k(s) = ;
2
+!
Z
0
1
k
2
Z
1
0
k()00 k( )d ; 1
Z
2
1
( )d = ;(k0 k)
+
0
Z
1
0
1
k ()d +
4
0
(k0 ( ))2 d ; 1
2
Z
1
0
k ()d + !
Z
4
0
1
k ( )d: (16)
2
Элементарные выкладки показывают, что
Z s
Z 1
k0 (0) = 1 N (0) = ; '(s; t) cos
k()d ds:
D
0
0
Следовательно, jk0 (0)j c1 , где c1 | априорно вычисляемая константа. С другой стороны,
по теореме вложения W2(1) (0; 1) в C [0; 1] имеем k(0) c2 kkk1;2 , где kkp;q обозначает норму в
соболевском пространстве Wp(q) (0; 1). Фиксируя " > 0, оценим первое слагаемое в правой части
(16) следующим образом:
jk(1)k0 (1) ; k(0)k0 (0)j "kkk21;2 + c"3 :
Приступим к оценке третьего слагаемого в правой части (16). Для этого функцию k(s) симметрично продолжим на интервал [0; 2]. Пусть a | первая точка из [0; 1], где k(s) достигает
абсолютного минимума m . Отрезок графика функции k(s) на интервале [2 ; a; 2] симметрично продолжаем за точку 2 на интервал [2; 2 + a]. Положим
(
y(s) = k(s) ; m; s 2 [a; 2 + a];
0
в противном случае:
Определенная на всей прямой неотрицательная функция y(s) абсолютно непрерывна и удовлетворяет всем условиям применимости мультипликативного неравенства Наги ([5], с. 383). Имеем
1
Z
+
;1
Z
y (s)ds c
4
4
1
+
;1
3=2 Z
y (s)ds
2
92
1
+
;1
1=2
(ys0 (s))2 ds
;
или
2
Z
1
0
Z
(k(s) ; m) ds c4 2
1
4
0
3=2 Z
(k(s) ; m) ds
2
2
1
0
1=2
(k0 (s))2 ds
:
(17)
Учтем, что ограниченность констант !n вследствие равенства
Z 1
Z 1
1
1
3
! = 2 k ()d ; '(; t)d ; 1 k0 (0)
0
0
равносильна ограниченности норм k(s) в L3 (0; 1) равномерно по t, и, следовательно, ограничены
интегралы
Z 1
kn2 (s)ds:
0
R1
R1
Простыми вычислениями из (17) получаем 21 k4 ( )d " (k0 ( ))2 d + c"5 . Вследствие того же
0
0
замечания относительно !
Z 1
! k2 ( )d c6 :
0
Собирая полученные оценки слагаемых последнего выражения в (16), имеем
(1 ; 2")kkk21;2 c6 + kk00 + 12 k3 ; !kk0;2 kkk0;2 :
Используя "-неравенство Коши и непрерывность оператора вложения для соответствующих пространств, получаем
k
'(s; t)k20;2
1
2
2
(1 ; 2")kkk1;2 c6 + 2
+ "kkk1;2 :
"
При достаточно малом " отсюда следует искомая оценка kkk21;2 c7 .
Рассмотрим следующую систему интегральных уравнений относительно функции k(s) и констант d; !:
k(s) = d +
+
d=
Z
1
0
Z
0
s
Z
1
[; 21 k+3 ( ) + !k( ) + '(; t)]d d;
k()d ; + d; ! =
Z
1
0
cos
Z
s
1
k()d ds + !:
(18)
Здесь k+ ( ) | положительная часть функции k( ), аналогично d+ = d, если d 0, иначе d+ = 0.1
Лемма 6. Пусть (k (s); d; ! ) | решение уравнений (18) в пространстве X = C [0; 1] E1 E1
(E1 | одномерное евклидово пространство), тогда k(s) есть неотрицательное решение задачи
(6), (7).
Доказательство. Дважды дифференцируя первое уравнение системы (18), получаем
k00(s) + 12 k+3 (s) ; !k(s) = '(s; t):
(19)
Помимо этого, из (18) следует, что k(0) = d+ 0, k0 (1) = 0. Умножение (19) скалярно в пространстве L2 (0; 1) на функцию k; (s) (отрицательную часть k(s)) приводит к равенствам
(k0 (s)k; (s))10 ;
Z
1
0
1
Z
0
1
k0 (s)k;0 (s)ds ; !
(k;0 (s))2 ds + !
Z
1
0
Z
1
0
k(s)k; (s)ds =
(k; (s))2 ds =
Z
1
0
Переход от функции k ( ) к k+ ( ) подсказан Р.З. Даутовым.
93
Z
1
0
'(s; t)k; (s)ds;
'(s; t)k; (s)ds:
Левая часть последнего равенства неотрицательна, правая согласно предположениям на функR1
цию ' | неположительна. Следовательно, (k;0 (s))2 ds = 0, поэтому k; (s) = 0.
0
Оператор At , определяемый правой частью (18), в пространстве X вполне непрерывен. Согласно лемме 5 найдется открытый шар BR () радиуса R с центром в нулевой точке пространства X , вне которого решения уравнения (18) отсутствуют.
Лемма 7. Уравнение (6) при условиях (3), (4), если f (s) 0, имеет единственное поло3
жительное решение k (s) , ! = =2; и оператор 1 ; A0 в некоторой окрестности точки
3
(; ; =2) взаимно однозначен.
Доказательство. Фиксируем некоторое положительное решение k (s) задачи (6), (3), (4)
при f (s) 0. Для его производной из (6) получаем представление
4(k0 (s))2 = ;k4 (s) + 4!k2 (s) + с0 :
(20)
Не теряя общности рассуждений, можем считать, что в точке s = 0 функция k(s) принимает
свое наибольшее значение M . Поэтому c0 = M 2 (M 2 ; 4!). Другое выражение для c0 получим,
привлекая вторую производную k(s),
c0 = 4(k0 (s))2 + k4 (s) ; 4!k2 (s) = 4(k0 (s))2 ; 2k(s)k00 (s) ; 2!k2 (s) = 6(k0 (s))2 ; (k2 (s))00 ; 2!k2 (s):
Существует точка , где функции k2 (s) и k(s) принимают минимальные значения. Воспользуемся этим для оценки постоянной c0
Z 1
1
! = 4 k3 ( )d > 0; c0 = ;(k2 ())00 ; 2!k2 () < 0:
;1
2
Следовательно, 4! ; M = m2 для некоторого m, и для производной в (20) можем написать
новое выражение:
4(k0 (s))2 = ;k4 (s) + M 4 + 4!k2 (s) ; 4!M 2 = (;k2 (s) + M 2 )(;m2 + k2 (s)):
(21)
Oтсюда видно, что M 2 k2 (s) m2 , 4! M 2 2!, а экстремальные значения k(s) суть M и
m.
Предположим, что M 6= m, а sM и sm | последовательные значения s, в которых k(sM ) = M ,
k(sm) = m; можем считать, что sm < sM . Значение k(s), s 2 [sm; sM ], входит в следующее
равенство:
Z s
Z k(s)
2dx
p
:
(22)
ds =
2
(M ; x2 )(x2 ; m2 )
sm
m
Здесь мы воспользовались заменой переменной x = k(s) и формулой (21). Из (22) следует, что
k(s) | периодическая функция с периодом 2(sM ; sm); пусть
n | целое число периодов на
sRM
интервале [0; 2]: n = 1=(sM ; sm). Оценим теперь интеграл k(s)ds с помощью той же самой
sm
замены
Z sM
Z M
=
2xdx
p
k
(
s
)
ds
=
:
2
n sm
(M ; x2 )(x2 ; m2 )
m
Поскольку последний интеграл равен , отсюда получаем n = 1. Но по теореме о четырех вершинах ([2], с. 60{62) замкнутая выпуклая кривая с непрерывно меняющейся касательной имеет,
как минимум, четыре точки с экстремальными значениями k(s). Полученное противоречие показывает, что m = M , и решение k(s) равно постоянной, которую легко находим подстановкой
в уравнение (6).
Элементарными выкладками проверяется, что единица не есть собственное число производной Фреше оператора A0 в точке P = (; ; 3 =2). Это обеспечивает локальную взаимную
94
однозначность отображения 1 ; A0 в окрестности этой точки. Действительно, обозначим возмущение точки P = (k0 (s); d0 ; !0 ) через h1 (s), h2 , h3 . Ввиду положительности компонент точки
P и малости возмущений (d0 + h2 )+ ; d0+ = h2 , (k0 + h1 )3+ ; (k0+ )3 = (k0 + h1 )3 ; k03 . Отсюда
легко находим, что равенство A00 (P )h = h, где h = (h1 (s); h2 ; h3 ) 2 X , представляется системой
уравнений
h +
2
h +
2
Z
1
0
s Z 2
Z
0
1
2 ( ; 3)h1 ( ) + h3 d d = h1 (s);
h ()d = h ; h ;
1
2
3
Z
1
sin(s)
0
s
Z
1
h ( )d ds = h :
1
(23)
3
Для решения h1 (s) имеем условия (следующие из второго и третьего уравнений (23))
Z
1
0
h (s)ds = 0;
1
Z
1
0
cos(s)h1 (s) = 0:
(24)
Покажем также, что h01 (0) = 0, h01 (1) = 0. Второе равенство немедленно следует из первого
уравнения (23). Для получения другого равенства первое уравнение (23) дважды продифференцируем по s
h00 (s) ; h (s) = h ; = 2 ( ; 3):
Умножим это равенство на cos(s) и проинтегрируем по области (0; 1)
2
1
Z
1
1
0
2
2
3
(25)
h00 (s) cos(s)ds = 0:
1
Последующие преобразования дают
cos(s)h01 (s)10 + Z
1
0
h0 (s) sin(s)ds =
1
= ;h01 (0) + sin(s)h1 (s)10 ; 2
Z
1
0
h (s) cos(s)ds = ;h0 (0) = 0:
1
1
Интегрируя вновь уравнение (25) по (0; 1), получаем h3 = 0.
Общее решение для однородного уравнения (25) записывается в виде h1 (s) = c1 es + c2 e;s .
Константы c1 , c2 вычисляются из условий (24):
c (e ; 1) ; c (e; ; 1) = 0; c (e + 1) ; c (e; + 1) = 0:
Определитель этой системы отличен от нуля. Поэтому c = c = 0, h (s) 0. Из первого
уравнения (23) следует теперь, что h = 0. Таким образом, утверждение о производной Фреше,
1
2
1
2
1
а вместе с тем и лемма, доказаны.
2
1
2
Однопараметрическое семейство вполне непрерывных операторов At преобразования банахова пространства X в себя, 0 t 1, равностепенно непрерывно по t на шаре BR (), не имеет
на границе этого шара неподвижных точек, а вращение векторного поля 1 ; A0 на @BR () равно
единице, как следует из леммы 7. Следовательно, выполнены условия теоремы Лере{Шаудера
([6], с. 128{145), и имеет место
1
Теорема 2. Пусть f (s) 0, f 2 C [0; 1]. Тогда задача (6), (7) имеет неотрицательное
решение.
95
Литература
1. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. { Казань: Изд-во Казанск. ун-та,
1975. { 326 с.
2. Таджибахш И. Формы изгиба упругих колец // В кн. \Теория ветвления и нелинейные задачи
на собственные значения". { М.: Мир, 1974. { С. 46{62.
3. Яглом И.М., Болтянский В.Г. Выпуклые фигуры. { М.{Л.: ГИЗТТЛ, 1951. { 344 с.
4. Клабукова Л.С., Пшеничнов Г.И. Решение краевых задач моментных сетчатых оболочек
вращения как безмоментных с поправами типа погранслоя // Журн. вычисл. матем. и матем.
физ. { 1995. { T. 35. { Є 12. { С. 1854{1871.
5. Харди Г.Г., Литльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. { М.: Ин. лит., 1948. { 456 с.
6. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. { М.: ГИТТЛ, 1956. { 392 с.
Казанский государственный университет
Поступила
22.11.1999
96
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа