close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование прямых и обратных функциональных зависимостей экономических показателей на основе построения RBF функций.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
4. Kvitkovskii Iu.V. i soavt. Poteri energii ot izgiba,
rasshireniia i suzheniia potoka vo vrashchaiushchemsia kanale // Tr. MIIT. – Vyp. 366. Napornoe
dvizhenie zhidkosti vo vrashchaiushchikhsia kanalakh
i gidro-trassakh. – M., 1971. S. 44-50. (rus.)
5. Perel'man R. G., Polikovskii V.I. Gidravlicheskoe soprotivlenie priamolineinykh kanalov v pole
tsentrobezhnykh sil // Izvestiia AN SSSR, OTN. –
1958. – №10. – S. 116-133. (rus.)
6. Kvitkovskii Iu. V. Rezul'taty eksperimentov s
radial'nymi potokami zhidkosti vo vrashchaiushchikhsia kanalakh // Tr. MIIT, Vyp. 386. Napornoe dvizhenie zhidkosti vo vrashchaiushchikhsia kanalakh i
gidrotras-sakh. – M., 1971. S. 44-50. (rus.)
7. SKF BEARING in Machine Tools 2580E, 1973,
P. 172. (rus.)
8. Borisenko A. M. i soavt. Poteri davleniia pri techenii zhidkosti vo vrashchaiushchemsia kanale, os'
ko-torogo perpendikuliarna osi vrashcheniia // IFZh,
1975, t. KhKhIKh, №6. – S. 1024-1030. (rus.)
Маломыжев Олег Львович – канд.техн.наук,
доцент., доцент кафедры «Автомобильный
транспорт» Иркутского государственного технического университета (ИрГТУ). Основное направление научных исследований – транспортные
и технологические машины, эксплуатация автомобильного транспорта. Общее количество публикаций – 26. E-mail: olm@bk.ru.
Семенов Александр Георгиевич – канд. техн.
наук, ст.н.с., доцент и вед.н.с. кафедры «Двигатели, автомобили и гусеничные машины» СанктПетербургского государственного политехнического университета (СПбГПУ). Основное направление научных исследований – наземные и космические транспортные средства и комплексы. Общее количество публикаций – 850. E-mail:
agentnumer007@rambler.ru;
agentnumer007@yandex.ru .
Скутельник
Виталий
Викторович
–
канд.техн.наук, доцент., доцент кафедры «Менеджмент и логистика на транспорте» Иркутского государственного технического университета
(ИрГТУ). Основное направление научных исследований – эксплуатация и техническое обслуживание
автомобильного транспорта, логистика автотранспортных перевозок. Общее количество публикаций – 30. E-mail: vfkmvfkm@rambler.ru.
УДК 519.651
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ЗАВИСИМОСТЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ
ПОСТРОЕНИЯ RBF ФУНКЦИЙ
И. А. Полонский, С. Н. Чуканов, В. Е. Щипанов
Аннотация. В работе представлен метод исследования прямых и обратных
функциональных зависимостей на основе применения аппарата построения искусственных нейронных сетей – RBF функций. Для решения обратных задач применен
функционал регуляризации А.Н. Тихонова. Метод применен для исследования задач
поддержки принятия решений в экономике.
Ключевые слова: обратные функциональные зависимости, функционал регуляризации Тихонова, радиальные базисные функции.
Введение
Рассмотрим функцию
f (⋅) , определен-
ную на множестве X и принимающую значения на множестве Y , которая отображает
f
элементы x ∈ X в y ∈ Y : X → Y . Прямую
функциональную зависимость можно представить в форме: y = f ( x ) ; x ∈ X ; y ∈ Y . Если
целью является нахождения такой количественной величины x , которая обеспечит требуемое значение y , то можно построить обратную
функциональную
зависимость:
x = f −1 ( y ) , где f −1 (⋅) – функция обратная
потребуем, чтобы функция
y = f ( x ) была
инъективная и имела требуемый порядок
гладкости в рассматриваемой области определения аргументов.
Приведем пример прямых и обратных зависимостей в задачах экономического профиля [2,3,4]. Коэффициент ликвидности
предприятия можно определить на основе
прямой функциональной зависимости от текущих активов предприятия E и от краткосрочной задолженности P : КЛ = E . Тогда
P
обратной задачей является нахождение приростов ∆E и ∆P для получения требуемого
f ( ⋅) ; для существования обратной функции
104
Вестник СибАДИ, выпуск 4 (32), 2013
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
прироста
∆КЛ =
( E + ∆E )
( P − ∆P )
−E
P
;
при
малых значениях ∆E и ∆P = 0 значение требуемого прироста ∆E зависит от прироста
∆КЛ : ∆E = P ⋅ ∆КЛ ; при малых значениях
∆P и ∆E = 0 значение требуемого прироста
∆P : ∆P = − P 2 E −1 ⋅ ∆КЛ .
В работе рассмотрен метод исследования
прямых и обратных функциональных зависимостей на основе применения аппарата радиальных базисных функций [6,7,8].
Решение обратной задачи для различных видов прямой функциональной зависимости. Рассмотрим функциональную зависимость в виде дробно-линейной функции
двух аргументов:
a x +a x +b
y ( x1 , x2 ) = 1 1 2 2
; определим значеc1 x1 + c2 x2 + d
ния приростов аргументов ∆x1 и ∆x2 , обеспечивающие требуемое значение прироста
функции ∆y . Предположим, что значения
приростов аргументов ∆x1 и ∆x2 связаны отношением:
( ∆x1 )
( ∆x2 )
=γ.
Тогда
прирост
дробно-линейной функции может быть найден из выражения:
∆y =
a1∆x1 + a2 ∆x2
c ∆x + c ∆x
− ( a1 x1 + a2 x2 + b ) 1 1 2 2 2 ,
c1 x1 + c2 x2 + d
( c1 x1 + c2 x2 + d )
откуда получим значения приростов аргументов ∆x1 и ∆x2 :
2
( c1 x1 + c2 x2 + d )
.
∆x2 = γ −1∆x1 =
∆y
c
x
+
c
x
+
d
a
γ
+
a
−
a
x
+
( 1 1 2 2 )( 1 2 ) ( 1 1 a2 x2 + b )( c1γ + c2 )
y ( x ) = a ⋅ x + b , и обратная линейная функция:
y ( x ) = a ⋅ x −1 + b .
Зададим прямую функциональную зависимость в виде: y ( x1 ,K , x N ) = f ( x1 ,K , xN ) , где
f ( x1 ,K , xN ) – гладкая функция N аргументов, при наличии пропорций в приросте аргу( ∆xi )
ментов
= γ ; γ ≤ γ ; γ = 1 . Тогда
( ∆x1 ) i i max 1
прирост функции ∆y ( x1 ,K , x N ) (в первом приближении O ( ∆xi ) ; ∀i = 1,K , N ):
N
N
 ∆x = ∆x ∂ f ⋅ γ ; откуда:
∆y = ∑  ∂f
1 ∑ xi
i
∂xi  i
i =1 
i =1
−1
 N

∆xi = γ i ⋅ ∆y ⋅  ∑ ∂ xi f ⋅ γ i  .
=
1
i


Отметим, что дробно-линейные функциональные зависимости (линейные и обратно
линейные) не являются универсальными аппроксиматорами (функциями, обеспечивающими аппроксимацию с любой точностью) [6].
Зависимость экономических показателей хозяйственной деятельности предприятий. Рассмотрим следующие экономические показатели хозяйственной деятельности предприятий [1,3,5]: ВОТА – время оборота текущих активов; КФ – коэффициент финансирования; КА – коэффициент автономии;
КЗ – коэффициент задолженности; КИ – коэффициент инвестирования; КП – коэффициент покрытия; КЛ – коэффициент ликвидности; КЛС – коэффициент ликвидности срочный. Предположим, что значения этих показателей изменяются в различные периоды
времени в соответствии с таблицей 1.
Частными случаями дробно-линейной
функции
являются
линейная
функция:
Таблица 1 - Значения экономических показателей хозяйственной деятельности предприятия
за различные периоды
Показатель
КЗ
КФ
КА
ВОТА
КП
КИ
КЛ
КЛС
p − 3 : январь
p − 2 : апрель
0,5
2
0,58
444
1,01
1,47
2,01
1,28
1
0,97
0,45
428
0,59
1,83
1,59
1,04
p − 1 : июнь
1,14
0,8
0,43
321
0,72
3,22
1,72
1,09
p : октябрь
1,16
0,86
0,18
225
0,94
0,31
1,94
1,24
В работе [3] формализованы функциональные связи между экономическими показателями:
КИ
↔
КП
b
↔ ВОТА ↔ КА ↔ КФ ↔ КЗ
КЛ
↔
(1)
КЛС
Вестник СибАДИ, выпуск 4 (32), 2013
105
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
в форме линейной функциональной зависимости:
КА ↔ ВОТА :
КА ( ВОТА) = ( ВОТА − 127 ) 496 ;
ВОТА ( КА) = 596 ⋅ КА + 114 ;
и в форме обратной линейной функциональной зависимости:
КЗ ↔ КФ :
КЗ ( КФ ) = КФ −1 ;
КФ ( КЗ ) = 2,3 ⋅ КЗ −1 − 1 ;
КФ ↔ КА :
КФ ( КА) = −0, 25 ⋅ ( КА − 0,61) ;
КА ( КФ ) = −0,37 ⋅ КФ −1 + 0, 77 ;
ВОТА ↔ КП :
ВОТА ( КП ) = 317 ⋅ КП −1 − 114 ;
КП ( ВОТА) = 253 ⋅ ВОТА−1 + 27 ;
КП ↔ КИ :
КП ( КИ ) = 2,06 ⋅ КИ −1 − 0, 2 ;
КИ ( КП ) = 2, 28 ⋅ КП −1 − 1, 21 ;
КП ↔ КЛ :
КП ( КЛ ) = −3, 21 ⋅ КЛ −1 + 2, 6 ;
КЛ ( КП ) = −2, 21 ⋅ КП −1 + 3, 4 ;
КЛ ↔ КЛС :
КЛ ( КЛС ) = −2, 23 ⋅ КЛС −1 + 3, 74 ;
КЛС ( КЛ ) = −0,56 ⋅ КЛ −1 − 2,01 .
−1
Так как дробно-линейные функциональные
зависимости (линейные и обратно линейные)
не являются универсальными аппроксиматорами, то рассмотрим метод построения RBF
функций (radial basis function – радиальных базисных функций) [6,7,8] для аппроксимации
значений экономических показателей хозяйственной деятельности предприятия.
Пусть имеется множество элементов
q = ( q1 ,..., qN )
T
и пространство V – множество
функций v (⋅) v
< ∞ . При введении скаляр-
V
V
= ∫ Lu ( q ) , v ( q ) dq; u (⋅) , v (⋅) ∈V
) ) . Выберем функ-
ции Грина и матрицу S в форме RBF функций Гаусса:
2
S = Sij =  exp − qi − q j σ −2  .
(6)


Построим RBF функции для экономических
показателей, которые являются универсальными аппроксиматорами [10]. В соответствии с
таблицей 1 сформируем следующие векторы
экономических показателей хозяйственной
деятельности:
(
( )
произведения:
ного
u, v
( ) ( (
матрица: S = Sij = G qi , q j
(
)
)
T
КЗ = ( 0,5 1 1,14 1,16 ) ;
– в об-
T
КФ = ( 2 0,97 0,8 0,86 ) ;
Ω
T
простран-
КА = ( 0,58 0, 45 0, 43 0,18 ) ;
ство V становится предгильбертовым. Определим функционал регуляризации А. Н. Тихонова:
ВОТА = ( 444 428 321 225) ;
ласти q ∈ Ω и нормы: v
N
V
=
v, v
V
T
T
КП = (1,01 0,59 0,72 0,94 ) ;
T
КИ = (1, 47 1,83 3, 22 0, 31) ;
E [v, q ] = ∑ λ i − v ( qi ) + C ∫ Lu ( q ) , v ( q ) dq , (2)
2
i =1
T
КЛ = ( 2,01 1,59 1,72 1,94 ) ;
Ω
где λ i – значения функций v ( ⋅) при значении
аргумента
qi ; при точной интерполяции:
λ i = v ( qi ) ; i = 1,K , N . Для q = ( q1 ,..., qN )
T
значе-
ние v ∈V , минимизирующее функционал
E [ v, q ] определяется из выражения [9]:
N
v ( q ) = ∑ αi G ( q, qi ) ,
(3)
i =1
(
где G ( qi , q j ) = G qi − q j
оператора
)
– функция Грина
L:
LG ( q ) = δ ( q ) .
(4)
Коэффициенты αi , i = 1,..., N определяются из выражения:
−1
T
T
α = ( S + C ⋅ Id ) λ; α = ( α1 K α N ) ; λ = ( λ1 K λ N ) ;
(5)
T
КЛС = (1, 28 1,04 1,09 1, 24 ) .
Выберем значения СКО в RBF функциях
следующим
образом:
σq = σ qmax − σ min
q ;
σ ВОТА = 219 ; σ КА = 0, 4 ; σ КФ = 1, 2 ; σ КЗ = 0,66 ;
σ КП = 0,07 ; σ КИ = 2,91 ; σ КЛ = 0,07 ; σ КЛС = 0, 24 .
Примем значение коэффициента регуляризации: C = 0,02 .
Тогда RBF функции экономических показателей хозяйственной деятельности предприятия, соответствующие табл.1, имеют
следующий вид:
4
i =1
(
α КА− ВОТА = S ВОТА + C ⋅ Id ( 4×4)
)
−1
4
2
)
T
КА = ( 3, 21 −2,95 0,201 0, 239 ) ;
(
)
ВОТА ( КА) = ∑ αiВОТА− КА ⋅ exp − ( КА − КАi ) σ −КА2 ;
i =1
(
α ВОТА− КА = S КА + C ⋅ Id ( 4×4 )
106
(
2
КА ( ВОТА) = ∑ αiКА− ВОТА ⋅ exp − ( ВОТА − ВОТАi ) σ −ВОТА
;
)
−1
2
T
ВОТА = ( 411 2275 −2448 282 ) ;
Вестник СибАДИ, выпуск 4 (32), 2013
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
4
(
4
)
i =1
2
i =1
−1
(
) КЗ = ( 0,385 −3,05 1,08
КФ ( КЗ ) = ∑ α
⋅ exp ( − ( КЗ − КЗ ) σ );
α
= ( S + C ⋅ Id ( ) ) КФ = ( 2,55 −2, 45 −0, 964
α КЗ − КФ = S КФ + C ⋅ Id ( 4×4)
4
2
КФ − КЗ
i
(
α КИ − КП = S КП + C ⋅ Id ( 4×4 )
T
2,9 ) ;
4
−1
КЗ
4 ×4
4
(
(
i =1
2
i
(
α КЛ − КП = S КП + C ⋅ Id ( 4×4 )
−1
КФ
ВОТА ( КП ) = ∑ α
ВОТА− КП
i
(
⋅ exp − ( КП − КПi ) σ
i =1
α
ВОТА− КП
(
= S КП + C ⋅ Id ( 4×4 )
)
−1
4
−2
КП
;
(
α КП − ВОТА = S ВОТА + C ⋅ Id (4×4)
4
)
(
i =1
(
Показатель
p
p +1
)
−1
(
α КЛ − КЛС = S КЛС + C ⋅ Id ( 4×4)
)
−1
4
)
2
T
КЛ = ( 3,18 1, 4 −0,165 −1,717 ) ;
(
);
i =1
(
α КЛС − КЛ = S КЛ + C ⋅ Id ( 4×4 )
ВОТА = ( 3714 575 509 −3980 ) ;
2
)
T
КП = ( 9, 91 −9,61 −0,605 0,942 ) ;
)
−1
2
)
T
КЛС = (1, 65 1,5 −1,03 −0,324 ) .
2
В качестве примера рассмотрим взаимное
влияние параметров при изменении значения
параметра КИ от значения КИ p = 0,31 к
значению КИ p +1 = 0,31 ; при этом остальные
параметры принимают следующие прогнозируемые значения:
)
КП ( КИ ) = ∑ αiКП − КИ ⋅ exp − ( КИ − КИ i ) σ −КИ2 ;
α КП − КИ = S КИ + C ⋅ Id ( 4×4)
(
T
(
−1
T
КЛС ( КЛ ) = ∑ αiКЛС − КЛ ⋅ exp − ( КЛ − КЛ i ) σ−КЛ2 ;
−2
КП ( ВОТА) = ∑ αiКП − ВОТА ⋅ exp − ( ВОТА − ВОТАi ) σВОТА
;
i =1
)
КЛ = ( 2,83 1, 94 −1, 03 −0, 967 ) ;
4
T
2
)
−1
2
i =1
4×4
4
T
КП = (1, 6 0,59 −0, 286 −0, 67 ) ;
2
КЛ ( КЛС ) = ∑ αiКЛ − КЛС ⋅ exp − ( КЛС − КЛСi ) σ −КЛС
;
−2
КФ
i =1
КА− КФ
)
2
(
i =1
T
КА − КФ
i
−1
4
) КФ = ( 7, 5 −2, 23 −5,54 3, 2 ) ;
КА ( КФ ) = ∑ α
⋅ exp ( − ( КФ − КФ ) σ );
= ( S + C ⋅ Id ( ) ) КА = ( 0, 445 3, 273 5, 234 −8, 3)
α
4
T
КЛ ( КП ) = ∑ αiКЛ − КП ⋅ exp − ( КП − КПi ) σ −КП2 ;
)
−1
(
α КФ − КА = S КА + C ⋅ Id ( 4×4 )
)
α КП − КЛ = S КЛ + C ⋅ Id ( 4×4 )
T
3,13) ;
КФ ( КА ) = ∑ αiКФ − КА ⋅ exp − ( КА − КАi ) σ −КА2 ;
2
)
КИ = ( 30,5 −16, 3 32,8 −45, 22 ) ;
(
i =1
i =1
КФ − КЗ
)
−1
2
КП ( КЛ ) = ∑ αiКП − КЛ ⋅ exp − ( КЛ − КЛ i ) σ −КЛ2 ;
−2
КЗ
i
(
2
КИ ( КП ) = ∑ αiКИ − КП ⋅ exp − ( КП − КПi ) σ −КП
;
2
КЗ ( КФ ) = ∑ αiКЗ − КФ ⋅ exp − ( КФ − КФi ) σ −КФ
;
T
КП = ( 8,82 −9,54 2,178 −0,124 ) ;
КЗ
1,16
КФ
0,86
КА
0,18
ВОТА
225
КП
0,94
КЛ
1,94
КЛС
1,24
1,11
0,833
0,413
306
0,942
1,96
1,25
Заключение
В работе представлен метод исследования
прямых и обратных функциональных зависимостей экономических показателей хозяйственной деятельности предприятия на основе
применения аппарата радиальных базисных
функций (RBF).
Метод может быть использован для интерполяции и аппроксимации функциональных
зависимостей экономических показателей и
для прогнозирования будущих значений этих
показателей
на
основе
интерполяции/аппроксимации.
Использование метода для нахождения обратных функциональных зависимостей позволяет находить значения приростов одних экономических показателей для обеспечения требуемых значений приростов других.
Метод может быть расширен для построения
процедуры оценивания типа Калмана или
Льюинбергера, позволяющего предсказывать
будущие значения экономических показателей
без формализации динамической модели.
Вестник СибАДИ, выпуск 4 (32), 2013
Библиографический список
1. Баканов М. И., Мельник М. В., Шеремет А. Д.
Теория экономического анализа. – М.: Финансы и
статистика, 2005. – 536 с.
2. Одинцов Б. Е. Обратные вычисления в формировании экономических решений: Учеб. пособие. –
М.: Финансы и статистика, 2004. – 192 с.
3. Романов А. Н., Одинцов Б. Е. Компьютеризация аудиторской деятельности: Учебное пособие для
вузов – М.: ЮНИТИ, 1996. – 270 с.
4. Романов А. Н., Одинцов Б. Е. Советующие
информационные системы в экономике. – М.:
ЮНИТИ, 2000. – 487 с.
5. Савицкая Г. В. Теория анализа хозяйственной
деятельности. – М.: ИНФРА-М, 2007. – 288 с.
6. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. – М.:
ООО "И.Д. Вильямс", 2006. – 1104 с.
7. Buhmann M. D. Radial Basis Functions: Theory
and Implementations. – Cambridge University Press,
2004. – 259 p.
8. Heuberger P.S.C., Van den Hof P.M.J., Wahlberg
B. Modelling and Identification with Rational Orthogonal
Basis Functions. –Springer-Verlag, 2005. – 397 p.
9. Micheli M. The Differential Geometry of Landmark
Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature. –
Ph.D. thesis, Brown University, Providence, Rhode Island, 2008. – 164 p.
107
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
10. Park J., Sandberg I.W. Universal approximation
using radial-basis-function networks // Neural Computation, 1991, vol. 3. – p. 246-257.
11. Коблик А. А. Формирование интерполяционных сплайнов для многообразий, представляемых
лиевыми группами. // Вестник СибАДИ - 2012 – № 6C. 103-106.
THE INVESTIGATION OF DIRECT AND
INVERSE FUNCTIONAL DEPENDENCES OF
ECONOMIC INDICATORS ON THE BASIS OF
CONSTRUCTING RBF FUNCTIONS
I. A. Polonsky, S. N. Chukanov,
V. E. Shchipanov
A method for the investigation of direct and inverse functional dependencies on the basis of constructing radial basis functions is presented in this
paper. For the solution of inverse problems the functional regularization A.N. Tikhonov is applied. The
method used to study the problems of decision support in the economy.
Keywords: inverse functional dependencies, functional Tikhonov regularization, radial basis function.
Bibliographic list
1. Bakanov M. I., Melnikov M. V., Sheremet A. D.,
Theory of Economic Analysis. - Moscow: Finance and
Statistics, 2005. – 536 p.
2. Odintsov B. E. Inverse calculations in shaping
economic decisions: Studies. - Moscow: Finances and
Statistics, 2004. - 192 p.
3. Romanov A. N, Odintsov B. E. The computerzation audit activities: training manual for high schools
- Moscow: UNITY, 1996. - 270 p.
4. Romanov A. N., Odintsov B.Ye. Council
Information systems in the economy. - Moscow:
UNITY, 2000. - 487 p.
5. Savitskaya G. V. Theory analysis economic
activity. - Moscow: INFRA-M, 2007. – 288 p.
6. Haykin S. Neural networks: a complete course.
- Moscow: OOO "I. D. Williams," 2006. – 1104 p.
7. Buhmann M. D. Radial Basis Functions: Theory
and Implementations. – Cambridge University Press,
2004. – 259 p.
8. Heuberger P.S.C., Van den Hof P.M.J., Wahlberg B. Modelling and Identification with Rational Orthogonal Basis Functions. –Springer-Verlag, 2005. –
397 p.
9. Micheli M. The Differential Geometry of Landmark Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature. – Ph.D. thesis, Brown University, Providence,
Rhode Island, 2008. – 164 p.
10. Park J., Sandberg I.W. Universal approximation using radial-basis-function networks // Neural
Computation, 1991, vol. 3. – p. 246-257.
11. Koblik A. A. The formation of interpolating
splines for varieties submitted lie group // Vestnik
SibADI. – 2012 - № 6 - P. 103-106.
Полонский Иван Александрович – аспирант
ФГБОУ ВПО Сибирская автомобильно-дорожная
академия (СибАДИ), e-mail: ivanft@mail.ru.
Чуканов Сергей Николаевич – д-р техн. наук,
профессор Финансового университета при Правительстве РФ. Основное направление научных
исследований – управление процессами в динамических системах. Имеет более 100 опубликованных работ.
Щипанов Владимир Евгеньевич – магистрант
Факультета информационных технологий и
компьютерных систем ФГБОУ ВПО Омский государственный технический университет, e-mail:
mohax.mon@gmail.com
УДК.517.946
НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫЕ С СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧЕЙ
ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Г. И. Шабанова
Аннотация. В данной статье устанавливается взаимно однозначное соответст-
Qм , Qам ∋ q ( y ) и σ , σ a ∋ σ (λ ) , где q ( y ) - потенциал
сингулярной задачи Штурма-Лиувилля, а σ (λ ) - спектральная функция оператора
вие между классами функций
Штурма-Лиувилля. Отмечаются свойства функций, принадлежащих введенным классам.
Ключевые слова: оператор, задача Штурма-Лиувилля, спектральная функция,
предел последовательности, взаимно-однозначное соответствие.
Введение
Спектром,
соответствующим
Штурма-Лиувилля
108
задаче
- ϕ ′′
+ q (y) = λ ϕ (y, λ ) .
ϕ (0, λ) = 1 , ϕ′(0, λ) = 0 .
(1)
(2)
Вестник СибАДИ, выпуск 4 (32), 2013
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа