close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование устойчивоподобных свойств «Частичного» положения равновесия нелинейной динамической системы.

код для вставкиСкачать
”ƒ 004.422.324
»——Ћ≈ƒќ¬јЌ»≈ ”—“ќ…„»¬ќѕќƒќЅЌџ’
—¬ќ…—“¬ Ђ„ј—“»„Ќќ√ќї ѕќЋќ∆≈Ќ»я
–ј¬Ќќ¬≈—»я Ќ≈Ћ»Ќ≈…Ќќ… ƒ»Ќјћ»„≈— ќ…
—»—“≈ћџ*
ј. ¬. ўенников
Ќа основе принципа включени¤ (расширение фазового пространства нелинейной динамической системы с последующим его сужением) провод¤тс¤ исследовани¤ устойчивоподобных свойств (”ѕ—) Ђчастичногої положени¤ равновеси¤ относительно всех и
части фазовых переменных динамической системы, задаваемой в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. «десь под ”ѕ— движений понимаютс¤ различные виды устойчивости по Ћ¤пунову.
dx
= f1 t, x ,
dt
(1)
(1.1)
dx 2
1
2
= f1 t, x , x ,
dt
(1.2)
dy 1
1
2
= f2 t, y , y ,
dt
(2.1)
dy 2
1
2
= f2 t, y , y .
dt
(2.2)
2
dy
= f2 t, y ,
(2)
dt
где n-мерный вектор х(t) определ¤ет фазовое состо¤ние системы (1), а n% -мерный вектор y(t) определ¤ет фазовое состо¤ние системы (2), причем n £ n%. ¬ дальнейшем будем пользоватьс¤ преобразовани¤ми [1, с. 495]
(3)
y = Vx, x = Uy, UV = E,
где V Ч посто¤нна¤ матрица размерности
n% і n, ранг которой равен числу ее столбцов
(моник-матрица); U Ч также посто¤нна¤
матрица размерности n і n%, ранг которой
равен числу ее строк (эпик-матрица); ≈ Ч
единична¤ матрица размерности n і n.
—уть принципа включени¤ [1Ч4] состоит в построении расширенной системы
(пусть это будет система (2)) и в определении условий, при выполнении которых ”ѕ—
движений системы (1) будут следовать из
соответствующих свойств движений системы
(2). ќсновное условие при Ђпереходеї к
расширенной системе (2) заключаетс¤ в том,
чтобы положение равновеси¤ системы (1)
при линейном преобразовании (3) переходило в состо¤ние равновеси¤ y = ye системы
(2), т. е. чтобы ye = Vxe ¤вл¤лось положением равновеси¤ системы (2).
ѕредставим далее системы (1) и (2) в
следующих формах:
dx 1
1
2
= f1 t, x , x ,
dt
1
–ассмотрим нелинейные динамические
системы
1
2
«десь
T
1
x = x1, ..., xk ,
T
2
x = xk +1, ..., xn ,
T
1
y = y1, ..., yk ,
T
2
y = yk +1, ..., yn ,
T цT
x T
ж
x = з x1 ,
и
2
T цT
y ж 1 T
,
ч ,y=з y
и
ш
2
ч ,
ш
f = ( f , ..., f ) , f = f , ..., f ,
1
2
2
2 T
1
1 T
f1 = f11
, ..., f1k , f1 = f1,k +1, ..., f1n ,
2
1
1
21
1
2k%
T
2
2
2
2,k% +1
2
2n%
T
верхний индекс “ означает транспонирование. ”стойчивость относительно фазовых
переменных x1, ..., xk y1, ..., yk в дальнейшем будем обозначать
устойчивость.
1
x y 1
Ч
© ўенников ј. ¬., 2012
* ѕолное содержание данной работы было изложено на XL ќгаревских чтени¤х (8 декабр¤
2011 г., г. —аранск).
194
¬≈—“Ќ» ћордовского университета | 2012 | є 2
Ѕудем считать, что системы (1) и (2)
((1.1), (1.2); (2.1), (2.2)) заданы соответственно в област¤х
«десь введены определени¤ устойчивости, равномерной устойчивости, асимптотической устойчивости, эквиасимптотической
устойчивости, равномерной асимптотической
1
2
1
2
W1 = t, x , x : t ќ J + , x £ h1, x < • , устойчивости, асимптотической устойчивости в целом, равномерной асимптотической
устойчивости в целом, экспоненциальной и
1
2
1
2
W2 = t, y , y : t ќ J + , y £ h2, y < • , степенной устойчивости Ђчастичногої положени¤ систем (1.1)Ч(1.2) и (2.1)Ч(2.2).
где h1 и h2 Ч положительные посто¤нные Ќайдены услови¤, при выполнении которых
вещественные числа, а норма вектора евкли- удаетс¤ расширить фазовое пространство исдова, J + = {t : t ≥ 0} . —ледует отметить, что ходной нелинейной динамической системы и
нормы вектора и матрицы согласованы. исследовать ”ѕ— Ђчастичногої положени¤
ѕусть правые части систем (1) и (2), равно равновеси¤ нелинейной динамической систекак и систем (1.1), (1.2) и (2.1), (2.2), ¤вл¤- мы.
ютс¤ непрерывными соответственно в обласЌа примере нелинейной системы x& = Ax m ,
т¤х W1 и W2 и удовлетвор¤ют там условию
единственности решени¤ задачи оши, а так- где ј Ч посто¤нна¤T n і n матрица, det A є 0,
же решени¤ системы (1.1), (1.2) ((2.1), x m = xm, ..., xnm , m = 3, 5, ... проведены
1
(2.2)) x 2 y 2 Ч продолжимы (это озна- исследовани¤ ”ѕ— Ђчастичногої положени¤
равновеси¤. ѕоказано на примере конкретx t, t0, x0 чает, что каждое решение
ной системы, когда возможно исследование
Ђчастичногої положени¤ равновеси¤
y t, t0, y0 определено при всех t ≥ t0 ≥ 0, ”ѕ—
только с использованием принципа включени¤.
1
дл¤ которых x 1 £ h1
y £ h2 ).
{
{
}
}
Ѕ»ЅЋ»ќ√–ј‘»„≈— »… —ѕ»—ќ 1. Ўиль¤к ƒ. ƒ. ƒецентрализованное управление сложными системами / под ред. ¬. ћ. ћатросова и —. ¬. —авастюка. Ч ћ. : ћир, 1994. Ч 576 с.
2. Ikeda M. Generalized decompositions and stability of nonlinear systems / M Ikeda, D. D. Siljak //
Proceedings of the 18th Allerton Conference. Monticello. Ч 1980. Ч IL. Ч P. 726Ч734.
3. Ikeda M. Overlapping decompositions, expansions and contractions of dynamic systems / M. Ikeda,
D. D. Siljak // Large Scale Systems. Ч 1980. Ч Vol. 1. Ч 29. Ч P. 29Ч38.
4. Ikeda M. An inclusion princi ple for dynamic systems / M. Ikeda, D. D. Siljak, D. E. White //
IEEE Transactions. Ч 1984. Ч AC Ч 29. Ч P. 244Ч249.
ѕоступила 13.02.2012.
—ери¤ Ђ‘изико-математические наукиї
195
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа