close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К теории обтекания тел по схеме Кирхгофа.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
ЗАПИСКИ
Том XLI
ЦАГИ
2010
№5
УДК 532.5
К ТЕОРИИ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ПО СХЕМЕ КИРХГОФА
ВИК. В. СЫЧЕВ
Рассмотрено плоское установившееся обтекание тела идеальной жидкостью по схеме
Кирхгофа. Найдено значение постоянной интегрирования, которая входит в дальнюю асимптотику для формы свободных линий тока.
Ключевые слова: свободная линия тока, отрыв.
Рассмотрим плоское стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости около тела,
имеющего конечную относительную толщину и (или) установленного под конечным углом атаки
к однородному набегающему потоку.
Обозначим через lx, ly оси прямоугольной системы координат с началом внутри тела или
в передней критической точке, через u∞ u , u∞ v — соответствующие проекции вектора скорости,
где l — характерный размер тела и u∞ — абсолютная величина вектора скорости набегающего
потока, направленного вдоль оси x. Через cx , c y будем обозначать коэффициенты силы сопро-
тивления и подъемной силы, отнеся последние к ρu∞2 l 2, где ρ — плотность.
При обтекании тела по схеме Кирхгофа застойная зона, как известно [1], расширяется вниз
по потоку по параболическому закону, так что при x → ∞:
(
)
ys± = ± ax1 2 + b ln x + c ± + O x −1 2 ln x , a = ( 2cx π )
12
, b = −c y 4 π .
(1)
Функции ys+ ( x ) и ys− ( x ) определяют форму верхней и нижней свободных линий тока. Эта
асимптотика вместе с выражениями для a и b непосредственно следует из общего решения [2].
Представляет интерес найти выражения для постоянных интегрирования c + и c − .
Воспользуемся дальней асимптотикой [3] для z = z ( w ) при w → ∞:
(
)
z = w + iaw1 2 − b∗ ln w + d ∗ + O w−1 2 , b∗ =
a2
− ib,
8
(2)
где z = x + iy , w — комплексный потенциал течения по схеме Кирхгофа и d ∗ — комплексная постоянная, определяемая решением в целом
при задании значения w ( z ) в какой-либо точке. Из этой формулы находим разложение для комплексной скорости при z → ∞:
(
)
dw
a
a
= u − iv = 1 − i z −1 2 + b∗ z −1 + i b∗ z −3 2 ln z + O z −3 2 .
dz
2
4
(3)
Таким образом, зная поведение составляющих вектора скорости
вдали от тела, можно записать условие равенства нулю расхода через
СЫЧЕВ
Виктор Владимирович
доктор математических наук,
начальник сектора ЦАГИ
19
некоторый контрольный контур, в качестве которого удобно взять окружность достаточно большого радиуса. В результате, используя (1) и (3), находим, что
c + − c − = πa 2 4 = cx 2,
(4)
т. е. удается определить разность между постоянными интегрирования. В случае симметричного
обтекания c + = −c − и поэтому
c + = cx 4.
(5)
Следовательно, при cx = 0 согласно (1)−(5) застойная зона смыкается при x → ∞:
(
)
(
)
ys+ − ys− = O x −1 2 , а в симметричном случае ys± = ±O x −1 2 . Этот результат известен со времени появления работы [4], в которой было получено численное решение для кругового цилиндра,
в частности, впервые при cx = 0. (См. также [5, 6].) Вместе с тем, в некоторых последующих работах, например в [1] (с. 93), делались утверждения, что при cx = 0 застойная зона имеет конечную ширину при x → ∞.
Заметим также, что согласно асимптотической теории отрыва пограничного слоя от гладкой
поверхности [7] предельное решение по схеме Кирхгофа при больших числах Рейнольдса удовлетворяет условию Бриллюэна — Вилля (см. [1]) о конечности кривизны свободной линии тока
в точке схода. При этом для кругового цилиндра cx = 0.50 [8].
Работа выполнена при поддержке АВЦП РНПВШ2.1.1/200 и в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг. (ГК № 02.740.11.0203).
ЛИТЕРАТУРА
1. Б и р к г о ф Г., С а р а н т о н е л л о Э. Струи, следы и каверны. — М.: Мир, 1964,
467 с.
2. L e v i-C i v i t a T. Scie e leggi di resistenza // Rend. Circ. Matem. Palermo. 1907. T. 23,
рр. 1 — 37.
3. Г о л у б е в В. В. Лекции по теории крыла. — М.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1949,
480 с.
4. S c h m i e d e n C. Über die Eindeutigkeit der Lösungen in der Theorie der unstetigen
Strömungen // Ing. — Arch. 1932. Bd. 3, H. 4, S. 356 — 370.
5. S c h m i e d e n C. Über die Eindeutigkeit der Lösungen in der Theorie der unstetigen
Strömungen II // Ing. — Arch. 1934. Bd. 5, H. 5, S. 373 — 375.
6. S c h e i c h l B., K l u w i c k A., A l l e t t o M. «How turbulent» is the boundary layer
separating from a bluff body for arbitrarily large Reynolds numbers? // Acta Mech. 2008. V. 201,
N 1 — 4, рр. 131 — 151.
7. С ы ч е в В. В. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР, МЖГ. 1972. № 3, с. 47 — 59.
8. B r o d e t s k y S. Discontinuous fluid motion past circular and elliptic cylinders // Proc.
Roy. Soc. London, Ser. A. 1923. V. 102, N 718, рр. 542 — 553.
_________________
Рукопись поступила 11/II 2010 г.
20
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
260 Кб
Теги
обтекании, кирхгофа, тел, схема, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа