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Классификация Коши-Римана двумерного многообразия прямых в четырехмерном евклидовом пространстве.

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???????????? ?????
??? 514.76
????????????? ?????????? ?????????? ???????????? ??????
? ????????????? ?????????? ????????????
?.?. ?????????
??????? ??????????????? ???????????
Email: glazirina@mail2000.ru
? ????????????? ?????????? ???????????? ??????????????? ????????? ???????????? U1,2 ?????? l 14. ? ???? ????????????? ??
1
2
?????????? ??????? ????????????? ????????? ???????????? V 2,2
? V 2,2
?????????? L12 ? L22. ??????? ?? ???????????? ?????????
??????????? ????? ???????????????? ??????????? L12 ? L22?L12(? ?????? ???????? l 14?U1,2). ?????? ?? ???? ??????????? ??????
?????? ???????? ???? ???????????? ???????????? ??????? ? ????? ???????????? ??? ??????????????? ??????????? ??????
??. ??????????????? ??????, ????? ????????? ??????? ???????? ????????????????? ? ?????? ?????????? ??? ??????????
???? ? ????????? ??? ?? ???? ?????? ??????????????? ?????????? L12 ??? L22. ???????????? ????????????? ????????? ???????.
??????????? ? ???????????? ? ?????? ??????
????????????? ???????? ? [1].
??????????????? ????????????? ?????????
???????????? E4, ??????????
? ?????????? ???????
?
???????? ?????? R={A,e?j} (j,k,l=1,2,3,4) ? ????????
?????? ????????? ? ???????????? ???????????:
dA = ? j e j , de j = ? kj ek ,
D? j = ? k ? ? kj , D?kj = ?kl ? ?lj .
(1)
????? 1????? ?kj ????????????? ????????????
?kj + ? kj = 0,
(2)
??????? ? ?????? (1) ???????? ?? ??????? ???????
????????? ?????? R:
?1, k = j,
{ek , e j } = ?kj = ?
?0, k ? j,
?
?
????????? ?????
??? ???????? {a ,b } ????????????
?
??????? ???????? a? ? b ???????????? E .
4
? ???????????? E4 ??????????????? ?????????
??? U1,2 ? ????????? ???????????? ?????? l14. ? ???
1
?? ???????????? V 2,2
??????????? ???????????
??? ????? R ???, ?????
(3)
l14 = ( A, e4 ).
? ?????? ?????? ????? ???????? ???????????
?????????? ??????????? ?????? [1] ? ????????????
U1,2 ? ????????????? ?????????? ???????????? E4.
?? (3) ? ?????? (1, 2) ???????, ??? ?? ????????????
U1,2 ??????????? ???????????????? ?????????:
6
? 3 = A?3 ? ? , ?4f = A4f? ?? ? ? 4f = ? A4f? ?? ;
(dA?3 ? A?3??? + ??3 + ( A?3 A4?? ? A43? )? 4 ) ? ?? = 0,
? dA4f? ? A4f? ? ? + A4h? ?hf + ?
?
? ? ? ? = 0,
? + A f A3 ? ? + A f A ? ? 4 ?
4 ? 4?
? 4? ? 3
?
(4)
(? , ? , ? = 1, 2; f , h = 1, 2,3).
?? (1) ? ?????? (3) ????????, ??? ? ?????? ???
?????? l14 ???????????? U1,2 ????????????? 3??????
[e1 , e2 , e3 ],
(5)
?
????????????? ??????? e4 ? ????????????? ?????
?? ?????? l14.
?? d e4 = ?4f e f = A4f? ? ? e f ????????, ??? ????????
h
[ A41f e f ; A42
eh ]
(6)
?????????? ??????????? ????????? ? ??????????
?? ??????????? ??????? ?e4.
???????? ????? ??????????? ?????????????
?? ?????? R, ??? ???????
A43? = 0 ? ?43 = 0, B =
A114 A124
A214 A224
? 0,
(7)
??? ? ?????? (4) ? (1) ???????? ? ????????? ???
????????????? ??????????:
3
??3 = A??
? ? , ? 14 ? ?13 + ?42 ? ?23 = 0,
(8)
3
(dA??
? A??3 ??? ? A??3 ??? + A??3 A4?? ? 4 ) ? ?? = 0.
???????????? ?????
?? (8) ????????, ??? ??????????? ???????????
???? ?????? R, ?????????????? ?? ???????? (7),
?????????? ? ???????????? ? [2]. ????????????? ???
??????????? ??????????????? ???, ??? ??????
[e1 , e2 ]
(9)
?????????? ????????? (6). ??? ???? ?? ?????????
??? ??????????? ?????? B=0, ????? ???????? (6)
???????? ??????????????.
?? (5) ? (9) ???????, ??? 3?????? [e?1,e?2,e?3] ?????
????? ????????? [e?1,e?2], ? ?????? ?e 3 ??????????? ??
??????? [e?1,e?2]. ??????? ?????????
(10)
L22 = ( A, e3 , e4 )
?
???????? ????? ?????? l14=(A ,e?4) ??????????? ???
???? ?e 3.
???????? ?????????? ??????????? ???????
???????? ?????? R, ??? ??????? ? ?????? [1], (1.6),
? ????? (7) ? (8) ?????
1
A41
+ A422 = 0, B ? 0,
(11)
??? ???????? ? ?????? (1) ? ????????????:
? 4 = A?4? ? , (dA?4 ? A?4??? ) ? ? ? = 0.
?? (10) ? (11) ? ???????????? ? [2] ????????, ???
????????? ??????????? ??????????????? ?????? R
??????????.
??? ? ? [1], ??. [1] (5.2), ???????
? ????????? ??
?????? ?????? K234 ????????? L22=(A ,e?3,e?4):
?l
?l
K 234 ? L22 : ( A?1l1 A?l2 3 ? A?1l2 A?l21 ) x x +
?
l
??
?l
?
+ A x + 1 = 0, x = 0.
?????? ????????, ??? ?????? l14 ?????????? ??
34
????
? ? K2? ? ???? ?????? X? ? ???????????????
X ?=A +t?e 4, ??? t? ? ????? ??????????? ?????????:
1
1
1
( A41
A422 ? A42
A412 ) t 2 + ( A41
+ A422 ) t + 1 = 0.
?????? ???????, ??? ??? ???????? (11) ????? A
???????? ????????? ??????? X1X2 (??????? ???? l14).
??? ???? ?? ???????????? ??????????? ??????
B??(A141A141+A142A241)=0, ????? ????? X? ????????, ?
???????????? ? (7) ? (11), ?????????? ??????????
?? ?????? l14.
????????? 1. ??? ??? ????? A ? ????? ???? l14, ??
?????? ???????? ???????????????
L12 = ( A, e1 , e2 ) , L3 = ( A, e1 , e2 , e3 ) ? L12 ? L3 (12)
????????????? ??????????????? ???, ??? ??? ?????
??? ????? ????? A ??????????? ????????? (9), 3???
???? (5), ??????????????.
?? (10) ? (12) ???????, ??? ? ?????????????
U1,2 ?
?
????????? ????????????? ?????? l14=(A,e?4) ? E4 ????
1
???????? ??????? ????????????? ???????????? V 2,2
?
2
V 2,2, ? ??????? ???? ???? ? [1]. ??????? ? ?????????
??? U1,2 ????? ????????? ????????????? ??????
?
???? ???????????? V 2,2
, ? ??????? ??? ???? ? [1].
12r
?r
?a
, V 1,2
, V 1,2
, V 12a
???????????. ????????????? V 1,2
1,2
??????? ???????? ???????????? U1,2, ? ????????
?
?r
???????????? V 2,2
???????? ?????????????? V 2,2
,
12r
?a
, V 2,2
, V 12a
V 2,2
2,2 , ??????????????, ? ?????? ????????
1r
??? (4.4) ?? [1]. ???????????? V 2,2
, ? ???????? ?
?????? ???????? ????? F1? (??. [1], (4.1)). ?????????
? ?????? A, ?????????? ????????????? U1,212r.
.
???????. ???????????? U1,212r ?????????? ? ??????
?????? ? ?????????? ????? ??????? ???? ??????????.
??????????????. ???????? ??????????? ????
??????????? ?????? R ???? ([1], (6.3)), ??? ? ????
(7) ? (1) ???????? ? ???????????
?12 = A12? ? ? .
?? ([1], (4.1, 2.6, 3.1?3.3, 4.2)) ? (8) ? ?????? ??
????????? (4.4) ?? [1]
. ? ??????????? (1) ????????,
??? ???????????? U1,212r ???????????? ????????? ??
???????????:
A23 = A14 = 0, A13 = A24 ? 0, B23 = B41 = 0,
A113 = ? A223 = ? A114 = A224 = C ? 0,
(13)
C + A A ? 0, A + A + A + A = 0,
2
4
12
4
21
4
12
4
21
3
12
3
21
? ???? ??????? ?. ?????? ??????????? ?12=A21??a ??
???????????? U1,212r ??????????? ?????????????
??? ?????????:
? 3 = A13? 1 , ? 4 = A13? 2 , ? 43 = 0,
? 13 = C? 1 + A123 ? 2 , ? 23 = A213 ? 1 ? C? 2 ,
? 14 = ?C? 1 + A124 ? 2 , ? 24 = A214 ? 1 + C? 2 ,
(14)
? 12 = A112 ? 1 + A122 ? 2 .
??????? ????????????????? ??????? (13) ?
????????????? (1) ???????? ? ?????????????????
?????????
(15)
dA13 = A13? ? ?
? ? ???????????? ??????????:
dA3 ? ? 1 ? dC ? ? 2 = A 3 ?1 ? ? 2 ,
21
21
dC ? ? + dA ? ? = A123 ?1 ? ? 2 ,
? dC ? ? 1 + dA 4 ? ? 2 = A 4 ?1 ? ? 2 ,
1
3
12
2
12
12
dA214 ? ? 1 + dC ? ? 2 = A214 ?1 ? ? 2 ,
dA2 ? ? 1 + dA 2 ? ? 2 = A 2?1 ? ? 2 ,
11
где
12
(16)
1
A = ( A ? A ) + A A ? ( A13 ) 2 A123 ? ( A13 ) 2 ,
3
12
3
21
3
12
3 2
1 11
A113 = ( A214 ? A124 ) ? A13 A123 + ( A13 )2 C + ( A13 )2 A214 ,
A 3 = ? A3 ( A2 ? A3 A3 + A3C ) +
21
21
11
1
12
1
+C ( A + A C + A A ) ? A + CA122 ,
A 3 = C (?2 A2 ? A3 A3 + A3C ) ?
2
12
3
1
3
1
12
11
4
21
1
3
12
12
1
? A ( A + A C + A A ) + A122 A213 ,
A124 = C (2 A112 ? A13 A123 + A13C ) ?
3
12
2
12
3
1
3
1
4
21
? A124 ( A122 + A13C + A13 A214 ) + A122 A214 ,
A 4 = ? A4 ( A2 ? A3 A3 + A3C ) ?
21
21
11
1
12
1
?C (2 A + A C + A A ) + A112 A124 ,
A12 = ? A112 ( A112 ? A13 A123 + A13C ) ?
2
12
3
1
3
1
4
21
(17)
? A122 ( A122 + A13C + A13 A214 ) ? (2C 2 + A123 A213 + A124 A214 ).
7
???????? ???????? ???????????????? ????????????. 2004. ?. 307. ? 5
??????? ????????????????? ??. (15) ? ??????
(1) ? (14) ???????? ? ????????????? ?????????
3? 1 ? ? 2 ,
(18)
dA113 ? ? 1 + dA123 ? ? 2 = A
1
3 = ? A3 ( A 2 ? A3 A3 + A3C ) ?
A
1
11
11
1 12
1
???
? A123 ( A122 + A113 C + A13 A214 ).
(19)
H = A123 + A124 = ? A213 ? A214 ,
H = A 3 + A 4 = A3 (C + A4 ) ,
1
12
12
1
21
H2 = A (A + 2A ) +
2
11
2
12
4
12
(21)
+ A ( A + A ) (C ? A ) ? A .
3
1
3
12
4
12
3
12
H12 = ? H1 ( A112 ? A13 A123 + A13C ) +
???
+ H 2 ( A122 + A13C + A13 A214 ).
(22)
(23)
????? ???????, ??????? A13, C, A312, A321, A412, A421,
A11, A212, ????? ??????? ? ???? (13, 15, 17, 20 ? 21) ??
??? ???? ???????????, ????????????? ???? ??????
????? ???????????? ?????????? ? ???? ??????
????? ? (16) ? ???? (18) ? (22) ? ?????? (19) ? (23).
??????? ? ???? ?????.?.?. ????????? [3] ???????
??, ??? ???????????? U1,212r ?????????? ? ??????????
?? ? ?????????? ???? ??????? ?????? ?????????.
??????? ????????.
.
????????? 2. ????????? ???????????? U1,212r ??
1a
?r
?????? ??????? ??????? ???????????? U1,2
? U 1,2
, ??
??? ???????????? ??????????. ?????? ? ????????
????? ???????????? U1,212a ????? ????????? ???????
????????????.
2
?????? ???????????? ????????? (16) ? ?????? (17)
? (13) ???????? ? ????????????????? ?????????:
dH = H 1? 1 + H 2? 2 ,
(20)
???
dH1 ? ? 1 + dH 2 ? ? 2 = H 12? 1 ? ? 2 ,
3
12
??????? ????????????????? ??. (20) ? ??????
(1) ???????? ? ????????????? ?????????
?????? ??????????
1. ????????? ?.?. ????????????? ?????????? ?????????
???????????? ?????????????? ?????????? ? ?????????????
?????????? ???????????? // ???????? ???????? ????????????
???? ????????????. ? 2004. ? ?. 307. ? ? 4. ? ?. 10?14.
2. ??????? ?.?. ? ??????????? ?????????? ?????? ????????
???? ???????????? // Rev. math. pures et appl. (RNR). ? 1962. ?
? 2. ? P. 231?240.
3. ???????? ?.?. ????????? ? ?????? ?????????? ???????????? //
?????????????? ???????. ? 1940. ? 7(49). ? ? 2. ? ?. 321?326.
??? 530.12:531.51
???????? ??????? ???????????????? ????????
?.?. ???????
??????? ??????????????? ???????????
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?? ?????? ???????????? ????????? ????????????? ????? ? ?????????? ? ?????????? ????????? ? ???????? ???????? ???????
??? ?????? ???????? ???????? ???????. ????????, ??? ????????????? ???????? ???????? ???????? ????? ????? ? ? ?????? ??
????????????? ??????????????? ?????.
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?????? ?????????, ??? ??? ????? ?????????????
??????????????? ?????? ??????????? ??????????
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????? ??????????? ? ??? "??????? ???????", ??
?????? ?? ???????? ????? ??????????? gµ? ?? t. ???
???? ?????????, ??? ????, ?????????? ????????? (??
??????????), ?????????? ??????? ???????? ????
?????????????, ?????????? ? ????? ???????????
?????????, ???? ?????????? ????????? ???????
???????????????? ???????? ??????????? [1?6].
????????????? ???? ????????????? ????????
???????? ??? ??????? ????? ????????? ? ??????
????????. ???? ? ???, ??? ??? ??????? ???????? [7]
????????? ?????????? ??????? ????? ????? ??
??, ??? ??? ?? ????????? ??????????????????
???????? ???????, ??? ??????????????? ????????
8
?? ??????? ??????????????? ???????????????
???????? ????? ????? ????. ?????? ???????? ??
??? [8], ??? ???????????????? ?????????? ???
????? ????? ????. ????????? ????????, ??? ?????
?? ??????? ???????? ??????? ?? ? ????????? ??
??????, ? ???????? ???????? ????????????? ????
~ , ? ?????????? ???????????????
???? g µ?=?~µ?+?
µ?
???? ?µ? ?? ????????, ????????, ??????????,
?????????? ???? ?????????????? ???? ??????
??? ????????, ?.?. ?????? ??? ????? ???????? ???
?? ????? ??????? ???????????? ???????????????
?????. ????????? ?? ??????????????? ???? ?????
???? ??????????? ?????????? ???????????? ???
??????? ?????????? [9], ??????????? ?????????
?????? ??????????.
??? ??? ??? ??????????????? ????? ?+p=0, ??
?? ?????????
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