close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Классификация критических состояний неоднородного пластического слоя на основе исследования одного функционального уравнения.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
Dheyab Aws Nidhal, South-Ural State University, Chelyabinsk, the Russian Federation, Post-graduate
Student of the Applied Mathematics Department, e-mail: Aws.nth@gmail.com
УДК 517.958
КЛАССИФИКАЦИЯ КРИТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ НЕОДНОРОДНОГО
ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ НА ОСНОВЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОДНОГО
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
c
В.Л. Дильман, Д.А. Трунова
Ключевые слова: неоднородный пластический слой; напряженное состояние; гипотеза разделения переменных; системы нелинейных уравнений в частных производных;
функциональное уравнение.
Исследуется краевая задача для системы нелинейных уравнений в частных производных, моделирующая напряженное состояние неоднородного пластического слоя. Слой
находится под растягивающей нагрузкой в условиях плоской деформации. В предположении разделения переменных для касательных напряжений задача сведена к некоторым нелинейным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Сведение
основано на полученной в работе полной классификации решений некоторого чисто
функционального уравнения.
Рассматривается математическая модель напряженного состояния неоднородного пластического слоя. Пластически деформируемые слои возникают при нагружении сварных
соединений ( сварные швы, зоны термического влияния, диффузионные прослойки) и при
осадке заготовок жесткими матрицами. В работе предполагается что слой имеет прямоугольную форму, расположен между жесткими участками соединения и находится под сжимающей или растягивающей нагрузкой в условиях плоской деформации. Цель работы —
разработка вычислительной схемы нахождения напряженного состояния слоя в критический момент нагружения, а также получение в аналитической форме явных зависимостей
напряжений от координат для некоторых характерных частных случаев.
Расположим оси координат по осям симметрии слоя [−1; 1]×[−κ; κ] , здесь 0 < κ < 1 —
толщина слоя. Математическая модель содержит систему нелинейных уравнений «пластического равновесия» гиперболического типа [1–5]:
∂σy
∂τxy
∂σx ∂τxy
2
= 4Z 2 .
+
= 0,
+
= 0, (σx − σy )2 + 4τxy
∂x
∂y
∂y
∂x
Условие на свободной границе Γ в форме Сен-Венана:
Z
σx dy = 0.
(1)
(2)
Γ
Неоднородность слоя определим функцией
Z(x, y) = U (x)V (y),
(3)
дифференцируемой по каждой переменной.
1129
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
Методика, предложенная в [1], позволяет исследовать модели, когда функция неоднородности Z зависит от одной переменной. Предположение (3) существенно расширяет возможности математического моделирования критических состояний неоднородных твердых
тел.
Как и в [1–3], предположим выполнение гипотезы разделения переменных для касательных напряжений:
τxy (x, y) = X(x)Y (y),
(4)
а условие пластичности (последнее уравнение (1)) заменим на приближенное [2–5]:
|σx − σy | = 2Z − 2τ 2 Z −1 .
(5)
Следствием системы (1) в предположениях (3) – (5) является уравнение
2U ′ V ′ − (X 2 U −1 )′ (Y 2 V −1 )′ + X ′′ Y − Y ′′ X = 0.
(6)
Начальные условия имеют вид:
X(0) = 0, Y (0) = 0, U (0) = 1, V (0) = 1.
(7)
Следующая теорема позволяет свести задачу к решению некоторых систем обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Т е о р е м а 1. Пусть функции f (x), f0 (x) ≡ 1, f1 (x), .., fn , g(x), g0 (x) ≡ 1, g1 (x), .., gn
определены на множестве D, содержащем не менее n+1 элементов, и имеют значения в
R (n = 1, 2, ..) .Пусть среди функций f0 , f1 , ..., fn (g0 , ..., gn ) имеется ровно rf (rq ) линейно
независимых, и для любых x, y ∈ D имеет место равенство:
n
X
f (x) + g(y) +
fi (x)gi (y) = 0.
(8)
i=1
Тогда rf + rg 6 n + 2 .
С л е д с т в и е. При n = 2 реализуются следующие случаи:
1 случай. Пусть функции f0 (x) ≡ 1, f1 (x), f2 (x) линейно независимы.Тогда g, g1 , g2 постоянны и f (x) = −g − g1 f1 (x) − g2 f2 (x)
2 случай получается из первого заменой переменных f, f0 , f1 , f2 на g, g0 , g1 , g2 ,
3 случай. Функции f1 , f2 , g1 , g2 при некоторых постоянных α, α1 , α2 , β, β1 , β2 связаны соотношениями:
α1 f1 (x) + α2 f2 (x) + α = 0, β1 g1 (y) + β2 g2 (y) + β = 0
Условие независимости функций f0 , f1 , f2 в случае 1 является достаточным для постоянства g, g1 , g2 , но не необходимым. В частности, уравнение (8) может удовлетворяться,
когда все входящие в него функции постоянны.
Положим, используя обозначения из (6) и (8),
f (x) = U ′ X −1 , g(y) = 2V ′ Y −1 , f1 (x) = −(1X −1 )(X 2 U −1 ),
g1 (y) = (1y −1 )(Y 2 V −1 ), f2 (x) = (X ′ X −1 ), g2 (y) = −Y ”Y −1 .
Тогда каждый из перечисленных трех случаев следствия приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрим случай, когда все 6
величин g, g1 , g2 , f, f1 , f2 постоянны. Тогда имеет место система уравнений с независимой
переменной y :
V ′ Y −1 = g, (1Y −1 )(Y 2 V −1 )′ = g1 , Y ′′ Y −1 = g2 ,
(9)
1130
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
и аналогичная система с переменной x . Решение системы (9) при начальных условиях (7)
распадается на три случая, в зависимости от знака постоянной g2 . Предположим, g2 =
−a2 , a 6= 0. Тогда из (9) следует уравнение
Y ′′ + a2 Y = 0.
Решением этого уравнения при условии (7) является функция
Y = C1 sin(ay),
где C1 – произвольная постоянная. Нетрудно показать, используя остальные уравнения
системы (9), что
p
√
√
√
a = −gg1 , V = 0.5(1 + cos −gg1 y), Y = 0.5 −g1 g −1 sin gg1 y).
При условии g2 = a2 , a 6= 0 получим аналогично
p
√
√
V = 0.5(1 + ch( gg1 y)), Y = 0.5 g1 g −1 sh( gg1 y).
Таким же образом получаются аналогичные выражения для зависящих от x функций
второй системы уравнений. В зависимости от возрастания или убывания функций U, V
получаются четыре варианта решения уравнения (6). Например, если функции U (x), V (y)
убывающие, то
p
√
Z(x, y) = U (x)V (y) = 0.25(1 + cos −gg1 y)(1 + cos −f f1 x).
Используя уравнения равновесия и условие пластичности (1), получим аналитические
выражения для вычисления нормальных напряжений:
Z x
σx = −
acsin(bx)cos(cy)dx + S1 (y) =
0
= acb−1 cos(cy)(cos(bx) − 1) + (abc−1 − 1)cos(cy) − 1 − abc−1 + C,
σy = −
Z
y
abcos(bx)sin(cy)dy + S2 (x) =
0
abc−1 cos(bx)(cos(cy) − 1) + (acb−1 + 1)cos(bx) − 1 − acb−1 + C,
где
p
p
√
a = 0.25 g1 f1 (gf )−1 , b = −f f1 , c = −gg1 .
Константа C находится из условия Сен-Венана (2). Окончательно, среднеинтегральное
знаR1
чение критического напряжения на контактной поверхности σy cp = 0 σy (x, κ) dx можно
вычислить по формуле:
σy cp = (acb−1 + 1 + abc−1 (cos(cy) − 1))sinb + abc−1 −
−acb−1 − (ab−1 (cosb − 1) + (ab − c)c2 )sin(cκ)(κ)−1 .
Таким образом,для различных функций неоднородности можно получать аналитические
выражения для вычисления предельной нагрузки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дильман В.Л., Ерошкина Т.В. Математическое моделирование критических состояний мягких прослоек в неоднородных соединениях. Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2011. 276 с.
1131
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
2. Дильман В.Л., Остсемин А.А. Напряженное состояние и статическая прочность пластичной прослойки при плоской деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2005. № 4. С. 38-48.
3. Дильман В.Л. О напряженно-деформированном состоянии при растяжении пластического слоя с
двумя осями симметрии // Изв. РАН. МTT. 2001. № 6. С. 115-124.
4. Дильман В.Л., Носачева А.И. Математическое моделирование критических состояний пластического
слоя // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18.
Вып. 5. С. 2502-2504.
5. Дильман В.Л. Напряженное состояние и прочность неоднородной пластической полосы с дефектом
в более прочной части // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 89-102.
Поступила в редакцию 25 мая 2015 г.
Dilman V.L., Trunova D.A. CLASSIFICATION OF CRITICAL STATES OF HETEROGENEOUS
PLASTIC LAYER BASED ON THE STUDY OF A FUNCTIONAL EQUATION
The boundary value problem for a system of nonlinear partial differential equations modeling the
stress state of the heterogeneous plastic layer is studied. The layer is under a tensile load in a plane
strain conditions. Assuming the separation of variables for the tangential stress, the problem is reduced
to a system of nonlinear ordinary differential equations. The reduction is based on the obtained in the
research complete classification of solutions to some purely functional equation.
Key words: heterogeneous plastic layer; stress state; the hypothesis of separation of variables; the
system of nonlinear partial differential equations; functional equation.
Дильман Валерий Лейзерович, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск,
Российская Федерация, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой прикладной математики, e-mail: dilman49@mail.ru
Dilman Valery Lazerovich, South-Ural State University, Chelyabinsk, the Russian Federation, Doctor
of Physics and Mathematics, Associate Professor, the Head of the Applied Mathematics Department,
e-mail: dilman49@mail.ru
Трунова Дарья Анатольевна, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск,
Российская Федерация, магистрант кафедры прикладной математики, e-mail: prima@prima.susu.ru
Trunova Daria Anatolevna, South-Ural State University, Chelyabinsk, the Russian Federation, Master’s degree Student of the Applied Mathematics Department, e-mail: prima@prima.susu.ru
УДК 517.929
О НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С
ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
c
Ю.Ф. Долгий, П.Г. Сурков
Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения с запаздыванием; некорректные задачи.
Для неавтономной нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием рассматривается некорректная задача Коши на отрицательной полуоси. Для ее
решения используется метод регуляризации А.Н. Тихонова со стабилизирующим функционалом, применяемым в случае отсутствия априорной информации о гладкости решений системы с запаздыванием. Получена сингулярная краевая задача, одна из компонент решения которой определяет регуляризованное решение системы с запаздыванием
на конечном отрезке отрицательной полуоси.
1132
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа