close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Комбинация крыла с фюзеляжем обладающая минимальным сопротивлением при сверхзвуковых скоростях.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
То,м
1
УДК
629.735.33.015.3: 533.695.12
ЗАПИСКИ ЦАГИ
оМl
1970
КОМБИНАЦИЯ
МИНИМАЛЬНЫМ
ОБЛАДАЮЩАЯ
КРЫЛА С ФЮЗЕЛЯЖЕМ,
СОПРОТИВЛЕНИЕМ
СВЕРХЗВУКОВЫХ
ПРИ
СКОРОСТЯХ
Ю. Л. Жилин
Рассматривается вариационная задача о комбинации крыла с фюзе­
ляжем, обладающей минимальным сопротивлением при заданных подъем­
ной силе, продольном моменте и объеме. Предполагается, что толщина
крыла обращается в нуль на заданных сверхзвуковых передних и задних
кромках. В случае тонкого фюзеляжа вариационная задача решается ме­
тодом последовательных приближений. В первых двух приближениях эта
задача
сводится
к некоторым
вариационным
задачам
для
изолированного
крыла. При этом поверхность фюзеляжа в области сопряжения с крылом
строится
по
линиям
тока
около
изолированного
крыла
минимального
со­
противления. Третье приближение отличается от второго дополнительной
деформацией поверхности фюзеляжа.
1. Рассмотрим обтекание комбинации крыла со сверхзвуковыми кромками и фю­
зеляжа, расположенного для определенности в схеме «низкоплан». Через переднюю
и заднюю кромки крыла (включая его подфюзеляжную часть) проведем переднюю
S, и заднюю S2 характеристические поверхности. Нас будет интересовать только
часть комбинации, расположенная в образованном этими поверхностями объеме F
(т_ е. продолжением фюзеляжа вверх по потоку является цилиндр, параллельный век­
тору скорости набегающего потока).
Будем считать, что поверхность комбинации а' близка к некоторой цилиндри­
ческой поверхности а, образующая которой параллельна вектору скорости набегаю­
щего потока. Уравнение поверхности а' запишем в виде
=
Здесь Ф (У, z)
О - уравнение поверхности О; xyz - декартова система ко­
ординат (фиг. 1); ось х направлена вдоль вектора скорости набегающего потока;
g(x, У, z) - расстояние по внешней нормали между поверхностями а' и а.
Поверхность G состоит из цилиндра, проходящего через некоторое заданное
сечение фюзеляжа, и части плоскости У
О, ограниченной кромками крыла. Пред­
=
полагается, что функция g (х, У, z) и производные от нее являются малыми величи­
нами и при выводе основных соотношений оставляются только члены первого по­
рядка малости. При этом предположении задачу обтекания и вариационную_эадачу
можно сформулировать на поверхности а. Косинусы углов между вектором
ней нормали к
COS
n'z =
COS
а'
nz, где
и
осями
координат
равны
n- внешняя нормаль к
cos n'х
=
-gx,
COS
n'у
=
n'
внеш­
COS
nу,
а.
Условие непротекания поверхиости а' можно представить в виде
д'f
дn
= gx
на поверхности
(1.1)
S,
где fP - потенциал возмущенной скорости, отнесенный к скорости набегающег()
потока; S - часть поверхности О, ограниченная проекцией О' на О по нормаJlИ
n.
Избыточное даВJlение р, отнесенное к скоростному напору
р
134
=-
2 'РХ'
q,
равно
(1.2)
с учетом малых первого порядка создаваемые избыточным давлением
противление Х, подъемная сила У и продольный момент М равны
со­
(1.3)
у= - q
Jf р cos nу dS,
s
М = - q f f ;ер cos nу dS,
где
положительным
(1.4)
s
s
считается
момент
на
Фиг.
пикирование.
1
Введем поверхностную координату '1:, отсчитываемую в плоскости x=const
110 касательной к поверхности О. Тогда любой интеграл по S можно представить
в
виде
х.
f
ffdS=фd'С fdx,
f
s
х,
=
г де f - произвольная функция; Х=ХI ('1:) И Х
Х2 ('С) -"соответственно уравнения
передней и задней .кромок" поверхности S.
При постановке вариационной задачи наложим на поверхность О' некото­
рые дополнительные геометрические условия. Потребуем, чтобы толщина кры­
ла обращалась в нуль на части передних и задних кромок крыла, выступающих
из фюзеляжа. Это условие для каждого сечения крыла z=const можно предста­
вить
в
виде
х.
f<gi
где индексы
.+"
+ g;) dx= О
при
R< I z I<R),
(1.5)
х,
и
.-"
относятся соответственно к верхней и нижней
поверх­
ностям крыла; 2R и 2R) - ширина фюзеляжа и размах крыла.
Потребуем также, чтобы полный объем, ограниченный поверхностью
был заданной величиной. Это условие эквивалентно заданию объема
О',
v= f f gdS,
s
заключенного между поверхностями
уравнение,
запишем
его
О' и О.
Интегрируя
по
частям
последнее
в виде
v -ф(хg '.=х.
- xglx=x)d'C =-SSХgхdS.
(1.6)
s
Буде м также считать заданным интеграл
I1Y
= -ч
SSт ('I:)p cosny dS,
(1.7)
s
где т
('1:) -
некоторая заданная функция.
135
Величина д у равна подъемной силе, вычисленной с весовой функцией 1'{'1:),
действующей на всю поверхность О' или на часть ее. В дальнейшем условие
(1.7) является вспомогательным.
Сформулируем вариационную задачу: при заданной поверхности S требуется
найти такую функцию g, чтобы сопротивление (1.3) достигало минимального
значения при выполнении условия (1.5) и заданных значениях левых частей
уравнений (1.4), (1.6) " (1.7). Так как условие непротекания (1.1) не нарушается
при прибавлении к функции g произвольной функции от 1:, можно считать, что
поверхность фюзеляжа проходит через некоторое заданное сечение. Для полу­
чения необходимого условия минимума составим функционал
ф=
ff
[pgx
+(А 1 +А 2 Х +А б 1')р cos nу + 2Аз (1:)gx + 2А 4 .xgx]
dS,
s
где Ai - постоянные и переменный множители
ловиям (1.4) - (1.7).
Первая вариация от Ф равна
8Ф = Н [р + 2Аз (1:) +2л 4 ] ogx dS
s
Лагранжа,
соответствующие ус­
+ 55 [gx+(Al +А2 Х + Лб 1') cosny] &pdS.
s
где вариация давления 8р возникает вследствие вариации '6g x формы поверх­
ности О'.
Для нахождения интегральной связи между '6р и 8g x воспользуемся теоре­
мой обратимости, которую представим в виде
f fPl
a2
dS
= Jfp2 a ! dS,
s
s
где аl и Рl - угол наклона элемента поверхности 01 к вектору скорости и давле­
ние в прямом потоке; аз и Р2- те же величины при обтекании поверхности 02
обратным
потоком.
Полагая
(1.8)
имеем
8Ф =
f f [Р-Р2 + 2лз (1:) +2А4 Х]
8gx dS.
s
Отсюда следует, что необходимым условием достижения
тивления является выполнение на поверхности S условия
минимума
сопро­
(1.9)
Это условие обобщает результаты работы [1]. Так как р и p~ зависят от g
через (1.1), (1.8) и решение волнового уравнения, то условие (1.\:1) нужно рас­
сматривать как некоторое уравнение для функции g при решении вариацион­
ной задачи прямым методом. Сложность этого метода заключается в том, что
вариационная задача решается совместно с задачей обтекания. Перейдем от
прямого метода к обратному [2] - [5]. Для этого введем потенциал !Р2 обтека­
ния поверхности 02 (18) обратным потоком и потенциал комбинированного
потока 'fK =!р
'f2' Тогда из уравнений (1.1), (1.2), (1.8) и (1.9) следует, что на
поверхности S
+
д'fк = _ (А 1 + А 2 Х + Лs 1') COS nу и
дn
Заметим, что в уравнения
(1.10)
д'fк
=
дх
не входит функция
Ав (1:) + Л 4 Х.
g.
(1.10)
Дифференцируя по х,
сведем их к следующей задаче Коши:
д
7iii' tpK хх = О,
'Рк хх
= 1.4
на S.
.
В области F, ограниченной передней и задней характеристическими поверх­
ностями и поверхностью S, решением задачи Коши являеТСЯ'fкхх=Л4' Дважды
интегрируя по х, представим
'Рк
136
=-
ЛtУ -
решение в виде
л 2 ху
.
х
+ А 4 2""
+Xf-L (y,Z)T'I (у, z).
2
I
(1.11)
Из волнового уравнения следует,
должны удовлетворять уравнениям
что
внутри
области
D
функции
l'
и
~
(1.12)
где I:J. -
оператор Лапласа, ~
котангенс угла Маха.
-
Область D (фиг. 2) ограничена контуром 11' который является проекцией
на плоскость х
О линии 1 пересечения передней и задней характеристических
поверхностей, и контуром 12 - проекцией поверхностей S на ту же плоскость.
Согласно (1.10), на контуре 12 должны выполняться граничные условия
=
д/J- = О и ~ = - Ль 1 ('t) cos nу.
дn
(1.13)
дn
Потенциал ерк обращается в нуль на линии 1. Поэтому уравнения (1.11)-(1.13)
определяют ерк с точностью до функции 11(/1). Эта функция должна быть выбрана
так, чтобы выполнялось условие (1.5).
Если известен потенциал ерк, удовлетворяющий уравнениям (1.11)-(1.13), то
для
нахождения поверхности тела
!I
мини­
мального сопротивления необходимо ре­
шить задачу Гурса для потенциала ер
в объеме Р. Это связано с тем, что на
задней характеристической поверхности
потенциал ерк равен ер. При этом любое
решение уравнений (1.11)-(1.13) [т. е.
при любой функции 11 (/1)] является ре­
шением вариационной задачи, в кото­
ром
вместо
дополнительного
z
условия
толщина крыла равна нулю на
одной
из кромок и равна
заданной
функции на другой.
2. При постановке вариационной
задачи для комбинации крыла с фюзе­
ляжем опустим условие (1.7), т. е. по­
ложим 1..5 = О. Покажем, что эту зада­
чу в случае тонкого фюзеляжа можно
приближенно свести к двум вариацион­
(1.5)
ным
задачам
для
изолированного
Фиг.
2
кры-
ла той же формы в плане.
Предположим, что решена вариационная задача (назовем ее задачей N2 1) для
изолированного крыла при дополнительных условиях (1.4)-(1.6) при 1..5=0. Обозна­
чим соответствующие этой задаче функции 11 и " через 111 и "1 (ниже индексы «1:. и
«2» при функциях 11, " и ерк относятся К задачам N2 1 и 2). Функции 111 И "1 удовлет­
воряют уравнениям (1.12) в области D
фюзеляж и граничным условиям (1.13) uри
1..5 = О на всей поверхности крыла, включая его подфюзеляжную часть 1". Представим
функции ерк, 11 и " в виде ерк =
Тогда в области D функции
+
ерl к + х 11' + ,,',
11 = 111
+ 11',
,,= "1
+ ,,'о
и ,,' удовлетворяют уравнению Лапласа и сле­
дующим граничным условиям на контуре 12:
11'
д/J-' = __
д'l' =0
__
дn
д/J-'
дn
=-
дf'l
дn
д'l'
и
на крыле;
дn
дn = -
a'll на фюзеляже (на 1з ).
дn
)
( 2.1)
Вычислим расход жидкости, течение которой в области D описыВ'ается потен­
циалами f.t' и ,,', через контур 1з. Применяя теорему Гаусса-Остроградского и ис-
пользуя
(1.12), (1.13)
и
(2.1),
f1. д~
д
где (1 -
'
d't
площадь поперечного
получим
.
=О И
f1. дn d't = Q = -
д'l'
сечения
фюзеляжа.
Л4 ~2 ~,
(2.2)
137
Отсюда видно, что течение от потенциала
f.t'
*
аналогично течению от мультипо­
лей, а от потенциала v' - течению от источника, если
задан
объем
комбинации
(л,
О). Это обстоятельство определяет разный порядок функций f.t' и v' в случае
1..4 =1= О.
В первом приближении функции f.t' и v' можно считать тождественно равными
нулю в области D, что эквивалентно построению поверхности фюзеляжа по линиям
тока
около
изолированного крыла
минимального
сопротивления,
полученного
=
из
реше­
ния задачи N2 1. Оценим точность этого приближения при f.t' ([1)
О, предполагая,
что поперечные размеры фюзеляжа имеют порядок R. Из уравнений (1.12) и гранич­
ных условий (1.13) (1..5
О) следует, что вблизи начала координат функции f.t1 и V1
разлагаются в ряд Тейлора, в котором из-за симметрии области D относительно оси у
отсутствуют линейные члены по у и Z. Поэтому правые части уравнений (2.1) имеют
порядок 1..R, где л
порядок Л/ (т. е. порядок постоянных множителей Лагранжа
л,1, л,2 и л,4). При A4 О функция v' имеет порядок л R2 ln R вблизи фюзеляжа и л R2
вдали от него (предполагается, что поперечные размеры области D порядка едини­
=
-
цы).
Члены такого
F
же
порядка
отброшены
в
потенциале
<рк.
При
=
этом
В
величине
сопротивления отбрасываются члены порядка 1..2 R2. В случае 1..4
О (вариационнаsr
задача без задания объема) функции f.t' и v' имеют порядок л R2 вблизи фюзе.JIяжа
и л
вдали от него, а в величине сопротивления отбрасываются члены поряд­
ка
R'
1..2 RЗ.
Для получения более точного решения при
F
1.4
О необходима дополнительнаsr
деформация поверхности крыла и фюзеляжа, что связано с интерференцией источни­
ков, расположенных на фюзеляже и крыле в случае
Q -=1= О.
Сформулируем вариационную задачу N2 2 для изолированного крыла: требуетсsr
найти поверхность крыла заданной формы в плане, обладающего минимальным со­
противлением при выполнении условий (1.5) и (1.7). Функцию у(т) в условии (1.7)
положим равной нулю всюду за исключением верхней подфюзеляжной части крыла
при y=(}t-). в этом случае, согласно (1.11)-(1.13),
1,(-R<.z<.R
<Р2К
г де функции
fJo2
и
'12
=
XIL2(Y, z) + '12 (у, z),
удовлетворяют уравнению Лапласа в области
и граничным условиям
112 n =
О на всем
остальной части крыла.
Постоянную 1.5 выберем из условия
крыле,
'12 n = 1.5 Т (z) на
D + фюзеляж
1, и '12 n = О на
R
Л5SТ(Z)dZ=-Q.
(2.3)
-R
= fJ.l + fJo2 +
Положив fJ.
fJo~. '1
доля гармонических в области
ничные
D
= '11 +
'12 + VS. <рк
функций
fJ.S
и
'1з
= <Р1К +
имеем
<Р2К
на
+ <Рвк,
12
<f'з К
= XfJ.s +
следующие
I
условия:
: : ='
дfJ.з
дn
д
=-
дn (fJ.l
дV a
+ 112),
дn
~~
=
f
д
=-
При данном выборе постоянной
дfJ.з
--""дn d't
О на крыле;
дn ('11
+ '12) на
(2.4)
фюзеляже (на /3)'
1.5 из (2.2) и (2.3)
д'lя
= S--:iii:"
d't =
/.
'1з,
гра­
О,
/3
т. е. течение от потенциалов f.tз и vз аналогично течению от мулыиполеЙ. Во втором
приближенин (f.tз
vз
О) поверхность фюзеляжа строится по линиям тока ОКО.10
изолированного крыла, полученного из решения задач N2 1 и 2. Так как правые ча­
сти уравнений (2.4) имеют порядок л
то точность этого приближения такая же,
как и в первом приближении в случае Л!.
О. Третье приближение можно получить
из второго при помощи дополнительной деформации поверхности фюзеляжа, что со­
ответствует размещению на нем дополнительных мулыиполеЙ. Краевая задача (2.4)
=
=
R,
=
решается при нулевых значениях функций f.tз и vз на контуре l2. Далее решается
задача Гурса для потенциала <рз, равного <рз 1< на задней характеристической поверх­
ности
и
равного
представить
в
нулю
на
передней.
Приближенное
виде
(j>з =X(fJoS+
где Ь
138
-
корневая хорда крыла.
+
решение
vз) + О (лR3),
задачи
Гурса
можно
(2.5)
Из уравнений (2.4) видно, что это цриближенное решение не при водит к Д,о­
полнительной деформации поверхности крыла по сравнению со вторым приближением.
При этом для нахождения дополнительной деформации фюзеляжа нет необходимости
решать краевую задачу для функций J.tз и '\Iз: правые части уравнений (2.4) можно
определить из решения задач N~ 1 и 2. В третьем приближении в потенциа,'!е <рк не
учитываются члены порядка л, RЗ вблизи фюзеляжа, а в сопротивлении отбрасыва­
ются члены порядка л,2
3. Выше было показано, что в первых двух приближениях вариационная задача
для комбинации крыла с тонким фюзеляжем сводится к некоторым вариационным за­
дачам для изолированного крыла. В том случае, когда объем комбинации не задан,
поверхность оптимального фюзеляжа строится по линиям тока около изолированного
R'.
крыла, обладающего 'минимальным сопротивлением при заданной подъемной силе и
продольном
моменте.
В· том случае, когда задан объем комбинации, для получения ДOCTaTO'IНO глу­
бокого минимума необходимо решить задачу N2 2. Здесь результаты настоящей рабо­
ты обобщают и уточняют известное правило площадей. Если площади (J над и под
крылом различны, то задача N~ 2 сводится к решению соответствующих вариационных
задач для симметричного и антисимметричного обтекания изолированного ·крыла, т. е.
срединная поверхность крыла дополнительно деформируется по сравнению с крылом,
обладающим минимальным сопротивлением при заданной подъемной силе и моменте
В этом смысле имеет место интерференция между объемом комбинации и подъемной
силой. При одинаковой площади (J задача N2 2 сводится к вариационной задаче для
симметричного
изолированного
крыла,
и
срединная
поверхность
крыла
дополнительно
не деформируется.
***
ЛИТЕРАТУРА
1. J о n е 5 R. The minimum drag о! thin wings frictionless flow,
JAS, vol. 18, N2 2, 1951.
2. Н и к о л ь с к и й А. А. О телах вращения с протоком, обладающих
минимальным внешним сопротивлением в сверхзвуковом потоке. Сборник
теоретических работ по аэродинамике. Оборонгиз, 1957.
3. К о г а н М. Н. О телах минимального сопротивления в сверхзвуко­
вом потоке газа. ПММ, т. XXI, вып. 2, 1957.
4. Ж и л и н Ю. Л. Крылья минимального сопротивления. ПММ,
т. XXI, вып. 2, 1957.
5. Ж и г у л е в В. Н., Ж и л и н Ю. Л. О телах минимального волно­
вого сопротивления. ПММ, т. XXIII, вып. 6, 1959.
Рукоnись nостуnuла
4/lV 1969
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
277 Кб
Теги
сверхзвуковое, крыла, сопротивления, обладающей, минимальное, фюзеляжем, комбинации, скоростям
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа