close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Комбинированная задача с условиями Трикоми и Франкля для уравнения Геллерстедта с сингулярным коэффициентом.

код для вставкиСкачать
???????? ?????. ??????????
2013, ? 7, c. 16?30
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
??????????? ???????? ?.
??????????????? ?????? ? ????????? ???????
? ??????? ??? ????????? ????????????
? ??????????? ?????????????
?????????. ??? ??????????? ????????? ??????? ? ??????????? ?????????????, ? ????????? ??????? ????????? ??????, ??? ????? ????????? ?????????????? ??????????? ?? ????????
???????, ? ??? ??????????? ??????? ??????? ???????????? ???????? ??????????? ????????
??????? ?? ??????? ????? ??????????. ???????? ???????????? ???????????????? ??????.
???????? ?????: ??????? ??????????, ?????????????? ???????, ??????????? ????????????
????????? ???????, ????????????? ??????????? ??????? ???????, ????????? ????????????,
??????, ?????.
???: 517.956
1. ?????????? ?????? T F
?????????? ?????????
(sign y)|y|m uxx + uyy +
?0
uy = 0,
y
(1)
??? ?(m/2) ? ?0 < 1 ? ???????? ??????????? ??????? D ??????????? ????????? z = x + iy,
???????????? ??? y > 0 ?????????? ?????? ?0 : x2 +4(m+2)?2 y m+2 = 1 ? ??????? ? ?????x
A = A(?1, 0), B = B(1, 0), ? ??? y < 0 ? ???????????????? AC ? BC ????????? (1).
? ?????? ??????? ?? ???? ?????? ?????????????? AC ???????? ???????? ??????? ???????: u(x, y)|AC = ?(x). ? ?????? ?????? ??????????? ???????????? ??????, ??? ????? ?????????????? AC ??????????? ?? ???????? ???????, ? ??? ??????????? ??????? ???????
???????????? ???????? ??????????? ???????? ??????? [1], [2] ?? ?????? ?????? ????? ??????? ????? ??????? ?????????? AB. ????????? ????? D + ? D? ????? ??????? D, ???????
??????????????, ? ?????????????? y > 0 ? y < 0, ? ????? C0 ? C1 ? ????? ?????????????? ??????????? ????????????? AC ? BC ? ??????????????? ????????? ?? ????? E(c, 0),
??? c ? I = (?1, 1) ? ???????? ??? y = 0. ????? p(x) = ? ? kx, ??? k = (1 ? c)/(1 + c),
? = 2c/(1 + c), ???????? ????????????? ?? ????????? ????? ??????? [?1, c] ? ?????????
????? ??????? [c, 1], ?????? p(?1) = 1, p(c) = c.
?????? T F (???????????????). ? ??????? D ????????? ????? ??????? u(x, y), ??????????????? ????????? ????????:
+
?
1. u(x, y) ?????????? ? ?????? ?? ????????? ???????? D ? D ,
????????? 13.04.2012
?????? ????????? ? ?????? ??????????????? ????????? ??????????????? ??????-???????????
???????????? ?????????? ?????????? (?-4-32).
16
??????????????? ?????? ? ????????? ??????? ? ???????
17
2. u(x, y) ? C 2 (D+ ) ? ????????????? ????????? (1) ? ???? ???????,
3. u(x, y) ???????? ?????????? ???????? ?????? R1 [2]?[4] ? ??????? D ? ,
4. ?? ??????? AB ? ????? ??????????????? ?????????? ????????? (1), ???????????
????? ??????? ?????????? [5], [6]
u(x, ?0) = a(x)u(x, +0) + a0 (x), x ? I,
?u
?u
lim (?y)?0
= b(x) lim y ?0
+ b0 (x), ? I \ {c},
y??0
y?+0
?y
?y
(2)
(3)
??? a(x), b(x), a0 (x), b0 (x) ? ???????? ??????????-???????????????? ??????? ?? I, ?????? a(x) = 0, b(x) = 0 ?x ? I, a(?1) = 0, ? ??????? (3) ??? x = � x = c ????? ?????
??????????? ??????? ???? 1 ? 2?, ??? ? = (m + 2?0 )/(2(m + 2)),
5. ??????????? ???????
u(x, y)|?0 = ?(x), x ? [?1, 1],
(4)
u(x, y)|AC0 = ?(x), x ? [?1, (c ? 1)/2],
(5)
u(p(x), ?0) = �(x)u(x, +0) + f (x), x ? [?1, c],
(6)
??? �(x), f (x) ? C[?1, c] ? C 1,? (?1, c), f (?1) = 0, f (c) = 0, ?(x) ? C 2 [?1, (c ? 1)/2],
?(?1) = 0, ?(x) ? C 0,? [?1, 1], ??????
?(x)
? C 0,?0 [?1, 1], ?0 ? (0, 1).
?(x) = (1 ? x2 )?(x),
(7)
???????, ??? ?????? ? ?????? ????????? ?????????? ?? ?????????? ????? ??????? ????
??????????? ? ?????? [5], ? ????? ???????? ? [6].
??????? (6) ???????? ???????? ??????? ??????? [1], [2], ??????????? ???????? ???????
??????? ?????????????? ?? ??????? ? ?????? ????? ???????? ????? ???????? [?1, c] ? [c, 1].
?????? ???????????
?u
= ? ? (x), x ? I,
y??0
?y
?u
= ?(x), x ? I.
u(x, +0) = ? (x), x ? I; lim y ?0
y?+0
?y
u(x, ?0) = ? ? (x), x ? I;
lim (?y)?0
(8)
(9)
? ???? (8), (9) ??????? ?????????? ???????? ??????? (6) ?????? ???
? (p(x)) = �(x)? (x) + f1 (x), x ? [?1, c],
(10)
??? �(x) = �(x)/a(p(x)), f1 (x) = (f (x) ? a0 (p(x)))/a(p(x)), ? ????? ??????? ??????????
??????? ? ????
? ? (x) = a(x)? (x) + a0 (x), x ? I,
?
? (x) = b(x)?(x) + b0 (x), x ? I.
(11)
(12)
2. ???????????? ?????? T F ? ?????? ?(m/2) < ?0 < 1
2.1. ?????????????? ??????? ?????? T F . ? ???? ??????? ????? ([2], c. 34), ??????
? ??????? D ? ??????? ?????????????? ?????? ???? ? ?????????? ??????? (8), ????????
???????? ?????????
1?2? ?
? (x) + ?(x), x ? (?1, c),
? ? (x) = ?D?1,x
(13)
18
??????????? ???????? ?.
???
?(x) = ??
?(?)
1??
(1 + x)? D?1,x
?((1 ? x)/2), x ? (?1, c),
?(2?)
2?(2?)?(1 ? ?) m + 2 2?
.
?=
?(?)?(1 ? 2?)
4
? ???? ??????? ?????????? (11) ? (12) ??????????? (13) ??????? ? ????
1?2?
a(x)? (x) + ?1 (x), x ? (?1, c),
b(x)?(x) = ?D?1,x
(14)
1?2?
a0 (x) ? b0 (x), x ? (?1, c).
??? ?1 (x) = ?(x) + ?D?1,x
????????? (14) ???????? ?????? ?????????????? ???????????? ????? ????????????
????????? ? (x) ? ?(x), ??????????? ?? ???????? (?1, c) ?? ??????? D ? .
??????? 2.1. ??????? ?????? T F ??? ?(x) ? 0, f (x) ? 0, a0 (x) ? b0 (x) ? 0 ?
a (x) ? 0, a(x) > 0, b(x) > 0, 0 < �(x) < 1,
?????? ?????????????? ????????? ? ?????????????? ???????? ? ??????? D
?? ? ?????? ?????? ?0 .
(15)
+
???????-
??????????????. ????? u(x, y) ? ??????? ?????? T F , ??????????????? ???????? ??????? 2.1. ????????, ??? ? ???? ???????? ????? ([7], c. 25) ??????? ??????? ?????? u(x, y)
?? ?????????? ?????? ??????? D + ?????? ?????????????? ????????? ? ??????????????
???????? ?? ?????????.
???????????, ??? ??????? u(x, y) ?????? ?????????????? ????????? ????????? ? ????????? ?????????? ????? P (?, 0) ????????? (?1, 1) ??? y = 0.
? ???? ??????????? 0 < �(x) < 1 ?? ???????????????? ??????????? ??????? (10) (???
/ EB.
f1 (x) ? 0) ??????? P (?, 0) ?
? ?????? p(c) = c ?? (10) (??? f (x)1 ? 0) ????? ? (c) = c, ????????????? ? = c. ?????
P (?, 0) ? AE, ? ? (?1, c). ? ???? ?????? ? ???? ???????? ?????????? ??? ??????????
? ? D ? (0 < ? < 1) ???????? ????????????????? ([4], c. 19) ? ????? ??????????????
Da,x
x,b
????????? ??????? ? (x) ?? (13) (??? ?(x) ? 0) ????? ?(?) > 0. ? ?????? ???????, ? ????
????? ? ???? ?????????? ??????? ???????? ???????????? ([2], c. 74) ????? ?(?) < 0.
?????????? ???????????? ??????????, ??? P (?, 0) ?
/ AE, ? ? (?1, c).
+
????? ???????, ??????? ??????? ?????? ?????????????? ????????? ? ??????? D ?
?????? ??????? D + ? I ?? ?????????.
??????????, ????? ????????, ??? ??????? u(x, y) ?????? ?????????????? ???????? ?
+
??????? D ? ?????? ??????? D + ? I ????? ?? ?????????.
?????????????, ??????? ??????? u(x, y) ?????? ?????????????? ????????? ? ??????+
???????? ???????? ? ??????? D ????????? ?? ?????? ?0 .
?????????. ?????? T F ??? ?????????? ?????????? (15) ????? ?? ????? ?????? ???????.
2.2. ????????? ????????????? ??????? ?????? T F ? ???????????? ????????????? ????????? ???????.
??????? 2.2. ?????? T F ??? ?????????? ??????? a(x) = b(x) = a = const,
?�(c)?k1/2?? cos ?? < 1,
??? ? = cos ??/(?(1 + sin ??)), ?????????? ?????????.
(16)
??????????????? ?????? ? ????????? ??????? ? ???????
19
? ??????? D+ ??????? ????????? (1), ??????????????? ???????? u(x, 0) = ? (x), x ? I,
? (4), ???????? ????????
??1
1
4
1??0
2
m+2
? (t) (x ? t) +
y
?
u(x, y) = k2 (1 ? ?0 )y
(m + 2)2
?1
??1 4t2
2
m+2
y
dt + k2 (1 ? ?)(m + 2)(1 ? R2 )y 1??0 �
? (1 ? xt) +
(m + 2)2
1
?(t)(r12 )??2 F (1 ? ?, 2 ? ?, 2 ? 2?; 1 ? ?)dt, (17)
�
?1
???
r2
r12
m+2
m+2 2
4
4
, R2 = x2 +
y m+2 ,
y 2 ?? 2
2
(m + 2)
(m + 2)2
2 2
r2
4
1
? (1 ? ?)
? = 2 , (t, ?) ? ?0 , k2 =
.
4? m + 2 ?(2 ? 2?)
r1
= (x ? t)2 +
?????????????? (17) ?? y:
??1
? 1??0
4
2
m+2
? (t) y
y
?
(x ? t) +
?y
(m + 2)2
?1
??1 4t2
2
m+2
y
dt + k2 (1 ? ?)(m + 2)�
? (1 ? xt) +
(m + 2)2
1
? (1 ? R2 )y 1??0 (r12 )??2 F (1 ? ?, 2 ? ?, 2 ? 2?; 1 ? ?) dt. (18)
?(t)
�
?y
?1
?u
= k2 (1 ? ?0 )
?y
1
???????? ?????????, ???
??1
??1 4
4
?
m+2
1??0
2
m+2
y 1??0 (x ? t)2 +
y
?
y
+
y
(1
?
xt)
=
?y
(m + 2)2
(m + 2)2
??1
4
m + 2 ??0 ?
2
m+2
y
(x ? t) (x ? t) +
y
?
=
2
?t
(m + 2)2
??1 4
1 ? xt
2
m+2
(1 ? xt) +
y
. (19)
?
x
(m + 2)2
? ?????? ????????? ?????? ????? (18) ? ?????? ????????? (19) ???????? ???????? ?????????????? ?? ??????, ? ????? ??????? ??????????????? ??????????? (18) ??????? ??
y ?0 , ? ?????, ???????? ? ??????? ??? y ? 0, ????? ([2], ?. 152)
? (1)
m+2
? (?1)
+
+
?(x) = ?k2 (1 ? ?0 )
1?2?
2
(1 ? x)
(1 + x)1?2?
1
1
(x ? t)? (t)dt
? (t)dt
? (2? ? 1)
+ ?(x), (20)
+
2?2?
2?2?
?1 |x ? t|
?1 (1 ? xt)
??? ?(x) = k2 (1 ? ?0 )(1 ? ?)(m + 2)(1 ? x2 )
1
?1
?(t)(x2 ? 2xt + 1)??2 dt. ????? ? ???? (7)
? (?1) = 0, ? (1) = 0.
20
??????????? ???????? ?.
???????? ?(x) ?? ?????????????? ??????????? (14) ? (20), ?????
1
1
m+2
(x ? t)? (t)dt
? (t)dt
1?2?
+
b(x)
a(x)? (x) = ?k2 (1 ? ?0 )
?
(2?
?
1)
?D?1,x
2?2?
2?2?
2
?1 |x ? t|
?1 (1 ? xt)
+ ?0 (x), x ? (?1, c), (21)
??? ?0 (x) = b(x)?(x) ? ?(x).
??? ????????? ????????????, ?? ????????? ?????????? ?????????? [6], ? ??????????
???????, ??? a(x) = b(x) = a = const. ? ?????? ????? ????????? ???????? ? ?????????
2??1
? ???????? ??????????? ?????????? ([2], c. 107), ??????? ???????????
(21) ???????? D?1,x
???????????? ?????????
1
1
1 + x 1?2?
1
?
? (t)dt = F (x), x ? (?1, c),
(22)
? (x) ? ?
1+t
t ? x 1 ? xt
?1
??? ? = cos ??/(?(1 + sin ??)), F (x) = F0 (x)/?.
???????, ??? ???? ????????? (22) ????? ??????????? ??????????? ?????? ??? t ? (?1, c),
??? ??? ????????? (22) ????? ????? ?????? ??? x ? (?1, c). ? ?????? ????? ?????????
??????????? ????????? (22) ? ????
? (x) ? ?
c
?1
1
1
?
? (t)dt?
t ? x 1 ? xt
1
1
1 + x 1?2?
1
?
? (t)dt = F (x), x ? (?1, c). (23)
??
1+t
t ? x 1 ? xt
c
1+x
1+t
1?2? ? ????????? ?? ?????????? (c, 1), ????? ????? (23), ?????? ?????? ??????????? ?????????????? t = p(s) = ? ? ks, ? ?????? ????????? ? (p(s)) = �(s)? (s) + f (s), ???????
? (x) ? ?
c
?1
1+x
1+t
1?2? 1
1
?
? (t)dt =
t ? x 1 ? xt
c p (s)�(s)? (s)ds
+ R[? ] + F1 (x), (24)
= ??
p(s) ? x
?1
???
R[? ] = ??
c
?1
1+x
1 + p(s)
1?2?
c p (s)�(s)? (s)ds
1 + x 1?2? p (s)�(s)? (s)ds
+?
?1
p(s) ? x
1 ? xp(s)
?1 1 + p(s)
? ?????????? ????????,
F1 (x) = F (x) ? ?
c
?1
1+x
1 + p(s)
1?2? 1
1
?
p (s)f (s)ds
p(s) ? x 1 ? xp(s)
? ????????? ???????. ?????? ???????????? ???????? ?????? ????? (24) ?? ???????? ??????????, ??? ??? ??????????????? ????????? ??? x = c, s = c ????? ?????????????
??????????? ??????? ??????? ? ??????? ??? ????????? ? (24) ???????? ????????.
???????? ?????? ?????? ????? ????????? (24) ????????? ????????, ????????? ??? ?
????
c 1
1 + x 1?2?
1
?
? (t)dt = g0 (x), x ? (?1, c),
(25)
? (x) ? ?
1+t
t ? x 1 ? xt
?1
??????????????? ?????? ? ????????? ??????? ? ???????
???
21
p (s)�(s)? (s)ds
+ R[? ] + ?2 (x).
(26)
p(s) ? x
?1
2.3. ????????????? ???????????? ????????????? ????????? ???????. ????? ?
????????? (25) ??????????? ?(x) = (1 + x)2??1 ? (x), g(x) = (1 + x)2??1 g0 (x), ??????????? ???
? ????
c 1
1
?
?(t)dt = g(x), x ? (?1, c).
(27)
?(x) ? ?
1 ? xt
?1 t ? x
g0 (x) = ??
c
??????? ???????????? ????????????? ????????? (27) ????? ?????? ? ?????? ???????
?????????, ???????????? ? ????? x = c ? ??????????? ??????????? ??????? ???? 1 ? 2? ?
????? x = ?1, ?. ?. ? ?????? h(c).
??? ????????????? ???????????? ????????????? ????????? (27) ???????? ????? ???????????????, ???????? ?.?. ???????? [8].
????? z ? ???????????? ????? ??????????? ????????? z. ? ???? ????????? ?????? ???????
c 1
1
1
?
?(t)dt.
?(z) =
2?i ?1 t ? z 1 ? zt
????? ? ????????? ????????? ????????? ?????????????? ???:
?
?
???? c < 0;
?(1/c, ?1),
? = (??, ?1),
???? c = 0;
?
?
(??, ?1) ? (1/c, ?), ???? c > 0.
??????? ?(z) ?????????? ?? ???? ????????? z, ????? ????? ????????? (?1, c) ? ? ?????????????? ???, ?????? ?(z) ? 0, ???? Im z ? ?.
? ???? ?????? ????????????????? ?? ????????? ?1 < x < c ?????
?+ (x) ? ?? (x) = ?(x),
c 1
1
1
+
?
?
?(t)dt.
? (x) + ? (x) =
?i ?1 t ? x 1 ? xt
(28)
(29)
????? ?+ (x) ? ?? (x) ? ?????????? ???????? ??????? ?(z) ? ??????, ????? ????? z ????????? ? ?????????????? ???, ??????????????, ?? ??????? ??? ?????? ?????????????.
? ???? ?????? (28) ? (29) ????????? (27) ????????? ? ????
(1 ? ??i)?+ (x) ? (1 + ??i)?? (x) = g(x), x ? (?1, c).
1
(30)
???????? ?????????, ??? ??? ??????? ?(z) ????? ????? ??????????? ? z = z?(z).
?????????????? w = 1z ?????????? ??????? ????????????? ? ?????? ? ????????. ???
???? ???????? (?1, c) ???????????? ? ????????? ?.
? (30), ??????? x ?? x1 , ? ?????? ???????????
+ 1
?
? 1
= x? (x), ?
= x?+ (x)
?
x
x
???????
1
1
+
?
.
(31)
(1 + ??i)? (x) ? (1 ? ??i)? (x) = ? g
x x
????? 1 + ??i =
e??i
cos ?? ,
1 ? ??i =
e???i
cos ?? ,
? = (1 ? 2?)/4.
22
??????????? ???????? ?.
?????? ???????
G(x) =
1+??i
1???i
1???i
1+??i
= e2??i ,
???? x ? (?1, c);
?2??i
=e
, ???? x ? ?,
???? x ? (?1, c);
cos ??e??i g(x),
h(x) =
1
1
???i
? cos ??e
x g( x ), ???? x ? ?.
(32)
(33)
? ??????? ???? ??????? ????????? (30) ? (31) ????? ?????????? ? ????:
?+ (x) ? G(x)?? (x) = h(x), x ? I ? ?.
(34)
????? ???????, ?????? ? ?????????? ??????? ???????????? ????????????? ?????????
(27) ??????? ? ?????? ?????? ?????? ??????? ???????????? ???????????: ????? ?????????? ?? ????????????? ??????? ?(z), ??????????? ??? ? ???????, ??? ? ? ??????
??????????????, ? ?? ?????????????? ??? ??????????????? ??????? (34).
??????? ????? ????????? ?????????? ??????: ????? ???????????? ?? ?????????????
??????? X(z), ??????????? ??? ? ??????? ?????????????, ??? ? ? ?????? ?????????????, a ?? ?????????????? ??? y = 0 ??????????????? ???????
X + (x) ? G(x)X ? (x) = 0, x ? (?1, c) ? ?,
(35)
??? ln X + (x) ? ln X ? (x) = ln G(x).
???? ?? ??????? ??????? ???? ?????? ????? ???
c z
1
1
?
ln G(t)dt
ln X(z) =
2?i ?1 t ? z 1 ? zt
??? ? ?????? (32)
X + (x) = R0 (x)e??i , X ? (x) = R0 (x)e???i , x ? (?1, c),
X + (x) = R0 (x)e???i , X ? (x) = R0 (x)e??i , x ? ?,
???
R0 (x) =
(c ? x)(1 ? cx)
(1 + x)2
(36)
?
.
(37)
????? ???????, X + (x) ? X ? (x) ???????.
?????? ? ?????? (35) ????????? (34) ????????? ? ????
?? (x)
h(x)
?+ (x)
?
= +
, x ? (?1, c) ? ?.
X + (x) X ? (x)
X (x)
???? ?? ??????? ??????? ????? ????????? ????? ???
c
1
h(t)dt
h(t)dt
?(z)
=
+
.
+
X(z)
2?i ?1 X + (t)(t ? z)
X (t)(t ? z)
(38)
?? ?????? ????????? ?????? ????? (38), ?????? ?????? ??????????? ?????????????? t = 1s
? ???????? ??????????? ?????????? ? ?????? (33), (36), (37) ? ???????? X + ( 1? ) = X ? (?),
X ? (?) = X + (?)e?2??i , ???????? ?????????, ???
c
1
1
1
cos ??e??i g(t)
?(z)
=
?
dt.
X(z)
2?i ?1
X + (t)
t ? z 1 ? zt
??????????????? ?????? ? ????????? ??????? ? ???????
23
?????? ?????? ????? ??????? ??????. ??? ????? ?????????? ?????????? ?????????
?? (x)
?+ (x)
?
= 0, x ? (?1, c) ? ?.
X + (x) X ? (x)
(39)
?(z)
?????????? ?? ???? ?????????, ?????,
?? ????????? (39) ?????, ??? ??????? ?(z) = X(z)
????? ???? ????? z = ?1, z = c, ??????? ????? ???? ?????? ????????.
? ???? ??????? ?? ????????????? ??????????? ([9], ?. 29) ? ?????????? ??????? ??c0
c1
+ c?z
, ??? c0 ? c1 ? ???????????? ??????????.
?????? ????? ?(z) = 1+z
????? ???????, ????? ??????? ?????? ?????? ????? ???
c
1
1
1
c0
c1
cos ??e??i g(t)
?(z)
=
?
dt +
+
+
X(z)
2?i ?1
X (t)
t ? z 1 ? zt
1+z c?z
???
?(z) =
1
X(z)
2?i
c
?1
1
1
c0 X(z) c1 X(z)
cos ??e??i g(t)
?
dt +
+
.
X + (t)
t ? z 1 ? zt
1+z
c?z
? ???? (28) ???????
X ? (x) ??i cos ?? +
cos ??
X ? (x) ??i
g(x) 1 + +
e
X (x) 1 ? +
e �
+
?(x) = ? (x) ? ? (x) =
2
X (x)
2?i
X (x)
c 1
g(t)
c0
c1
cos ??
1
?
dt
+
+
(X + (x) ? X ? (x)) = + g(x)�
�
+ (t)
t
?
z
1
?
zt
X
1
+
z
c
?
z
X (t)
?1
c
1
1
cos ??e??i
g(t)
1 ? e?2??i e??i R0 (x)
?
dt.
� 1 + e?2??i e??i +
2?i
1 ? zt
?1 R0 (t) t ? z
?
+
????? ? ?????? ????, ??? ??????? ?(x) ? ????? x = ?1 ????? ??????????? ??????? ????
1 ? 2?, ? ??? x = c ??????????, ??????? c0 = 0, c1 = 0.
????? ???????,
1
1
sin ?? c R0 (x)
2
?
g(t)dt.
(40)
?(x) = cos ??g(x) +
2?
1 ? xt
?1 R0 (t) t ? x
?
,
?????? ??????????? ?(x) = (1+x)2??1 ? (x), g(x) = (1+x)2??1 g0 (x), R0 (x) = (c?x)(1?cx)
(1+x)2
(40) ????????? ? ????
sin 2??
? (x) = cos ??g0 (x) +
2?
c
2
?1
(c ? x)(1 + x)2
(c ? t)(1 + t)2
? 1 ? cx
1 ? ct
? 1
1
?
�
t ? x 1 ? xt
� g0 (t)dt. (41)
????? ???????, ????????
?????. ???? g0 (x) ????????????? ??????? ????????? ??? ?1 < x < 1 ? g0 (x) ? Lp (?1, c),
p > 1, ?? ??????? ????????? (25) ? ?????? ??????? H, ? ??????? (1+x)2??1 ? (x), ?????????
??????????? ??????? ???? 1 ? 2? ? ????? x = ?1 ? ???????????? ? ????? x = c, ?. ?. ?
?????? h(c), ?????????? ???????? (41).
2.4. ????? ????????????? ????????? ???????????? ? ?????????? ??? ???????. ?????? ????????? ??????????? (41). ?????????? (26) ? (41), ? ?????? p(x) = ? ? kx
24
??????????? ???????? ?.
?????
sin 2?? c
�(s)? (s)ds
�(s)? (s)ds�
+ ?k
? (x) = ?k cos ??
2?
?1 ? ? ks ? x
?1
c 1
dt
(c ? x)(1 + x)2 ?
1
�
?
+ R1 [? ] + F2 (x), (42)
2
(c ? t)(1 + t)
t ? x 1 ? xt ? ? ks ? t
?1
c
2
??? R1 [? ] ? ?????????? ????????, F2 (x) ? ????????? ???????.
???????? ?????????? ????????
c
1
dt
(c ? x)? (1 + x)2?
1
?
.
A(x, s) =
? (1 + t)2?
(c
?
t)
t
?
x
1
?
xt
?
?
ks
?t
?1
???????????? ????????? ???????????????? ????????? ???????? ?? ??????? ?????:
1
1
1
1
1
1
?
=
+
+
t ? x 1 ? xt ? ? ks ? t
? ? ks ? x t ? x ? ? ks ? t
x
1
1
?
+
1 ? ?x + kxs 1 ? xt ? ? ks ? t
? ? ?????? ????? ?????????? ?????
(c ? x)? (1 + x)2? (c ? x)? (1 + x)2? I1 (x) + I2 (s) +
xI3 (x) ? I2 (s) ,
(43)
A(x, s) =
? ? ks ? x
1 ? ?x + kxs
???
c
c
dt
dt
, I2 (s) =
,
I1 (x) =
?
2?
?
2?
?1 (c ? t) (1 + t) (t ? x)
?1 (c ? t) (1 + t) (? ? ks ? t)
c
dt
.
I3 (x) =
? (1 + t)2? (1 ? xt)
(c
?
t)
?1
???????? ????????? I1 (x), I2 (s), I3 (x).
x
c
dt
dt
+
.
1. I1 (x) = lim ?
?
2?
1??
?
2?
1??
??0
?1 (c ? t) (1 + t) (x ? t)
x (c ? t) (1 + t) (t ? x)
(44)
? ?????? ? ?????? ????????? ?????? ????? (44), ?????? ?????????????? ?????? t = ?1 +
(1 + x)?, t = c ? (c ? x)?, ???????
1
(1 + c)??
1 + x ??
?2?
??1
?
?
(1 ? ?)
d?+
1?
I1 (x) = lim ?
??0
(1 + x)2??? 0
1+c
c ? x ?2?
(1 + c)?2? 1 ??
??1
?
? (1 ? ?)
d? ,
1?
+
(c ? x)??? 0
1+c
??????, ????????? ???????????? ????????????? ??????????????????? ??????? ([4], c. 8),
???????
1+x
(1 + c)?? ?(1 ? 2?)?(?)
F 1 ? 2?, ?, 1 ? 2? + ?;
+
I1 (x) = lim ?
??0
(1 + x)2??? ?(1 ? 2? + ?)
1+c
c?x
(1 + c)?2? ?(1 ? ?)?(?)
F 1 ? ?, 2?, 1 ? ? + ?;
. (45)
+
(c ? x)??? ?(1 ? ? + ?)
1+c
???????? ? (45) ??????? ????????????????? ([4], c. 10)
F (a, b, c; x) = (1 ? x)c?a?b F (c ? a, c ? b, c; x),
??????????????? ?????? ? ????????? ??????? ? ???????
?????
25
1+x
(1 + c)?? ?(1 ? 2?)?(?) c ? x ???
F ?, 1 ? 3? + ?, 1 ? 2? + ?;
+
I1 (x) = lim ?
??0
(1 + x)2??? ?(1 ? 2? + ?) 1 + c
1+c
c?x
(1 + c)?2? ?(1 ? ?)?(?) 1 + x ??2?
F ?, 1 ? 3? + ?, 1 ? ? + ?;
. (46)
+
(c ? x)??? ?(1 ? ? + ?) 1 + c
1+c
???????? ? ??????? ?????????? ?????? ????? (46) ??????? ??????
?(c)?(a + b ? c)
?(c)?(c ? a ? b)
F (a, b, a + b ? c + 1; 1 ? z) +
(1 ? z)c?a?b �
?(c ? a)?(c ? b)
?(a)?(b)
� F (c ? a, c ? b, c ? a ? b + 1; 1 ? z), c ? a ? b = 0, � � . . . , |arg(1 ? z)| < ?,
F (a, b, c; z) =
??????????? ??? ? ????
c?x
(1 + c)??? (c ? x)???
?(?)�
F ?, 1 ? 3? + ?, 1 ? ? + ?;
I1 (x) = lim
??0
(1 + x)2???
1+c
?(? ? ?)
(1 + c)?? ?(? ? ?)?(1 ? 2?)
?(1 ? ?)
?
?
�
�
?(1 ? ? ? ?)
?(?)
(1 + x)2??? ?(1 ? 3? + ?)
c?x
. (47)
� F 1 ? 2?, ?, ? ? ? + 1;
1+c
????? ?????????, ???
?(? ? ?)
?(1 ? ?)
?
=
lim ?(?)
??0
?(1 ? ? ? ?)
?(?)
= lim ?(1 + ?)
??0
?(sin(? ? ?)? ? sin ??)
= ?? ctg ??. (48)
? sin ?? sin(? ? ?)??(?)?(1 ? ? + ?)
???????? ? (47) ? ??????? ??? ? ? 0 ? ?????? (48), ???????????? ???????
?? ctg ??
(1 + c)?? ?(1 ? ?)?(1 ? 2?)
c?x
.
+
F 1 ? 2?, ?, ? + 1;
I1 (x) =
(1 + x)2? (c ? x)?
??(1 ? 3?)(1 + x)2?
1+c
(49)
? ?????????? I2 (s), I3 (x), ?????? ?????????????? ?????? t = ?1 + (1 + c)?, t = c ? (1 + c)?,
???????? ?????????
(1 + c)1?3? ?(1 ? 2?)?(1 ? ?)
1+c
.
F 1 ? ?, 1 ? 3?, 2 ? 3?;
2. I2 (s) = ?
?(2 ? 3?)(1 + ? ? ks)1?? (? ? ks ? s)?
1 + ? ? ks
(50)
1?3?
(1 + c)
(1 + c)x
?(1 ? ?)?(1 ? 2?)
.
(51)
F 1 ? 2?, 1 ? 3?, 2 ? 2?; ?
3. I3 (x) =
1?2?
2?
?(2 ? 3?)(1 ? cx)
(1 + x)
1 ? cx
??????, ?????????? ????????? ?? (49), (50) ? (51) ? (43), ???????
? ctg ??
(1 + c)?? ?(1 ? ?)?(1 ? 2?)
(c ? x)? (1 + x)2?
?
+
�
A(x, s) =
? ? ks ? x
(c ? x)? (1 + x)2?
??(1 ? 3?)(1 + x)2?
(1 + c)1?3? ?(1 ? ?)?(1 ? 2?)
c?x
+
�
� F 1 ? 2?, ?, 1 + ?;
1+c
?(2 ? 3?)(1 + ? ? ks)1?? (? ? ks ? c)?
1+c
+ B0 (x, s), (52)
� F 1 ? ?, 1 ? 3?, 2 ? 3?;
1 + ? ? ks
26
??????????? ???????? ?.
? (1+x)2? ??? B0 (x, s) = (c?x)
xI3 (x) ? I2 (s) . ????? B0 (x, s) ? ??????????? ??????? ? ???1??x+kxs
??????????? [?1, c] � [c, 1].
?????????? (52) ? (42), ?????
(1 + x)2?
?k1?? sin 2??(1 + c)1?3? ?(1 ? ?)?(1 ? 2?) c
�
? (x) =
1??
2??(2 ? 3?)
?1 (1 + ? ? ks)
c ? x ? �(s)? (s)ds
1+c
+ R2 [? ] + F2 (x), (53)
� F 1 ? ?, 1 ? 3?, 2 ? 3?;
1 + ? ? ks
c?s
? ? ks ? x
??? R2 [? ] ? ?????????? ????????.
??????? ?????????????????? ????? ? ????????? (53), ? ?????? ????????? ? ? kc ? c = 0
??????????? ??? ? ????
c c?x ?
? (s)ds
+ R3 [? ] + F2 (x), x ? (?1, c), (54)
? (x) = ?k1?? �(c) cos ??
c
?
s
?1
c?x
(c ? s) k + c?s
???
?k1?? sin 2??(1 + c)1?3? ?(?)?(1 ? 2?) c c ? x ?
(1 + x)2?
�
R3 [? ] = R2 [? ] +
2??(2 ? 3?)
c?s
(1 + ? ? ks)1??
?1
�(s)? (s)ds
(1 + c)2? 1+c
?
F 1 ? ?, 1 ? 3?, 2 ? 3?; 1
� F 1 ? ?, 1 ? 3?, 2 ? 3?;
1 + ? ? ks
(1 + c)1??
? ? ks ? x
? ?????????? ????????, F2 (x) ? ????????? ???????.
?????? ?????? ?????????? s = c ? (1 + c)e?t , x = c ? (1 + c)e?y ? ????????? (54) ?
????????? ?(y) = ? [c ? (1 + c)]e
?? 12 y
, ??????? [10]
?
?(t)dt
1??
�(c) cos ??
?(y) = ?k
y?t
y?t + R4 [?] + F3 (y),
0
ke 2 + e? 2
?? 12 y
?? 12 y
, F3 (y) = F2 (x)e
.
??? R4 [?] = R3 [? ]e
1
,
?????????
??? ? ????
? (55), ????? ??????????? K(x) = kex +e
?x
?
K(y ? t)?(t)dt + R4 [?] + F3 (y).
?(y) = ?k1?? �(c) cos ??
(55)
(56)
0
??????? K(x) ?????????? ? ????? ????????????? ??????? ???????? ?? ?????????????.
????????? (56) ???????? ???????????? ?????????? ???????????? ([9], c. 55). ??? ????????? ? ??????? ?????????????? ?????, ??????? ?????????? ??????????????????? ???????
????????????? ????????? ? ????? ????, ?????????? ? ??????? ?????? ?????? ? ??? ?????
???????? ? ???????????.
1
??????????? ? ??????? ??? t = x, ?? ???????????? ????????????? ???? ???? t?x
????? ???? K(t ? x) ????????????? ????????? ???? ??????? ??????? ?????????????????
?????????? ??????????????, ? ??? ???? ? ??????? ?? ??????????? ???? ?? ???????, ????
????????? ? ????????????? ????? ?????? t = x + const.
??????? ?????????? ??? ???????????? ????????? ???? ??????? ????? ???????????
???? ? ??????, ????? ??????? ???? ????????? ????? ????.
? ???????? ??????, ???
???????? ????????? (56) ????? 1 ? ?k1?? �(c) cos ?? K(x)
?
ixt
e dt
.
(57)
K(x)
=
t/2
+ e?t/2
?? ke
??????????????? ?????? ? ????????? ??????? ? ???????
27
???????? ????? (57) ???????? ? ??????? ?????? ???????. ?? ??????????? ?????????? +N
eixt dt
.
???? ????????? K(x)
= lim IN , ??? IN = ?N ket/2
+e?t/2
N ??
?? ??????????? ????????? z = t + i? ?????????? ??????????????? ABCD ? ?????????
? ?????? A = A(?N, 0), B = B(N, 0), C = C(N, 4?), D = D(?N, 4?).
ixz
?????? ???????????????? ABCD ??????? f(x) = kez/2e+e?z/2 ????? ?????? ??? ??????
?????-?????? z0 = ? ln k +?i ? z1 = ? ln k +3?i. ?? ??????? ? ??????? ???????? ?? ???????
L ?????????????? ABCD ?????
eixz dz
= 2?i(res f(z0 ) + res f(z1 )).
(58)
z/2 + e?z/2
L ke
????? ??????????, ???
?
?
kez/2 + e?z/2 = e?z/2 (1 + kez ) = e?z/2 (1 + i kez/2 )(1 ? i kez/2 ) =
?
= e?z/2 (1?ez/2 eln(?i
k)
?
)(1?ez/2 eln(i
k)
) = e?z/2 (1?ez/2+ln
?
k?(?/2)i)
)(1?ez/2+ln
?
k?(3?/2)i)
)=
= e?z/2 (e(z?z0 )/2 ? 1)(e(z?z1 )/2 ? 1),
??????
e??x e?ix ln k
?
,
res f(z0 ) = lim (z ? z0 )f (z) =
z?z0
i k
?e?3?x e?ix ln k
?
.
res f(z1 ) = lim (z ? z1 )f (z) =
z?z1
i k
? ???? (59) ? (60) ?? (58) ?????
2?e?ix ln k ??x
eixz dz
?
(e
=
? e?3?x )
kez/2 + e?z/2
k
(59)
(60)
L=AB?BC?CD?DA
???
B
+
A
C
+
B
D
A
+
C
D
2?e?ix ln k ??x
eixz dz
?
(e
=
? e?3?x ).
kez/2 + e?z/2
k
(61)
?????
AB : y = 0, ?N ? x ? N ; BC : x = N, 0 ? y ? 4?;
CD : y = 4?, ?N ? x ? N ; DA : x = ?N, 0 ? y ? 4?.
?????? ???????? ????? ????? (61) ????? IN . ? ??????? ????????? ????? z = x + 4?i ? ?
?????? ????, ??? ??????? ez/2 , e?z/2 ?????????? ? ???????? 4?i, ?????????, ??? ??????
???????? ????? e4?i IN .
?? ?????? ? ????????? ?????????? ????? ?????????????? z = N + i? ? z = ?N + i?,
0 ? ? ? 4?. ??? ??????????????? ??????? ?????????????? ????????? ??????
e4?
eixz
?
kez/2 + e?z/2 ke(盢 +iy)/2 + e?(盢 +iy)/2 .
?????? ???????? ?????????, ??? ?????? ? ????????? ????????? ????????? ? ???? ???
N ? ?.
????? ???????, ???????? ? (61) ? ???????? ??? N ? ?, ?????
2?e?ix ln k ??x
?e?ix ln k
?
(e
.
? e?3?x ) ??? K(x)
=?
K(x)(1
? e?4?x ) =
k
k ch ?x
28
??????????? ???????? ?.
?????? ???????? ?????? ?????????
1 ? ?k1?? �(c) cos ?? K(x).
(62)
??? ??? ? ???? (16)
?k1?? �(c)? cos ??
? cos(x ln k)
?
Re ?k1?? �(c) cos ?? K(x)
?
< 1,
= ?k1?? �(c) cos ?? ?
k ch ?x
k
??
> 0,
Re(1 ? ?k1?? �(c) cos ?? K(x))
?????????????,
Ind(1 ? ?k
1??
?
Im(1
?
K(x))
1
arctg
�(c) cos ?? K(x))
=
= 0,
2?
Re(1 ? K(x))
??
?. ?. ????????? ????????? (62) ?? ?????????????? ???, ?????????? ? ?????? ????????, ?????
???? ([9], c. 28). ?????? ? ?? ?????????????? ??????? ?????? T F ???????? ???????????
???????????? (56), ? ??????, ? ?????? T F .
3. ?????? ?0 = ?m/2
?????? T F ????????? ? ?????????? ?????? ?0 = ?m/2, ?. ?. ??? ?????????
m
(63)
sign y|y|m uxx + uyy ? uy = 0.
2y
? ?????????? ??? ???????????? ?????? T F ??????? a(x) = b(x) = a = const.
? ??????? D? ??????? ????????? (63), ??????????????? ?????????????? ?????? ????
?u
= ?(x), x ? I,
u(x, 0) = ? (x), x ? I; lim (?y)?m/2
y??0
?y
???????? ???????? ?????????
u(x, y) =
? [x ? (2/(m + 2))(?y)(m+2)/2 ] + ? [x + (2/(m + 2))(?y)(m+2)/2 ]
?
2
(?y)(m+2)/2 1
?[x + (2t/(m + 2))(?y)(m+2)/2 ]dt.
?
m+2
?1
? ???? ??????? ?????????, ?? ???????? ??????? (5) ? ?????? (11) ? (12) ???????
(64)
? (x) ? ?(x) = ?(x), x ? [?1, c],
x?1 ??? ?(x) = ? 2 ? a0 (x) + b0 (x) /a. ????????? (64) ???????? ?????? ??????????????
???????????? ????? ???????????? ????????? ? (x) ? ?(x), ??????????? ?? I ?? ???????
D? .
??????? 3.1. ??????? ?????? T F ??? ?(x) ? 0, f (x) ? 0, a0 (x) ? b0 (x) ? 0 ? 0 < �(x) < 1
?????? ?????????????? ????????? ? ?????????????? ???????? ? ????????? ???????
D? ????????? ? ?????? ?????? ?0 .
? ???? ??????????? (64) ?????????????? ??????? 3.1 ?????????? ?????????? ?????????????? ??????? 2.1.
?????????. ?????? T F ????? ???????????? ???????.
??????? 3.2. ?????? T F ??? ?????????? ??????? k�(c) < 2 ?????????? ?????????.
??????????????? ?????? ? ????????? ??????? ? ???????
29
??????????????. ? ??????? D + ??????? ?????? ??????? ? ?????????
u(x, 0) = ? (x), x ? I; u(x, y)|?0 = ?(x), ?1 ? x ? 1,
(65)
???????? ???????? [10]
m + 2 m+2
y 2
u(x, y) = k2
2
? (t) (x ? t)2 +
?1
4
m+2
y
?
(m + 2)2
?1
?1 4t2
2
m+2
y
dt?
? (1 ? xt) +
(m + 2)2
l
m+2
(m + 2)3
(1 ? R2 )
?(?(s))? ? 2 (s)(r ?2 ? r1?2 )d?(s), (66)
? k2
16
0
1
??? l ? ????? ???? ???? ?0 . ?? ??????? (66) ???????????? ????????????, ??? ? ? ??????
?m/2 < ?0 < 1, ????? ????? ?????? ?????????????? ??????????? ????? ????????????
????????? ? (x) ? ?(x), ??????????? ?? I ?? ??????? D + :
1 1
? (t)dt
? (t)dt
m+2 2
+
+ ?(x), x ? I,
(67)
?(x) = ?k2
2
2
?1 x ? t
?1 (1 ? xt)
??? ?(x) = ?k2
m+2 2
2
(1 ? x)2
1
?1
?(t)(1 ? xt + x2 )?2 dt.
?? ?????????????? ??????????? (64) ? (67), ???????? ?(x), ???????
1 1
? (t)dt
? (t)dt
m+2 2
+
= ?(x) + ?(x), x ? (?1, c).
? (x) + k2
2
2
?1 x ? t
?1 (1 ? xt)
(68)
??????????????? ????????? (68) ? ???????? [?1, x], x ? (?1, c), ????? ????????? ?????????? ??????? ??????????? ???????????? ????????? ???????
1
1
1 1 1+x
?
? (t)dt = F1 (x), x ? (?1, c),
? (x) ?
? ?1 1 + t
t ? x 1 ? xt
x ??? F1 (x) = ?1 ?(t) + ?(t) dt.
?????????? ???????????? ?????? T F ?????????? ?????????? ?????? ?m/2 < ?0 < 1. ???????, ??? ??????????????? ?????? ? ????????? ???????, ???????, ??????????????????, ???????? ? ???????? ??? ????????? ???????????? ??????????? ? ??????? [11]?[13].
??????????
[1] ??????? ?.?. ????????? ???????? ????? ? ??????? ????????????? ?????, ?????????????? ??????
??????? ??????????, ??? 20 (2), 196?202 (1956).
[2] ???????????? ?.?., ?????????? ?. ??????????? ?????? ??? ????????? ?????????? ???? ? ???????????? ?????????????? (Universitet, Yangiyo?l poligraf servis, ???????, 2005).
[3] ??????? ?.?. ? ?????? ????????? ?????????? ????, ????. . . . ????. ???.-?????. ????, 1952.
[4] ??????? ?.?. ????????? ?????????? ???? (????. ?????, ?., 1985).
[5] ??????? ?.?. ??????? ?????? ??? ????????? ?????????? ???? ? ?????????? ????????? ?? ?????
??????????????? ? ? ????????? ?? ?????????? ?????, ????. ???. ???????. ??-?? 122 (3), 3?16 (1962).
[6] ?????????????? ?. ?? ????? ????????? ?????? ???????, ??? ???? 158 (2), 271?274 (1964).
[7] ??????? ?.?. ????????? ?????? ????????? ? ??????? ??????????? (?????, ?., 1981).
[8] ?????? ?.?. ?? ???????????? ????????? F. Tricomi, ??? ???? 59 (6), 1053?1056 (1948).
[9] ????? ?.?., ??????? ?.?. ????????? ???? ??????? (?????, ?., 1978).
[10] ???????????? ?.?., ?????????? ?. ?????? ? ???????????? ?????????? ????????? ?? ?????????????? ??? ?????? ?????? ????????? ?????????? ????, ?????. ??????? 86 (5), 748?760 (2009).
30
??????????? ???????? ?.
[11] ??????????? ?. ?????? ? ????????? ??????? ??????? ? ?????????????????? ??? ????????? ????????????, ???. ?????. ?????., ? 3, 65?70 (2011).
[12] ??????????? ?. ?????? ? ???????? ??????? ?? ??????? ??????? ????????????? ??? ????????? ???????????? ? ??????????? ?????????????, ???. ?????. ?????., ? 1, 61?66 (2012).
[13] ??????????? ?. ???????????? ?????? ??????? ? ?????? ?? ????????? ??? ????????? ????????????,
???. ?????. ?????., ? 9, 32?46 (2012).
???????? ?. ???????????
????????, ??????? ??????????????? ????????? ? ?????????,
?????????? ??????????????? ???????????,
??. ?. ????????, ?. 43, ?. ??????, 190111, ?????????? ??????????,
e-mail: mirsaburov@mail.ru
Gulbakhor M. Mirsaburova
A mixed problem with Tricomi and Frankl conditions for the Gellerstedt equation with a
singular coe?cient
Abstract. We consider a generalized Tricomi equation with a singular coe?cient. For this equation
in a mixed domain we study the corresponding problem, where a part of the boundary characteristic
is free of boundary conditions; the de?cient Tricomi condition is equivalently substituted by a
nonlocal Frankl condition on a segment of the degeneration line. We prove that the stated problem
is well-posed.
Keywords: gluing condition, uniqueness of solution, Tricomi singular integral equation, isolated
singularity of the ?rst order, Wiener?Hopf equation, index, residue.
Gulbakhor M. Mirsaburova
Postgraduate, Chair of Di?erential Equations and Geometry,
Termez State University,
43 F. Khodzhaev str., Termez, 190111 Republic of Uzbekistan,
e-mail: mirsaburov@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
240 Кб
Теги
уравнения, франкл, условиями, коэффициента, геллерстедта, задачи, трикоми, комбинированного, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа