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Корректность одной математической задачи атмосферного электричества.

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???????
??????????????
???????????? ??.??????
?.?. ????????????,
2009,
? 4, ?. 123?129
????????????
????? ??????????????
????????????
?????????????
123
??????????
??? 517.9
???????????? ????? ?????????????? ??????
???????????? ?????????????
? 2009 ?.
?.?. ??????, ?.?. ???????
????????????? ?????????????? ??. ?.?. ????????????
Artem.Zhidkov@gmail.com
????????? ? ???????? 01.02.2009
??????????????? ???? ?? ?????????????? ??????? ??? ???????? ????????????????? ???????????????? ????? ? ?????????. ???????????? ? ?????????????? ???????????? ????? ??????? ??????????????? ??????.
???????? ?????: ?????????????? ??????, ??????????? ?????????????, ??????? ????????? ?????????, ???????????????? ????, ?????????????? ????????????, ????????????, ???????????? ?????.
????????
? ????????? ????? ?????????? ??????
??????? ????????????????? ????????, ?????????? ? ????????? ???????????????? ?????.
???? ???????????????? ????? ???????? ??????
???????????? ??? ???????? ???????????????? ? ?????????????? ??????????? ???????.
? ?????????, ?????????? ??????? ???????????? ????????? ???????? ? ????????? ???????? ???????????, ??? ??????? ????????? ??????? ???????? ??????????? ??? ?????? ?????????
??????, ??? ? ????? ???????? ??????? ? ???????????? ?????. ?????? ????????, ??? ?????
???????????? ????? ? ???????? ?????? ????????? ?????????????? ?????????? ??????????
???????? ??????????? (??????? 300 ??), ???
?????????????? ?? ???? ????????????????? ????????????? ? ????????? ????? ????? ????????????, ?????????? ?????? ? ???? ?????? ???????. ? ???? ?????? ??????? ? ?????????? ????????????? ???? ? ?????????. ????????????
???? ???????? ????????? ?????????? ????????
?????????? [1?3]. ?????? ??????, ?????? ??????? ?????????, ??????????? ????????????????? ????????, ?????? ???????? ? ???? ?????????? ??????? ?????????, ??????????? ??????? ?????????? ?????? ????????? ???????,
?, ??????????, ??????? ????????? ?????????.
??????? ??????????????? ? ?????????? ????????????? ???? ????????? ???????? ? ?????????? [1, 4?6], ?? ?????????? ?????? ?????? ??-
????? ??????????? ????????? ?????? ?? ??????????.
? ????????? ?????? ??????????????? ????
???? ????? ????????, ????????? ? ????????????
????????????? ?????, ? ?????????????, ???
?????? ??? ?????????? ???????? ????????? ????????? ?????, ??????? ? ????????????? ? ????
??? ?????????? ? ??????? ????????? ???????? ?????????? ??????. ??????????? ????????????? ????? ? ???? ?????? ???????? ??????????????? ? ?????? ???????, ? ???????? ??????????????? ?????????????? ???????????? ?????
?????????, ? ???? ???????, ??????????? ???
??????? ? ?????????? ???????? ????????? ????????? ????? ? ?????? ????????? ??????? ??????? ???????? ?????.
??? ???????? ???????????????? ????? ???????????? ??????? ????????? ?????????,
??????? ? ????????? ??????? ?????? ????????? ???:
r
r
4? r
1 ?D ( x, t )
rot H ( x, t ) =
J ( x, t ) +
,
(1)
c
c ?t
r
r
1 ?B
rot E ( x, t ) = ?
,
(2)
c ?t
r
div B ( x, t ) = 0,
(3)
r
div D ( x, t ) = 4??( x, t ).
(4)
????? x = ( x1 , x2 , x3 ) ? ? ? R 3 , ? ? ???????,
????????????? ???????? ???? ? ????????????
R 3 ? ???????? ?, ????????? ?? ???? ?????????
124
?.?. ??????, ?.?. ???????
????????? ?1 ? ?2 , ????????????? ????? ?
R 3 , ??? ?1 ? ??????????? ?????, ?2 ? ???????????, ?????????????? ??????? ???? ?????????; t ? (0, T ) ? ????? ( T > 0 ); c > 0 ? ????????
????? ? ???????.
??????????? ???????
r
r
H : ? Ч (0, T ) ? R 3 , E : ? Ч (0, T ) ? R 3 ,
r
r
B : ? Ч (0, T ) ? R 3 , D : ? Ч (0, T ) ? R 3 ,
r
J : ? Ч (0, T ) ? R 3 , ? : ? Ч (0, T ) ? R1
? ???????? ?????? ??????? ????????????? ????????????? [7, 8]
r
r
r
r
B ( x, t ) = µ( x) H ( x, t ) , D ( x, t ) = ?( x) E ( x, t ) , (5)
r
r
r
J ( x, t ) = ?( x, t ) E ( x, t ) + J ст ( x, t ).
(6)
??? ????????????? ???????????????? ????????? ? ????????? ?????? ??????????
?( x) = µ( x) = 1, x ? ? ;
(7)
??? ???? ???????? ???????????? ?( x, t ) ?????
??????????? ???????? ?? ????????? x ? ? . ?????? ????????????????? ??????????? ? ?????
??? ???????? ?? ??????????? ?????, ????????
???????????? ?????????? ????????? ?????????? ? ??????????? ?? ???????????, ??????????? ??????? ? ?????? ?????? ????????, ??????????? ??????? ???????? ????????? ???????
?????? ??????????? ???????. ? ?????????
?????? ??????????, ??? ? ????????????? ????????
0 < ?? ? ?( x, t ) ? ?? , x ? ?, t ? [0, T ] .
??? ?????????? ?????????? ? ????????? ??????? ??????? [9], ???
? x ? R0 ?
?,
?( x, t ) = ? 0 ? exp??
(8)
?
? h ?
??? R0 ? ?????? ?????, h ? ? 0 ? ?????????
????????????? ??????????.
r
??? ?????????? ????, J ст ? ???????? ????????? ????????? ????? ? ????????? ?????????
????????.
??? ????????????? ???????????????? ????? ? ????????? ?? ?????? ??????? ???????????? ????????????????? ???????????, ? ???????
?????????????? ??????????????? ?????????????? ????. ??? ???????????? ?????????????, ???
? ????????? (2) ?????????????? ?????????? ??
??????? ??????? ????????? ????????.
? ?????? ???????????? ??????????? (5), (6)
? ????????????????? ????????????? ??????????? ?????? ??? ??????????? ?????????????? ???? ????????? ? ????
r
rot E ( x, t ) = 0 ,
(9)
r
r
? r
E ( x, t ) + 4??( x, t ) E ( x, t ) + 4?J ст ( x, t ) =
?t
r
= c rot H ( x, t ) .
(10)
????????, ??? ???????????? ????? ??????????? ????????? ???????????? ?????????
????? ????????? ? ??? ???????????? ????????? ?????????? ? ?????? ?????? ?? ????????????????? ?????? (8), ????? ???????, ??? ???????
??????????????? ??????? ? ???????? ???????? ?????????? ??????, ??? ????????????? ??????? ?? ??????? ? ????????? ??????? ??? ?????????????? ?????????? ????????????? ?????????????? ???? [7, 8]
r
E ? ( x, t ) = 0 , x ? ?
(11)
r
(??? ??????-??????? u , ???????????? ?? ? ,
r r
r
r
??????? ??????????? un = (u ? n ) , un = u n ? n ,
r
r r
r
u? = u ? u n , x ? ? , ??? n ? ????????? ??????
??????? ???????).
r
??????????????, ??? ??????? E ( x, t ) ????????????? ?????????? ???????
r
r
E ( x,0) = E0 .
(12)
? ?????? ??????????????? ?????? ? ???????????? ?????? ?? ??????????? ?????????????
r
?????????????? ???? E ( x, t ) ? ????? ????????r
?? ???? rotH ( x, t ) , ??????????????? ?????????? (9), (10), ????????? ???????? (11) ? ????????? ???????? (12), ???, ??? ??????????
r
????, J ст ( x, t ) ???????? ????????? ????????.
r
??????? ????????, ??? ???? E ( x, t ) ???????,
?? ?? (4) ???????????? ????????? ?????? ?( x, t ) ,
? ?? ??????????? ?????? ??? (6) ? ?????????r
???? ??? J ( x, t ) .
r
???? rotH ( x, t ) , ? ?????? (3) ? (5) ??? ??????????????? ????????? ???????? ????? ?????
r
? ????????? ???? H ( x, t ) .
? ?????? ????? ???????????? ? ?????????????? ???? ???????????? ????? ??????? ??????????????? ??????.
1. ???????? ?????????????? ????????????
? ?? ????????
????????? ?????????????? ????????????,
??????????? ??? ??????? ?????????? ??????.
????? L2 (? ) ???????????? ??????????? ???????????? ???????, ??????????? ? ?????????
? ? ; ????? {L2 (? )}3 ???????????? ???????????
r
???????????? ??????-??????? u : ? ? R 3 ??
????????? ?????????????
125
???????????? ????? ?????????????? ?????? ???????????? ?????????????
r r
(u ? v )
{L2 ( ? )}3
r
r
= ? (u ( x) ? v ( x))dx .
?????? ???? ?? ?????????? ??????? ? ??????
o
?
1
????? H (?) ???????????? ???????????? ????????
?
?
?u
H 1 (?) = ? u ? L2 (?) :
? L2 (?), i = 1, 2, 3 ? ,
?xi
?
?
?????????? ???????????? ????????????? ??
????????? ?????????????
3
?u ?v
(u ? v) 1 = ? u ( x)v( x)dx + ? ?
dx .
H (?)
i =1 ? ?xi ?xi
?
{
1
}
??????????, ????? H (?)
3
???????????? ???r
????????? ???????? ??????-??????? u : ? ? R 3
?? ????????? ?????????????
(ur ? vr ){H 1 (?)}3 =
r
r
3 ? ?u
r r
?v ?
??
= (u ? v ){L2 ( ? )}3 + ? ??
?
.
i =1 ? ?xi ?xi ?{L ( ? )}3
2
????????? ????? H (rot;?) ????????? ????????????:
r
r
H (rot; ?) = u ? {L2 (?)}3 : rot u ? {L2 (?)}3
?? ????????? ?????????????
r r
r
r
(u ? v ) H (rot;? ) = ? (u ( x) ? v ( x))dx +
{
}
?
r
r
+ ? (rot u ( x) ? rot v ( x))dx ,
?
r
3
??? ????????? rot u ? {L2 (?)} ?????????? ?
?????? ?????? ?????????????, ?? ???? ??????r
???? ??????? g ? {L2 (?)}3 ?????, ??? ??? ??r
3
??? ??????? ??????? ? ? {D (?)} ???????????
?????????
r
r
r
r
? (u ( x) ? rot ?( x))dx = ? ( g ( x) ? ?( x))dx ,
?
?
??? ????, ?? ???????????, ?????????, ???
r
r
g = rot u .
??? ??????? ?? ???????????? H (rot;?) , ?
?????? ????? ??????? ? ? R 3 ? ???????? ???????????? ???????????? ? ???????? ? ??????
C 2 , ????? ???? ?????????? ??????? ????? ?????????????? ???????????? ?? ??????? [8, 10]
r
u ? ? H ?1 / 2 ( ? ) .
o
????? H (rot;?) ???????????? ????????? ???????????? ??????? ??????-??????? {D (?)} ?
H (rot;?) .
????? ???? ????????, ??? ????? ???????
r
u ? H (rot;?) ? ?????????????? ???????????,
3
C 2 , ????????? ? H (rot;?) [8, 10].
????? Ker (rot;?) ????? ?????????? ????
???????? rot :
r
r
Ker (rot; ?) = {u ? H (rot; ?) : rot u = 0}.
Ker (rot;?) ? ????????? ???????????????
{L2 (? )}3 , ??????? ???????? ???????????? ????????????? ?? ????????? ?????????????, ?????????????? {L2 (? )} .
3
o
????? Ker (rot;?) ???????????? ????? ????r
??? u ? Ker (rot;?) , ??? ??????? ?????????????? ?????????? ?? ??????? ????? ????.
????????? ???????????? rot H (rot; ?) ?
{
}
3
rot H 1 (?) :
r
r r
rot H (rot; ?) = {u = rot v : v ? H (rot; ?)} ,
3
3
r
r r
rot H 1 (?) = ??u = rot v : v ? H 1 (?) ??
?
?
?? ????????? ?????????????
r r
r
r
(u ? w) rot = ? (u ( x) ? v ( x))dx .
{
}
{
}
?
? [10] ???????? ?????????????? ?????????
???????????.
{
}
????? 1. rot H 1 (?)
3
? ????????? ??????-
????????? ? {L2 (?)} .
3
????? 2. ??????????? ????????? ?????????? ???????????? {L2 (?)}3 :
{L2 (? )}3 = rot{H 1 (?)}
3
{
o
? Ker (rot; ?) ,
}
?????? ???????????? rot H 1 (?)
????????????.
???????????
{
3
}
o
? Ker (rot;?)
3
????? 3. rot H 1 (?) = rot H (rot; ?) .
??????????????.
????????,
{H (?)} ?
rot {H (?)} ?
3
1
3
1
? H (rot;?) , ?????????????,
? rot H (rot; ?) .
??????? ?????????????? ????????? ??????-
{
}
3
??? rot H 1 (?) ? rot H (rot; ?) .
???????????, ??? ?????????? ???????
3
r
r
u ? rot H (rot; ?) ?????, ??? u ? rot H 1 (?) . ?
???? ?????? ??????????? ??????????:
{
}
126
?.?. ??????, ?.?. ???????
r r r
u = u1 + u 2 ,
???
{
}
3
r
u1 ? rot H 1 (?) ,
o
r
r
u2 ? rot H (rot; ?) I Ker (rot; ?) , u2 ? 0 .
{
} {
3
}
}
3
????????? C 1 ( ? ) ? H 1 (?) , ?? ??? ?????3
r
???????????
??????? ??????? v ? C 1 (? )
?????????
r
r
(u 2 ? rot v )
= 0.
(13)
{L2 ( ? )}3
r
????????? u2 ? rot H (rot; ?) , ??????-???????
r
r
r
r
u 2 ??????????? ? ???? u 2 = rot ? ( ? ?
{
{
}
{
}
3
? H (rot;?) ). ???????????? C 1 (? )
?????
?????? ? H (rot;?) [8, 10], ????? ??????????
3
r
1
?????????????????? {vk }?
?????,
k =1 ? C ( ? )
r
r
??? vk ? ? H (rot;? ) ? 0 ??? k ? ? , ?, ?????r
r
????????, rot vk ? rot ? {L ( ? )}3 ? 0 .
2
r r
??????? ? (13) v = vk . ????????
r
r
? (rot ?( x) ? rot vk ( x))dx = 0 ,
?
???????? ? ??????? ??? k ? ? , ????????
r
2
? rot ?( x) dx = 0 ,
?
r
r
?????? ??????? u2 = rot ? = 0 , ??? ????????????
?????????? ?????????????. ???????????
????? ????????.
????? 4. ??? ???????????? {L2 (?)} ??????????? ?????????? ? ?????? ????? ????????????? ???????????
3
o
{L2 (? )}3 = rot H (rot; ?) ? Ker (rot; ?) .
????? 5 [10]. ??????????? ?????????
o
r
r
Ker (rot; ?) = u ? {L2 (?)}3 : u = grad p,
{
A? (t ) : {L2 (?)}3 ? {L2 (?)}3 ,
r
r
?? ???? ?(t ) ? u = A? (t )[u ] .
? ?????? ????????? ?????????????? ??????????? ?????? (9)?(12) ???????? ? ?????? ??????????? ???????
o
r
E ? C 1 ([0, T ]; Ker (rot; ?)) ,
r
F ? C ([0, T ]; rot H (rot; ?)) ,
??????????????? ?????????
r
r
r
d r
E (t ) + 4?A? (t )[ E (t )] + 4? J ст (t ) = F (t ) (14)
dt
? ?????????? ???????
o
r
r
E
= E0 ? Ker (rot; ?) ,
(15)
t =0
r
??? J ст ? C ([0, T ]; {L2 (?)}3 ) ? ???????? ???????.
2. ???????????? ?????? (14), (15)
? ?????? ????????????
??????? 1. ??? ????? ???????? ???????
r ст
r r
J ? C ([0, T ]; {L2 (?)}3 ) ??????? E , F ??????
(14), (15) ?????????? ? ???????????.
??????????????. ?????? ????????? ?????????????? ?? ????????????? ????????????
{ }
o
Ker (rot;?) ? rot H (rot; ?) :
o
?? ???? 2 ? 3 ???????
1
???
??????
? ? C ([0, T ]; L? (?))
?
r
r
3
u ? {L2 (?)} ???????? ????????? ? ? u ?????
??????????????? ??? ???????? ????????? ????????????? ?????????
}
p ? H (?), p = consti на каждом ?i .
??? ???????? (? ???????????) ????????????
??????? H ????????? ???????????? ??????
??????????? ??????? u : [0, T ] ? H , ???????
???????????? C ([0, T ]; H ) , ?, ??????????, ?????
C 1 ([0, T ]; H ) ???????????? ???????????? ??????? u ? C ([0, T ]; H ) , ??? ??????? ??????????
du
? C ([0, T ]; H ) .
??????? ???????????
dt
P : {L2 (?)}3 ? Ker (rot; ?) ;
P ? : {L2 (?)}3 ? rot H (rot; ?) .
?? ????? 4 ???????, ??? ??? ?????? ???????
r
u ? {L2 (?)}3 ??????????? ??????????
r
r
r
u = P[u ] + P ? [u ] .
????????
????????
??????????????
o
P : {L2 (?)}3 ? Ker (rot; ?) ? ????????? (14) ?
????????, ???
r
r
? dE ? dE
,
P? ? =
? dt ? dt
r
???????? ????????? ??? ?????????? E :
r
d r
E (t ) + 4?PA? (t )[ E (t )] +
dt
(16)
r ст
+ 4? P[ J (t )] = 0 .
???????,
???
?????????
??????????
{PA? (t )}t?[0,T ] ?????? ?????????? ?? t , ?? ????
127
???????????? ????? ?????????????? ?????? ???????????? ?????????????
3. ???????????? ????? ???????
?????? (14), (15)
lim PA? (t + ?t ) ? PA? (t ) = 0 ,
?t ?0
??? ? ? ??????????? ????? ???????????
PA? (t ) : {L2 (?)}3 ? {L2 (?)}3 .
r
r
????? u ? {L2 (?)} ? u = 1 , ?????
3
PA? (t + ?t ) ? PA? (t ) =
r
= sup ( PA? (t + ?t ) ? PA? (t ))[u ] {L
3
2 ( ? )}
v
u =1
.
?? ??????????? ???? ? ???????????? ???????
(PA? (t + ?t ) ? PA? (t ) ) [ur ] {L2 (?)}3 ?
r
? ( A? (t + ?t ) ? A? (t ) ) [u ] {L ( ? )}3 ?
2
?
?
r
? ?? ? ((?( x, t + ?t ) ? ?( x, t ))u ( x) )2 dx ??
?
??
1
2
? r 2 ?
? ?(?, t + ?t ) ? ?(?, t ) L ( ? ) ?? ? u ( x) dx ??
?
?
??
? ?(?, t + ?t ) ? ?(?, t ) L (? ) .
1
?
2
?
?
????????? ? ? C ([0, T ]; L? (?)) , ?? ?? ?????????? ?????? ???????
PA? (t + ?t ) ? PA? (t ) {L ( ? )}3 ? 0 ??? ?t ? 0 .
2
????????? ????????? ?????????? ? ???????????? ???????? ??????????? ????????? [11], ??o
r
???????, ??? ??????? E ? C 1 ([0, T ]; Ker (rot; ?))
????????? (16) ? ?????????? ????????? (15)
?????????? ? ???????????, ? ????? ???? ???????? ????????
t
r
?
? r
E (t ) = exp? ? 4?P ? A? (?)d? ?[ E0 ] ?
?
?
0
?
?
(17)
t
?
?
? r ст
? 4? ? exp? 4?P ? A? (?)d? ? P[ J (?)]d? .
?
?
0
t
?
?
????? exp A ? ??????????? ??????????, ?????????? ????????
? 1
exp A[?] = ? An [?] .
n =0 n!
r
??? ???? ??????-??????? F (t ) ????????????
???????????? ??????? ?? ???????
r
r
r
F (t ) = 4?P ? [ A? (t )[ E (t )]] + 4?P ? [ J ст (t )] . (18)
??????? ????????, ??? ??????? 1 ????? ????
???????? ??? ?????? ??????????? ?????????
?????????? A? (t ) ??? ?????????????? ????????????? ? ???????????? ??????? ?????????.
? ???? ?????? ??? ?????????????? ????? ????
????????????, ????????, ??????????, ??????????? ? [12].
??? ??????? ?????? (14), (15) ????? ????
??????????? ???????????? ?????.
o
r
r
????? E ( 0) = E0 ? Ker (rot; ?) . ?????????
r
r
?????????????????? E ( j +1) , F ( j +1) , j = 0, 1,... ,
{
}
? ??????? ???????????? ???????????
r
d r ( j +1)
E
(t ) + 4?A? (t )[ E ( j +1) (t )] +
dt
r
r
+ 4? J ст (t ) = F ( j +1) (t ) ,
r
r
E ( j +1) (0) = E0 ,
r
r
F ( j +1) (t ) = 4?P ? [ A? (t )[ E ( j ) (t )]] +
r
+ 4?P ? [ J ст (t )] .
(19)
(20)
??????????? ????????? ???????????:
??????? 2. ???????????? ??????????? (19),
(20) ?????????? ?????????? ?????????????????? ???????
o
r
E ( j +1) ? C 1 ([0, T ]; Ker (rot; ?)) ,
r
F ( j +1) ? C ([0, T ]; rot H (rot; ?)) ,
o
r
r
??? ???? E ( j +1) ? E ? C 1 ([0, T ]; Ker (rot; ?)) ,
r
r
F ( j +1) ? F ? C ([0, T ]; rot H (rot; ? )) ???
r r
j ? ? , ??? E , F ? ??????? ???????? ??????
(14), (15).
??????????????. ??????????? ?? ???????
(17), ??????? ????????? (19) ????? ???????? ?
????????? ????:
t
? 4 ? ? A? ( ? ) d? r
r
E ( j +1) (t ) = e 0
[ E0 ] +
?
t 4 ? ? A? ( ? ) d?
+ ?e
t
r
r
[ F ( j +1) (?) ? 4?J ст (?)]d? .
0
r
?????? ????? ???????? ??????? E ( j ) (t ) ??
?????? ? ??????? ?????:
r
r
E (1) (t ) ? E (0) (t )
o
Ker (rot;? )
? ? 4 ? t A (? ) d? ?
?
? r
? ?
= ?e 0
? 1?[ E0 ] +
??
??
?
?
?
t 4 ? ? A? ( ? ) d?
+ ?e
0
t
r
r
[ F (1) (?) ? 4?J ст (?)]d?
?
o
Ker (rot;? )
128
?.?. ??????, ?.?. ???????
r
? t r
? e 4 ?? T ? F ( 2) (?) ? F (1) ( ?)
?
t 4 ? ? A? ( ? ) d?
? ?e
t
r
r
[ F (1) (?) ? 4?J ст (?)]d?
0
?
0
{L2 ( ? )}
?
t
?? e
4 ? ? A? ( ? ) d?
t
r
r
? F (1) (?) ? 4?J ст (?)
0
{L2 ( ? )}3
d?.
?????? ?? ???? ????????? A? (t ) , ????? ???????? ????????? ??????:
r
r
? 4??? E (1) (t ) ? E (0 ) (t )
4 ? ? A? ( ? ) d?
t
? ( ? ?t )
? e 4 ??
d?.
???????????
{L2 ( ? )}3
????????? ???????????
r
r
F ( 2) (t ) ? F (1) (t )
=
{L2 ( ? )}3
r
r
= 4?P ? [ A? (t )[ E (1) (t ) ? E ( 0 ) (t )]]
?
e
r
r
F ( 2 ) ( ?) ? F (1) (?)
???
3
{L2 ( ? )}3
o
Ker (rot;? )
{L2 ( ? )}3
?
? 4???C0 (T ).
????? ???????, ???????? ??????
r
r
?
E ( 2 ) (t ) ? E (1) (t ) o
? 4???e 4 ?? T C0 (T ) ? t.
?
? e 4 ?? T .
Ker (rot;? )
r
r
?????? F (1) (?) ? 4?J ст (?)
{L2 ( ? )}3
?? ??????? (20)
r
r
F (1) (?) ? 4?J ст (?)
. ??????
r
r
E ( j +1) (t ) ? E ( j ) (t )
=
{L2 ( ? )}
r ( 0)
= 4?P A? (?)[ E ] +
r
r
+ 4?P ? [ J ст (?)] ? 4?J ст (?)
?
{L2 ( ? )}3
r
?
? 4?? P ? A? (?)[ E ( 0 ) ]
+
{L2 ( ? )}3
?
r
?
+ P[ J ст (?)]
??
{L2 ( ? )}3 ?
r
r
?
?
? 4?? 2?? E ( 0 )
+ P[ J ст (?)]
?.
3
3
{L2 ( ? )}
{L2 ( ? )} ?
?
????? ???????, ????????
r
r
E (1) (t ) ? E ( 0 ) (t ) o
?
?
3
[
]
[
]
Ker (rot;?)
? 4?e
t
4 ???T ?
? ?? 2?
0
?
r
E0
{L2 ( ? )}3
+
?
? d? ?
{L2 ( ? )}3 ?
r
?
? 4?e 4 ?? T ?? 2??T E0
+
{L2 ( ? )}3
?
?
? = C0 (T ).
d
?
?
{
L2 ( ? )}3
0
?
r ( 2)
r
?????? ????? ???????? E (t ) ? E (1) (t ) :
r
r
E ( 2 ) (t ) ? E (1) (t ) o
=
Ker (rot;? )
?
?e
0
t
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CORRECTNESS OF ONE MATHEMATICAL PROBLEM OF ATMOSPHERIC ELECTRICITY
A.A. Zhidkov, A.V. Kalinin
One of mathematical models developed to describe quasi-stationary electromagnetic fields in the atmosphere is
considered. An iteration method for the solution of the problem considered is proposed and proved.
Keywords: mathematical model, atmospheric electricity, Maxwell equations, electromagnetic fields, functional
spaces, correctness, iteration method.
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электричество, одной, математические, корректность, задачи, атмосферного
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