close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Коэрцитивная разрешимость эллиптических дифференциальных операторов заданных на неограниченном многообразии без края.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2010, том 53, №2
МАТЕМАТИКА
УДК 517. 946
А.Х.Дадабаев
КОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ЗАДАННЫХ
НА НЕОГРАНИЧЕННОМ МНОГООБРАЗИИ БЕЗ КРАЯ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан К.Х.Бойматовым 22.07.2005 г.)
В статье приведены результаты по теории разрешимости дифференциальных операторов
высокого порядка, заданных на неограниченных многообразиях без края.
Ключевые слова: коэрцитивность – многообразие – эллиптические операторы – разделимость –
сужение оператора.
Исследованию разделимости и получению соответствующих неравенств коэрцитивности для
эллиптических операторов в ограниченных и неограниченных областях Ω посвящено большое количество работ.
С литературой по данному вопросу можно ознакомиться по работам [1,2], где имеется подробная библиография работ по разделимости. Из последних работ в этом направлении отметим [3].
В этой работе впервые исследованы вопросы разделимости и коэрцитивной разрешимости эллиптических дифференциальных операторов, заданных на неограниченных многообразиях без края.
1. Пусть M – n-мерное C  -многообразие без края. Покроем M системой открытых ограниченных множеств M j  M , j=1,2,….., конечной кратности так, что M j  M , и при этом найдутся
функции  j ( ),  j ( ) , j=1,2,….., обладающие следующими свойствами:
I. Функции  j (  ), j=1,2,….., образуют разбиение единицы многообразия M, то есть
II.
III.




 j ( )  1.
(  M )
 j ( )  1.
(  M )
j 1
j 1
 j ( )  1 для   sup p j , j  1, 2,...
Далее на M вводится положительная C  -плотность d  и предполагается , что при любом
j=1,2,… существует C  -гомеоморфизм gj
Адрес для корреспонденции: Дадабаев Абдусалом Хамробоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе,
пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: awst2001@mail.ru
94
Математика
А.Х.Дадабаев
множества Mj на открытое ограниченное множество V j  R n и для всех открытых множеств w  M j
выполняется неравенство
C1mesgi ( w)   d  C2 mesgi ( w)
w
с константами C1, C2 >0, не зависящими от j.
Пусть выполнено неравенство
Dx j ( g j 1 ( x)) ...  Dx  j ( g j 1 ( x))  C3 ,
где C3 – константа, не зависящая от j. Здесь и далее  обозначает мультииндекс
  (1 , 2 ,... n ),  j  Z ,... j  1, 2,..., n
n
1
  
  
Dx  
 ,   1   2  ...   n
 ... 
 ix1 
 ixn 

2. Пусть C0 (M ) обозначает класс C  -функций u( ) на M, обращающихся в нуль на Mj,
j=j0, j0+1 начиная с некоторого достаточно большого номера j0 = j0(u). Для дифференциального оператора A с областью определения C0 (M ) можно построить операторы Aj, j=1,2,… такие, что для
u  C0 (M j ) выполняется равенство
Au   j 1 Ai j u,
где отображение
 j : C  (M j )  C  (V j )
0
0
задается по формуле
( j u )( x)  u  g j 1 ( x)  , x V j .
При этом Aj – дифференциальный оператор и имеет вид
( Aj v)( x)    2m a , j ( x) Dx v( x)  Qj ( x)v( x), v  C0 (V j ).
(1)
Очевидно, что имеют место равенства
( Au)( )   j 1 Au j   j 1 j 1 Aj j j u,


из которых виден общий вид оператора A.
Оператор A представим в виде
A  A  Q,
95
(2)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2010, том 53, №2
где

A   j 1 j 1 Aj j j ,
(3)

Q€   j 1 j 1Q j j j .
(4)
Очевидно, что оператор Q есть оператор умножения на функцию

Q€( )   j 1 Q j ( g j ( ) j ( ),
то есть
(Qu)(  )  Q€(  )u(  ),  u  C0 ( M ).
3. Сформулируем условия на коэффициенты операторов Aj, j=1,2,… Предполагается, что коэффициенты операторов Aj бесконечно дифференцируемы и обладают производными, равномерно
ограниченными по j=1,2,…. вплоть до порядка 2m, функции Q j ( x)  C1 (V j ), j=1,2,… и удовлетворяют неравенствам
1
Q j ( x)  1,  xQ j ( x)  M  Q j
1

2m
( x), ( x V j ),
где числа  , M  0 от j не зависят.
Условие равномерной эллиптичности формулируется в виде неравенства
C4  s 2m    2m a , j ( x)s , ( x V j ), (s  Rn ) ,
при этом числа C4  0 не зависят от j =1,2,… . Определим пространство W22m (M ) как класс функций
u( ), (   M ) , для которых норма
1/2
2m
2
u :W
 
2
( M )     j u j : W22 m (V j ) 
 j 1

конечна.
Очевидно, что по формулам (1)-(4) операторы A, A , Q можно расширить соответственно до
 , A , Q , заданных на W 2m (M ) . Класс W 2m (M ) состоит из функций u( ) (   M )
операторов A
2,loc
2,loc
таких, что
 j u  C  (M ) , j=1,2,… .
0
4. Сформулируем основные результаты работы.
Теорема 1. Пусть функции
96
Математика
А.Х.Дадабаев
u W2,loc (M )  L2 (M : d  ), f  L2 (M : d  )
 f.
удовлетворяют уравнению Au
Тогда u W22m (M ), Qu  L2 (M : d  ), и выполняется неравенство
 : L (M : d  )  C  u : L (M : d  )  f : L (M : d  )  ,
u W22 m ( M )  Qu
2
2
2
где числа С не зависят от u, f.
  A  Q разделяется в L2 ( M : d  ) , то есть
Следствие. Оператор A

 , Qu
Au
 L2 ( M : d  ) ,
  L (M : d  ) .
 ) таких, что u, Au
для всех u  D( A
2
Теорема 2. Существует число 0  0 такое, что уравнение
  u  f ,
Au
(5)
где f  L2 ( M : d  ) , при Re   0 имеет единственное решение
m
u  L2 (M : d  )  W2,2loc
(M ).
m
(M ) является квази-m-аккретивным
Теорема 3. Сужение оператора A на D(Q )  W2,2loc
оператором в L2 ( M : d  ).
Из теорем 1,2 следует коэрцитивная разрешимость уравнения (5) в L2 ( M : d  ).
5. Для доказательства теорем 1-3 строится регуляризатор R уравнения (5) так, что
 A   E  R

E
L2 ( M :d  )  L2 ( M :d  )

1
2
для достаточно больших Re   0 . Далее устанавливается формула
 A   E 
1
1
 R  E  F  ,
(6)
~
где A1 – сужение оператора A на L2 ( M : d  ) , а F : L2 ( M : d  )  L2 ( M : d  ) – ограниченный
оператор, норма которого не превосходит 1 при Re   0
Для доказательства ограниченности оператора
 A   E 
1
1
в L2 ( M : d  ) достаточно дока-
 .
зать ограниченность оператора QR

Доказательства других утверждений теорем 1-3 также опираются на использование представления (6).
97
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2010, том 53, №2
6. Ранее в работе автора [4] было установлено интегральное представление для полугруппы
e
 tA1
при t  (0, t0 ) в случае самосопряженности оператора A1 .
Поступило 25.01.2010 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Мынбаев К.Е., Отельбаев М.О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. – М.: Наука, 1998.
2. Бойматов К.Х. – Тр. семинара им. И.Г.Петровского, 2001, т.21, с.194-239.
3. Гадоев М.Г., Канобулов С.И. – Дифференциальные уравнения, 2003, т.39, №6, с.850-851.
4. Дадабоев А.Х. – ДАН РТ, 1993, т.36, №4-5, с. 253-257.
А.Х.Дадабоев
ЊАЛШАВАНДАГИИ КОЭРТСИТИВИИ ОПЕРАТОРИ ЭЛЛИПТИКЇ
ДАР БИСЁРШАКЛИИ БЕЊУДУДИ БЕКАНОР
Донишгоњи миллии Тољикистон
Дар маќола људошавандагї ва њалшавандагии оператори эллиптикии тартиби љуфт дар
бисёршаклии бењудуди беканор омўхта шудааст. Ѓайр аз он бањои коэртсивии њал исбот карда
шудааст.
Калимањои калидї: коэртситивї – бисершакла – оператори эллиптикї – људошавї – фишурдаи
оператор.
A.Kh.Dadabaev
CERSIVE SOLVABILITY OF THE ELLIPTICAL DIFFERENTIAL OPERATOR
ON THE UNBOUNDED MANIFOLDS WITHOUT BOUNDARY
Tajik National University
This article is studding separation and dissolving of elliptical differential operator of arbitrary even
order in an un limited variety without to order. Also gained solution of proper appreciation. Separation and
solvability of elliptic differential operator of arbitrary even order on unbounded manifolds without boundary
are studied in the article. The coercive inequality for the solution is also proved.
Key words: сersive – manifold – elliptic – separation – restriction of operator.
98
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа