close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Краевая задача Римана на замкнутой неспрямляемой кривой и преобразование Коши.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2010
Том 152, кн. 1
УДК 517.544
КАЕВАЯ ЗАДАЧА ИМАНА
НА ЗАМКНУТОЙ НЕСПЯМЛЯЕМОЙ КИВОЙ
И ПЕОБАЗОВАНИЕ КОШИ
Б.А. Кац
Аннотация
В работе установлено, что решения краевой задачи имана на замкнутой неспрямляемой кривой представимы в виде преобразований Коши некоторых распределений.
Ключевые слова:
Коши.
неспрямляемая кривая, краевая задача имана, преобразование
1. Настоящая работа посвящена следующей хорошо известной краевой задаче.
Пусть ? есть замкнутая жорданова кривая на комплексной плоскости C , разбивающая ее на конечную область D+ и содержащую бесконечно удаленную точку
область D? . Требуется найти голоморную в C \ ? ункцию ?(z) , имеющую
граничные значения +lim ?(z) ? ?+ (t) и ?lim ?(z) ? ?? (t) в каждой точке
D ?z?t
D ?z?t
t ? ? , исчезающую в бесконечно удаленной точке и удовлетворяющую условию
граничного сопряжения
?+ (t) = G(t)?? (t) + g(t),
t ? ?,
(1)
где G и g заданные ункции. Эта задача, известная как задача имана, имеет
обширные приложения. Ее классическая теория (см. [1, 2?) основана на использовании интеграла типа Коши
Z
f (?) d?
1
.
?(z) =
(2)
2?i
? ?z
?
В частности, для кусочно-гладкой кривой ? этот интеграл с плотностью f , удовлетворяющей условию ельдера с показателем ? ? (0, 1] , дает единственное решение
простейшего случая задачи имана задачи о скачке:
?+ (t) ? ?? (t) = f (t),
t ? ?.
(3)
Если кривая ? неспрямляемая, то интеграл по ней, вообще говоря, не определен.
Но краевая задача имана сохраняет смысл и в этой ситуации. В 1980-е годы мы
показали (см., например, [3?), что она разрешима, если граничные данные G(t) и
g(t) удовлетворяют условию ельдера с показателем
?>
1
Dmb ?,
2
(4)
где Dmb ? есть верхняя метрическая размерность (она же размерность Минковского, она же box dimension; см. [4, 5?) кривой ? , определяемая равенством
Dmb ? = lim sup
??0
log N (?, ?)
.
? log ?
(5)
КАЕВАЯ ЗАДАЧА ИМАНА. . .
165
Здесь N (?, ?) есть наименьшее число кругов диаметра ?, покрывающих множество ? . При этом не были получены представления решений задачи в орме контурных интегралов. В настоящей работе мы получим такие представления.
2. В последние десятилетия появилось немало работ (см., например, [68?), посвященных свойствам преобразования Коши различных мер. Если µ есть мера
на комплексной плоскости с компактным
носителем S , то ее преобразование КоZ
1
dµ(?)
ши это интеграл Cµ :=
, называемый также потенциалом Коши.
2?i
? ?z
В частном случае, когда S есть спрямляемая кривая, dµ = f (t) dt и f (t) есть
интегрируемая (относительно длины S ) ункция, он превращается в интеграл
типа Коши. С другой стороны, если ? есть распределение с компактным носителем S на комплексной плоскости, то его преобразование Коши можно определить
равенством
1
1
C? :=
?,
,
2?i
? ?z
1
как к унк? ?z
1
. Мы
ции переменной ? либо как свертка ? ? E, где E есть распределение
2?i?
отождествляем каждую заданную
Z Z на комплексной плоскости ункцию F (?) с рас-
где z 6? S . Последнее равенство понимается как применение ? к
пределением F : C0? ? ? 7? 7?
F (?)?(?) d? d? , если последний интеграл имеет
смысл. Поскольку E есть ундаментальное решение диеренциального оператора ? (иначе говоря, ?E = ?0 , см. [9?), то ?C? = ? и ункция C?(z) голоморна
в C \ S . Очевидно, эта ункция равна нулю в точке ? .
В основном нас будет интересовать случай ? = ?F , где F голоморная
в C \ ? ункция, локально интегрируемая в C . Носитель такого распределения
лежит на кривой ?. Если эта кривая спрямляемая, а F имеет на ней непрерывные
граничные значения с обеих сторон F ± , то нетрудно убедиться, что распределение
? = ?F действует по ормуле
Z
h?, ?i = (F + (?) ? F ? (?)) ?(?) d? .
?
Поэтому для неспрямляемой кривой ? это распределение может рассматриваться
как обобщенное интегрирование по кривой ? с весом F + (?) ? F ? (?) . Интегрирование с единичным весом получается, например, когда F есть характеристическая
ункция ? + (z) области D+ , равная единице в D+ и нулю в D? . Все такие распреZ[F ]
деления мы будем называть интегрированиями1 и обозначать
. При этом будем
*Z[F ] +
Z[F ]
писать
? d? вместо
, ? . Диеренциал d? здесь служит для указания
переменной, по которой производится интегрирование.
3. Интегрирования определены выше как распределения, то есть ункционалы
на C ? . Покажем, что их можно продолжить по непрерывности на более обширные
1 С другими подходами к вопросу об интегрировании по неспрямляемым кривым можно ознакомиться в работах [1013?.
166
Б.А. КАЦ
пространства. Для этого мы используем понятие аппроксимационной размерности
неспрямляемой кривой, введенное в [14?.
В определении этого понятия используются следующие две метрические характеристики конечной области P со спрямляемой границей: ?(P ) означает длину ее
границы ?P , а w(P ) диаметр наибольшего круга, содержащегося в P.
Пусть P + = {Pn , n = 1, 2, . . . } есть некоторое разложение D+ на многоугольники, то есть последовательность
неналегающих многоугольников таких, что Pn ?
S
? D+ , n = 1, 2, . . . ,
Pn = D+ , и любое замкнутое множество A ? D+ пересеn?1
кает лишь конечное число многоугольников Pn . Без ограничения общности можно
считать, что при любом n одна из сторон многоугольника Pn+1 принадлежит граn
S
S
нице объединения
Pk . Тогда замкнутые ломаные ?+
Pk сходятся к ?
n := ?
1?k?n
k=1
X
из области D+ . Назовем d -массой P + сумму Md (P + ) :=
?(Pn )wd?1 (Pn ) .
n?1
Пусть N + (?) есть множество всех таких чисел d , что
область D
имеет разложение P + с конечной d -массой Md (P + ) . Тогда
+
Dma ? := inf N + (?) есть внутренняя аппроксимационная размерность кривой ?.
Определение
1.
+
Аналогично, пусть P ? = {Pn , n = 0, 1, 2, . . . } есть разложение бесконечной области D? на многоугольники, причем многоугольная область P0 содержит внутри
себя ? , а все остальные многоугольники конечны. Такое разложение порождает
?
?
последовательность
ломаных ??
n , сходящихся к ? из D . Полагаем Md (P ) :=
X
d?1
:=
?(Pn )w
(Pn ) .
n?1
Пусть N ? (?) есть множество всех таких чисел d , что
область D
имеет разложение P ? с конечной d -массой Md (P ? ) . Тогда
?
Dma ? := inf N ? (?) есть внешняя аппроксимационная размерность кривой ?.
Аппроксимационной размерностью ? называется величина
Определение
2.
?
Dma ? := min{Dma+ ?, Dma? ?}.
Теорема 1.
i. Для любой плоской кривой ? выполняются неравенства
Dma+ ? ? Dmb ?,
(6)
Dma? ? ? Dmb ?.
ii. Для любого числа d ? (1, 2) можно указать кривые ?1 и ?2 такие, что
Dmb ?1 = Dmb ?2 = d , но Dma? ?1 < d и Dma? ?2 < d .
Доказательство. Неравенства (6) доказываются точно так же, как в [14? доказывалось неравенство Dma ? ? Dmb ? . Второе утверждение теоремы также можно
доказать, повторяя рассуждения из [14?, но здесь мы применим несколько иную
конструкцию.
Пусть {ak } есть убывающая последовательность положительных чисел такая,
?
?
?
X
X
X
что
ak = 1 . Положим xn =
ak и будем считать, что ряд
xn расходится.
k=1
n=1
k=n
ассмотрим вертикальные отрезки ?n := {z = xn +Siy : 0 ? y ? xn } и найдем
верхнюю метрическую размерность множества ? :=
?n . азобьем плоскость на
n?1
квадраты со стороной ? > 0 и обозначим через N ? (?, ?) число таких квадратов,
167
КАЕВАЯ ЗАДАЧА ИМАНА. . .
пересекающихся с ? . Хорошо известно, что N (?, A) ? N ? (?, A) для любого компакта A , и поэтому мы можем заменить N на N ? в равенстве (5). Пусть номер
n(?) определяется неравенством an(?)+1 ? ? < an(?) . Тогда все отрезки с номерами n ? n(?) покрываются N1 квадратами, заполняющими половину квадрата
[0, xn(?) ] Ч [0, xn(?) ] под его диагональю; отсюда N1 ? ??2 x2n(?) . Остальные отрезки
?k , k = 1, 2, . . . , n(?) ? 1, покрываются N2 квадратами, причем никакой квадрат
не может пересекаться с двумя или более отрезками из этого списка. Поэтому
n(?)?1
X
N2 ? ??1
xk и
k=1
n(?)?1
?
N (?, ?) ?
??2 x2n(?)
+?
?1
X
xk .
k=1
Входящие сюда величины легко оцениваются, что позволяет вычислить Dmb ? для
многих конкретных последовательностей {ak } . В частности, справедлива
1
1
2
и an ? ?+1 , где 0 < ? < 1 , то Dmb ? =
.
n?
n
1+?
1
В частности, условия леммы выполнены при xn = ? , n = 1, 2, . . . .
n
Теперь заиксируем ? > 1 и рассмотрим систему прямоугольников Rn :=
S {z =
= x + iy : xn ? a?n < x < xn , 0 ? y < xn }, n = 1, 2, . . . Пусть R :=
Rn .
n?1
S
Положим D1+ := {z = x + iy : 0 < x < 1, ?1 < y < 0} R (квадрат с серией
прямоугольных аппендиксов), D2+ := {z = x + iy : 0 < x < 1, 0 < y < 1} \ R
+
(квадрат с серией прямоугольных вырезов) и ?1,2 = ?D1,2
. Из леммы 1 нетрудно
?1
вывести, что Dmb ?1 = Dmb ?2 = 2(1 + ?) . Положим ? = 2d?1 ? 1 ; тогда
Лемма 1.
Если xn ?
Dmb ?1 = Dmb ?2 = d.
Далее, область D1+ имеет разложение, состоящее из квадрата {z = x + iy : 0 <
< x < 1, ?1 < y < 0} и прямоугольников Rn , а дополняющая D2+ область D2? разложение, состоящее из тех же прямоугольников и дополнения квадрата {z =
= x + iy : 0 < x < 1, 0 < y < 1} до всей комплексной плоскости. Тогда p -массы
?
X
?(Rn )wp?1 (Rn ) , сходящийся одновременобоих этих разложений содержат ряд
но с рядом
Значит,
?
X
n=1
xn an?(p?1) . Но этот ряд сходится при p > 1+
n=1
1??
= 1+? ?1 (d?1) .
?(1 + ?)
d?1
d?1
< d, Dma? ?2 ? 1 +
< d,
?
?
что и завершает доказательство теоремы 1.
Dma+ ?1 ? 1 +
Для любого ограниченного множества A ? C обозначим через H(A, ?) множество всех заданных на нем ункций f , удовлетворяющих условию
|f (t? ) ? f (t?? )| ? ??
?
??
h? (f, A) := sup
:
t
,
t
?
A,
t
=
6
t
< ?,
(7)
?
|t? ? t?? |
то есть условию ельдера с показателем ? ? (0, 1]. Коэициент h? (f, A) является
полунормой в H(A, ?) . В качестве нормы можно взять сумму kf kH(A,?) := |f (t0 )|+
+ h? (f, A) , где t0 ? A иксированная точка. Хорошо известно (см., например,
168
Б.А. КАЦ
[15?), что замыкание C ? по норме H(A, ?) не совпадает с H(A,
?) , но содержит
S
все пространства H(A, ? ? ) с ? ? > ? . Обозначим H ? (A, ?) :=
H(A, ? ? ) . Выберем
? ? >?
?
последовательность показателей {?j? } такую, что ?j? > ?j+1
> ?, j = 1, 2, . . . , и
?
lim ?j = ? . Семейство, состоящее из полунорм h?j? (f, A), j = 1, 2, . . . , и полунормы
j??
|f (t0 )|, превращает H ? (A, ?) в пространство Фреше, в котором множество C ?
является плотным. Аналогичным образом
можно задать структуру пространства
T
Фреше на множестве H? (A, ?) :=
H(A, ? ? ) .
? ? <?
Введем еще одно обозначение. Всюду ниже считаем, что ункция F (z) голоморна в C \ ? и ограничена. При этом F + (z) (соответственно F ? (z) ) обозначает
ункцию, равную F (z) в области D+ (соответственно в D? ) и нулю в дополнении
замыкания соответствующей области.
R [F ± ]
±
Теорема 2. Если Dma ? < 2, то ункционалы
продолжимы по непрерывности на пространства H ? (A, Dma± ? ? 1) соответственно, где в качестве
A можно взять любой компакт, содержащий ? внутри себя.
Пусть Dma+ ? < 2. Заиксируем числа d и ? такие,
что Dma ? < d < 2, 1 > ? > d ? 1. По определению внутренней аппроксимационной размерности существует разложение P + области D+ с конечной d -массой
?
Md (P + ) . Пусть ?+
n соответствующие ломаные, сходящиеся к ? изнутри, ? =
S +
?
=
?n . Любая ункция ? ? C удовлетворяет условию ельдера с любым
Доказательство.
+
n?1
показателем ? ? 1. Возьмем сужение ? на ?? , применим к этому сужению оператор продолжения Уитни (см., например, [9?) и обозначим полученную ункцию
через ? ? . В силу свойств оператора продолжения Уитни [9? эта ункция определена во всей комплексной плоскости и удовлетворяет там условию ельдера с любым
показателем ? ? 1 , совпадает с ? на множестве ?? , а в C \ ?? имеет частные
производные всех порядков, причем
|?? ? (z)| ? Ch? dist??1 (z, ?? ).
Здесь и ниже C означает различные положительные постоянные. При ? = 1 отсюда следует ограниченность частных производных первого порядка. Поэтому
+
[F
Z ]
+
+
?(?) d? = h?F , ?i = ?hF , ??i = ?
ZZ
F (?)
D+
=?
X ZZ
Pn
?P +
F (?)
Pn
=
X
??
d? d? =
??
P ?P +
n
X
Z
Pn ?P +?P
n
??
d? d? =
??
Z
F (?)?(?) d? =
?Pn
F (?)? ? (?) d? = ?
X ZZ
Pn ?P + Pn
F (?)
?? ?
d? d?.
??
Теперь заметим, что внутри многоугольника Pn ункция ? ? совпадает с результатом применения оператора продолжения Уитни к сужению ? на границу
этого многоугольника, и поэтому мы можем воспользоваться следующей леммой
из работы [14?.
169
КАЕВАЯ ЗАДАЧА ИМАНА. . .
Лемма 2. Пусть ? есть конечная область с жордановой спрямляемой границей ? , f ? H? (?) и f w есть продолжение Уитни ункции f с кривой ? . Если
1
p<
, то
1??
ZZ
p
|?f w | dx dy ? Chp? (f, ?)?(?)w1?p(1??) (?).
?
Выберем p так, чтобы d ? 1 = 1 ? p(1 ? ?) , то есть
p=
2?d
.
1??
(8)
Тогда при |F + (?)| ? M и p?1 + q ?1 = 1 согласно лемме 2 получаем
+
[F
Z ]
X ZZ
?(?)d? ? 2(
Pn ?P + Pn
? p
X ZZ
?? dx dy)1/p (
|F (x + iy)|q dx dy)1/q ?
?? P ?P +
n
Pn
1/p
? CM S 1/q Md (P + )h? (?, A),
где S есть площадь D+ . Эта оценка доказывает непрерывность ункционала
+
[F
Z ]
в пространстве H ? (A, Dma+ ? ? 1) и его продолжимость в это пространство по
непрерывности. Случай Dma? ? < 2 рассматривается аналогично.
Продолженные ункционалы мы также будем называть интегрированиями.
Из доказательства видно, что при Dma+ ? < 2 (или Dma? ? < 2 ) продолжение
+
?
[F
[F
Z ]
Z ]
ункционала
(соответственно
) строится следующим образом. Для любой
ункции f из пространства H ? (A, Dma+ ? ? 1) (соответственно, H ? (A, Dma? ? ?
? 1) ) можно указать показатель ? > Dma+ ? ? 1 (соответственно ? > Dma? ? ? 1 )
такой, что f ? H(A, ?) , а также разложение P + (соответственно P ? ) области D+
(соответственно D? ) с конечной d -массой такое, что ? > d ? 1 и d > Dma+ ?
(соответственно d > Dma? ? ). Тогда
±
[F
Z ]
f (?) d? = ?
ZZ
D±
F ± (?)
?f ?
d? d?,
??
где f ? есть продолжение Уитни сужения f на ?? =
S
(9)
?±
n . В случае интегри-
n?1
рования по бесконечной области D? продолжение f ? должно иметь компактный
носитель (скажем, можно умножить результат применения оператора Уитни на
гладкую ункцию с компактны носителем, равную единице в окрестности ? ).
Если две ункции f и g из пространства H ? (A, Dma± ??1) совпадают в какой±
±
[F
[F
Z ]
Z ]
либо окрестности ? , то, очевидно,
f (?) d? =
g(?) d?. Но, вообще говоря,
неизвестно, следует ли выполнение этого равенства из совпадения сужений f и g
на саму кривую ? , а не на ее окрестность. В связи с этим приведем такой результат.
170
Б.А. КАЦ
Теорема 3.
Если Dmb ? < 2, то ункционал
Z[F ]
продолжим по непрерыв-
ности на пространство H (A, Dmb ? ? 1) , где в качестве A можно взять любой компакт, содержащий ? внутри себя. Если при этом сужения ункций f
Z[F ]
?
и g из пространства H (A, Dmb ? ? 1) на кривую ? совпадают, то
f (?) d? =
?
Z[F ]
=
g(?) d?.
Эта теорема актически доказана в иных терминах в работах [10, 12?. Ее первое утверждение непосредственно следует из теоремы 2 и первого утверждения
теоремы 1.
Отметим также, что ункционал (9) можно рассматривать как семейство рас±
[F
Z ]f
, действующих по правилу
пределений
* [FZ± ]f +
,?
=
±
[F
Z ]
(10)
f (?)?(?) d?,
где f пробегает пространство H ? (A, Dma± ? ? 1) .
4.
ассмотрим преобразования Коши распределений (10). Мы будем обозначать
[F ±]
их через C?
f , то есть
[F
C?
±]
1
f :=
2?i
* [FZ± ]f
1
,
? ?z
+
.
Как уже отмечалось, это голоморная в C \ ? ункция, исчезающая в бесконечно удаленной точке. Несложные преобразования равенств (9) и (10) приводят
к представлению
ZZ
?f ? F ± (?) d? d?
1
[F ±]
C? f (z) = ±F ± (z)f ? (z) ?
,
(11)
2?i
? ?z
??
D±
где f то же, что в (9). Свойства входящего в последнее равенство интегрального
оператора хорошо известны (см., например, [16?). В частности, он дает непрерывную во всей комплексной плоскости ункцию, удовлетворяющую в C условию
?f ? ±
ельдера с показателем (p ? 2)/p , если его плотность
F (?) интегрируема
??
в области интегрирования в некоторой степени p > 2. При ограниченной ункции
F ± это происходит, если определенный равенством (8) показатель p больше двух,
то есть при ? > Dma± ?/2. Первое (внеинтегральное) слагаемое в правой части
(11) имеет скачок (F + ? F ? )f на кривой ?. Итак, справедлива
?
Если Dma ? < 2 , f ? H ? (A, Dma ?/2) , где A любой компакт, содержащий ? внутри себя, и ункция F имеет на ? предельные значения с обеих
[F ±]
сторон, то ункция ?(z) := C? f (z) имеет в каждой точке t ? ? предельные
значения с обеих сторон, связанные соотношением
Теорема 4.
?+ (t) ? ?? (t) = (F + (t) ? F ? (t))f (t),
t ? ?.
КАЕВАЯ ЗАДАЧА ИМАНА. . .
171
Напомним, что наши построения относятся к случаю, когда F (z) тождественно
равна нулю либо в D+ , либо в D? , то есть множитель перед f равен ±F ± (t) .
Далее, любая ункция f ? H ? (?, Dma ?/2) продолжается до некоторой ункции fe ? H ? (A, Dma ?/2) посредством оператора продолжения Уитни. Таким образом, имеет место
Если Dma ? < 2 и f ? H ? (?, Dma ?/2) , то задача о скачке (3)
[? + ]
имеет решение, задаваемое ормулой ?(z) := C? f?(z) при Dma ? = Dma+ ? и
[? ? ]
?(z) := C? fe(z) при Dma ? = Dma? ? . Здесь ункция ? + (z) равна единице в D+
и нулю в D? , ? ? (z) = ? + (z) ? 1 .
Следствие 1.
Отсюда, в свою очередь, следует
Если Dmb ? < 2 и f ? H ? (?, Dmb ?/2) , то задача о скачке
(3) имеет решение, задаваемое любой из двух эквивалентных ормул ?(z) :=
[? + ]
[? ? ]
:= C? fe(z) и ?(z) := C? fe(z) .
Следствие 2.
Существование решений задачи о скачке при условиях f ? H ? (?, Dmb ?/2) и
f ? H ? (?, Dma ?/2) было доказано в работах [3? и [14? соответственно; здесь мы
доказали представимость этих решений в виде преобразований Коши.
ешение задачи о скачке на неспрямляемой кривой может оказаться неединственным. Это происходит, когда хаусдорова размерность Dmh ? этой кривой
превосходит единицу. Согласно теореме Е.П. Долженко [17?, если область B содержит компакт A и ункция F ? H + (B, Dmh A ? 1) голоморна в B \ A , то она
голоморна в B ; кроме того, при Dmh A > 1 существует непостоянная ункция
F ? HDmh A?1 (C), голоморная в C \ A .
Иными словами, если Dmh ? > 1 , то задача о нулевом скачке имеет нетривиальные решения, но их гельдеровы показатели не превосходят Dmh ? ? 1.
Будем говорить, что голоморная в C \ ? ункция ? удовлетворяет условию
Хаусдора Долженко
T (HD-условию)
T если кривая ? имеет окрестность V такую,
что сужения ? на V D+ и на V D? удовлетворяют условию ельдера с показателем, который превосходит Dmh ?? 1 . Соответственно, решение задачи имана
или задачи о скачке на кривой ? , удовлетворяющее HD-условию, будем называть
HD-решением. Как уже отмечалось, интегральный член представления (11) удовлетворяет в C условию ельдера с показателем (p ? 2)/p , где p задается соот2? ? d
ношением (8). Таким образом, этот показатель равен
, где d сколь угодно
2?d
близко к Dma ?. Следовательно, преобразование Коши дает HD-решение задачи о
скачке при условии
2? ? Dma ?
> Dmh ? ? 1,
2 ? Dma ?
или, что равносильно,
1
? > Dmu ?,
2
где
Dmu ? := Dma ? + (Dmh ? ? 1)(2 ? Dma ?).
Эта несколько загадочная характеристика ведет себя подобно размерности плоской
кривой ? : она принимает значения в промежутке от единицы до двух и равна 1
для спрямляемой кривой. Ее можно назвать размерностью единственности. Итак,
доказано
Если Dma ? < 2 и f ? H ? (?, Dmu ?/2) , то описанное выше
преобразование Коши является единственным HD-решением задачи о скачке (3).
Следствие 3.
172
Б.А. КАЦ
Теперь перейдем к задаче имана (1). Как обычно (см. [1, 2?), мы предполагаем,
что G(t) не обращается в нуль на кривой ? и обе ункции G(t) и g(t) удовлетворяют там условию ельдера. Что касается показателя в этом условии, то для доказа1
тельства существования решений достаточно считать его превосходящим Dma ? ,
2
но для исключения эектов, связанных с существованием нетривиальных решений задачи о нулевом скачке, должны положить ? > 12 Dmu ? .
При этих условиях G(t) = (t ? z0 )? exp f (t), где f ? H? (?) , z0 ? D+ , а ? есть
целое число (равное поделенному на 2? приращению аргумента G на ? ; см. [1,
[? + ]
2?). ассмотрим ункцию ?(z) := C? f?(z) , являющуюся HD-решением задачи о
скачке
?+ (t) ? ?? (t) = f (t), t ? ?.
Тогда ункция
X(z) := exp ?(z),
z ? D+ ,
X(z) := (z ? z0 )?? exp ?(z),
z ? D? ,
удовлетворяет краевому условию
X + (t) = G(t)X ? (t),
причем она также является HD-решением
но, мы подставляем G(t) = X + (t)/X ? (t)
о скачке:
?+ (t)
?? (t)
? ?
=
+
X (t) X (t)
t ? ?,
однородной задачи имана. Как обычв соотношение (1) и получаем задачу
g(t)
,
X + (t)
t ? ?.
Скачок g/X + удовлетворяет условию ельдера с показателем, меньшим
2? ? Dma ?
< ? . Поэтому мы не можем применить здесь следствие 1. Тем не
2 ? Dma ?
менее теорема 4 позволяет решить полученную задачу. Для этого в случае Dma ? =
= Dmb+ ? достаточно положить в этой теореме ункцию F (z) равной 1/X(z) в
области D+ и нулю в области D? , а в случае Dma ? = Dmb? ? равной нулю в
D+ и ?1/X(z) в D? .
Таким образом, справедлива
Если коэициенты G(t) и g(t) принадлежат пространству
1
H ?, Dmu ? и G(t) не обращается в нуль на кривой ? , то картина HD2
разрешимости краевой задачи имана (1) совпадает с классической картиной ее
разрешимости для кусочно-гладких кривых (см. [1, 2?), и все ее HD-решения и
условия HD-разрешимости представимы в виде преобразований Коши.
Теорема 5.
?
абота выполнена при инансовой поддержке ФФИ (проект ќ 09-01-12188ои-м).
Summary
B.A. Kats. The Riemann Boundary Value Problem on Non-Retiable Curve and the
Cauhy Transform.
In the present paper we obtain a representation for solutions of the Riemann boundary value
problem on non-retiable losed Jordan urves in terms of the Cauhy transforms of ertain
distributions.
Key words:
non-retiable urve, Riemann boundary value problem, Cauhy transform.
173
КАЕВАЯ ЗАДАЧА ИМАНА. . .
Литература
1.
ахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.
2.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1962. 600 с.
3.
Кац Б.А. Задача имана на замкнутой жордановой кривой // Изв. вузов. Матем. 1983. ќ 4. С. 6880.
4.
Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. ? -энтропия и ? -емкость множеств в ункциональных пространствах // Усп. матем. наук. 1959. Т. 14, Вып. 2. С. 386.
5.
Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.
6.
Mattila P., Melnikov M.S. Existene and weak type inequalities for Cauhy integrals of
general measure on retiable urves and sets // Pro. Am. Math. So. 1994. V. 120. P. 143149.
7.
Tolsa X. Bilipshitz maps, analyti apaity and the Cauhy integral // Ann. of Math. 2005. V. 162, No 2. P. 12431304.
8.
Verdera J. A weak type inequality for Cauhy transform of nite measure // Publ. Mat. 1992. V. 36. P. 10291034.
9.
Hormander L. The Analysis of Linear Partial Dierential Operators I. Distribution theory
and Fourier Analysis. Springer Verlag, 1983. 464 p.
10. Кац Б.А. Задача о скачке и интеграл по неспрямляемой кривой // Изв. вузов. Матем. 1987. ќ 5. С. 4957.
11. Kats B.A. The Cauhy integral over non-retiable paths // Contemp. Math. 2008. V. 455. P. 183196.
12. Harrison J., Norton A. Geometri integration on fratal urves in the plane // Indiana
Univ. Math. J. 1991. V. 40, No 2. P. 567594.
13. Harrison J. Letures on hainlet geometry new topologial methods in geometri
measure theory. arXiv:math-ph/0505063, 24 May 2005. 153 p.
14. Kats B.A. On solvability of the jump problem // J. Math. Anal. Appl. 2009. V. 356,
No 2. P. 577581.
15. Крейн С.., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. 400 с.
16. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические ункции. М.: Наука, 1988. 512 с.
17. Долженко Е.П. О ѕстиранииї особенностей аналитических ункций // Усп. матем.
наук. 1963. Т. 18, ќ 4. С. 135142.
Поступила в редакцию
02.12.09
Кац Борис Александрович доктор изико-математических наук, проессор каедры высшей математики Казанского государственного архитектурно-строительного
университета.
E-mail: katsboris877gmail.om
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
247 Кб
Теги
краевая, замкнутого, римана, кошик, кривой, преобразование, задачи, неспрямляемых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа