close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Краевая задача с циклическим сдвигом для системы уравнений первого порядка составного типа.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №9
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
А.Козиев
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ЦИКЛИЧЕСКИМ СДВИГОМ ДЛЯ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 31.10.2006 г.)
Пусть G – ограниченная односвязная область с границей
z= x+iy. Обозначим через
1
верхнюю, а через
(t ) голоморфно отображает
1
на
2
на плоскости переменной
нижнюю части границы
и наоборот. Предположим, что
2
. Пусть функция
(t ) является прямым
сдвигом, удовлетворяющим обобщенному условию Карлемана [1]:
n
(t )
t,
t,1 k
k
n 1, n
2.
Рассмотрим в области G систему уравнений первого порядка составного типа [2]
u
y
z
Re( A( z ) w( z )),
(1)
B( z )u ( z ) C ( z ) w( z ),
A( z), B( z), C( z) – заданные комплекснозначные функции класса C (G), 0
1, u ( z ) – ве-
щественная, w(z) – комплекснозначные функции.
Задача A(
n
) : Требуется найти решения u( z), w( z) системы (1) в области G, принад-
лежащие классу C (G) и удовлетворяющие краевым условиям
n 1
a00 (t )u (t ) Re
[b0, w(
(t ))]
h0 (t ), t
,
1
n 1
a10 (t )u (t ) Re
[b1, (t ) w(
(t ))]
h1 (t ), t
1
,
0
где a00 (t ), b0, (t ), h0 (t ); a10 (t ), b1, (t ), h1 (t ) - заданные соответственно на контуре Г и на дуге
1
кусочно-непрерывные по Гѐльдеру функции, причем a 00 (t ), a10 (t ), h0 (t ), h1 (t ) - вещественные.
Предполагаем, что выполнены условия
А) при t
В) a00 (
1
j
a 00 (t ) b00 (t )
a10 (t ) b10 (t )
, (t )
) 0, a10 (
j
0, при t
2
, b0,
0,
0,1,2,, n 1,
) 1, j=1, 2.
Общее представление решения u( z), ( z) системы (1)имеет вид [2]:
810
Математика
А.Козиев
N
u( z)
( x)
M 0 ( , z ) ( )d
R( , z ) ( )dG
ck u k ( z ),
G
1
i
w( z )
(2)
k 0
N
( )d
z
M 1 ( , z ) ( )d
(x) , плотность
(3)
k 0
G
Здесь произвольная функция
ck w( z ) .
K ( , z )w( )dG
( ) и постоянные c k должны удовлетворять
условиям
u~k ( ) ( )d
u k ( z ) ( z )dz a k c0
0, k
1,2,, N ,
G
u~k ( ), u k ( ) – некоторые определѐнные функции, a k – известные постоянные числа. Ядра
M 0 ( , z ), M 1 ( , z ) при
z имеют особенности ниже первого порядка.
Устремляя в представлении (2), (3) z к точке t
w(t ) заменяя t на
, а затем в полученной формуле для
(t ) , получаем следующее сингулярное интегральное уравнение с конеч-
ной группой сдвигов и кусочно-непрерывными коэффициентами
n 1
K(
Re[a (t ) (
(t ))] Re[b (t ) [
( (t ))]]
Im a (t )
( )d
(t )
0
Im b (t )
a (t )
N n
( )d
(t )
a (t ), t
b0, (t ), t
T
h (t )
c k g k (t ), t
,
(4)
k 0
1
, b (t )
2
0, t
1
a00 (t )b0, ( (t )),
T – некоторый вполне непрерывный оператор, h (t ) – известная функция, которая выражается через правые части задачи A(
n
), g k (t ) – некоторые определѐнные функции, кусочно-
непрерывные по Гѐльдеру и не зависящие от правых частей задачи A(
n
) . Сингулярное ин-
тегральное уравнение (4) изучены Башкарѐвым И.Г., Карловичем Ю.И., Нечаевым А.И. [3].
Полученный оператор K, стоящий в правой части (4), совпадает с тем оператором, который
изучен вышеуказанными авторами [3].
Так как исходная задача A(
n
) приведена к оператору K эквивалентно, то пользуясь
результатами работы [3], приходим к следующей теореме.
Теорема. Для того, чтобы оператор K был нётеровым необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие det s(t )
0, t
, где
811
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
s (t )
2006, том 49, №9
a 0 (t )
bn 1 ( (t ))
b0 (t )
a 0 ( (t ))
a1 (t )
b0 ( (t ))
b1 (t )
a1 ( (t ))


a n 1 (t )
a n 2 ( (t ))
bn 1 (t )
a n 1 ( (t ))
an 1 ( )
b1 [ ( )]


a1 ( n 1 )
bn 1 ( )
a 0 [ ( )]


b1 ( n 1 )
a0 ( )
a1 [ ( )]


a2 ( n 1 )
b0 ( )
b0 [ ( )]


b2 ( n 1 )





an 2 ( )
b2 [ ( )]


a0 ( n 1 )
bn 2 ( )
a 2 [ ( )]
.


b0 ( n 1 )
bn 2 [ (
n 1
)] a n 1 [ (
Тогда задача A(
n
n 1
)] bn 2 [ ( )] a n 2 [ ( )]  b0 [ (
n 1
)]
a 0 [ ( )]
) нѐтерова и еѐ индекс равен
1
Ind det s (t ) 1.
n
Институт математики
Поступило 31.10.2006 г.
АН Республики Таджикистан
Л И Т Е РАТ У РА
1. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. – М.: Наука,
1977 г.
2. Джураев А.Д. Системы уравнения составного типа. – М.: Наука, 1972 г.
3. Бошкарѐв И.Г., Карлович Ю.И., Нечаев А.И. – ДАН СССР, 1974 г., т.219, №2, с. 272.
А.Козиев
МАСЪАЛАИ КАНОРЇ БО КЎЧИШИ СИКЛЇ БАРОИ СИСТЕМАИ
МУОДИЛАЊОИ ТАРТИБИ ЯКУМИ НАМУДИ ТАРКИБЇ
Дар маќола нётерї будани масъалаи канорї бо љойивазкунии сиклї барои системаи муодилањои тартиби якуми намуди таркибї исбот карда шудааст ва формулаи
њисобкунии индекси он бароварда шудааст.
A.Kozijev
A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH CYCLE DISPLACEMENT FOR A
SYSTEM OF FIRST – ORDER EQUATIONS OF COMPOSITE TYPE
In the paper we proved that one boundary value problem with cycle displacement for a system of first – order equations of composite type is Neter and the formula for calculation of its index
is derived.
812
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
254 Кб
Теги
первого, типа, уравнения, краевая, сдвигов, система, циклические, составной, задачи, порядке
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа