close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в неограниченных областях с кусочно-гладким участком границы.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2006
Том 148, кн. 3
УДК 517.958:537.8
КАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИИХЛЕ И НЕЙМАНА
ДЛЯ УАВНЕНИЯ ЕЛЬМОЛЬЦА
В НЕОАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
С КУСОЧНО-ЛАДКИМ УЧАСТКОМ АНИЦЫ
Е.К. Липачјв
Аннотация
Исследованы краевые задачи, моделирующие рассеяние волн областью с неровной
границей. Предполагается, что область совпадает с полуплоскостью, за исключением конечного участка границы, который называется неровным и описывается кусочно-гладкой
ункцией, причем точки нарушения гладкости имеют особенности типа рјбер. Доказаны
теоремы существования и единственности решения краевых задач. Получены интегральные уравнения второго рода и доказана эквивалентность этих уравнений поставленным
краевым задачам. Предложен алгоритм приближенного решения задач рассеяния, основанный на методе сплайн-подобластей решения интегральных уравнений. Проведено обоснование алгоритма приближенного решения краевых задач.
Введение
В работе исследуется задача нахождения электромагнитного поля, возникающего в результате рассеяния плоской поляризованной электромагнитной волны
полуплоскостью с конечным включением на границе. Допускается наличие конечного числа точек нарушения гладкости. Предполагаем, что точки нарушения
гладкости являются рјбрами. Отметим, что это один из случаев в классиикации
особых точек (см., например, [1, 2?). Задача диракции сормулирована в виде
краевой задачи для уравнения ельмгольца с граничными условиями типа Дирихле или Неймана, условием на ребре в точках нарушения гладкости и условиями
излучения на бесконечности.
На основе исследований для гладкого случая [35?, доказано существование и
единственность обобщенных по Винеру решений краевых задач. Показано, что полученные решения являются классическими. ешения представлены в виде обобщенных потенциалов и доказана теорема эквивалентности краевых задач интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. К гладкому случаю, в данном
случае, относятся краевые задачи на областях, граница которых принадлежит
классу C 2 или C (1,?) , ? ? (0, 1] .
На основе метода сплайн-подобластей решения интегральных уравнений построен алгоритм приближјнного решения краевой задачи. Обоснование вычислительной схемы проведено по методике работы [6?.
1.
Постановка краевых задач
Обозначим через ? область плоскости R2 , определяемую соотношением
? = {(x, z) : z > ?(x), ?? < x < ?} ,
КАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИИХЛЕ И НЕЙМАНА. . .
95
где ?(x) кусочно-гладкая ункция. Множество точек нарушения гладкости обозначим через Q = {Qj }m
j=1 . Предполагаем, что граница области является неровной
(см., например, [35, 7?). Это означает, что только на конечном участке граница отличается от прямой. Таким образом, существует вещественное число d > 0 такое,
что supp ? ? [?d, d] , и неровный участок границы можно записать как
? ? = {(x, ?(x)) : x ? [?d, d]} ,
а границу области ? представить в виде
?? = ? ? ? {(x, 0) : x 6? [?d, d]} ,
при этом Q ? ? ? .
Заметим, что структуры с рассматриваемой здесь геометрией включают в себя
широкий класс диракционных решјток (см., например, [710? ).
Обозначим через nP вектор единичной нормали в точке P границы, а через
?/?nP правильную нормальную производную в точке P (см., например, [11?).
Эта производная определена на всей границе, за исключением точек из Q .
Сормулируем задачу рассеяния в следующем виде. Необходимо найти ункцию u(x, z) такую, что
?u(x, z) + k 2 u(x, z) = 0,
(x, z) ? ?,
(x, z) ? ?? \ Q
u(x, z) = f1 (x),
(задача Дирихле) или
?u(x, z)
= f2 (x),
?nP
P = (x, z) ? ?? \ Q
(1)
(2)
(3)
(задача Неймана), где ? оператор Лапласа.
Предполагаем, что в точках нарушения гладкости Q ? Q ункция u(x, z) удовлетворяет условию на ребре (см., например, [1214?):
Z
? u?
lim Im
u
(4)
d? = 0,
??0
?n
C? ??
где C? окружность радиуса ? с центром в точке Q .
Кроме того, требуем выполнения условий излучения
p
1
?u?
1
u? = eikr O ?
,
? iku? = eikr o ?
, r = x2 + z 2 ? ?,
r
?r
r
(5)
где u? (x, z) = u(x, z) ? u
e(x, z) . Через u
e(x, z) обозначено решение краевой задачи
для полуплоскости [15?.
Задача диракции плоской T E -поляризованной электромагнитной волны
eik(?x??z) · e?i?t ,
? = cos ?,
? = sin ?,
имеющей частоту ? и падающей под углом ? , соответствует краевой задаче (1)(5)
с краевым условием (2), в котором
f1 (x) = ?u0 (x, ?(x)) ,
x ? [?d, d] .
96
Е.К. ЛИПАЧњВ
Случаю T M -поляризованной волны отвечает краевая задача (1)(5) с условием
(3), в котором
?u0
(x, ?(x)) , x ? [?d, d] .
f2 (x) = ?
?nP
Здесь u0 (x, z) = eik(?x??z) , k 2 = ?0 µ0 ? 2 , где ?0 электрическая, а µ0 магнитная
проницаемости среды. ешение вспомогательной краевой задачи на полуплоскости
имеет вид
?
??eik(?x+?z) в случае T E -поляризации,
u
e(x, z) =
?eik(?x+?z)
в случае T M -поляризации.
Классическим
решением краевой задачи (1)(5) назовем
ункцию u ? C (?) ? C ? \ ?? , удовлетворяющую в области ? уравнению
ельмгольца, одному из граничных условий (2) или (3), условию излучения (5)
и условию на ребре (4) в точках нарушения гладкости. Здесь через ?? обозначено
объединение произвольно малых ? -окрестностей точек Qj ? Q , j = 1, . . . , m .
Определение
1.
2
Вместо термина ѕклассическое решениеї в кусочно-гладком случае используется также термин ѕквазиклассическое решениеї (см., например, [16, с. 39?).
2.
Единственность решения
Доказательство единственности решения краевой задачи (1)(5) основано на
аппроксимации области с кусочно-гладкой границей последовательностью областей с границами из класса C 2 . Этот подход является аналогом известного метода
выметания (см., например, [18, с. 107?).
Определение 2. (см., например, [1, с. 47?). Пусть Sj последовательность
областей с гладкими границами, которая аппроксимирует область ? , причем Sj ?
Sj+1 ? ? . Обозначим через Fm ? C(?) продолжение ункции fm , то есть Fm |?? =
fm , m = 1, 2 . Пусть краевая задача (1)(5) разрешима в областях Sj , то есть
существует решение uj уравнения (1), удовлетворяющее условию излучения
(5),
?uj = F2 |?Sj
граничному условию uj |?Sj = F1 |?Sj в случае задачи Дирихле и
?nP ?Sj
в случае задачи Неймана. Обобщенным по Винеру решением краевой задачи (1)(5)
назовем ункцию
u(P ) = lim uj (P ), P ? ?,
j??
если такой предел существует и не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности областей и от способа построения ункций F1 и F2 .
ассмотрим последовательность аппроксимирующих областей
?j ? ?j+1 ? ?,
j = 1, 2, . . . ,
?
[
?j = ?.
j=1
T
Предполагаем, что ?j = ??j ? C 2 , и, кроме того, ?? \ ? ? ? ??j , то есть за
пределами неровного участка аппроксимирующие области имеют общую границу.
Обозначим через ?j (x) ункции, определяющие границы областей ?j , то есть
??j = {(x, ?j (x)) : x ? R} , j ? N . ассмотрим также ограниченные области ?j,R ,
определјнные для j ? N и вещественных R > d :
?j,R = {(x, z) : x2 + z 2 < R2 , z > ?j (x)}.
КАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИИХЛЕ И НЕЙМАНА. . .
Лемма 1.
и
Если ункция
Im k ? 0, Re k 6= 0 , то
Z
??R
97
u ? L2 (?) является решением краевой задачи (1)(5)
u(P )
? u?(P )
dsP ? 0
?nP
Здесь через ??R обозначен лежащий в
тром в начале координат.
при R ? ?.
? участок окружности радиуса R с цен-
Доказательство. Для иксированных вещественного числа R > d и натурального j рассмотрим область ?j,R . Поскольку C ? (?j,R ) плотно в L2 (?j,R ) ,
можем рассматривать ункцию u из L2 (?j,R ) как класс эквивалентности, и пусть
{u? } представитель класса u . Применим к ункциям u? (x, z) и u?? (x, z) вторую
ормулу рина в области ?j,R :
ZZ
Z ? u??
?u?
(u? ?u?? ? u?? ?u? ) d? =
u?
? u??
dsP .
?nP
?nP
?j,R
??j,R
Переходя к пределу при ? ? ? , получим ормулу рина для ункций u и u? :
ZZ
Z ? u?
?u
(6)
(u?u? ? u??u) d? =
u
? u?
dsP .
?nP
?nP
?j,R
??j,R
Интегралы в данном случае понимаются в смысле Лебега.
Поскольку ?u? = ?k? 2 u? и ?u = ?k 2 u , интеграл в левой части (6) равен
ZZ
i(4Re k · Im k)
uu? d?.
?j,R
Интеграл в правой части (6) запишем как сумму интегралов по участку границы
??j ? ?R и по ??R , где
?R = (x, z) : x2 + z 2 < R2 ? ?.
Из граничных условий следует, что интеграл по участку границы ??j ? ?R
в пределе по j ? ? стремится к нулю. Из условий излучения получаем, что
интеграл по ??R равен
Z
1
2
?2iRe k
|u| dsP + o
R.
R
??R
Таким образом, в соотношении (6) в пределе при R ? ? получаем
ZZ
Z
2
i(4Re k · Im k)
|u| d? + i(2Re k)
|u|2 ds ? 0.
?R
??R
По условиям леммы Re k 6= 0 , Im k > 0 , поэтому оба члена в последнем соотношении положительны, и следовательно, в пределе при R ? ? каждый из них
стремится к 0 .
Из условий излучения для ункций u и u? получаем
? u?
1
?u
1
?ik?r
= ?ik?u? + o ? e
,
= iku + o ?
eikr .
?r
r
?r
r
98
Е.К. ЛИПАЧњВ
Поэтому при достаточно больших R интеграл
Z
Z
? u?
? u?
J=
u
dsP =
u
dsP
?nP
?r
??R
равен
J = ?ik?
Z
??R
|u|2 dsP + e?ik?R o
??R
1
?
R
Z
u dsP .
??R
Учитывая, что при достаточно больших R
1
1
u = eikR O ?
, u? = e?ik?R O ?
,
R
R
получаем
J = ?ik?
Z
|u| dsP + o
??R
Следовательно, при R ? ?
Z
2
u(P )
1
R
R.
? u?(P )
dsP ? 0.
?nP
??+
R
Теорема 1. При условии Im k ? 0 (и дополнительно Re k 6= 0 в случае задачи
Неймана) краевые задачи (1) (5) могут иметь не более одного решения в классе
квадратично-суммируемых в смысле Лебега ункций.
Доказательство. Предположим противное, что существуют два решения
v1 (x, z) и v2 (x, z) краевой задачи (1)(5), принадлежащих пространству L2 (?) .
Пусть u(x, z) = v1 (x, z) ? v2 (x, z) , (x, z) ? ? .
ассмотрим ункции uj (x, z) , определјнные в областях ?j , j = 1, 2, . . . , следующим образом:
(
u(x, z), (x, z) ? ?j ? (??j ? ??) ,
uj (x, z) =
0,
в остальных случаях,
то есть значения ункции uj (x, z) совпадают со значениями ункции u(x, z) в
области ?j и на общих участках границ ?? и ??j , а на оставшейся части границы
доопределены нулјм. Очевидно, что uj ? L2 (?) .
Поскольку C ? (?j,R ) плотно в L2 (?j,R ) , то существует последовательность
непрерывных ункций {uj,? }?
?=1 , сходящихся к uj по норме пространства
L2 (?j,R ) .
Для иксированных целого j и R > d применим в области ?j,R первую ормулу рина к ункциям uj,? и uj,? и перейдем к пределу при ? ? ? , в результате
получим
Z
Z
Z
?uj
2
uj ?uj d? +
| ?uj | d? =
uj
dsP .
(7)
?nP
?j,R
?j,R
??j,R
Интеграл в правой части (7) представим в виде суммы интегралов по составляющим границы ??j,R = ??j ? ??R . Согласно определению ункций uj (x, z) , справедливо утверждение леммы 1 (поскольку в области ? ункция uj (x, z) совпадает
КАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИИХЛЕ И НЕЙМАНА. . .
99
с u(x, z) , удовлетворяет на границе ??j условию Дирихле или Неймана, а на бесконечности условиям излучения), поэтому в пределе при R ? ? ормула (7)
переходит в
Z
Z
Z
?uj
2
uj ?uj d? + |?uj | d? =
dsP .
uj
(8)
?nP
?j
?j
??j
В силу граничных условий правая часть ормулы (8) равна нулю. Следовательно,
uj (x, z) = 0 при (x, z) ? ?j . В пределе при j ? ? приходим к равенству u(x, z) = 0
для (x, z) ? ? . Таким образом, решение краевой задачи единственно.
3.
Существование решения
Выберем последовательность областей ?j ( j = 1, 2, . . . ), аппроксимирующих
область ? и обладающих свойствами:
. . . ? ?j ? ?j+1 ? . . . ? ?,
??j ? C 2 .
(9)
Как было замечено ранее, последовательность областей можно выбрать так, что
??j ? ?? 6= ?,
(10)
j ? N,
и длина участка ?j? ? ?? \ (??j ? ??) стремится к 0 при j ? ? , то есть границы
областей ?j совпадают, за исключением участка ?j? . Более того, можем считать,
что этот участок содержится в ?j+1 . Будем обозначать через ?
ej участок границы
??j , лежащий в ? , то есть ?
ej = ?? ? ??j , а через ?j? неровный участок границы
??j .
Для каждого j ? N рассмотрим в области ?j краевую задачу
?u(x, z) + k 2 u(x, z) = 0,
u(x, z) = f1 (x),
или
?u(x, z)
= f2 (x),
?nP
(x, z) ? ?j ,
(x, z) ? ??j
P = (x, z) ? ??j
(11)
(12)
(13)
с условиями излучения (5).
Согласно результатам о разрешимости краевых задач для уравнения ельмгольца в гладком случае (см. [35?), краевая задача (11)(13),
(5) имеет единственное
решение uj (x, z) , принадлежащее классу C 2 (?j )?C ?j (в случае задачи Неймана
к определению класса добавляется условие существования правильной нормальной
производной на границе). В случае задачи Дирихле ункция uj (x, z) представима в виде комбинации вспомогательного решения
e для случая полуплоскости и
u
обобщјнного потенциала двойного слоя W ?j? , ? :
u(M ) = u
e(M ) + W ?j? , ? (M ),
W ?j? , ? (M ) ?
Z
?j?
M ? ?,
(14)
?G1 (M, P )
?(? ) dsP .
?nP
(15)
ешение краевой задачи Неймана представимо в виде
u(M ) = u
e(M ) + V ?j? , ? (M ),
(16)
100
Е.К. ЛИПАЧњВ
где
V ?j? , ? (M ) ?
Z
G2 (M, P )?(? ) dsP
(17)
?j?
есть обобщјнный потенциал простого слоя. Здесь
o
?i n (1)
(1)
H0 (kr) + (?1)m H0 (kr? ) ,
Gm (M, P ) =
2
(18)
(1)
m = 1, 2 и ?, ? ? C?[?d, d] . Через H0 (z) обозначена ункция анкеля первого
рода нулевого порядка (см., например, [17, с. 163?),
q
q
?
2
2
M = (x, z) , P = (?, ?) , r = (x ? ? ) + (z ? ?) , r = (x ? ? )2 + (z + ?)2 .
Плотности потенциалов определяются как решения интегральных уравнений
Фредгольма второго рода
Z
?G1 (M, P )
??(x) +
?(? ) dsP = ?(M ),
(19)
?nP
?j?
???(x) +
Z
?j?
?G2 (M, P )
?(? ) dsP = ?(M ).
?nM
(20)
e(M ) , ?(M ) = F2 (x) ? u
e(M ) , M = (x, ?j (x)) ? ? ? ,
Здесь ?(M ) = F1 (x) ? u
P = (?, ?j (? )) , j ? N . Эти уравнения получены из теоремы о скачке значений
обобщенных потенциалов (см., например, [19, 20?).
Таким образом, получаем последовательность ункций {uj (x, z)}?
j=1 , являющихся классическими решениями краевой задачи в областях ?j ( j ? N ). Для
каждого j ? N обозначим через (?j , uj ) пару, состоящую из области ?j и ункции uj (x, z) , являющейся решением одной из краевых задач (1)(5) в области ?j ,
j ? N.
ассмотрим теперь пары (?j , uj ) и (?j+1 , uj+1 ) для некоторого иксированного номера j . Согласно определению аппроксимирующей последовательности областей имеем
?j ? ?j+1 ,
??j ? ??j+1 ? ??,
?j? ? ??j \ (??j ? ??j+1 ) ? ?j+1 .
(21)
На общем участке границы областей ?j и ?j+1 выполнено условие
uj |??j ???j+1 = uj+1 |??j ???j+1 .
(22)
На участке ?j? ункция uj+1 , в силу (21), определена и непрерывна (как решение
краевой задачи в области ?j+1 ). ассмотрим теперь в области ?j краевую задачу,
состоящую из уравнения
?u + k 2 u = 0,
(23)
граничного условия
u|??j = uj+1 |??j
(24)
и условия излучения на бесконечности вида (5).
Приведјнная краевая задача, вследствие результатов для случая гладкой границы, имеет единственное классическое решение. Обозначим решение этой краевой задачи через u?j (x, z) . Таким образом, исходя из последовательности пар
?
{(?j , uj )}?
1 , получим последовательность ункций {u?j (x, z)}1 .
КАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИИХЛЕ И НЕЙМАНА. . .
101
Заметим, что для каждого j ? N ункция uj+1 |?j также удовлетворяет условиям краевой задачи (23), (24) с условиями излучения (5). В силу единственности
решения этой краевой задачи заключаем, что
u?j (x, z) = uj+1 (x, z),
(x, z) ? ?j ,
j ? N.
(25)
Как следствие последнего соотношения, получаем при k ? j , j, k ? N :
u?k (x, z) = uj+1 (x, z),
то есть
u?k ? uj+1 |?k
(x, z) ? ?k ,
(26)
при k ? j.
ассмотрим теперь отрезок последовательности
{u?1 (x, z), . . . , u?j (x, z), u?j+1 (x, z)}
при иксированном j ? N . Заменим ункцию u?j (x, z) на решение той же краевой
задачи, но с граничным условием вида
u|??j = u?j+1 |??j .
(27)
Полученное решение, по-прежнему, будем обозначать через u?j (x, z) . Точно так же
поступим с ункцией u?j?1 (x, z), и далее, вплоть до начала отрезка. Из соотношения (26) следует, что
u?k ? u?j |?k , k < j, k, j ? N.
(28)
Полученные утверждения сормулируем в виде следующей леммы.
Последовательность {u?j }j?N обладает следующими свойствами:
u?k (x, z) = u?j (x, z), (x, z) ? ?k , k < j, k, j ? N ;
u?j |??j ???j+1 = u?j+1 |??j ???j+1 , j ? N .
Лемма 2.
1)
2)
Из утверждений об эквивалентности интегральных уравнений и краевых задач
диракции в гладких областях (см. [35?) следует, что каждая ункция u?j (x, z)
(j ? N) представима в виде
u?j = u
e + W ?j? , ??j
(29)
в случае краевой задачи Дирихле или
u?j = u
e + V ?j? , ??j
(30)
в случае краевой задачи Неймана. Плотности ??j (x) (j ? N) обобщјнных потенциалов (15) и (17) получены как решения интегральных уравнений (19) и (20), при
этом ункция f (x) , определяющая неровный участок границы ?? , заменена на
ункцию fj (x) , определяющую неровный участок границы ??j (j ? N) .
Таким образом, наряду с последовательностью пар {(?j , u?j )} имеем последовательность ункций {??j (x)} .
Теорема 2.
Im k ? 0 последовательность {?j (x)}j?N решений
(19) сходится в пространстве L2 [?d, d] к ункции ?(x)
При условии
интегральных уравнений
такой, что ункция
u=u
e + W (? ? , ?)
является решением краевой задачи
(1)(5) с условием Дирихле на границе.
(31)
102
Е.К. ЛИПАЧњВ
Теорема 3. При условиях Im k ? 0 и Re k 6= 0 последовательность
{?j (x)}j?N решений интегральных уравнений (20) сходится в пространстве
L2 [?d, d] к ункции ?(x) , такой, что потенциал
u=u
e + V (? ? , ?)
является решением краевой задачи
(32)
(1)(5) с условием Неймана на границе.
Доказательство. ассмотрим последовательность ункций {u?j }
j?N , построенную по указанной ранее схеме. Каждая из ункций u?j (x, z) этой последовательности является решением краевой задачи диракции в области с достаточно
гладкой границей и, следовательно, как показано ранее, представима в виде обобщјнного потенциала, вычисленного по ормулам (29) или (30) в зависимости от
поляризации задачи.
Покажем, что предел последовательности ункций {u?j }j?N существует и является решением краевой задачи (1)(5).
Пусть i, j натуральные числа, k = min{i, j} и R > d вещественное число.
ассмотрим в области ?R ункции u?i (x, z) и u?j (x, z) . Согласно лемме 2 имеем
u?i (x, z) = u?j (x, z) при (x, z) ? ?k .
(33)
Пусть для определјнности i > j , тогда
(u?i ? u?j )|?i = (u?i ? u?j )|?i,R = U (??j,R , ?j ) ? U (??i,R , ?i ) ,
(34)
где
U (??j,R , ?j ) = W (??j,R , ?j )
в случае задачи Дирихле или
U (??j,R , ?j ) = V (??j,R , ?j )
в случае задачи Неймана.
Из соотношения (34) получаем
(u?i ? u?j )|?i = U (??i,R , ?j ) ? U (??i,R , ?i ) + U (??i \??j , ?i ) ,
откуда приходим к равенству
U (??i,R , ?i ? ?j ) = (ui ? uj )|?i + U (??i \??j , ?i ) .
(35)
Первое слагаемое в правой части соотношения (35) равно нулю согласно (33),
а второе слагаемое стремится к 0 при j ? ? в силу того, что ?j,R ? ?R и
??j,R ? ??R при j ? ? . Таким образом, последовательность ункций {?j }j?N
ундаментальна.
В пространстве L2 (??R ) существует предел этой последовательности ункций,
который обозначим через
?? = lim ?j .
j??
ассмотрим ункцию
u? = u
e + U (??R , ?? ) .
(36)
Поскольку ункция u? является обобщјнным потенциалом, она удовлетворяет
уравнению ельмгольца, и для неј выполнены условия излучения на бесконечности.
КАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИИХЛЕ И НЕЙМАНА. . .
103
Выполнение условия на ребре в точках множества Q следует из соотношения
U (?C?,j , ?? ) = U (??j,R , ?? ) ? U (??R , ?? )
и из того, что ?j,R ? ?R при j ? ? .
Таким образом, найдено ненулевое решение краевой задачи (1)(5), причјм решение представимо в виде, указанном в ормулировке теоремы.
Теорема 4. Функции u(x, z) , заданные соотношениями (31) и (32), являются
обобщенными по Винеру решениями краевой задачи (1)(5) при условиях Дирихле
и Неймана соответственно.
Доказательство. Пусть Sj последовательность областей с гладкими границами, аппроксимирующая область ? и Sj ? Sj+1 ? ? . Обозначим через ?j ункцию, характеризующую границу области Sj , то есть ?Sj = {(x, ?j (x)) : x ? R} .
Определим для каждого j ? N область ?j = {(x, ?j (x))} , где ?j (x) = ?j (x) при
x ? [?d, d] и ?j (x) = 0 при x 6? [?d, d] . По построению имеем Sj ? ?j , j ? N .
Краевые задачи в областях Sj и ?j имеют единственные решения, и, как следует
из рассуждений, аналогичных проведјнным при доказательстве леммы 2, решение
краевой задачи в области Sj является ограничением решения соответствующей
краевой задачи в области ?j . Это означает, что пределы (31) и (32) не зависят от
выбора аппроксимирующих областей.
Для каждого j ? N запишем интегральные уравнения (19), (20) в едином виде
Z
?j (x) + Kj (x, ? )?j (? ) dsP = y(x), ?d < x < d.
(37)
??
Из теорем 13 и теоремы об уравнениях с близкими ядрами (см. [21, с. 157?)
следует
Теорема 5. Существует последовательность {?
ej (x)} решений интегрального уравнения (37), которая сходится в пространстве L2 [?d, d] к такой ункции
?(x) , что обобщјнный потенциал двойного слоя (в случае задачи Дирихле) или
обобщјнный потенциал простого слоя (в случае задачи Неймана) с плотностью
?(x) является решением краевой задачи диракции (1)(5). При этом ункция
?(x) удовлетворяет интегральному уравнению
?(x) +
Z
K(x, ? )?(? ) dsP = y(x),
(38)
??
где
P = (?, ?(? )) , M = (x, ?(x)) , ядро вычислено по ормулам
1 ?G1 (M, P )
в T E -случае,
?
?nP
1 ?G2 (M, P )
K(x, ? ) = ?
в T M -случае,
?
?nM
K(x, ? ) = 0, если M ? Q,
K(x, ? ) =
а при совпадении аргументов значение ядра равно половине кривизны гладкого
участка границы. Правая часть интегрального уравнения вычисляется по ормулам
1
[f1 (x) ? u
e (x, ?(x))] в T E -случае,
?
1
y(x) = ? [f2 (x) ? u
e (x, ?(x))] в T M -случае.
?
y(x) =
104
Е.К. ЛИПАЧњВ
Непосредственным следствием теорем 15, а также свойств обобщјнных потенциалов является следующее утверждение.
Теорема 6. В условиях теоремы 1 решение краевой задачи (1)(5), построенное согласно схеме, указанной в ормулировке теоремы 5, является классическим.
4.
Приближјнное решение краевой задачи
Алгоритм приближенного решения краевой задачи (1)(5) основан на методе
сплайн-подобластей решения интегрального уравнения
K? ? ?(x) +
Zd
K(x, ? )?(? ) d? = y(x),
x ? [?d, d],
(39)
?d
эквивалентного краевой задаче. Ядро интегрального уравнения (39) в T E -случае
вычисляется с помощью соотношений
"
(1)
ik H1 (kr)
{(x ? ? ) ?? (? ) + (?(? ) ? ?(x))} +
K(x, ? ) =
2
r
#
(1)
H1 (kr? )
?
+
{(? ? x)? (x) ? (?(x) + ?(? ))} . (40)
r?
Правая часть интегрального уравнения (39) в T E -случае вычисляется по ормуле
1
y(x) = [f1 (x) ? u
(41)
e (x, ?(x))] .
?
В T M -случае ядро и правая часть интегрального уравнения (39) определяются
по ормулам
s
"
(1)
ik 1 + (?? (? ))2 H1 (kr)
K(x, ? ) =
{(x ? ? ) ?? (x) + (?(? ) ? ?(x))} +
2
2 1 + (?? (x))
r
#
(1)
H1 (kr? )
?
+
{(x ? ? )? (x) ? (?(x) + ?(? ))} , (42)
r?
1
[f2 (x) ? u
e (x, ?(x))] .
(43)
?
При совпадении аргументов значения ядер (40) и (42) доопределяются величиной,
равной половине кривизны неровного участка границы:
y(x) = ?
??
?
h
? (x)
2? 1 + (?? (x))
2
i,
и полагаются равными 0 , если точка M = (?, ?(? )) принадлежит множеству Q .
В соотношениях (40) и (42) использованы обозначения
q
q
2
2
r = (x ? ? )2 + (?(x) ? ?(? )) , r? = (x ? ? )2 + (?(x) + ?(? )) .
На отрезке [?d, d] рассмотрим произвольную сетку узлов
?n : ?d 6 x0 < x1 < . . . < xn 6 d,
n = 1, 2, . . . ,
(44)
КАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИИХЛЕ И НЕЙМАНА. . .
105
удовлетворяющую условию
?n = max (xj ? xj?1 ) ? 0,
16j6n
(45)
n ? ?.
Приближјнное решение интегрального уравнения (39) ищем в виде сплайна
?ln (x) =
n
X
cj slj (x),
(46)
00 = 1,
j=0l
где slj (x) ундаментальные сплайны степени l .
Приближјнное решение в случае l = 0 вычисляется в виде ступенчатой ункции
n
X
?0n (x) =
cj s0j (x),
(47)
j=1
где
=
(
s0j (x) =
(
s01 (x)
1, ?d 6 x 6 x1 ,
0, x1 < x ? d,
1, xj?1 < x 6 xj ,
0, x ?
6 (xj?1 , xj ),
j = 2, . . . , n.
Неизвестные коэициенты cj ( j = 1, . . . , n ) определяем, согласно ступенчатому методу подобластей (см., например, [22?), из системы линейных алгебраических
уравнений
n
X
cj +
?jk ck = ?j (y), j = 1, . . . , n,
(48)
k=1
где
1
?j (y) =
xj ? xj?1
?
?
?jk = ?j ?
Zxk
xk?1
Zxj
y(x) dx,
j = 1, . . . , n,
(49)
xj?1
?
?
K(x, ? ) d? ? =
1
=
xj ? xj?1
Zxj Zxk
K(x, ? ) d? dx,
j, k = 1, . . . , n. (50)
xj?1 xk?1
В случае l = 1 при построении приближјнного решения используются ундаментальные сплайны первого порядка, определјнные соотношениями
?
x ? xj?1
?
?
, x ? [xj?1 , xj ],
?
? xj ? xj?1
1
sj (x) =
(51)
?
xj+1 ? x
?
?
, x ? [xj , xj+1 ]
?
xj+1 ? xj
и s1j (x) = 0 при x 6? [xj?1 , xj+1 ] ( j = 1, . . . , n ).
106
Е.К. ЛИПАЧњВ
Приближјнное решение находим в виде полигонального сплайна
?1n (x) =
n
X
(52)
cj s1j (x).
j=0
Неизвестные коэициенты cj ( j = 0, . . . , n ) находим из условий
Zxk
xk?1
K?1n (x) ? y(x) dx = 0,
(53)
k = 1, . . . , n.
С помощью ункционалов ?j условия (53) перепишем в виде системы линейных алгебраических уравнений
n
cj?1 + cj X
+
?jk ck = ?j (y),
2
j = 1, . . . , n,
(54)
(c0 = cn ),
k=1
где
?
?
?jk = ?j ?
Za
xk?1
?
?
K(x, ? ) d? ? .
(55)
Теорема 7. В условиях теоремы 1 при достаточно больших n сплайнункции ?ln (x) , определяемые ступенчатым и полигональным методами сплайнподобластей, существуют, единственны и сходятся к точному решению ?? (x) .
Доказательство. Как было показано в предыдущих пунктах, интегральное
уравнение (39) однозначно разрешимо. Для ядра уравнения (39) выполнены условия, приведенные в работе [23?. В случае ступенчатого метода подобластей воспользуемся теоремой 1 работы [23?, а в случае полигонального метода подобластей
теоремой 3 из этой же работы. Следовательно, системы линейных алгебраических
уравнений (48), (54) однозначно разрешимы, начиная с некоторого n . Таким образом, сплайны нулевого и первого порядка, определяемые по методу подобластей,
существуют и единственны при всех n , начиная с некоторого.
Из оценок (2.12) и (3.3) работы [23? получаем следующие оценки погрешности
метода подобластей:
k?? ? ?0n k2 = O (?x (K; ?n )2 + ?(y; ?n )2 ) = O (?x (K; ?n )2 + ?n ) ,
(56)
k?? ? ?1n k2 = O (?x (K; ?n )2 + ?(y; ?n )2 ) = O (?x (K; ?n )2 + ?n ) ,
(57)
где через ?? (x) обозначено точное решение уравнения (39) и
? a??
?1/2
?Z
?
2
?(y; ?)2 = sup
|y(t) ? y(t + ?)| dt
,
?
0<??? ?
?a
?x (K; ?)2 = sup
? a?? a
?Z Z
0<??? ?
?a ?a
2
|K(x + ?, ? ) ? K(x, ? )| dx d?
?1/2
?
?
.
Из соотношений (56), (57) следует сходимость ступенчатого метода подобластей
и полигонального метода подобластей.
КАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИИХЛЕ И НЕЙМАНА. . .
107
Summary
E.K. Lipahev. Dirihlet and Neumann boundary value problems for Helmholtz equation
in unbounded domains with pieewise smooth part of boundary.
In this paper we study the boundary value problems modelling sattering waves by a
domain with the rough boundary. We assume that a domain is the half plane and a nite
part of boundary is haraterized by a pieewise smooth funtion. We also assumed that
singularities of boundaries are the edges. We prove the theorems of existene and uniqueness
of solution of the boundary value problems. We nd the integral equations of seond kind
and we show that these equations are equivalent to the boundary value problems. We propose
the numerial algorithms for sattering problems. They are based on the spline-subdomains
method for integral equations. We establish the onvergene of this numerial algorithm.
Литература
1.
2.
Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук. 1983. Т. 38, ќ 2. С. 376.
Назаров С.А., Пламеневский Б.А.
Эллиптические задачи с кусочногладкой грани-
цей. М.: Наука, 1991. 336 с.
3.
Липачјв Е.К.
К приближенному решению краевой задачи диракции волн на областях с бесконечной границей // Изв. вузов. Математика. 2001. ќ 4. С. 6972.
4.
Липачјв Е.К. О краевых задачах для уравнения ельмгольца в областях с неровной
// Труды Матем. центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во КМО,
2002. Т. 17. С. 7989.
границей
5.
Липачјв Е.К. ешение задачи Дирихле для уравнения ельмгольца в областях с
неровной границей // Изв. вузов. Математика. 2006. ќ 9. С. 4349.
6.
абдулхаев Б..
Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань:
Изд-во Казан. ун-та, 1980. 232 с.
7.
Басс Ф.., Фукс И.М.
ассеяние волн на статистически неровной поверхности. М.:
Наука, 1972. 424 с.
8.
алишникова Т.Н., Ильинский А.С.
Численные методы в задачах диракции. М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1987. 208 с.
9.
Eletromagneti Theory of Gratings.
/ Ed. by R. Petit. Berlin; Heidelberg; New York,
1980. 284 р.
10.
Tsang L., Kong J.A., Ding K.H. Sattering of Eletromagneti waves. Theories and
Appliations. N. Y.: Wiley-Intersiene, 2000. 426 p.
11.
Владимиров В.С.
Уравнения математической изики. М.: Наука, 1976. 528 с.
12.
Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников
А..
Математические модели электро-
динамики. М.: Высш. шк., 1991. 224 с.
13.
14.
Лианов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической изике, аэродинамике, теории упругости и диракции
волн). М.: ТОО ѕЯнусї, 1995. 520 с.
Миттра ., Ли С.
Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974. 328 с.
15.
Метод преобразования Фурье в задачах сопряжения электромагнитных полей // Тр. Матем. центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 6. Задачи диракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах. Казань:
НИИММ им. Н.. Чеботарева, 2000. С. 153185.
Плещинский Н.Б.
108
16.
17.
Е.К. ЛИПАЧњВ
Ильинский А.С., Смирнов Ю.. Диракция электромагнитных волн на проводящих
тонких экранах (Псевдодиеренциальные операторы в задачах диракции). М.:
ИПЖ, 1996. 176 с.
Никиоров А.Ф., Уваров В.Б.
Специальные ункции математической изики. М.:
Наука, 1984. 344 с.
18.
19.
Линейные диеренциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. // Итоги науки и техники. Соврем. проблемы математики. Фундам. направления. Т. 30. М.: ВИНИТИ АН ССС, 1987. С. 1262.
Егоров Ю.В., Шубин М.А.
Колтон Д., Кресс .
Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.:
Мир, 1987. 311 с.
20.
Шестопалов Ю.В.
Применение метода обобщенных потенциалов для решения некоторых задач теории диракции и распространения волн // Журн. выч. матем. и мат.
изики. 1990. Т. 30, ќ 7. С. 10811092.
21.
Канторович Л.В., Крылов В.И.
Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физ-
матгиз, 1962. 708 с.
22.
23.
абдулхаев Б.. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1994. 288 с.
О сходимости метода сплайн-подобластей для интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1981. ќ 6. С. 310.
Агачев Ю..
Поступила в редакцию
09.10.06
Липачјв Евгений Константинович кандидат изико-математических наук, доцент каедры теории ункций и приближений Казанского государственного университета.
E-mail: lipahevksu.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа