close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Критерий монотонности фукции эффективности в модели доза эффект.

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник Нижегородского университета
им. Криштопенко
Н.И. Лобачевского, 2009, № 1, с. 128–134
М.С. Тихов, Д.С.
128
УДК 519.2
КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ ФУКЦИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ
В МОДЕЛИ ДОЗА – ЭФФЕКТ
 2009 г.
М.С. Тихов, Д.С. Криштопенко
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
tikhovm@mail.ru
Поступила в редакцию 28.11.2008
Предложен тест строгой монотонности функции эффективности, который основан на композиции
оценки обратной функции эффективности с оценкой Надарая – Ватсона. Эта композиция равна тождественной функции тогда и только тогда, когда «истинная» функция эффективности строго монотонна,
и исследован тест, основанный на L2 -уклонении. Установлена асимптотическая нормальность соответствующей статистики теста при нулевой гипотезе строгой монотонности.
Ключевые слова: зависимость доза – эффект, непараметрическая монотонная оценка, критерий согласия.
В зависимости доза – эффект [1] во многих
случаях требуются монотонные оценки функции
эффективности. Например, если вводимая доза и
уровень отклика являются независимыми случайными величинами, то функция эффективности – монотонная функция зависимой переменной. В статье предлагается статистический тест
для проверки монотонности, основанный на
композиции монотонной оценки обратной функции эффективности и оценки Надарая – Ватсона.
Доказана состоятельность и асимптотическая
нормальность этой композиционной оценки при
гипотезе H 0 : m (x ) – строго возрастает (строго
убывает). Результаты исследования докладывались на 15-й Всероссийской школе-коллоквиуме
по стохастическим методам [2].
U ( n ) = {(U i ,Wi ),1 ≤ i ≤ n} ,
Wi = I ( X i < U i ) – индикатор события
( X i < U i ) . Требуется оценить функцию эффек-
где
тивности m( x ) = E (W |U = x ) по выборке U ( n ) .
Пусть
g( y ) =
∞
∫ f ( x, y ) dx
– маргинальная
−∞
плотность распределения случайной величины
∫ f ( x, y ) dy
– маргинальная плот-
−∞
ность распределения случайной величины X .
Если функция m( x ) строго возрастает (например, в случае независимости величин X и U ),
она
равна
функции
распределения:
m ( x ) = F ( x ) = P ( X < x ) ), то определим
ϕ hd (t ) =
1
hd
~ (v ) − u 
m
 dudv
K d 
0 −∞

 hd
1 t
∫∫
(1)
в качестве оценки функции m −1 (t ) , где
n
~ ( x) =
m
∑Wi K r ((U i − x ) / hr )
i =1
n
(2)
∑ K r ((U i − x ) / hr )
Статистический тест для проверки
монотонности функции эффективности
Пусть Z = {( X i ,U i ), i ≥ 1} – стационарная последовательность независимых пар случайных
величин с совместной функцией распределения
F ( x, y )
и
плотностью
распределения
f ( x, y ) > 0 . Мы наблюдаем выборку
∞
U , а f ( y) =
i =1
является классической оценкой Надарая – Ватсона (см. [3, 4]).
Условия (А).
(А1) f (x,y ) − дважды непрерывно дифференцируема и распределена на компакте
[0,1] × [0,1] .
(А2) Функция m( x ) дважды непрерывно
дифференцируема, и третья производная этой
функции ограничена.
(А3) K d и K r есть неотрицательные симметричные ядра на [−1,1] .
(А4)
∫ K d ( z ) dz < ∞ , ∫ K r ( z ) dz < ∞ ,
2
2
и hd ,
hr стремятся к нулю при n → ∞ . Ядра K d ( x ) и
129
Критерий монотонности функции эффективности в модели доза – эффект
K r ( x ) дважды непрерывно дифференцируемы
на [ −1,1] и K d ( ±1) = K d′ ( ±1) = 0 , K r ( ±1) =
= K r′ ( ±1) = 0 .
n→∞,
nhd , nhr → ∞ ,
(А5)
При
hr = O ( n −1 5 ) , hd2 hr−5 2 log hr → 0 , n −1hd−4 hr1 2 ×
Доказательство. Рассмотрим разность
Tn − T =
1
~ ( x )) − x ) 2 − (ϕ ( m ( x )) − x ) 2 }dx =
= ∫ {(ϕ hd ( m
0
1
~ ( x )) − ϕ 2 ( m ( x )) −
= ∫ {ϕ h2d (m
× (log hr ) = O (1) .
При hd → 0 оценку ϕ hd (t ) можно предста2
0
~ ( x )) − ϕ ( m ( x )))} dx =
− 2 x (ϕ hd (m
вить в виде
1
ϕhd (t ) =
1
hd
~ ( x )) − ϕ( m( x )) − 2 x} ×
= ∫ {ϕ hd (m
~ ( x) − u 
m

K
∫ ∫ d  h  dudx =
0 −∞
d


1 t
1
~ ( x) ≤ t + h }
= ∫ I {m
d
0
0
~ ( x ) − ϕ ( m ( x ))}dx .
× {ϕ hd (m
~ (x)
t-m
hd
∫ K d ( z ) dzdx →
Отсюда
(3)
−∞
1
1
0
0
~ ( x ) ≤ t} dx ≈ I ( m( x ) ≤ t ) dx .
→ ϕ (t ) = ∫ I {m
∫
1
Отметим, что
∫ I ( m ( x ) ≤ t ) dx = m
−1
(t ) , если
0
1
~ ( x ) − ϕ (m ( x ))} dx .
| Tn − T | ≤ C ∫ {ϕ hd ( m
0
~ ( x )) −
Покажем теперь, что разность ϕhd (m
− ϕ (m ( x )) равномерно по вероятности сходится к нулю. Действительно,
выполняется гипотеза H 0 строгой монотонно~ сходится к функции
сти. В этом случае ϕ hd o m
y ( x) = x .
Рассмотрим
~ ( x )) = 1
ϕ hd (m
hd
=
1
~ ( x )) − x )2 dx
Tn = ∫ (ϕ hd (m
(4)
×
как статистику теста для проверки гипотезы H 0
оценки функции эффективности берется оценка
(2). Результат этой леммы сохранится и тогда,
когда в качестве оценки для функции эффективности берется состоятельная и асимптотически нормальная статистика, которая равномерно
сходится по вероятности к своему оцениваемому значению. Например, в качестве оценки для
m (x ) можно взять kNN-оценку (см. [5]).
Лемма 1. Пусть выполнены предположения
~ ( x ) равномерно сходится к m( x ) . Если
(А) и m
n → ∞ , hd → 0 , тогда
~(v) − u 
m
 dudv =
K d 
−∞

 hd
∫ ∫
0
1
1
~
~
∫ I {m(v ) ≤ m( x ) + hd } ×
hd 0
~ (x )
m
0
строгого возрастания функции эффективности.
В следующей лемме показано асимптотическое поведение статистики Tn , когда в качестве
~ (x)
1m
~(v) − u 
m
 dudv =
K d 
~ ( v )−h
m

 hd
d
∫
1
~(v) ≤ m
~( x) + h }
= ∫ I {m
d
0
1
∫ ~K d (u )dudx =
~ ( v )−m ( x )
m
hd
1
~(v) ≤ m
~ ( x ) − h } dv +
= ∫ I {m
d
0
1
~( x) − h ≤ m
~(v) ≤ m
~( x) + h } ×
+ ∫ I {m
d
d
0
×
1
∫
K d (u ) dudx
~ ( v )−m
~( x)
m
hd
.
Заметим, что
1
~
~
∫ I {m ( v ) ≤ m ( x ) − hd } dv →
0
P
Tn →
T,
~ ( x )) → ϕ ( m ( x ))
→ ϕ (m
где
2
1 1


T = ∫  ∫ I {m(v ) ≤ m( x )}dv − x  dx .
00

(5)
равномерно по вероятности. Для второго слагаемого имеем:
130
М.С. Тихов, Д.С. Криштопенко
~
Tn . Как и раньше, мы ограничимся случаем
строгого убывания функции эффективности.
1
~
~
~
∫ I {m ( x ) − hd ≤ m (v ) ≤ m ( x ) + hd } ×
0
×
1
∫
Kd
~ ( v )−m
~( x)
m
hd
(u )dudx ≤
Асимптотическая нормальность статистики
теста для проверки монотонности
функции эффективности
1
~ ( x) − h ≤ m
~ (v) ≤ m
~ ( x) + h } ,
≤ ∫ I {m
d
d
(6)
0
которое также равномерно стремится к нулю,
что и завершает доказательство леммы 1.
Из леммы 1 следует, что если функция эффективности m (x ) строго возрастает, то величина T стремится к нулю. Следующая теорема
дает необходимое и достаточное условие для
строгой монотонности функции эффективности.
Теорема 1. Пусть
m (x ) – непрерывная
функция. Величина T равна нулю тогда и
только тогда, когда функция эффективности
строго возрастает на интервале [0,1] .
Доказательство этой теоремы в основных
чертах повторяет доказательство предложения 2
работы [6], поэтому опущено.
Замечание. Для статистического теста проверки гипотезы строгого убывания рассмотрим
монотонную статистику
1∞
~ ( x) − u 
m
~ (t ) = 1
 dudx ,

K
ϕ
(7)
hd
∫∫ d
hd 0 t  hd

1
~ (t ) = I {m
~
которая сходится к ϕ
∫ ( x ) ≥ t}dx . Для
0
построения статистического теста проверки ги~
потезы H 0 : m (x ) строго убывает, против альтернативы H1 : m ( x ) не является строго убывающей, определим
~ 1 ~ ~
2
Tn = ∫ (ϕ
(8)
hd ( m ( x )) − x ) dx .
В этой части мы исследуем слабую сходимость статистики, определенную формулой (4).
Если hr выбирать асимптотически оптимальным, т.е. hr = γ r n −1 5 (см. [6]) для некоторой
константы γ r > 0 , тогда предыдущие два условия (А5) преобразуются к требованию
nhd4 log n → 0 и (log n ) 2 n −11 10hd−4 = O (1) .
Теорема 2. Пусть выполнены условия (А) и
hr = O ( n −1 5 ) , тогда при n → ∞
d
nhr9 2 hd− 4 (Tn − hd4 k22 ( K d ) Bn ) →
N (0,σ 2 ) ,
где
σ 2 = 4k24 ( K d ) ×

1
×  ∫ m ( x )(1 − m ( x )) f 2 ( x )( m′( x )) −12 dx  ×

0
11
 
×  ∫  ∫ K r′′( x ) K r′′( x + z ) dx  dz 
 
00
и
Bn =
1 1 m( x )(1 − m( x )) 1 2
dx ∫ K r′′ ( y )dy +
∫
nhr5 0 f ( x ){m′( x )}6
−1
(m′′( x )) 2
dx ,
6
0 ( m′( x ))
1
+∫
а константа k 22 ( K ) определяется следующим
образом:
0
k2 ( K ) =
Можно показать, что
~ 1 ~ ~
2
Tn = ∫ (ϕ
hd ( m ( x )) − x ) dx
0
сходится к
2

1
TA = ∫  ∫ I {m(v ) ≥ m( x )}dv − x  dx ,
00

причем интеграл TA равен нулю тогда и только
тогда, когда m (x ) строго возрастает.
Для построения статистического теста проверки нулевой гипотезы H 0 осталось доказать
асимптотическую нормальность величин Tn и
1
11 2
∫ v K (v ) dv .
2 −1
Доказательство. Обозначим через С ( A)
множество всех непрерывных функций на A ⊂ R .
Рассмотрим статистический тест Tn как функцио~ ) , где
нал на C ( R ) × C ( R ) , т.е. T = ψ (ϕ , m
n
hd
1
ψ ( f,g ) = ∫ ( f ( g ( x )) − x ) 2 dx .
0
Для достаточно гладких функций f и g мы
имеем разложение в ряд Тейлора (см. [7, с. 214–
215])
131
Критерий монотонности функции эффективности в модели доза – эффект
ϕ hd ( m( x )) − m −1 ( m( x )) .
1
~ ( x ) − m ( x ))( m −1 )′(m( x )) +
Tn = ∫ {( m
Тогда
0
ϕ hd ( m ( x )) − m −1 ( m ( x )) =
1
+ (ϕ hd (m( x ) − m −1 ( m( x )))}2 dx + P ( 3) (λ* ) , (9)
6
*
( 3)
где λ ∈ [0,1] и остаток P определяется следующим образом:
= Ahd (m ( x )) + ∆(n1) ( m ( x )) +
1
+ ∆(n2 ) ( m ( x ))(1 + o p (1)) ,
2
(11)
Ahd ( x ) = ϕ hd ( m ( x )) − m −1 (m ( x )) ,
(12)
1
′ 1] ×
P( 3 )(λ ) = 6 ∫ {d ( x ) [( m −1 )′ + λd I,-
где
0
× ([m ( x ) + λd ( x ) ) + d I,−1 ([m ( x ) + λd ( x )))} ×
′′ 1 ] ({m + λd ]( x )) +
× {d 2 ( x )[( m -1 )′′ + λd I,′ 1 ([m + λd ] ( x )} dx +
+ 2d ( x )d I,-
1
∆(n1) ( m( x )) = − ∫ K d ( v )( m −1 )′(m( x ) + vhd ) ×
−1
~ − m)( m −1 (m( x ) + vh ))dv ~
× (m
d
−1
~
~ −( m )′( m( x ))( m − m ))( x ) − hd2 k2 ( K d ) ×
~ − m )′′( x ) − R ( x ) , (13)
× [( m −1 )′( m( x ))]3 ( m
1
+ 2 ∫ {d ( x ) ( m -1 )′(ξ ( x ) ) + λd I,−1 ([ m + λd ]( x ))} ×
0
′′′ 1 ]([ m + λd ]( x )) +
× {d 3 ( x ) [( m -1 )′′′ + λd I,′′ 1 ([m + λd ]( x ))} dx ,
+ 3d 2 ( x )d I,(10)
для некоторого ξ( x ) , что
~ ( x) − m ( x) | ,
| ξ ( x) − m ( x) | ≤ | m
~ ( x) − m ( x) , а d ( y) = ϕ ( y) −
где d ( x ) = m
I , −1
hd
− m −1 ( y ) .
n
∆(n2) (m( x)) = −
~ − m ) 2 (m −1 (m( x ) + vh ))dv ,
× (m
d
из
[6]
следует,
что
d ( x) =
= O p (n −1 2 max (hr2 ,( nhr ) −1 2 )) и если m (x ) требуемое число раз дифференцируема, то d ′( x ) =
= O p ( n −1 2 max(hr2 , ( nhr ) −1 2 )) , в силу равномерной сходимости по вероятности. Поскольку
~ ( x ) сходится к m (x ) по вероятности, то
m
d I( k, −)1 ( x ) = o p (1) ,
где k = 0, 1, 2, 3 .
Отсюда следует, что
P (3) (λ ) = {O p ( n −1 2 max(hr2 , ( nhr ) −1 2 )) ×
hd3
~ − m ) o m −1 ]′′′(ξ ( x ))
[( m −1 )′(m
(15)
n
6
для некоторого ξn (x ) такого, что | ξn ( x ) −
~ ( x) − m ( x) | .
− m ( x) | ≤ | m
Из соотношений (9)–(15) получаем
+
1
~ ′′( x ) − m′′( x )}2 dx +
Tn = hd4 k22 ( K d ) ∫ [m′( x )]−6 {m
0
× [O p (1)] + o p (1)} × {O p ( n −1 max( hr4 , (nhr ) −1 )) ×
1
+ ∫ Ah2d ( m( x )) dx + Qn ,
× [O p (1)] + o p (1) +
+ {O p ( n
где
max(hr2 , ( nhr ) −1 2 )) + o p (1)} ×
× {o p ( n
−3 2
+ o p (n
−1
max( hr6 , ( nhr ) −3 2 )) +
1 1 (2)
( ∆ n ( m( x ))) 2 dx +
∫
40
1
~ ′′( x ) − m′′( x )) ×
+ 2{− hd2 k2 ( K d ) ∫ [m′( x )]−3 ( m
= o p (n −1 max(hr4 , ( nhr ) −1 ))} =
max(hr2 , ( nhr ) −1 2 ))
1
Qn = ∫ Rn2 ( x )dx +
0
max(hr4 , ( nhr ) −1 ))} =
o p (hd2 hr2 ( nhd ) −1 2
(16)
0
+ O p (n −1 2 max( hr2 , (nhr ) −1 2 ))} +
−1 2
(14)
1
1 2
∫ v K ( v )dv .
2 −1
При этом остаток в (13) равен
Rn ( x ) = hd4 k22 ( K d )[( m −1 )′′′(m( x )) ×
~ − m )( x ) + 3( m −1 )′′(m( x ))( m −1 )′ ×
× (m
~ − m )′( x )] +
× ( m( x ))( m
k2 ( K ) =
Заметим,
=
1 1
−1
∫ K d′ (v)(m )′(m( x) + hd v) ×
hd −1
0
1
.
Применим это же разложение в ряд Тейлора
для разности
× Ahd ( x )dx − hd2 k2 ( K d ) ∫ [m′( x )]−3 ×
0
~ ′′( x ) − m′′( x )) R ( x )dx − h 2 k ( K ) ×
× (m
n
d 2
d
132
М.С. Тихов, Д.С. Криштопенко
1
2
2
4
∫ Rn ( x )dx ≤ Chd [ ∫ w1 ( x )d ( x )dx +
0
+ ∫ Ahd ( x ) Rn ( x )dx +
0
1
1
1
Rn ( x ) ∆(n2 ) ( m( x ))dx} + P ( 3) (λ* ) .
∫
20
6
Как следует из [8] (теорема 3.1),
 m(t ) − u 
1 1 x
 dudt +
K d 
ϕ hd (t ) =
∫
∫
hd 0 −∞  hd 
+ o(hr2 (nhd ) −1 2 max( hr2 , (nhr ) −1 2 )) ,
так как
1
hd
1
 m (t ) − u 
dudt =
K d 
−∞
 hd 
x
∫ ∫
0
1
=
∫ K d ( z )m
m ( 0 )−t
hd
−1
( x + zhd )dz ,
hd
неравенство
m(0) < t − hd выполняется почти для всех t > 0
в силу монотонности функции эффективности.
Поэтому
 m( t ) − u 
1 1 x
 dudt =
K d 
∫
∫
hd 0 − ∞  hd 
поскольку
при
1
1
(2)
∫ Ah ( x ) ∆ n ( m( x ))dx +
20 d
1
+
малых
+ ∫ w2 ( x )( d ′( x )) 2 dx +
0
1
+ hd2 ∫ ([( m −1 )′ o d o m −1 ]( 3) (ξ( x ))) 2 dx ] =
0
 h 4 max( hr2 , ( nhr ) −1 2 ) 
 +
= O p  d
n1 2


6
−1
 h log h 
+ o p  d 7 r  =

 nhr
2 2
−1 2
= o p (hd hr ( nhd ) max( hr2 , ( nhr ) −1 2 )) .
Повторяя рассуждения работы [9], можно
~ ( 3) − m ( 3) ) 2 ( x ) имеет порядок
убедиться, что ( m
 log hr−1 
 для всех x . Аналогичный резульo p 
7 
 nhr 
тат получим для второго и третьего слагаемого
в разложении Qn . Именно,
1
1
0
0
(2)
2
∫ {∆ n ( m( x ))} dx = ∫ dx{
max( hr2 , (nhr ) −1 2 )) .
Тогда
1
∫
Ah2d
( m( x )) dx ~
0
1
~ hd4 k22 ( K d ) ∫ {( m −1 )′′(m( x ))}2 dx +
0
+ o p ( hd2 hr2 (nhd ) −1 2
max( hr2 , (nhr ) −1 2 )) ,
1
,
поэтому
m′( x )
m′′( x )
и, значит,
( m −1 )′′( m( x )) m′( x ) = −
{m′( x )}2
как
( m −1 )′(m( x )) =
{m′′( x )}2
dx +
6
0 {m ′( x )}
1
4 2
2
∫ Ahd ( m( x ))dx = hd k2 ( K d ) ∫
0
+ o p ( hd2 hr2 (nhd ) −1 2 max( hr2 , (nhr ) −1 2 )) . (17)
Теперь оценим слагаемое Qn . Имеем:
∫ K d′ (v ) ×
−1
1
0
0
+ o p ( hr2 (nhd ) −1 2
1
= O p (n −1 max( hr4 , (nhr ) −1 )) ∫ dx ×
= ∫ K d ( z ){m −1 ( x + zhd )dx =
= hd2 k2 ( K d ){m −1 ( x )}′′ + O ( hd4 ) ,
следовательно,
ϕ hd (t ) = m −1 (t ) + hd2 k 2 ( K d ){m −1 ( x )}′′ +
1
hd
× ( m −1 )′(m( x ) + hd v )d 2 ( m −1 (m( x ) + vhd ))dv}2 =
1
1
0
0
1
так
1
1
~ ′′( x ) − m′′( x )) ∆( 2 ) ( x )dx +
× ∫ [m′( x )]−3 (m
n
×{
1
hd
1
∫ K d′ (v )( m
−1
)′(m( x ) + hd v )dv}2 =
−1
= o p (n −1 max( hr4 , ( nhr ) −1 )) =
= o p (hd2 hr2 ( nhd ) −1 2 max( hr2 , ( nhr ) −1 2 )) .
Более того,
d
{ Ahd ( m ( x )) +
dx
1 (2)
+ ∆(1)
∆ n (m ( x ))} .
n ( m ( x )) +
2
∆(n2 ) ( m( x )) ~ O p (1)d ( x ) − O p (1) ×
Так как
d I,′ −1 ( m ( x )) ~
× hd2 d ′′( x ) , то в силу равномерной сходимости
~ ( x ) к m ( x ) по вероятности, получаем, что
m
d (1)
∆ n ( m( x )) = o p ( hd2 ) .
dx
d
Ahd ( m( x )) = O p ( hd2 )
и
Аналогично,
dx
d (2)
∆ n (m( x )) = o p (hd2 ) .
dx
Таким образом,
d I′, −1 (m( x)) = O p (hd2 )
(18)
Критерий монотонности функции эффективности в модели доза – эффект
и, интегрируя по частям, получим
1
~ ′′( x ) − m′′( x )) A ( x )dx |≤
| hd2 ∫ [m′( x )]−3 ( m
hd
0
~ ′( x ) − m′( x )) A ( x ) |1 | +
≤| hd2 [m′( x )]−3 (m
hd
0
1
~ ′( x ) − m ′( x )) ×
+ | hd2 ∫ ( m
Bn ,k
0
× [( m′( x )) −3 Ahd ( x )]′dx | =
= O p (hd4 n −1 2 max( hr2 , ( nhr ) −1 2 ) =
= o p (hd2 hr2 ( nhd ) −1 2 max( hr2 , ( nhr ) −1 2 )) .
 1 1 σ 2 ( x ) w( x ) 1 2

∫ g ( x ) dx ∫ K r ( y ) dy +
nh
r
−1
0

 + h4κ2 ( K ) ×
 r 2 r
 1 (m′′( x ) g ( x ) − m( x ) g ′′( x )) w( x )
dx ,
×
=  ∫0
g 2 ( x)

если k = 0 ,

 1 1 σ 2 ( x ) w( x ) 1 ( k )
dx ∫ ( K r ( y )) 2 dy ,
 2 k +1 ∫
g
(
x
)
nh
 r 0
−1

если
k = 1, 2 ,

Остальные части Qn оцениваются аналогич-
κ2 ( K ) =
но. Следовательно,
Qn = o p ( hd2 hr2 ( nhd ) −1 2 max( hr2 , ( nhr ) −1 2 )) . (19)
1
(
~ ′′( x ) − m′′( x )) 2 dx .
Пусть Z n = ∫ ( m′( x )) ( m
0
Повторяя рассуждения работы [10], можно
доказать следующий результат.
Теорема А1. Пусть k ∈ {0, 1, 2} и обозначим
через w( x ) неотрицательную весовую функ-
 4 ∫ σ 2 ( x ) γ 02 ( x ) w2 ( x ) g −4 ( x ) dx ,
 Aε

если k = 0,
α 2 ,k = 
0
в противном случае .


Нам понадобится также следующий результат.
цию. Допустим, что A ⊂ R является компактным множеством, и положим
Aε = { x ∈ R : inf | x − a | < ε } .
a∈A
ε
прерывно дифференцируема ( k + 2) раз на A ,
а g (x ) ( k + 1) раз непрерывно дифференцируе-
Aε .
на
Если
hr → 0 ,
Теорема А2 ([11, p. 121]). Пусть
J = J ( δ) = [ m(0) + δ, m(1) − δ ] ,
δ = δ( hd ) > 0
выбрано
так,
что
t + h d v ∈ { m(0), m(1) ] для всех t ∈ J (δ) всякий
где
Предположим, что w(x ) ограничена и не-
ма
nh r → ∞ ,
раз, как только v ∈ [−1,1] . Пусть условия теоремы 2 выполнены. Тогда с вероятностью 1,
~ ) ( s ) ( t ) − ( m −1 ) ( s ) ( t ) | =
sup | (ϕ
t
nh 3r / 2+k → ∞ , h r = O (n −1 / 5 ) , то для k = 0 , 1, 2
 ~ (k )
 d
×  ∫ ( m
( x ) − m ( k ) ( x )) 2 w( x ) dx − B n ,k  →
 Aε

d
→
N (0,1) ,
где


α1,k = 2  ∫ σ 4 ( x ) w 2 ( x ) g − 2 ( x ) dx  ×
 Aε

(k )
(k )
2
× ∫ ( ∫ K r ( x ) K r ( x + y ) dx ) dy ,
)
σ 2 ( x ) = F ( x ) ( 1 − F ( x )) ,
hd
1/ 2
 log h −r 1 
= O  2 s +1  + O (h 2d ) для s = 0 , 1, 2 ,
 nh r 


~
sup | (ϕ h d )( 3) (t ) − ( m −1 )( 3) (t ) | =
Tn( k ) = ( n −1h −r 4 k −1α1,k + n −1h 2r k −4 α2,k ) −1 / 2 ×
(
11 2
∫ v K (v ) dv , γ k ( x ) = κ 2 ( K r ) ×
2 −1
× m ( k + 2 ) ( x ) g ( x ) + 2m (1) ( x ) g ( k +1) ( x ) +
k −1
k + 2 + j ( k +2− j )
m
( x) g ( j ) ( x)) ,
+ ∑ C kj+1
k− j
j =0
−6
Докажем теперь асимптотическую нормальность Z n .
133
t
1/ 2
 log h −r 1 
 + o( h d ) .
= O
 nh 5r 


Из теорем А1 и А2 выводим:
d
n1 / 2 h 9r / 2 ( Z n − Bn1 ) → N (0, σ 2 ) ,
n→∞
где
σ 2 = 4k 24 ( K d ) ×
134
М.С. Тихов, Д.С. Криштопенко
1
× ∫ m ( x ) (1 − m( x )) f 2 ( x )( m′( x )) −12 dx ×
0
11
 
×  ∫  ∫ K r′′( x ) K r′′( x + z )dx dz  ,
 
00
1 1 m( x )(1 − m( x )) 1
2
dx ∫ (K r′′) ( y )dy .
5 ∫
6
nhr 0 f ( x ){m′( x )}
−1
Следовательно,
Bn1 =
d
nhr9 2 hd− 4 (Tn − hd4 k22 ( K d ) Bn ) → N (0, σ 2 ) ,
n→∞
( m′′( x ))
dx . Это завершает до6
0 ( m ′( x ))
казательство теоремы 2.
1
2
где Bn = Bn1 + ∫
Список литературы
1. Криштопенко С.В., Тихов М.С, Попова Е.Б.
Доза – эффект. М.: Изд-во «Медицина», 2008. 288 с.
2. Тихов М.С., Криштопенко Д.С. Тестирование
монотонных функций эффективности по неполным
выборкам в случае непрямых наблюдений // Журн.
«Обозрение прикладной и промышленной математики». 2008. Т. 15. В. 4. С. 648–649.
3. Надарая Е.А. Об оценке регрессии // Теор. вероятн. и ее примен. 1964. Т. 9. В. 1. С. 157–159.
4. Watson G.S. Smooth regression analysis // Sankhyā, 1964. V. 26. P. 359–372.
5. Тихов М.С., Ярощук М.В. Асимптотическая
нормальность kNN-оценок в зависимости доза – эффект // Вестник Нижегородского университета. Серия Математика. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2006.
Вып. 1(4). С. 129–137.
6. Tikhov M.S. Statistical estimation on the basis of
interval-censored data // J. Math. Sciences. 2004. V. 119,
No 3. P. 321–335.
7. Serfling R.J. Approximation theorems of mathematical statistics. Wiley, New York, 1980. 371 p.
8. Dette H., Neumeyer N., Pilz K.F. A simple nonparametric estimator of a monotone regression function
// Bernoulli. 2006. V. 12. P. 469–490.
9. Mack Y.P. and Silverman B.W. Weak and strong
uniform consistency of kernel regression estimates // Z.
Wahrsch. Verw. Gebiete. 1982. V. 61. P. 405–415.
10. Hall P. Integrated square error properties of kernel estimators of regression functions // Annals of Statistics.V. 12, No. 1. P. 241–280.
11. Birke M. and Dette H. Testing Strict Monotonicity in Nonparametric Regression // Mathematical Methods of Statistics. 2007. V. 16, No. 2. P. 110–123.
MONOTONICITY CRITERION OF THE EFFECTIVENESS FUNCTION
IN A DOSE-EFFECT MODEL
M.S. Tikhov, D.S. Krishtopenko
A test of the effectiveness function strict monotonicity has been proposed which is based on the composition of
an estimate of the inverse effectiveness function with the Nadaraya-Watson estimate. This composition is equal to
identity if and only if the «true» effectiveness function is strictly monotone, and a test based on an L − distance has
been investigated. The asymptotic normality of the corresponding test statistic is established under the null hypothesis of strict monotonicity.
2
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
238 Кб
Теги
эффективность, фукции, монотонности, модель, дозах, критерии, эффекты
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа