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Критерии неустойчивостипо первому приближению нелинейных дискретных систем.

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??? 517.925.51
??????? ?????. ???. 1, 2005, ???. 3
?. ?. ????????, ?. ?. ??????
???????? ??????????????
?? ??????? ??????????? ??????????
?????????? ???????
????????? ?????? ???????? ???????????? ?????? [1]. ????? ?? ?????????? ???????
?????????????? ?????????? [2?5] ? ?????????????? ?? ??????? ???????????.
1. ??????? ??????? ??? ?????????? ??????
????? ????? ??????????????????? ?????????? ??????? ??????? ??????? ??????????? ? ???????? ??????? ??? ????? ? ??? ?? ????????? ???????? ????? ????????
???????? ??????? [6]. ??????? ??????? ??? ??????????? ?????? ???????????????
? [2?4, 6].
???????? ?????????? ?????? ?????????? ??????? ?? ???????? ????? ?????????????????? ??????????? [1, 8]. ? ???? ??????? ??????????? ?????????? ???????, ??? ???????
???????????? ??????????????? ?????????, ? ??????? ???????? ??????? ??????????? ??
????????.
? ????? ?????? ??????????????? ???????? ?????? ?????????????????? ???????????
? Ф?????? ???????╗. ?? ???????, ??? ??????????????? ?????????????????? ??????????? ??????? ??????? ??????????? ??? ?????????? ?????? ?? ???????? ???????????
???????? ??????????????.
?????????? ???????
exp[(t + 2) sin ln(t + 2) ? 2a(t + 1)]
2
x(t) + z(t) ? y(t)
exp[(t + 1) sin ln(t + 1) ? 2at]
y(t + 1) = e?a y(t), 1 < 2a < 1 + 12 e?? ,
x(t + 1) =
(1)
z(t + 1) = G(y(t), z(t)),
G(y, z) =
e?2a z,
e?2a y 2 ,
??? z = y 2 ,
??? z =
y2.
????? ??????? ??????? (1)
x(t) = x0 exp[(t + 1) sin ln(t + 1) ? 2at],
y(t) = y0 e?at ,
z(t) = z0 e?2at ,
(2)
z0 = y0 2 .
????????? ?? ????????.
?????????? ?????????????????? ?????????? ??????? (2):
X [x(t)] = 1 ? 2a < 0, X [y(t)] = ?a < 0, X [z(t)] = ?2a < 0.
?
?????? ????????? ??? ????????? ?????????? ????????? ???????????? ???????? ?? ???????????
(?????? ? 7484) ? ???? (?????? ? 04-01-00250A).
c ?. ?. ????????, ?. ?. ??????, 2005
30
???????????? ??????? (1) ????? ???????? ??????? ??? t = 2, 3, ... ????? ???
exp[(t + 2) sin ln(t + 2) ? 2a(t + 1)]
x(t) + z(t),
exp[(t + 1) sin ln(t + 1) ? 2at]
y(t + 1) = e?a y(t),
x(t + 1) =
(3)
z(t + 1) = e?2a z(t).
??? ??????????????????? ?????????? ?????????? ??????? x(t) ??????????? [8] ??????
1
X [x(t)] ? (1 ? 2a + e?? ) > 0.
2
?????????????, ??????? ??????? ??????? (3) ??????????? ?? ????????.
????? ???????, ????? ??????????? ?????? ??????? ??? ???????????? ????????????.
2. ???????? ?????????????? ?? ??????? ??????????? ??????? ???????
?????????? ?????????? ???????
x(t + 1) = F (t, x(t)),
x(t) ? R n ,
t = 0, 1, 2, ...,
(4)
??? F (и, и) ? ?????? ?????????? ???????????????? ?? ??????? ????????? ?????????????.
?????????? ???????????? ??????? (4) ????? ??????? ? ?????????? ??????? x0
?? ????????? ????????????? ? R n ????????? ?
?F (t, x) y(t + 1) =
y(t),
(5)
?x x=x(t,x0 )
??? x(0, x0 ) = x0 . ?????????? ????? ??????????????? ??????? ???????? ??????? (5)
Y (t, x0 ),
Y (0, x0 ) = I.
????? ??? ????????? ??????-??????? ?(t) ? ????????? ??????? ?(t) ?????????
???????????
?(t) = 1,
?t = 0,
1, 2...,
(6)
inf Y (t, x(0)) ?(t) ? ?(t).
x(0)??
????????? ??????? ???????? ???????????????? ???????? ?????????????? ?? ??????? ??????????? ??? ??????? ??????? ???????????? ?????? [5].
??????? 1. ????? ??? ??????? ?(t) ????????? ???????????
lim ?(t) = +?,
t?+?
(7)
????? ??? ??????? x(t, x(0)), x(0)?? ??????????? ?? ????????.
??????????????. ??????????? ????????? ???? x(0) ? ? ? t ? N0 . ??????????
?-??????????? ????? x0 ? ??????? ?????? y(0) ?????, ?????
x(0) ? y(0) = ? ?(t).
????? ????? ? ????????? ????, ??? {w| |w?x(0)|??}??.
31
?????? ???????? [9], ??? ??? ????? ????????????? ????? t, i ? ???????? x0 , y0
?????????? ?????? wi ? R n , ??? ????????
|x0 ? wi | ? |x0 ? y0 |,
xi (t, x0 ) ? xi (t, y0 ) = Y i (t, wi )(x0 ? y0 ).
(8)
????? Y i (t, z) ? i-? ?????? ??????? Y (t, z), ? xi (t, x0 ) ? i-? ?????????? ??????? x(t, x0 ).
????????? (8) ? (6), ??????? ??????
i
i
Y i (t, wi )(x0 ? y0 )2 ?
|x (t, x0 ) ? x (t, y0 )| =
i
? ? max Y 1 (t, w1 )?(t), . . . , Y n (t, wn )?(t) ?
?
?
? ? max inf Y i (t, w) ?(t) ? ? inf Y (t, w) ?(t) ? ? ?(t).
i
?
n ?
n
?? ???? ?????? ? ??????? (7) ???????, ??? ??? ????? ????????????? ????? ? ? ?
?????????? ?????? y0 ? ????? t, ????? ???
|x0 ? y0 | ? ?,
|xi (t, x0 ) ? xi (t, y0 )| ? ?.
????????? ??????????? ? ????????, ??? ??????? x(t, x0 ) ? ??????????? ?? ????????.
3. ???????????? ?????????????????
???????? ?????? ? ???????????? ?????????????? ?????????????? ???????, ????????????? ?? ?????????? ??????? ?????????? [3].
?????????? ???????? ???????
(9)
z(t + 1) = A(t)z(t)
? ?? ??????????????? ???????
Z(t) = {z 1 (t), ..., z n (t)},
????????? ?? ??????? ??????????? ???????? z i (t).
???????? ????????? ??????????????? ????????????? [10] ??? ???????? z i :
v1 = z 1 ,
v 2 = z 2 ? (v 1 , z 2 )
..
.
v n = z n ? (v 1 , z n )
v1
,
|v 1 |2
v1
v n?1
? . . . ? (v n?1 , z n ) n?1 2 ,
1
2
|v |
|v
|
? ?????????? ????????? ???????
U (t) =
32
v 1 (t)
v n (t)
,
.
.
.
,
|v 1 (t)|
|v n (t)|
.
????????? ????????? ??????? U (t), ??????? ??????
z(t) = U (t)w(t)
(10)
w(t + 1) = B(t)w(t),
(11)
? ??????? (9). ???????
???
B(t) = U (t + 1)?1 A(t)U (t).
????? W (t) ? ??????????????? ??????? ??????? (11). ????? ????? ?????????
??????????? [8].
????? 1. ??????? W (t), B(t) ???????? ??????????????????:
?
?
W (t) = ?
|v 1 (t)|
иии
..
.
0
?
?
?
..
?,
.
n
|v (t)|
?
B(t) = ?
?
|v 1 (t+1)|
|v 1 (t)|
иии
..
.
0
?
..
.
|v n (t+1)|
|v n (t)|
?
?.
?
???????, ??? ?? ?????????????? ??????? A(t) ??????? ?????????????? ???????
B(t).
??????? ????????? ??????????????? ???????????.
????? 2. ??? ???? t c?????????? ???????????
|v j (t)| ? |z j (t)|.
??????????????. ?? ?????????? v j (t) ?????:
(v i (t), v j (t)) = 0,
? j = i;
|v j (t)|2 = (v j (t), z j (t)).
?????? ??????? ??????????? ?????.
????? 3. ???? ??? ?????????? ????? C ? ???? t > 1 ????????? ???????????
n
j=1
|z j (t)| ? C
t?1
| det A(j)|,
?t ? 1,
(12)
j=0
?? ?????????? ????? r > 0 ?????, ??? ????? ????? ??????
|z j (t)| ? r|v j (t)|,
?t ? 1, j = 1, . . . , n.
(13)
??????????????. ??? ??????????????? ??????? ?????
Z(t) = A(t ? 1) и и и A(0)Z(0).
????? ?? ??????????? (12) ????? ???????????
1
t?1
n
det z (t) , . . . , z (t) = (|z 1 (t)| и . . . и |z n (t)|)?1 и | det Z(0)| и
| det A(j)| ? C ?1 .
1
n
|z (t)
|z (t)|
j=0
33
?????? ???????, ??? ??? ????????? ??????????????? L(t), ?????????? ?? ???????
z 1 (t), . . . , z m (t),
m < n,
???????? ????? ? ? (0, 1) ?????, ??? ????????? ??????
|z m+1 (t)? e(t)|
? 1 ? ?,
|z m+1 (t)|
?t ? 0,
(14)
??? ???? e(t) ? L(t), ??????????????? ?????????
|e(t)| = 1.
?????? ???????
j?1
v j (t)
v i (t)v i (t)? z j (t)
=
.
I
?
|z j (t)|
|v i (t)|2
|z j (t)|
i=1
(15)
??????????? ????????: ??????????? ????? ?? ????? ?????. ? ???? ?????? ?????????? ?????????????????? tk ? +? ?????, ???
v j (tk )
= 0.
k?+? |z j (tk )|
lim
????? ?? ????????? (15) ???????, ??? ?????????? ????? l < j ?????, ???
j
z (tk )
v l (tk )
?
lim
= 0.
k?+? |z j (tk )|
|v l (tk )|
(16)
????????? v l (t) ? L(t), ??????????? (14) ? (16) ???????????? ???? ?????. ??????????
???????????? ?????????? ?????? (13).
????? 4.
??? t > ? > 0 ????? ????? ??????
t?1
n?1
|v j (? )|
|v n (t)|
?
.
|
det
A(j)|
|v n (? )| ? ?1
|z j (t)|
j=1
??????????????. ?? ???? ??????? W (t) ??????? ????????? ???????????:
|v n (t)|
=
|v n (? )|
| det W (t)|
n?1
|v j (? )|
j=1
| det W (? )|
n?1
.
|v j (t)|
j=1
??? ??? ? ???? ??????????? ??????? U (t)
| det B(t)| = | det A(t)|,
?????
| det W (t)| = | det W (0)|
t?1
j=0
34
| det A(j)|.
(17)
??????, ????????? ?????? |v j (t)| ? |z j (t)|, ??????? (17)
?????????. ???????, ??? ??? ? = 0 ? Z(0) = I ????? ????? ???????????
t?1
|v n (t)| ?
| det A(j)|
j=0
n?1
1
j=1
|z j (t)|
.
4. ?????????????? ?? ???????????
?????????? ??????????? ?????????? ??????? ? ????? ????:
x(t + 1) = F (t, x(t)),
t = 0, 1, 2..., x(t) ? R n ,
(18)
??? F (t, x(t)) ????????????? ????????? F (t, 0) ? 0.
???????? ??????? ???????????????? ???????????? ?? ?????? ???????? ????????????????? ??????????, ?????? ????????? ???????????.
??????????? 1. ??????????? ??????? x(t) ? 0 ??????? (18) ?????????? ?????????? ?? ???????????, ???? ?????????? ????? R > 0 ? ? > 0 ?????, ??? ??? ????
??????? x(t, x0 ) ? ?????????? ??????? |x0 | ? ? ??????????? ??????
|x(t, x0 )| ? R|x0 |
(19)
??? ???? t.
??????? ??????? (18) ? ????????? ????:
x(t + 1) = A(t)x(t) + f (t, x(t)),
t = 0, 1, . . . ,
(20)
??? A(t) ? (n О n)-???????, ???????????? ?? [0, +?). ???????????, ??? ??? ????????????? f (t, x) ? ????????? ??????????? ?(0) ????? x = 0 ????????? ???????????
|f (t, x)| ? ?|x|? ,
? t ? 0, ? x ? ?(0),
? > 0, ? > 1.
(21)
????? Z(t) = z 1 (t), . . . , z n (t) ? ??????????????? ??????? ???????? ???????
z(t + 1) = A(t)z(t).
??????? 2.
???? ????????? ???????????
1
sup lim
ln
t
0?k?n t??
t?1
j=0
ln | det A(j)| ?
n
ln |z (t)| > 1,
i
(22)
i=1, i=k
?? ??????? x(t) ? 0 ??????? (20) ??????????? ?? ???????????.
?????????. ???? ??????? (20) ???????? ??????????, ?? ?????????????????? ?????????? ??????? ? ??????? ?????????????????? ?????????? ?????? ????, ?? ??????? x(t) ? 0 ??????? (20) ??????????? ?? ???????????.
??????????????. ????????????? ??????? ???????????? ?????????????????.
???????, ???????? (10), ??????
x(t) = U (t)y(t)
? ??????? (20). ???????
y(t + 1) = B(t)y(t) + g(t, y(t)),
(23)
35
???
B(t) = U (t + 1)?1 A(t)U (t),
g(t, y(t)) = U (t + 1)?1 f t, U (t)y(t) .
???????? ????? 1 ??????? B(t) ???????? ????????????????? ???????? ? ????????????? ?????????? bjj (t), ???????????????? ???????
bjj (t) =
?????, ????? ???????????
P n (t) =
|v j (t + 1)|
.
|v j (t)|
t?1
(24)
bnn (k),
k=0
?? ????? 4 ???????
P n (t) =
t?1
n?1
|v j (0)|
|v j (t)|
?
.
|
det
A(t)|
j
|v (0)| j=0
|z j (t)|
i=1
(25)
?? ?????? ????????, ??? (22) ????? ???????, ??? ???????? ??????????? ??? k = n.
????? ?? ??????????? (22) ? (25) ??????? ????????????? ????? ? > 1 ??????, ??? ???
?????????? ??????? t ????????? ??????
ln P n (t) ? ? ln t,
(26)
? > 1.
??? ?????????? ????????? ??????? (23)
y(t + 1)n = bnn (t)y n (t) + g n (t, y(t))
??????? ?????????
?
y n (t) = P n (t) ?
t?1
?
P n (j + 1)?1 g n (j, y(j)) + y n (0)? .
(27)
j=0
??????????? ?????????? ?????? (19), ?? ??????? (21) ? ??????????? U (t) ???????
???????????
|g(t, y(t)| ? ?R? |y(0)|? .
?? ?????? (26) ??????? ????????????? ????? ? ??????, ??? ????????? ???????????
t?1
P n (j + 1)?1 < ?.
j=0
??????? ????????? ?????? y0 ???, ?????
y n (0) = |y(0)| = ?,
? ????? ? ????????????? ????????????
??R? ? ? < ? ? ?.
36
?? ??????????? ? > 1 ??????? ????????????? ???????????? ?. ?????? ???????
?y n (0) < ???R? ? ? ?
t?1
P n (j + 1)?1 g n (j, y(j)).
(28)
j=0
????????? (27) ? ?????? (28), ??????? ???????????
lim y n (t) = +?,
t?+?
??? ???????????? ????????????? ? ?????????? ??????????? (19). ?????????????, ??????? xt ? 0 ??????????? ?? ???????????.
5. ?????????? ?????? ?????????? ????????? ????????
?????????? ?????????? ??????????
P (t)? H(t + 1)P (t) ? H(t) = ?G(t)
(29)
???????????? ???????????? ??????? H(t). ????? P (t) ? G(t) ? ???????????? n О n???????, ?
G(t)? = G(t).
????????? ????? X(t) ??????????????? ??????? ???????
(30)
x(t + 1) = P (t)x(t).
???? ??? ????????? ?????????? ? > 0, C > 0 ? ? ? 0 ??????????? ??????
|X(s)X(t)?1 | ? C exp[??(s ? t) + ?t],
?s ? t ? 0,
(31)
?? ???????? ????????? (29) ????? ???????
H(t) =
?
(X(s)X(t)?1 )? G(s)(X(s)X(t)?1 ).
(32)
s=t
???? ???? ??????????? ???????????? (32) ? ????????? (29) ? ???????????? ?????????
?1
X(t + 1)
P (t) = X(t)?1 .
?????????? ????? (32) ??????? ?? ?????? (31). ????? ????, ?? ?????? (31) ???????
???????????
?
|H(t)| ? C 2 sup |G(t)|
e2[??(s?t)+?t] .
t?0
t
??? ??? G(t) ? ??????????, ?? ?????????? ????? R > 0, ??? ????????
|H(t)| ? Re2?t ,
? t ? 0.
(33)
?????? ? ??????? (33) ?????? ???? ?????? ?????? ????? ???????????? ?????
z ? H(t)z.
37
????? 5.
???? ??? ?????????? ????? ? > 0 ????????? ???????????
z ? G(t)z ? ?|z|2 ,
?t ? 0, ?z ? Rn ,
(34)
?? ????? ????? ??????
z ? H(t)z ? ?|z|2 ,
? t ? 0,
?z ? Rn .
(35)
??????????????. ?????? ???????????:
y(s) = X(s)X(t)?1 z.
? ???? ??????? ????? y(s)? G(s)y(s) ? 0 ??? ???? s. ?????
z ? H(t)z =
?
y(s)? G(s)y(s) = z ? G(t)z +
s=t
?
y(s)? G(s)y(s) ? ?|z|2 .
s=t+1
???????, ??? ??? ? = 0 ????? ??????? H(t) ??????????.
?????????. ????? ????????? ?????????
(36)
y(t + 1) = q(t)y(t)
????? ???????? ?????????????????? ?????????? ? ????????????? ?????? ?????????????????? ??????????
t?1
1
q(j)| > 0.
? = lim ln |
t?? t
j=0
(37)
????? ?????????? ????????????? ??????? m(t) ?????, ???
q(t)m(t + 1)q(t) ? m(t) = q(t)2 m(t + 1)m(t) > 0,
? t ? 0.
??????????????. ??????? ????????? (36) ? ????????? ????:
x(t + 1) = p(t)x(t),
x(t) = y(t)?1 , p(t) = q(t)?1 .
????? ?? (37) ???????
t?1
t?1
1
1
ln |
p(t)| = ? lim ln |
q(j)| = ?? < 0.
t?? t
t?? t
j=0
j=0
X (x(t)) = lim
??????? ??? ??? ?????? ? ? (o, ?), ??? ? = ? ? ?????????? ? > 0 ????????? ??????
(31), ?. ?. ??? ?????? ????? ? > 0 ?????????? C > 0 ?????, ???
|x(t)x(? )?1 | ? Ce?(???)(t?? )+(?+?)? ,
t ? ?.
????? ? = ? ? ?, ? = ? + ?. ????? ??? p(t) = q(t)?1 ?? ????? 5 ?????????? ???????
????????? ???????? h(t) ?? ?????????? (33), (35), ?. ?.
|h(t)| ? Re2?t , z ? h(t)z ? ?|z|2 .
38
???????, ??? ???? ? = 0, ?? |m(t)| ? ??????????.
6. ?????????????? ?? ????????
??????? 3. ????? ??? ????????? ????? C > 0, ? > 0, ?1 , .., ?n?1 , ??? ? > ?j (j =
1, .., n ? 1), ????????? ????????? ???????????:
1) |z j (t)| ? C exp(?j (t ? ? ))|z j (? )| ?t, ? : t ? ? ? 0,
?
?
t
n?1
1
ln ?
2)
| det A(j)|? > ? +
?j , ?t, ? : t > ? ? 0,
t??
j=?
j=1
3) ???? n > 2, ??
n
|z j (t)| ? C
j=1
t?1
| det A(j)|,
?t ? 1.
j=0
????? ??????? x(t) = 0 ??????? (20) ??????????? ?? ????????.
??????????????. ????????? ????? ???????????? ????????????????? ???????
? ??????? (20) ??????
z(t) = U (t)w(t)
? ??????? ????????? ?????????. ??????? ??????? ?? n ? 1 ?????????:
w?(t + 1) = B?(t)w?(t), w?(t) ? Rn?1 ,
? ??????????????? ????????
?
?
?
W? (t) = ?
?
?
?????
?
?
B?(t) = ?
?
w1,1 (t) и и и
..
.
0
..
.
0
иии
|v 1 (t+1)|
|v 1 (t)|
?
wn?1,1 (t)
?
?
?.
?
?
..
.
wn?1,n?1 (t)
иии
..
.
?
..
.
|v n?1 (t+1)|
|v n?1 (t)|
0
?
?.
?
?? ??????????? ??????? U (t) ???????, ??? |z j (t)| = |wj (t)|. ????? ?? ??????? 2 ???????
???????
|wj (t)| ? C exp(?j (t ? ? ))|wj (? )|,
?t ? ? ? 0, ?j = 1, . . . , n ? 1 .
(38)
?? ??????? 2 ? 3 ?? ????? 4 ???????? ??????
n?1
|v j (? )|
|v n (t)|
n?1
?
exp(?(t
?
?
))C
,
|v n (? )|
|z j (? )|
j=1
? t ? ? ? 0.
(39)
?????? ?? ??????? 1 ? ????? 3 ??????? ????????????? ?????????????? ????? ? ??????, ??? ????????? ???????????
|v n (t)| ? ?e?(t?? )|v n (? )|.
(40)
??? n = 2 ??? ?????? ?????????? ?? (39) ??? ??????? 1.
39
???????? ?????? ? ??????? (20) ? ??????? ????????? ??????:
x(t) = edt U (t)y(t).
(41)
????? ????????????? ????? d ????????????? ???????
(42)
? < d < ?,
??? ? =
max
j=1,иии ,n?1
?j . ????? ?????? (41) ??????? ???????
y(t + 1) = B(t)e?d y(t) + g(t, y(t)),
???
(43)
g(t, y(t)) = e?d(t+1) U ?1 (t + 1)f (t, edt U (t)y(t)).
?? ??????? (21) ???????, ??? ??? ?????? ????? ? ?????????? ??????????? ?(0) ?????
y = 0 ?????, ???
|g(t, y)| ? ?|y|, ? t ? 0, ? y ? ?(0).
(44)
????????? ????? y k ?????????? ??????? y:
y=
????? ??? ???????
y?
yn
?
,
?
y? = ?
?
y1
..
.
?
?.
y n?1
"
!
y?(t + 1) = B?(t)e?d y?(t)
(45)
? ???? ??????????? (38) ????? ??????
|y?(t)| ? C exp((? ? d)(t ? ? ))|y?(? )|, ? t ? ? .
?????????????, ?? ????? 5 ?????????? ??????? H(t), ???????????? ?? [0, +?), ?
????????????? ????? ?1 ? ?2 , ??? ??????? ??????????? ????????? ???????????
!
"
y? ? B?(t)? e?d H(t + 1)B?(t)e?d ? H(t) y? ? ??1 |y?|2 ,
(46)
y? ? H(t)y? ? ?2 |y?|2 ,
?t ? 0,
?y? ? R n?1 .
??? ?????????? ?????????
y n (t + 1) =
|v n (t + 1)| ?d n
e y (t)
|v n (t)|
? ???? ??????????? (40) ????? ??????
|y n (t)| ? ?e(??d)(t?? )|y n (? )|,
? t ? ?.
????? ?? ????????? ?? ????? 5 ?????????? ???????????? ?? [0, +?) ?????????????????? h(t) ? ????????????? ????? ?3 ? ?4 , ??? ??????? ????? ????????? ???????????:
n
|v (t + 1)| ?d
|v n (t + 1)| ?d
2
2
n
y (t)
e h(t + 1)
e ? h(t) ? ??3 y n (t) ,
(47)
|v n (t)|
|v n (t)|
40
h(t) ? ??4 ,
? t ? 0,
? yn ? R 1.
??????? ??????, ??? ???????
V (t, y) = y? ? H(t)y? + ?y n h(t)y n
??? ?????????? ??????? ????? ? ????? ???????? ???????? ??? ??????? (43), ??????????????? ???????? ??????? ???????? ? ??????????????.
?????????
K(t) = B?(t)e?d ,
k(t) =
|v n (t + 1)| ?d
e .
|v n (t)|
????? ??????? (22) ????? ???????? ? ????
y?(t + 1) = K(t)y?(t) + q(t)y n (t) + g?(t, y?(t), y n (t)),
y n (t + 1) = k(t)y n (t) + g n (t, y?(t), y n (t)),
(48)
??? q(t) ? ????????? ???????????? ??????????????????, g? ? g n ??????, ???
?
g(t, y) = ?
g?(t, y)
?
?.
n
g (t, y)
?????? ???????????:
V 1 (t, y) = y? ? H(t)y?,
V 2 (t, y n ) = ?h(t)yn2 .
????? ?? ?????? (46) ? (47) ??????? ???????????:
V 1 (t, y?) ? ??1 |y?|2 + q 2 H|y n |2 + ?2 (|y?| + |y n |)2 H+
+ 2H[Kq|y?||y n | + K?(|y?| + |y n |)|y?| + q?(|y?| + |y n |)|y n |],
V 2 (t, y n ) ? ???3 |y n |2 + ?h[?2 (|y?| + |y n |)2 + 2k?(|y?| + |y n |)|y n |],
??? ????????????? ???????? H,K,q,k,h ? ????????? ?? t ??????????????? ????. ??
?????????? ??????? ?? ?????????????? A(t), H(t), h(t), q(t). ????? ???????? ????????????? ????? ? ?????, ???
V (t, y?, y n ) ? ??(|y?|2 + |yn |2 ).
?? ????? ??????????? ? ?? ??????????? (47) ???????, ??? ??? ??????? V (t, y) ????????? ??? ??????? ??????? ???????? ? ??????????????. ?????????????, ??????? ???????
y(t) ? 0 ??????????? ?? ????????.
????????? d > 0 ? U (t) ? ????????? ???????, ??????? x(t) ? 0 ???????? ???????
????? ??????????? ?? ????????.
41
Summary
N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov. Criteria of stability by the ?rst approximation for discrete nonlinear systems.
The problem of instability by the ?rst approximation for discrete systems is considered. Criteria
of instability by the ?rst approximation for ?ow of solution is extended to cascades. Criteria of
instability by Lyapunov and Krasovskiy are are obtained.
??????????
1. ???????? ?. ?., ?????? ?. ?. ???????? ???????????? ?? ??????? ??????????? ?????????? ?????????? ?????? // ????. ?.-??????. ??-??. ???. 1. 2005. ? 1.
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нелинейные, приближение, дискретное, система, первом, неустойчивости, критерии
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