close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Локально параметрически идентифицируемые системы типичны.

код для вставкиСкачать
УДК 517.977
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2
ЛОКАЛЬНО ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
ИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ ТИПИЧНЫ
Н. А. Бодунов1 , С. А. Колбина2 , С. Ю. Пилюгин3
1. С.-Петербургский государственный электротехнический университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, nick.bodunov@gmail.com
2. С.-Петербургский электротехнический государственный университет,
канд. физ.-мат. наук, доцент, kafedravm1@gmail.com
3. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, sp@sp1196.spb.edu
1. Введение. В общей теории управления системы типа «вход-выход» являются
одной из основных абстрактных моделей (см. [1–3]).
Если исследуемая модель зависит от параметров, одной из наиболее изучаемых
задач является задача о параметрической идентификации, т. е. об определении параметров системы по наблюдениям выходного сигнала (см., например, [4]).
В предлагаемой заметке мы показываем, что если размерность пространства параметров не больше, чем размерность пространства выходных сигналов, то типичная система локально параметрически идентифицируема [5] для почти всех значений
входного сигнала и параметра.
Приведен пример, показывающий, что если число параметров больше размерности выходного сигнала, то соответствующее утверждение неверно.
2. Основная теорема. Рассмотрим систему типа «вход-выход», в которой входному сигналу x Rn сопоставляется выходной сигнал y Rm . Будем считать, что
рассматриваемая система зависит от параметра p Rl .
Таким образом, моделью рассматриваемой системы является отображение
f Rn " Rl Rm .
(1)
Будем считать для определенности, что отображение (1) принадлежит классу
C (Rn " Rl , Rm ).
Задача о параметрической идентификации состоит в определении неизвестного
параметра p по результатам наблюдения выхода y [4].
Мы будем изучать свойство локальной параметрической идентифицируемости
системы, формулируемое следующим образом.
Две пары (x1 , p1 ), (x2 , p2 ) Rn " Rl называются различимыми по наблюдению,
если
f (x1 , p1 ) = f (x2 , p2 ).
Будем говорить, что система локально параметрически идентифицируема в точке
p0 Rl при входном сигнале x0 Rn , если существует такое 0, что пары (x0 , p0 )
и (x0 , p) различимы по наблюдению при всех p, удовлетворяющих неравенству 0 <
p − p0 < .
©
16
Н. А. Бодунов, С. А. Колбина, С. Ю. Пилюгин, 2012
Это определение является модификацией на случай модели вида (1) определения локальной параметрической идентифицируемости, введенного в [5] при изучении
моделей, описываемых системами дифференциальных уравнений.
Как обычно, будем называть подмножество топологического пространства множеством II категории по Бэру, если оно содержит пересечение счетного набора открытых и плотных подмножеств.
Свойство элементов пространства называется типичным, если этим свойством
обладают все элементы некоторого множества II категории.
В данной заметке мы показываем, что свойство локальной параметрической
идентифицируемости типично (как по отношению к отображениям, задающим модель, так и по отношению к парам (x0 , p0 )).
Будем рассматривать пространство C (Rn "Rl , Rm ) с тонкой топологией Уитни,
в которой база окрестностей отображения f состоит из отображений g, удовлетворяющих неравенствам
(1)
∂kg
∂kf
(x,
p)
−
(x, p)- < k1 ,k2 (x, p)
∂ k1 x∂ k2 p
∂ k1 x∂ k2 p
(n)
(1)
(l)
(1)
(n)
(1)
(l)
при k1 = (k1 , . . . , k1 ), k2 = (k2 , . . . , k2 ), k1 + . . . + k1 + k2 + . . . + k2 = k, k =
0, 1, . . ., для положительных функций k1 ,k2 на Rn "Rl . Будем обозначать возникающее
пространство буквой C.
Хорошо известно, что пространство C является пространством Бэра, то есть любое множество II категории плотно в нем.
Теорема. Пусть l m. Тогда существует множество II категории L ⊂ C, обладающее следующим свойством: если f L, то система, задаваемая отображением
f , локально параметрически идентифицируема в точке p0 Rl при входном сигнале
x0 Rn для пар (x0 , p0 ), принадлежащих открытому и плотному подмножеству
пространства Rn " Rl .
Доказательство. Предположим, что система вида (1) не является локально
параметрически идентифицируемой в точке p0 Rl при входном сигнале x0 .
В этом случае существует такая последовательность значений параметра pk Rl ,
что pk = p0 , pk p0 при k и f (x0 , pk ) = f (x0 , p0 ).
Представим
0 = f (x0 , pk ) − f (x0 , p0 ) =
∂f
(x0 , p0 )(pk − p0 ) + o(pk − p0 ).
∂p
(2)
Последовательность векторов
vk =
pk − p0
pk − p0 принадлежит единичной сфере в Rl ; пусть v — предельная точка этой последовательности. Деля равенство (2) на pk − p0 и переходя к пределу по соответствующей v
последовательности индексов, мы получаем равенство
∂f
(x0 , p0 )v = 0.
∂p
(3)
17
Так как v = 1, равенство (3) означает, что
rank
∂f
(x0 , p0 ) < l.
∂p
(4)
Рассмотрим 1-струйное расширение f (см. [6]), то есть отображение
F Rn " Rl Rm " Rmn " Rml ,
которое сопоставляет точке (x, p) тройку
F (x, p) = /f (x, p),
∂f
∂f
(x, p),
(x, p)0
∂x
∂p
(5)
(мы естественным образом отождествляем матрицы
∂f
(x, p)
∂x
и
∂f
(x, p)
∂p
с элементами евклидовых пространств соответствующих размерностей).
Пусть Δ — подмножество пространства Rml , соответствующее матрицам ранга,
меньшего l, а Δ = Rm " Rmn " Δ .
Хорошо известно (см., например, [6, с. 24]), что
Δ = Δ0 1 . . . 1 Δl−1 ,
где Δj , подмножество Rml , соответствующее матрицам ранга j, является гладким
подмногообразием в Rml коразмерности (m − j)(l − j).
Из неравенства l m (см. условие нашей теоремы) вытекает, что каждое из
подмногообразий Δ0 , . . . , Δl−1 имеет положительную коразмерность в Rml .
Поэтому произведения
Δj = Rm " Rmn " Δj ,
j = 0, . . . , l − 1,
являются гладкими подмногообразиями положительной коразмерности.
Из сильной теоремы трансверсальности Тома [6, 7] вытекает, что при любом
j = 1, . . . , l − 1 существует такое подмножество Lj II категории по Бэру в пространстве
C, что для любого отображения f Lj его 1-струйное расширение (5) трансверсально
к гладкому подмногообразию Δj .
В этом случае (см. [8]) множество F −1 (Δj ) является гладким подмногообразием
пространства Rn " Rl , коразмерность которого равна коразмерности Δj .
Так как коразмерности подмногообразий Δ0 , . . . , Δl−1 положительны, множество
M = (Rn " Rl ) 2 (F −1 (Δ0 ) 1 . . . 1 F −1 (Δl−1 ))
является открытым и плотным подмножеством пространства Rn " Rl .
Положим
L = L0 3 . . . 3 Ll−1 .
Ясно, что L — подмножество II категории по Бэру в пространстве C.
18
Если f L, а (x0 , p0 ) M, то
∂f
(x0 , p0 ) 4 Δ0 1 . . . 1 Δl−1 ,
∂p
(6)
а это означает, что система f локально параметрически идентифицируема в точке
p0 при входном сигнале x0 (в противном случае выполнялось бы неравенство (4),
противоречащее соотношению (6)). Теорема доказана.
3. Пример. Отметим, что при выполнении неравенства l m («слишком много
параметров») утверждение доказанной выше теоремы может не выполняться.
Чтобы не загромождать изложение излишними техническими деталями, рассмотрим случай l = 2 и m = 1 (перенос рассуждений на случай произвольных l и m очевиден).
Рассмотрим в пространстве параметров координаты p = (p1 , p2 ); пусть
f (x, p) = p1 .
(7)
g(x, p) = p1 + G(x, p1 , p2 )
(8)
Рассмотрим возмущение
отображения (7), удовлетворяющее следующему условию: существует такое r 0, что
если
(9)
x0 , p01 , p02 < r
и
H(p1 , p2 ) = p01 + G(x0 , p01 , p02 ) − G(x0 , p1 , p2 ),
то
H(p1 , p2 ) <
r
2
и
%
∂H
1
(p1 , p2 )% <
∂p1
2
(10)
при p1 , p2 < r.
Рассмотрим произвольную точку (x0 , p0 ), удовлетворяющую неравенствам (9).
Равенство
g(x0 , p) = g(x0 , p0 )
равносильно равенству
p1 = H(p1 , p2 ).
Стандартные оценки из доказательства теоремы о неявной функции (см., например, [9]) показывают, что существует такая функция
p1 = P (p2 ),
что
и P (p2 ) p01 при p2 p02 .
Это означает, что
p2 < r,
P (p2 ) = H(P (p2 ), p2 )
g(x0 , P (p2 ), p2 ) = g(x0 , p01 , p02 )
19
при всех p2 (−r, r), то есть система, соответствующая отображению (8), не является
локально параметрически идентифицируемой в точке p0 при входном сигнале x0 .
Осталось заметить, что множество точек (x0 , p0 ), удовлетворяющих неравенствам (9), открыто, а условия (10) выполняются для отображений (8), принадлежащих открытому множеству в соответствующем пространстве C.
Таким образом, множество систем, обладающих свойством, описанным в доказанной выше теореме, не плотно в C (в то время как оно плотно при l m).
Литература
1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.:
Наука, 1975. 768 с.
2. Bolton W. Control systems. Oxford, UK; Burlington, MA: Newnes, 2002. 181 p.
3. Zak S. H. Systems and control. Oxford: Oxford Univ. Press., 2003. 770 p.
4. Bohlin T. Practical grey-box process identification. London: Springer, 2006. 351 p.
5. Бодунов Н. А. Введение в теорию локальной параметрической идентифицируемости.
СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 144 с.
6. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых
отображений. М.: Наука, 1982. 303 с.
7. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир,
1977. 290 с.
8. Demazure M. Bifurcations and catastrophes. Geometry of solutions to nonlinear problems.
Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2000. 301 p.
9. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.
232 с.
Статья поступила в редакцию 22 декабря 2011 г.
20
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
255 Кб
Теги
типичные, идентифицируемые, локального, система, параметрические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа