close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Малые стабилизирующие возмущения вырождающегося линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянным ограниченным операторным коэффициентом и переменным свободным членом.

код для вставкиСкачать
Вестник ТГУ, т.5, вып.1, 2000
УДК 517.917
МАЛЫЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ
ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМ ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
И ПЕРЕМЕННЫМ СВОБОДНЫМ ЧЛЕНОМ
 В.И. Фомин
Fomin V.I. Small stabilisation perturbations of degenerate linear differential equation of the first order with constant
bounded operator coefficient and variable free term. The article analyses the application of the degenerate differential equation of the first order in Banach space.
В банаховом пространстве E исследуется вырождающееся уравнение
Тогда
t  x t   Ax t   f t ,
0
0  t  ,
(1)
где x(t) – искомая функция со значениями в E; A 
L(E); f(t)  C([0,);E);   R,
  1.
Рассмотрим стабилизирующее возмущение уравнения (1) малым положительным параметром   (0,
0 ] (0 = const):


t   x  t   Ax  t   f t ,

x  0  x ,0.


0  t  ,
(2 )
(3)
Лемма 1. При любом фиксированном   (0, 0 ]
задача (2), (3) при  = 1 имеет решение
где
t
t  f s 

J 1 t    exp A ln 
ds,
s s

0
(4 )
M t   max || f s  || .
Замечание 1. В дальнейшем в оценке (5) число 
берется настолько малым, что  < 0 при  < 0 и
 < –1 при  < –1.
Лемма 2. Пусть  < 0 и


0
80
t

|| J 1 t  ||   || exp A ln

0
t
t 
 M 2 M t    
s
0 
 M 2 M t t 
(5)
где M2 > 0,  =  + ,  – произвольное сколь угодно
малое фиксированное положительное число.
lim   || x ,0 ||  0.
(8)
В силу (5)
Лемма 1 доказывается непосредственной подстановкой функции (4) в уравнение (2) и проверкой для
нее начального условия (3).
Пусть  = max{Re  |    (A)}. Тогда
0  t  ,
t  0,  .
Предельная функция J1(t) ограничена при t  +0.
Если f(t) ограничена на [0, ), то J1(t) ограничена на
[0, ).
Доказательство. Возьмем произвольное фиксированное t  (0, ). Покажем вначале сходимость несобственного интеграла (8).
Пусть
t
|| e At ||  M 2 e  t ,
(7)
0 st
t 

x ,1 t   exp A ln
 x  ,0 
 

t    f s 

  exp A ln
ds.

s s

0
lim x ,1 t   J 1 t , t 0, ,
(6)

t  || f s  ||
ds 
 ||
s
s
t
ds
 M 2 M t t    s    1ds 
s
0
M2
s  t

M t ,
  0  
ибо –  > 0 в силу замечания 1. Итак,
|| J 1 t  || 
M2
M t .
 
(9)
Из (9) следует сходимость несобственного интеграла
(8), ограниченность функции J1(t) при t  +0. Если
sup || f t  ||  M ,
0t 
Вестник ТГУ, т.5, вып.1, 2000
то в силу (9)
|| J1 t  || 
t 
t 
d 
 ts


    1 
|| A ||  || exp A ln
 ||
 || f s  || ds 
t


s




 s  2 
0 
0
M 2M
, 0  t  ,
 
то есть J1 (t) ограничена на (0, ).
Докажем предельный переход (7). Покажем вначале, что
t 

exp A ln
 0.
 x ,0 
0
 

(10)
В силу (5), (6)
t 
t 


|| exp A ln
 x ,0 ||  || exp A ln
 || || x ,0 || 
 
 


t 
M2

  

|| x ,0 ||  M 2 t   


 

|| x ,0 || 
 0,
0

t 
 t     d 
 ds 
 M t M 2   1 || A ||  

 s    s  2 
0
0
t 


  2
 M 2 1 || A ||M t    t    s    d ds 

0
0
t 

  2
 M 2 1 || A ||M t  t      s    d ds 
0
0

t 
s    1   ds 
 M 2 1 || A ||M t  t    

0
     1 0

t
M2
1 || A ||M t t   s   1  s  1 ds 
   1
0

 

t s   t 
M2
1 || A ||M t t    s   


0    0
   1
   

M2
1 || A ||M t t  t       t  .
     1

откуда следует (10). Для доказательства (7) осталось
показать, что
lim  g s, t   gs, t ds  0,
0
(11)
0

Итак,
t
t


||  g  s, t   gs, t ds ||
0

M 2 1 || A ||
M t  t   
     1

 (t  )      t  .
где
(12)
Заметим, что
t    f (s)

g ( s, t )  exp A ln
,

s s



lim t        t   0 .
 0
t  f s 

gs, t   exp A ln 
.
s s

(13)
В силу (13) из (12) следует справедливость (11).
Лемма 2 доказана.
Имеем:
 1
t    

g s, t   gs, t   
exp A ln
  f s  
s    0

 s  
  1 
ts 
t 

  
I

A
exp
A
ln



 d f s .
2
t 
s    

 0 s   
Лемма 3. Пусть  < –1 . Тогда предельная функция J1(t) является решением уравнения (1) при  = 1.
Доказательство. Выясним поведение подинтегральной функции g(s,t) при s +0. В силу (5) при
любом s  (0,t]
t  || f s  ||
1

t  
|| gs, t  ||  || exp A ln  ||
 M 2   M t  
s
s
s

s

 M 2 M t  t  s  1 

 0,
s  0
Тогда
(14)
ибо – –1 > 0 в силу замечания 1. В силу (14)
t
 g s, t   gs, t  ds 
lim gs, t   0 .
s 0
0
t

ts 
t    d


    I 
A  exp A ln

t 
s    s  2

0
0 
и в силу (5)
t
t
0
0
||  g s, t   gs, t ds ||   || g s, t   gs, t  || ds 

 f s ds

(15)
В силу (15) функцию g(s,t) можно доопределить
по непрерывности в нуле:
g0, t   lim gs, t   0.
s 0
(16)
В силу (16) функция g(s,t) непрерывна по s,t.
Далее:
81
Вестник ТГУ, т.5, вып.1, 2000
g s, t  t'  A exp A ln t  s 1 f s  1 A g s, t  .
s t s s
(17)
t
В силу (15), (17)
(18)

 
1
  1  1

x , t   exp A
  1 
 x 

1   ,0


1





t






 

можно дооп-
t

 
1
1
  1 
 f s

 
  exp A

ds.


1


1



1

s





t




0
 
 s   
lim g s, t  t'  0.
s 0

 t'
В силу (18) производную gs, t 
ределить по непрерывности в нуле:
g s, t  t'
s0
(19)
s 0

В силу (19) g s, t  непрерывна по s,t.
Итак, подинтегральная функция g(s,t) и ее произ-

'
t

водная g s, t  t' непрерывны по s,t. Следовательно,
можно применить правило дифференцирования интеграла по параметру:
t
t  s 1 f s 
t  f t 


J1' t    A exp A ln 
ds  1 exp A ln 

s
t
s
s
t t



0
1
t  f s 
1
1

 A exp A ln 
ds  f t    AJ1 t   f t  .

t 0
s s
t
t
t

Получили:
J1' t  
1
AJ1 t   f t .
t
Тогда
tJ1' t   AJ1 t   f t .
(20)
(20) означает, что функция J1 (t) является решением уравнения (1) при  = 1.
Лемма 3 доказана.
В силу лемм 1–3 справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. При любом фиксированном   (0, 0]
задача (2), (3) при  = 1 имеет решение (4). При  < 0
и выполнении условия (6) справедлив предельный
переход (7). При  < –1 предельная функция J1 (t)
является решением предельного ( = 0) уравнения (1)
при  = 1. Это решение ограничено при t  +0. Если
f(t) ограничена на [0, ), то J1 (t) ограничено на (0, ).
82
(21)
Лемма 5. Пусть  < 0 и
 lim g s, t  t'  0.

Аналогично доказываются следущие утверждения.
Лемма 4. При любом фиксированном   (0, 0]
задача (2), (3) при  > 1 имеет решение

 
1 
lim || x ,0 || exp   1   0.
0


1
 


(22)
Тогда
lim x , t   J  t ,
 0
t 0, ,
(23)
где
t

 
J  t    exp A
0
1  1
1  
 f s 

ds,

 
 
    1  s  1 t  1  

 s
t  0, .
24
Предельная функция J(t) ограничена при t +0.
Если f(t) ограничена на [0,), то J(t) ограничена на
(0,).
Лемма 6. Предельная функция J(t) является решением уравнения (1).
Теорема 2. При любом фиксированном   (0, 0]
задача (2), (3) при  > 1 имеет решение (21). При  < 0
и выполнении условия (22) справедлив предельный
переход (23). Предельная функция J(t) является решением предельного ( = 0) уравнения (1). Это решение ограничено при t +0. Если f(t) ограничена на
[0,), то J(t) ограничена на (0,).
Данная работа обобщает результаты [1].
ЛИТЕРАТУРА
1.
Фомин В.И. Малые стабилизирующие возмущения вырождающегося линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянным ограниченным коэффициентом и постоянным свободным членом // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич.
науки. Тамбов, 1999. Т. 4. Вып. 3. С. 347-352.
Поступила в редакцию 15 декабря 1999 г.
Вестник ТГУ, т.5, вып.1, 2000
83
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа