close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель течения крови по сосудам. Исследование на устойчивость

код для вставкиСкачать
Целью нашей работы была автоматизация приведения системы (1) к нормальной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений вида с учетом соотношения \ . ^ '
1,
V
^кУ
сравнение полученных результатов в моей работе и работе, которая была выполнена без з^ета этого
соотношения.
В нашей работе была написана программа в среде Maple 8 приводяш,ая систему (1) к
нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
Y' = A Y + f ,
где
А:
(2)
а•• (6) - квадратная матрица п-го порядка с переменными коэффициентами, f = f• (0) -
вектор-столбец (п X 1) элементы которого зависят от а^, п = 2 1 , Y(6) = ()
— вектор-фзшкция,
подлежащая определению, 9 е [0,71/2] .
При этом был использован следующий алгоритм: матрица А ] ( а | ( 9 ) ) при максимальной про­
изводной вектора неизвестных приводится к треугольному виду методом Гаусса с выбором главного
элемента. А затем последовательно выражаются максимальные производные элементов вектора не­
известных, и производится замена, сводящая систему дифференциальньгх уравнений порядка (1-1) к
системе дифференциальных уравнений первого порядка.
В результате исследования матриц А в работах, выполненной без учета соотношения
1 и моей, мы выявили следующие закономерности позволяющие предположить неустойчивость матрицы А.
Для полученной матрицы А(ау (9)) при определенных значениях 9 были найдены определи­
тели и собственные значения характеристических многочленов с целью исследования полученной
системы на устойчивость, поскольку известны следующие результаты теории устойчивости линей­
ных дифференциальных систем:
1) Линейная дифференциальная система устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решение
этой системы и вполне неустойчиво, если неустойчиво некоторое решение ее.
2) Линейная неоднородная дифференциальная система устойчива, тогда и только тогда, когда
устойчива соответствующая однородная дифференциальная система.
3) Линейная однородная система с постоянной матрицей А устойчива тогда и только тогда, ко­
гда все ее характеристические корни обладают неположительными вещественными частями.
Анализируя реальные части собственных значений матрицы A(ajj (9) ) , где 9 =const, видим,
что не выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости системы с постоянной матри­
цей.
В результате проведенных исследований мы можем обозначить дальнейший путь исследования
данной проблемы: нужно исследовать на устойчивость первоначальную систему.
Для этого необходимо научиться быстро получать решения системы (2) с заданными
начальными условиями и затем, изменяя немного первоначальную систему исследовать характер
изменения решения.
Ралько О.П
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ КРОВИ ПО СОСУДАМ.
ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Мне была поставлена задача численного решения и исследования на устойчивость уравнения
движения вязкой жидкости по эластичным сосудам.
Этот процесс описывается уравнениями Навье-Стокса и уравнениями постоянства потока;
16
dv^
dv'
dv^
1 dp
— - + V,. — - + v^ — - =
^ + /^
^ dx
dt
dr
dx
p dx
Sv,
dv^
dv,.
\dp
{d\^
dt
dr
dx
p dx
[^ dx
drv,.
dr
граничные условия прилипания на стенке сосуда
at
ох
X
•
- +
dr
r
(1)
d'v,.
I dv^
v, ^
dr
r dr
r j
(2)
drv^
dx
при r=R, где
* осевая скорость, '• радиальная скорость, " средняя осевая скорость течения,
Р ~ гидростатическое давление, ^ ~ координата длины, R " радиус сосуда,
^ коэффициент вязкой жидкости, ^ плотность жидкости, ^ ~ координаты времени.
Предполагаем, что радиальная скорость мала по сравнению с осевой, т.е.
"^ « 1 .
Поэтому течение является почти одномерным, и для анализа воспользуемся гидравлическим прибли­
жением системы (1)-(2), т.е. все характеристики течения будем рассматривать осредненными по
площади сечения сосуда S.
dR
^
ч?
Г
"^
I
V^ =
Далее из граничных условий следует
^^ при r=R.
Введем среднюю по сечению сосуда скорость течения крови:
R
2л:
\rvdr
и=—
Sг. оJ ^
и, усредняя уравнения (1) и (2), используя принятые допущения и считая поэтому поток однородным,
получим уравнение движения в усредненных координатах и начальное условие, означающее посто­
янство потока:
du
du
\ dP ^
и
hw— =
dt
dx
6fj.n — ,
р dx
S
^-тч
dS dSu ^
— +
=0
,,
где ^^
^^
- условие постоянства потока, где *-* ~ площадь сечения сосуда.
Практика выдвигает различного рода задачи, описываемые на основе уравнений Навье-Стокса. Их
достаточно точное решение может быть получено в большинстве случаев только с помощью вычис­
лительной техники. Особенно это оказывается актуально в механике сплошных сред - механике жид­
кости и газа, теории упругости и т. д., что объясняется рядом обстоятельств: трудности проведения
эксперимента, сложность рассматриваемых уравнений. Для большинства задач механики жидкости и
газа не только не доказано никаких математических теорем существования и единственности, но
даже часто нет уверенности в том, что такие теоремы могут быть получены. Математические трудно­
сти изучения такого типа проблем связаны с нелинейностью уравнений, а также с большим числом
независимых переменных.
Аналогично обстоят дела и с методами решения уравнений механики сплошных сред. Исследования,
связанные с возможностью реализации алгоритма, его сходимостью к искомому решению, устойчи­
востью, до сих пор выполнены строго лишь для линейных систем, а в ряде случаев только для урав­
нений с постоянными коэффициентами.
Существует мнение, что главное-это написать дифференциальные уравнения, а все остальное сводит­
ся к замене производных разностями и программированию, которому придается непропорционально
большое значение.
17 ,..-.
i ....
Окончательная экспериментальная проверка позволяет судить о правильности сделанных предполо­
жений и дать оценку алгоритма и полученного решения, но оценка точности численного решения
сформулированной дифференциальной задачи должна производиться чисто математически, без при­
влечения данных физического эксперимента.
При использовании численного метода - метода конечных разностей, необходимо перейти к разност­
ной задаче, которой мы заменяем исходную. В результате чего возникает проблема устойчивости.
Коррелируя друг с другом эти погрешности при значительном количестве расчетных точек могут бы­
стро нарастать.
Устойчивость линейных разностньгх схем определяется неравенством Неймана, полученным методом
\Я\<1 + Ат
гармоник. Неравенство ' '
называется условием Неймана устойчивости линейных разност­
ньгх схем для эволю1^донных задач.
Для нелинейной задачи (3), определяя устойчивость
II
б>
II
=тахк)^. \«\\д "" 0(1)
jf^^fi I
j
II
I
устойчивость имеет место, получили линеаризованные уравнения для возмущений
Предполагая, что
s:
и, применяя
метод гармоник(уже к линейному зфавнению), получили условия :
и" -U"
TU"
<const
h
S/U7r(
Sh
•^ ) < const
Sh
,(для всех n a k).
Используя уравнение колебаний упругих стенок сосуда
p-W
=
4Ge
R
н
2Л
1
'н
V S
, где ^ - недеформированная площадь сосуда, " - радиус недеформированного сосуда, ^ - коэффициент упругости стенок сосуда, ^ - толщина стенок сосуда, ^ - натя­
жение,
получим,
ди
dt
ди
дх
I дР
р дх
^
и
S
После того, как устойчивость доказана , была составлена программа в Maple для решения конечноразностной задачи. Полученные результаты, сопоставили с аналитическими решениями для упро­
щенных модификаций, которые бьши получены ранее.
БедаА.В.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ
ВЯЗКОГО ГАЗА
Уравнения Навье-Стокса - это основная модель динамики сжимаемой среды. Большой интерес
в последние годы вызывает система уравнений Навье-Стокса для баротропного движения вязкого
газа.
В силу сложности данной задачи ведутся активные поиски решения системы на примерах более
простых гидродинамических моделей. Среди различных вариантов упрощения уравнений НавьеСтокса наиболее известной является приближение Стокса.
ди
f
Л
liA\J+{pi + X)v divU
V
•c^Vp^
J
до
^
^ + div(pU) = 0,
at
здесь p = const - средняя плотность.
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
263 Кб
Теги
кровь, сосудам, математические, устойчивость, исследование, модель, течение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа