close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель трансформации форм фосфора азота и кремния в движущейся турбулентной водной среде в задачах динамики планктонных популяций.

код для вставкиСкачать
Инженерный вестник Дона, №3 (2015)
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3182
Математическая модель трансформации форм фосфора, азота и
кремния в движущейся турбулентной водной среде в задачах динамики
планктонных популяций
А.И. Сухинов1, Ю.В. Белова2
1
Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
2
Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону
Аннотация: в данной статье построена математическая модель трансформации форм
биогенных веществ, содержащих фосфор, азот и кремний, в мелководных водоемах,
подобных Азовскому морю. Модель учитывает поглощение и выделение питательных
веществ фитопланктоном, а также переход веществ из одной формы в другую. Проведено
исследование системы уравнений, описывающих модель, для чего выполнена
линеаризация системы, построен квадратичный функционал. В результате исследования
получены достаточные условия единственности решения задачи, сформулирована
теорема.
Ключевые слова: фитопланктон, фосфор, азот, кремний, биоген, химико-биологический
источник, уравнение конвекции-диффузии-реакции, линеаризация, единственность
решения системы уравнений.
В
настоящее
биогеохимических
время
процессов
существует
в
водных
потребность
экосистемах
моделирования
с
целью
их
предсказания. Эта проблема актуальна для Азовского моря и в особенности
для Таганрогского залива, подвергающихся эвтрофикации.
В данной статье рассматривается нестационарная пространственнотрехмерная модель трансформации форм фосфора, азота и кремния и их
взаимодействия с планктонной популяцией, которая достаточно полно
описывает биогеохимические процессы, происходящие в мелководных
водоемах, подобных Азовскому морю[1-3].
Модель основана на системе уравнений диффузии-конвекции-реакции.
Каждый блок модели описывается дифференциальным уравнением в частных
производных вида[4]:
∂qi
∂q
∂q
∂q
+ u i + v i + w i = div ( k grad qi ) + Rqi ,
∂t
∂x
∂y
∂z
(1)
© Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», 2007–2015
Инженерный вестник Дона, №3 (2015)
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3182
где qi - концентрация i-ой компоненты, u, v, w - компоненты вектора
JG
U = ( u , v, w ) ,
скорости
водного
потока,
div ( k grad qi ) =
∂ ⎛ ∂qi ⎞ ∂ ⎛ ∂qi ⎞ ∂ ⎛ ∂qi ⎞
⎜ kh
⎟ + ⎜ kh
⎟,
⎟ + ⎜ kv
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
Rqi
-
химико-
биологический источник, индекс i указывает на вид субстанции, i∈M,
M={F1, F2, F3, PO4, POP, DOP, NO3, NO2, NH4, Si}.
Химико-биологические
«источники»
и
«стоки»
описываются
следующими зависимостями[5,6]:
RFi = CFi (1 − K Fi R )qFi − K Fi D qFi − K Fi E qFi ,
3
RPOP = ∑ sP K Fi D qFi − K PD qPOP − K PN qPOP ,
i =1
3
RDOP = ∑ sP K Fi E qFi + K PD qPOP − K DN qDOP ,
i =1
3
(
)
RPO4 = ∑ sPCFi K Fi R − 1 qFi + K PN qPOP + K DN qDOP ,
i =1
3
RNH 4 = ∑ sN CFi
i =1
RNO2
(
f N( ) ( NH 4 )
K Fi R − 1
qF − K 42 qNH 4 ,
f N ( NO3 , NO2 , NH 4 ) i
2
)
1
qNO2
f N( ) ( NO3 , NO2 )
= ∑ sN CFi (KFi R − 1)
⋅
qFi + K42qNH4 − K23qNO2 ,
f
NO
NO
NH
q
+
q
(
,
,
)
i =1
N
NO2
NO3
3
2
4
3
3
RNO3 = ∑ sN CFi
i =1
(
1
qNO3
f N( ) ( NO3 , NO2 )
K Fi R − 1
⋅
qF + K 23qNO2 ,
f N ( NO3 , NO2 , NH 4 ) qNO2 + qNO3 i
)
RSi = sSi K F3 D qF3 ,
где i ∈ {1,2,3} , 1 – это ChV , 2 - AF − A , 3 - Sc , а ChV , AF − A, Sc символические обозначения видов планктона, K Fi R - удельная скорость
дыхания
фитопланктона;
K Fi D
-
удельная
скорость
отмирания
фитопланктона; K Fi E - удельная скорость экскреции фитопланктона; K PD © Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», 2007–2015
Инженерный вестник Дона, №3 (2015)
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3182
удельная скорость автолиза РОР; K PN - коэффициент фосфатофикации РОР;
K DN
- коэффициент фосфатофикации DОР; K 42 - удельная скорость
окисления аммония до нитритов в процессе нитрификации; K 23 - удельная
скорость окисления нитритов до нитратов в процессе нитрификации, sP , sN нормировочные коэффициенты между содержанием N и P и весом во
влажном состоянии [7].
Скорость роста фитопланктона определяется выражениями:
C F1,2 = K NF1,2 min { f P ( PO4 ) , f N ( NO3 , NO2 ,NH 4 )} ,
CF3 = K NF3 min { f P ( PO4 ) , f N ( NO3 , NO2 ,NH 4 ) , f Si ( Si )} ;
где KNF - максимальная удельная скорость.
Структура взаимодействия отдельных блоков модели имеет вид:
Рис. 1. - Модельная схема биогеохимической трансформации форм
фосфора, азота и кремния. ChV – зеленая водоросль Chlorella vulgaris, AF-A –
синезеленая водоросль Aphanizomenon flos-aquae, SC – диатомовая водоросль
Sceletonema costatum, PO4 - фосфаты,
POP - взвешенный органический
фосфор, DOP - растворенный органический фосфор, NH4,- аммоний, NO2 нитриты, NO3 - нитраты, Si – растворенный неорганический кремний.
© Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», 2007–2015
Инженерный вестник Дона, №3 (2015)
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3182
Присоединим начальные условия:
qi ( x, y, z,0 ) = qi0 ( x, y, z ) ,
( x , y , z ) ∈ G , t = 0 , i∈ M
(2)
и граничные
⎧ qi = 0, un < 0
⎪
на цилиндрической боковой поверхности;
⎨ ∂ qi
u
0,
0
=
≥
n
⎪⎩ ∂ n
(3)
∂ qi
= 0, на свободной поверхности водоема;
∂z
(4)
∂ qi
∂ qi
= ε1,i qi ,
= ε 2,i qi , на дне,
∂z
∂z
(5)
где ε1,i , ε 2,i - неотрицательные постоянные, ε1,i , i∈{F1, F2, F3} учитывают
опускание водорослей на дно и их затопление; ε 2,i , i∈{PO4, POP, DOP, NO3,
NO2, NH4, Si} учитывают поглощение питательных веществ донными
отложениями.
Для получения условий существования и единственности задачи (1)-(5)
проведем
линеаризацию
системы
временной
сетке
ωτ = {tn = nτ , n = 0,1,..., N ; Nτ = T } . Члены вида Rq линеаризуются в пределах
i
каждого временного шага, а именно, вместо уравнения (1) рассматривается
цепочка уравнений вида
JG
∂qi
+ div U , qi = div ( k grad qi ) + Rqni ( qi ) , tn < t ≤ tn + τ
∂t
(
)
(6)
где
( )
RFni qFi = C Fni (1 − K Fi R ) qFi − K Fi D qFi − K Fi E qFi , i = 1,2,3 ,
n
POP
R
n
DOP
R
3
( qPOP ) = ∑ sP K F D qFn
i =1
i
i
3
( qDOP ) = ∑ sP K F E qFn
i =1
i
i
− K PD qPOP − K PN qPOP ,
n
+ K PD qPOP
− K DN qDOP ,
© Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», 2007–2015
Инженерный вестник Дона, №3 (2015)
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3182
n
PO4
R
n
NH4
R
3
(q ) = ∑ s C
PO4
P
i =1
n
Fi
n
n
( K Fi R − 1)qFni + K PN qPOP
+ K DN qDOP
,
3
(q ) = ∑
NH4
(
i =1
)(
(
R
(
NO3
i =1
n
NO3
(
n
NO2
) (
) +q
⋅ qNH4 − K42qNH4 ,
n
NH4
)
n
sN CFni K Fi R − 1 exp − K psi qNH
qFni
4
3
(q ) = ∑
) (
+q )
n
n
n
n
KNH4 + qNH
qNO
+ qNO
exp −K psi qNH
4
3
2
4
KNO3 + q
n
NO3
)
sN CFni KFi R − 1 qFni
(q
n
NO3
) (
)
n
n
exp − K psi qNH
+ qNO
+
2
4
(
n
n
n
qNH
K NO3 + qNO
+ qNO
4
3
2
⋅ qNO3 +
)
n
K NH4 + qNH
4
n
+ K 23qNO
,
2
n
NO2
R
(
(q ) = ∑
NO2
i =1
) (
)
n
sN CFni K Fi R − 1 exp − K psi qNH
qFni
4
3
(q
n
NO3
) (
)
n
n
exp − K psi qNH
+ qNO
+
2
4
(
n
n
n
qNH
K NO3 + qNO
+ qNO
4
3
2
⋅ qNO2 +
)
n
K NH4 + qNH
4
n
+ K 42 qNH
− K 23qNO2 ,
4
RSin ( qSi ) = sSi K F3 D qFn3 .
К начальным условиям (2) присоединяются следующие условия
qi ( x, y , z , tn ) = qi ( x, y, z , tn + τ ) = qin ( x, y, z ) ,
(7)
где qi ( x, y, z , tn + τ ) - «финальное» решение задачи (6) для предыдущего
временного интервала tn < t ≤ tn + τ .
Для линеаризованной системы построим квадратичный функционал, в
результате
преобразований
которого
и
будут
получены
искомые
условия[8,9]. Имеет место теорема.
Теорема.
линеаризованной
Пусть
по
поставлена
правым
частям
начально-краевая
системы
задача
уравнений
для
(6)
с
дополнительными условиями: начальными (2,7) и граничными (3-5).
© Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», 2007–2015
Инженерный вестник Дона, №3 (2015)
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3182
( )
Пусть qi принадлежат классу C 2 ( G ) ∩ C1 G ∩ C1 ( 0 < t ≤ T ) , kh ( z ) ,
( )
( )
kν ( z ) ∈ C1 G , Rqi ( x, y, z ) ∈ C 1 G и для каждого n = 0, N − 1 выполняются
неравенства
4kh 4kh 4kv
+ 2 + 2 + KF1D + KF1E > KNF1 min { f Pn ( PO4 ) , f Nn ( NO3 , NO2 ,NH4 )} 1 − KF1R
2
Hx H y Hz
)
4kh 4kh 4kv
+ 2 + 2 + KF2D + KF2E > KNF2 min { fPn ( PO4 ) , f Nn ( NO3 , NO2 ,NH4 )} 1 − KF2R
2
Hx H y H z
)
(
(
4 k h 4 k h 4 kv
+
+
+ K F3D + K F3E >
H x2 H y2 H z2
(
> K NF3 min { f Pn ( PO4 ) , f Nn ( NO3 , NO2 ,NH 4 ) , f Sin ( Si )} 1 − K F3R
(
)
)
3
sN CFni K Fi R − 1 qFni
4 k h 4 k h 4 kv
+
+
+ K 42 > ∑
n
n
n
n
H x2 H y2 H z2
exp − K psi qNH
qNO
+ qNO
i =1 K NH + qNH
4
4
3
2
4
)(
(
(
K NO3 + q
4kh 4kh 4kv 3
+
+
>∑
H x2 H y2 H z2 i =1
(
n
NO3
) (
+q )
n
NO2
) (
) +q
n
NH 4
)
n
sN CFni K Fi R − 1 exp − K psi qNH
qFni
4
(q
n
NO3
) (
)
n
n
+ qNO
exp − K psi qNH
+
2
4
(
n
n
n
qNH
K NO3 + qNO
+ qNO
4
3
2
K NH4 + q
)
.
n
NH 4
Тогда решение поставленной задачи существует и единственно.
Используя полученную математическую модель можно составить
прогноз развития экосистемы на длительный срок и для различных значений
входных
параметров,
разработав
программный
комплекс
для
многопроцессорной вычислительной системы[10,11].
Литература
1. Якушев Е.В., Сухинов А.И. и др. Комплексные океанологические
исследования Азовского моря в 28-м рейсе научно-исследовательского судна
«Акванавт» // Океанология. 2003. т. 43, №1. С. 44-53.
© Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», 2007–2015
Инженерный вестник Дона, №3 (2015)
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3182
2. Сухинов А.И., Никитина А.В. Математическое моделирование и
экспедиционные исследования качества вод в Азовском море // Известия
ЮФУ. Технические науки. 2011. №8(121). С. 62-73.
3. Чистяков А.Е., Першина Ю.В. Решение задачи динамики популяций на
основе модели хищник-жертва // Известия ЮФУ. Технические науки. 2013.
№8. С. 142-149.
4. Першина Ю.В. Решение задачи динамики фитопланктона при наличии
механизма эктокринного регулирования // Информатика, вычислительная
техника и инженерное образование. 2013. №3(14). С. 45-54.
5. Yakushev E.V., Neretin L.N. One-dimensional modeling of nitrogen and
sulphur cycles in the apotic zones of the Black and Arabian Seas // Global
Biogeochemical Cycles. 1997. №11. pp. 401-414.
6. Ward B.B., Kilpatrick K.A. Nitrogen transformations in the oxic layer of
permanent anoxic basins: the Black Sea and Cariaco Trench // Izdar E., Murray
J.W. (Eds.), Black Sea Oceanography. Norwell: Springer, 1991. pp. 111-124.
7. Yakushev E.V., Pollehne F., Jost G. (Ets) Analysis of the water column
oxic/anoxic interface in the Black and Baltic seas with a numerical model // Marine
Chemistry. 2007. №107. pp. 388-410.
8. Сухинов А.И., Першина Ю.В. Достаточные условия единственности
решения
задачи
динамики
фитопланктона
при
наличии
механизма
эктокринного регулирования // Известия ЮФУ. Технические науки. 2009. №8
(97). С. 134-148.
9. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач
конвекции-диффузии. 4-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2009. 248 с.
10. Чистяков
А.Е.,
Фоменко
Н.А.
Применение
адаптивного
модифицированного попеременно–треугольного итерационного метода для
численной реализации двумерной математической модели движения водной
© Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», 2007–2015
Инженерный вестник Дона, №3 (2015)
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3182
среды
//
Инженерный
вестник
Дона,
2012,
№2
URL:
ivdon.
/ru/magazine/archive/n2y2012/794.
11. Е.Е.
Дегтярева,
Е.А.
Проценко,
А.Е.
Чистяков
Программная
реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в
мелководных акваториях // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 URL:
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1283.
References
1. Yakushev E.V., Sukhinov A.I. (Ets) Okeanologiya. 2003. t. 43, №1. pp. 4453.
2. Sukhinov A.I., Nikitina A.V. Izvestiya UFU. Tekhnicheskiye nauki. 2011.
№8(121). pp. 62-73.
3. Chistyakov A.E., Pershina Y.V. Izvestiya UFU. Tekhnicheskiye nauki.
2013. №8. pp. 142-149.
4. Pershina Y.V. Informatika, vichislitelnaya technika I inzhenernoye
obrazovaniye. 2013. №3 (14). pp. 45-54.
5. Yakushev E.V., Neretin L.N. One-dimensional modeling of nitrogen and
sulphur cycles in the aphotic zones of the Black and Arabian Seas. Global
Biogeochemical Cycles. 1997. №11. pp. 401-414.
6. Ward B.B., Kilpatrick K.A. Nitrogen transformations in the oxic layer of
permanent anoxic basins: the Black Sea and Cariaco Trench. Izdar E., Murray J.W.
(Eds.), Black Sea Oceanography. Norwell: Springer, 1991. pp. 111-124.
7. Yakushev E.V., Pollehne F., Jost G. (Ets) Analysis of the water column
oxic/anoxic interface in the Black and Baltic seas with a numerical model. Marine
Chemistry. 2007. №107. pp. 388-410.
8. Sukhinov A.I., Pershina Y.V. Izvestiya UFU. Tekhnicheskiye nauki. 2009.
№8 (97). pp. 134-148.
© Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», 2007–2015
Инженерный вестник Дона, №3 (2015)
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3182
9. Samarskiy A.A., Vabishevich P.N. Chislenniye metodi resheniya zadach
konvektsii-diffuzii [Numerical methods of solution of convection-diffusion
problems]. 4-e izd. M.: Editorial URCC, 2009. 248 p.
10. Chistyakov A.E., Phomenko N.A. Inženernyj vestnik Dona (Rus). 2012.
№2 URL: ivdon. /ru/magazine/archive/n2y2012/794.
11. Degtyareva E.E., Procenko E.A., Chistyakov A.E. Inženernyj vestnik Dona
(Rus). 2012. №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1283.
© Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», 2007–2015
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа