close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование нелинейных электродинамических систем в системе компьютерной математики Maple.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №2(20)
УДК 519.634
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СИСТЕМЕ
КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE
© Ю.Г.Игнатьев, Х.Х.Абдулла
Проведено строгое математическое моделирование движения релятивистских электронов в сильных электромагнитных полях с учетом магнитотормозного излучения и компьютерное моделирование движения электронов с помощью созданного комплекса программ.
Ключевые слова: математическое моделирование, системы компьютерной математики, численные методы, нелинейные релятивистские системы.
1. Введение
Объектом исследования этой статьи является
математическое моделирование нелинейных
электродинамических систем в среде компьютерной математики Maple на основе созданного
авторами комплекса программ [1; 2; 3; 4]. Созданный комплекс программ позволяет автоматически распознавать систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка, конвертировать ее к нормальному виду, формировать задачу Коши, находить
ее численное решение и производить его вывод в
функциональной форме на основе сплайновой и
B-сплайновой интерполяции. При этом разработанный комплекс программ содержит программные процедуры операций над сплайнами, позволяющих производить вычисления с ними, как с
обычными функциями.
2. Динамические уравнения движения
релятивистского электрона
Построим на основе созданных программных
процедур компьютерную модель движения релятивистского заряда в сильном электромагнитном
поле с учетом магнитотормозного излучения заряда. Такая задача имеет многочисленные приложения в теории электромагнитного ускорения
элементарных частиц, релятивистской астрофизике, теории образования космических лучей.
Пусть η = Diag (−1, −1, −1, +1) – тензор Минковского. Здесь и в дальнейшем латинские символы
принимают значения i, j,.. = (1, 4) , греческие -
α , β ,.. = (1,3) ; x 4 ≡ ct , e – заряд частицы, m - ее
масса, me – масса электрона, c – скорость света, ћ
– постоянная Планка. Уравнения движения релятивистского заряда e в электромагнитном поле с
учетом магнитотормозного излучения имеют вид
[5]:
mc
du i e i k
= F .k u + f i ,
ds c
(1)
где:
dx i
(2)
ds
– 4-х мерный времениподобный единичный вектор скорости:
du i
(3)
(u , u ) ≡ ηik u i u k = 1, ⇒ ui
=0,
ds
s – инвариантное собственное время, F .ik – тензор Максвелла. Нетрудно показать, что вектор
магнитотормозной силы, f, возникающей за счет
реакции на магнитотормозное излучение, в отличие от [5], можно записать в ковариантном виде:
2e 2 i d 2 u k
(4)
fi =
Pk
,
3c
ds 2
где мы ввели симметричный тензор ортогонального проектирования на направление ui, Pik :
Pki = δ ki − u i uk ; Pki u k ≡ 0; Pki Pjk ≡ Pji .
(5)
Обычно уравнения движения (1) с магнитотормозной силой (2) сводят приближенно к дифференциальным уравнениям 2-го порядка, используя в качестве нулевого приближения уравнения
(1) без учета торможения и получая, таким образом, выражения для вторых производных 1 :
e
du i e i k
f i F .ik u k ⇒ mc
≈ F .k u ⇒
c
ds c
(6)
d 2u i
e d
i
k
≈
( F .k u ) .
ds 2 mc 2 ds
Мы этого делать не будем и получим точные
динамические уравнения 3-го порядка. Подставляя (19) в уравнения движения (16), запишем их
в виде:
d 2u k
3mc 2 du i 3 i k
i
(7)
Pki
=
G
≡
− F. ku .
ds 2
2e 2 ds 2e
ui =
1
См., например, классическую книгу Л.Д.Ландау,
Е.М.Лифшица [5].
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Вследствие (7) и антисимметричности тензора
Максвелла выполняется тождество:
(G, u ) ≡ Gi u i = 0 ⇒ Pik Gk = Gi ,
(8)
Поэтому, сворачивая уравнения (7) с тензором
ортогонального проектирования, приведем их к
эквивалентному виду:
Pki ξ k = 0,
(9)
где
d 2u i
(10)
ξ i = 2 − Gi .
ds
Таким образом, задача сводится к нахождению
нетривиальных решений однородной алгебраической системы линейных уравнений (24). Прямым вычислением можно показать, что вследствие соотношения нормировки 4-вектора скорости определитель матрицы P равен нулю:
det( Pki ) ≡ 0.
(11)
Поскольку ранг матрицы тензора является инвариантом, то выбирая синхронную систему отсчета, в которой ui = (0,0,0,1), получим для матрицы
P выражение в этой системе отсчета:
⎡1 0 0 0 ⎤
⎢0 1 0 0⎥
⎥,
Pki * ⎢
⎢0 0 1 0⎥
⎢
⎥
⎣0 0 0 0⎦
вследствие чего
rank Pki = 3 .
(12)
Но это означает, что существует всего одно нетривиальное решение системы (9) . С учетом (5)
это решение легко находится:
ξ i = α ui
Таким образом, мы получим:
d 2u i
= α ui + Gi .
ds 2
Для нахождения коэффициента α в этом соотношении свернем его с ui, учитывая соотношение
нормировки (7) и (11). Тогда получим:
d 2u k
α = ηik u i 2 .
ds
Учитывая теперь дифференциальное следствие
соотношения нормировки (7):
⎛ d 2 u k du i du k ⎞
ηik ⎜ u i 2 +
⎟ ≡ 0,
ds ds ⎠
⎝ ds
найдем окончательно:
d 2u i
du k du l i 3mc 2 du i 3 i k
u +
=
−
η
− F . k u . (13)
kl
ds 2
ds ds
2e 2 ds 2e
Подставляя в (28) определение 4-скорости (17),
получим искомые дифференциальные уравнения
3-го порядка, разрешенные относительно старших производных и описывающие движение ре-
лятивистского заряда в сильных электромагнитных полях с учетом магнитотормозного излучения.
3. Масштабирование уравнений
Электромагнитное поле будем задавать тензором Максвелла [5]:
− H 3 H 2 − E1 ⎞
⎛ 0
⎜
⎟
− H 1 − E2 ⎟
H3
0
⎜
;
Fik =
⎜ − H 2 H1
− E3 ⎟
0
⎜
⎟
E2
E3
0 ⎠
⎝ E1
H 3 − H 2 E1 ⎞
⎛ 0
⎜
⎟
−H3
H1 E2 ⎟
0
i
⎜
;
F. k =
(14)
⎜ H 2 − H1
E3 ⎟
0
⎜
⎟
⎝ − E1 − E2 − E3 0 ⎠
− H 3 H 2 E1 ⎞
⎛ 0
⎜
⎟
H3
− H 1 E2 ⎟
0
ik
⎜
F =
,
⎜ − H 2 H1
E3 ⎟
0
⎜
⎟
⎝ − E1 − E2 − E3 0 ⎠
где:
Eα = Eα (r, t ); Hα = Hα (r, t )
(15)
– 3-векторы напряженности электрического и
магнитного поля – произвольные функции радиуса-вектора r и времени t. Таким образом, выполняется известное соотношение [См.: 5]:
1
Fik F ik = H 2 − E 2 .
2
Заметим, во-первых, что 4-вектор скорости ui
vα
1
uα =
; u4 =
⇒
2
v2
v
c 1− 2
1− 2
(16)
c
c
uα ∈ ( −∞, +∞); u 4 ∈ [1, +∞ )
в отличие от 3-вектора скорости vα является безразмерной величиной, так как четырехмерный
интервал s имеет размерность длины:
ds 2 = (dx 4 )2 − (dr ) 2 ≥ 0 .
Во-вторых, уравнения (13) имеют естественный
масштаб длины – это классический радиус электрона:
e2
r0 =
= 2.81 ⋅ 10−13 cm .
mc 2
В связи с этим произведем перенормировку
масштабов, переходя к безразмерному интервалу
σ и безразмерным четырехмерным координатам
ζi:
i
σ = sr ; ξi = x r .
(17)
0
0
Заметим, что вследствие (17) вектор 4-скорости
масштабно инвариантен:
Ю.Г.ИГНАТЬЕВ, Х.Х.АБДУЛЛА
dx i d ξ i
≡
.
ds dσ
Введем также безразмерные напряженности
электрического, ε , и магнитного, β , полей:
ui =
eH
e3
eE
e3
E
β
H = r0
=
r
;
=
. (18)
0
2 4
2
2 4
mc
mc
mc
mc 2
Таким образом:
r
r
| ε |= 0 ; | β |= 0 ,
(19)
rE
rH
ε=
где rE , rH – характерные радиусы кривизны траектории заряда в электрическом и магнитном полях:
eE
eH
(20)
.
k E ≡ rE −1 =
; k H ≡ rH −1 =
2
mc
mc 2
Таким образом, уравнения (13) в безразмерных
переменных принимают вид:
i
d 3ξ i
d 2ξ k d 2ξ l d ξ
= −η kl
+
dσ 3
dσ 2 d σ 2 dσ
,
(21)
k
3 d 2ξ i 3 i d ξ
+
− Φ .k
2 dσ 2 2
dσ
i
Φ
где .k – тензор Максвелла, определенный относительно нормированных напряженностей ε и
β аналогично тензору Максвелла (28). Из (13) и
(20) следует, что при постоянных электромагнитных полях ( F .ik = Const ) порядок релятивистских динамических уравнений понижается на
единицу. Заметим также, что релятивистски
сильными электромагнитными полями можно
считать поля с безразмерными напряженностями (32) порядка 1:
max(| ε |,| β |) ~ 1 .
(22)
В таких полях радиус кривизны траектории заряженной частицы сравним с ее классическим
радиусом r0. Это – очень сильные поля, в которых указанное выше и обычно используемое
приближение (6) [5] непригодно. Однако заметим, что классический радиус электрона r0 связан
с комптоновской длиной волны электрона,
λe0 = = / mc ,
(23)
соотношением [См.: 6]:
r0 = αλe0 ,
(24)
где α = e2 / =c ≈1/137 – постоянная электромагнитного взаимодействия. Таким образом, классический радиус электрона на два порядка
меньше комптоновской длины волны. Это означает, что уже при значениях безразмерных напряженностей (18) порядка 10-2 существенными
становятся квантовые эффекты, поэтому с формальной точки зрения классическая модель движения заряженных частиц становится неадекватной при значениях безразмерных напряженно-
стей (18) порядка 1. Однако, с другой стороны,
при релятивистских скоростях заряженных частиц, достигаемых в сильных электромагнитных
полях, выражение для комптоновской длины
волны электрона (23) также нуждается в коррекции:
=c mc 2 0
(25)
λe = ≡
λe = u 4 λe0 ,
E
E
где:
mc 2
E=
≡ mc 2u 4
(26)
2
2
1− v / c
– кинетическая энергия заряженной частицы.
Поскольку в сильных электромагнитных полях
легко достижимы значения E 1 , то ясно, что
комптоновская длина волны может стать порядка
и даже меньше классического радиуса электрона.
В этих случаях классическая модель справедлива
даже в очень сильных электромагнитных полях
(22).
4. Задача Коши для системы (21)
Перед тем, как вводить начальные условия
для системы уравнений (21), заметим, что начальные значения четырехмерного вектора скорости u i (σ 0 ) связаны одним алгебраическим
уравнением – соотношением нормировки (3).
Поэтому:
u04 ≡ u 4 (σ 0 ) = 1 + (u01 ) 2 + (u02 ) 2 + (u03 ) 2 ≡
≡ 1 + u 02 ,
(27)
где
(28)
u0α = uα (σ 0 ); (α = 1,3) .
Компоненты трехмерного вектора u(σ) согласно
(16) принимают значения на всем множестве
действительных чисел \ в отличие от компонентов трехмерного вектора физической скорости v, принимающих значения на отрезке [ −c, c ] .
Далее, для формирования полной задачи Коши
для системы уравнений (21) необходимо определить в начальный момент собственного времени
σ0 производные по собственному времени от
трехмерного вектора скорости u(σ). При этом согласно соотношению ортогональности четырехмерных векторов скорости и ускорения (3) начальное значение производной от четвертой
компоненты вектора скорости определяется через трехмерные векторы скорости и ускорения:
d 2ξ 4
du 4
1
(u 0 , w 0 ) ,
≡
=
(29)
2
dσ σ =σ
dσ σ =σ
1 + u 02
0
0
где
w=
du
;
dσ
w0 =
du
dσ
σ =σ 0
(30)
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
– трехмерный вектор ускорения.
В задаче Коши для системы дифференциальных уравнений второго порядка задаются координаты xi (σ0) и скорости uα(σ0) частицы в момент
ее собственного времени s0. Каким образом в
нашем случае задавать вектор ускорения w0?
Здесь можно выделить два принципиально различных подхода. Первый подход к этому вопросу заключается в том, чтобы положить ускорение
равным нулю в момент собственного времени s0:
w0 = 0 .
(31)
Тогда сразу получим из основных уравнений (1)
для магнитотормозной силы в этот момент времени:
e
f i (σ 0 ) = − F .ik u0i ,
c
т.е. магнитотормозная сила в момент времени s0
должна быть равна электродинамической силе и
направлена в противоположную сторону. Второй
подход состоит в том, чтобы положить нулю
магнитотормозную силу в момент времени s0 :
(32)
f i (σ 0 ) = 0, (i = 1, 4) .
В этом случае из уравнений (1) с учетом масштабной перенормировки динамических и полевых величин получим для значений вторых производных нормированных координат в момент
собственного времени s0:
k
d 2ξ i
i dξ
=
Φ
⇒ wα0 = Φα.k (σ 0 )u0k . (33)
.k
dσ 2 σ =σ
dσ σ =σ
0
0
С физической точки зрения такие начальные
данные соответствуют либо включению электромагнитного поля в нулевой момент времени,
либо попаданию частицы в этот момент времени
в область действия электромагнитных полей, когда магнитотормозное излучение частицы еще не
образовалось. Заметим также, что, конечно,
можно использовать соотношение нормировки
вектора скорости и его дифференциальное следствие (2) для того, чтобы свести систему дифференциальных уравнений (21) к трем уравнениям
относительно неизвестных ξα (α=1,2,3). Однако
при этом система уравнений (21) серьезно усложнится, кроме того, в ней появятся радикалы,
неудобные для систем компьютерной математики. Поэтому удобнее решать систему (21) относительно четырех неизвестных ξi (i=1,2,3,4), но
при этом требовать выполнения соотношения
нормировки и его следствия в начальный момент
времени, – (27), (29). Как известно [См.: 7], при
условии ортогональности четырехмерного вектора силы вектору скорости релятивистские
уравнения движения всегда допускают первый
интеграл:
(u, u ) = Const .
Поэтому, если соотношение нормировки скорости выполнено в какой-либо момент времени, то
оно будет выполняться и во все другие времена.
5. Компьютерное моделирование движения
релятивистского заряда
Перейдем теперь к компьютерному моделированию движения релятивистского заряда с помощью разработанного комплекса программ. На
Рис.1-5 показаны некоторые результаты численного моделирования на основе разработанного
комплекса.
Рис.1. Зависимость кинетической энергии электрона
E(t) от лабораторного времени t в ортогональных
постоянных полях: ε = (0, 0.001, 0); β = (0.01, 0, 0) при
равном нулю магнито-тормозному ускорению
в начальный момент времени; u 0 = (1,1,1)
Рис.2. Конфигурационная траектория заряда
для рассмотренного на Рис.1 случая
Ю.Г.ИГНАТЬЕВ, Х.Х.АБДУЛЛА
Рис.3. Фазовая траектория заряда
для рассмотренного на Рис.1 случая
Рис.4. Конфигурационная траектория заряда
в плоскости OYZ для рассмотренного на Рис.1 случая
Рис.5. Конфигурационная траектория заряда
в плоскости OYZ в ортогональных постоянных полях:
ε = (0, 0.001, 0); β = (0.01, 0, 0) при равном нулю
магнито-тормозному ускорению в начальный момент
времени; u 0 = (10,1,1) .
**********
1. Игнатьев Ю.Г., Абдулла Х.Х. Математическое
моделирование
нелинейных
обобщенномеханических систем в системе компьютерной
математики Maple // Известия вузов. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№2(14). – С.24.
2. Абдулла Х.Х. Программные процедуры численного решения задачи Коши для нормальных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений в
пакете компьютерной математики Maple // Труды
математического центра имени Н.И.Лобачевского. – Казань: Казан. математ. общ-во, 2009. –
Т.39. – С.388.
3. Игнатьев Ю.Г. Пользовательские графические
процедуры для создания анимационных моделей
нелинейных физических процессов // Системы
компьютерной математики и их приложения. –
Смоленск: Изд-во СмолГу, 2009. – Вып.10. – С.43.
4. Абдулла Х.Х. Визуализация математических моделей нелинейных механических систем в системах компьютерной математики // Системы компьютерной математики и их приложения. – Смоленск: Изд-во СмолГу, 2009. – Вып.10. – С.108.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. – М.:
Наука, 1973. – 504 с.
6. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. – М.: Наука, 1969. – 624 с.
7. Synge J.L. Classical dynamics. Berlin Göttingen Heidelberg: Springer-Verlag, 1963. – 423 p.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
THE MATHEMATIC MODELING OF NONLINEAR ELECTRODYNAMICS
SYSTEM IN THE COMPUTER MATHEMATICS PACKAGE MAPLE
Yu.G.Ignatyev, K.H.Abdulla
The strict mathematical modeling of the relativistic electrons' movement in the strong electromagnetic
fields subject to synchrotron radiation and its computer modeling by means of created program complex
were carried out.
Key words: mathematic modeling, computers mathematics systems, numerical methods, nonlinear relativistic systems.
**********
Игнатьев Юрий Геннадьевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой геометрии и математического моделирования Татарского государственного
гуманитарно-педагогического университета.
E-mail: ignatev_yu@rambler.ru
Абдулла Халид Хусейн – аспирант кафедры геометрии и математического моделирования
Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.
E-mail: khaled_alyfee@yahoo.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
303 Кб
Теги
нелинейные, моделирование, maple, электродинамические, система, математические, компьютерные, математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа