close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Матричные линейные операды.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 6 (457)
УДК 512.573
С.Н. ТРОНИН, О.А. КОПП
МАТРИЧНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАДЫ
В данной работе будет начато подробное изучение одного семейства линейных операд и многообразий алгебр над операдами из этого семейства. Многие известные классические объекты,
например, многомерные матрицы, тензоры и т. п., допускают интерпретацию в терминах теории
операд, которую можно рассматривать как многомерный аналог теории ассоциативных колец и
модулей. По-видимому, линейные операды, как самостоятельный объект изучения, появились
впервые (под другим названием) в работе [1]. Термин \операда" появился в [2] (см. также [3]). О
современном состоянии теории операд и ее приложениях можно узнать из работ [4]{[8]. В [9]{[12]
было показано, что класс многообразий линейных (мультиоператорных) алгебр над линейными
операдами в точности совпадает с классом многообразий мультиоператорных линейных алгебр,
определяемых полилинейными тождествами.
В начале данной работы приводятся основные определения из теории операд и алгебр над
операдами. Описываются операды, являющиеся аналогами групповых колец, и алгебры над
этими операдами. Определяется основной класс изучаемых объектов | операды многомерных
матриц и их обобщения. Доказаны многомерные аналоги некоторых свойств матричных колец. Построено взаимно-однозначное соответствие между конгруэнциями операд и матричных
операд, обобщающее соответствующий факт из теории ассоциативных колец. Наконец, доказана эквивалентность категорий алгебр над данной операдой и над соответствующей матричной
операдой. Показано, что вместе с функторами, осуществляющими эквивалентность категорий
(многообразий) алгебр над операдой и матричной операдой, существуют функторы, осуществляющие эквивалентность категорий модулей над переходящими друг в друга алгебрами. Часть
результатов данной работы анонсирована в [13] и [14].
Мы будем использовать одновременно запись знака функции как слева, так и справа от
аргумента. В частности, будет использоваться как левое, так и правое действия группы подстановок n на множестве [n] = f1; : : : ; ng, причем i = i;1 , где 2 n , i 2 [n]. Eсли
определено действие n на множестве X , то действие с противоположной стороны определяется аналогичным образом. Исходя из этого, определяется действие n на множествах вида
X n и на множествах функций от n аргументов. Полагаем (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ),
(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ). Если, например, дано отображение f : X n ! Y , и x 2 X n ,
то определено отображение f такое, что f(x) = f (x) (в случае записи функции слева от
аргумента), или f такое, что (x)f = (x)f (в случае записи справа). Разбиением множества
[n] на m частей в данной работе будем называть упорядоченную последовательность целых
положительных чисел = (n1 ; : : : ; nm ) такую, что jj = n1 + + nm = n. Множество всех
таких разбиений обозначим через P (n; m). Определено правое действие группы подстановок
m на P (n; m): = (n1 ; : : : ; nn ). Для 2 P (n; m), 2 m определим 2 n следующим образом. Пусть X | некоторое достаточно большое множество, x1 2 X n1 ; : : : ; xm 2 X nm ,
x1 : : : xm 2 X n1 ++nm , 2 m, = (n1; : : : ; nm ), тогда подстановка однозначно определяется
действием на X n1 ++nm : (x1 : : : xm )( ) = x1 : : : xm . Если 1 2 n1 , 2 2 n2 ; : : : ; m 2 nm , то
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 96-0100717).
53
образ (1 ; 2 ; : : : ; m ) при естественном вложении n1 nm ! n1 ++nm будет обозначаться
через 1 2 m . Основные свойства введенных операций собраны в следующей лемме.
Лемма 1. Пусть | разбиение (в вышеуказанном смысле), i , | подстановки. Предполагается, что они таковы, что соответствующие композиции существуют. Тогда имеют
место тождества
1) ( ) = ( )( );
2) (1 2 m )( ) = ( )(1 2 m );
3) ((1 1 ) (m m ))( ) = (1 : : : m ) ((1 m)( )).
Доказательство. Первое соотношение доказывается так:
(x1 : : : xm )( ( )) = x 1 : : : xm ,
((x1 : : : xm )( ))( ) = (x1 : : : xm )( ) = x 1 : : : xm .
Последнее равенство имеет место ввиду того, что x1 2 X n1 ; : : : ; xm 2 X nm , (n1 ; : : : ; nm ) =
, и применимо определение. Остальные два соотношения доказываются примерно так же:
сравниваются результаты действия левой и правой частей соотношения на подходящей последовательности (x1 : : : xm ).
Операдой называется следующий комплекс данных. Семейство множеств R = fRn j n =
1; 2; : : : g. На множестве Rn задано левое действие группы n, n = 1; 2; : : : Для каждого
(n1 ; : : : ; nm ) 2 P (n; m) определена операция композиции
Rn1 Rnm Rm ;! Rn1 ++nm ; (!1 ; : : : ; !m ; !) 7! (!1 : : : !m)! = !1 : : : !m !:
Должно быть выполнено свойство ассоциативности
(!1 1 !2 1 : : : !k1 1 !1 )(!1 2 !2 2 : : : !k2 2 !2 ) : : : (!1 m !2 m : : : !km m !m )! =
= (!1 1 !2 1 : : : !k1 1 : : : !1 m !2 m : : : !km m )(!1 !2 : : : !m!):
Предполагается также наличие \единицы" | элемента " 2 R1 такого, что (" : : : ")! = ! и !" = !
для любого ! 2 Rm . В частности, R1 будет полугруппой с единицей ". Должны также выполняться два свойства, связывающие композиции и действия симметрических групп. Во-первых,
(1 !1 )(2 !2 ) : : : (m !m)! = (1 2 m)(!1 !2 : : : !m !). Во-вторых, любая упорядоченная последовательность !1 2 Rn1 ; : : : ; !m 2 Rnm определяет разбиение = (n1 ; : : : ; nm ), и при 2 m
должно быть выполнено соотношение
!1 !2 : : : !m(!) = ( )(!1 !2 : : : !m !):
Пусть K | коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Большинство результатов данной работы справедливо также в случае, если вместо колец взять полукольца, а вместо модулей
| полумодули. Когда это ясно из контекста, не употребляется приставка \полу". K -линейная
операда | это операда R, все компоненты Rn которой являются K -(полу)модулями, причем
действие n на Rn перестановочно с умножением на элементы K (так что Rn есть левый K n(полу)модуль), и операции композиции являются K -полилинейными. При этом R1 становится
ассоциативной K -алгеброй, и единица K отождествляется с ". Из нелинейной операды очевидным образом можно получить линейную, взяв компоненты нелинейной операды в качестве
базисов свободных K -(полу)модулей | компонент соответствующей линейной операды.
Семейство A = fAn j An Rn ; n 1g называется идеалом линейной операды R, если
все An являются K n -подмодулями Rn , и при !i 2 Ani для некоторого i или ! 2 Am композиция !1 !2 : : : !m ! принадлежит An1 ++nm . Гомоморфизмом операд f : R ! O называется
семейство гомоморфизмов K n-модулей fn : Rn ! On такое, что f1 (") = " и f (!1!2 : : : !m !) =
f (!1)f (!2 ) : : : f (!m)f (!) (мы опускаем индексы у f , которые однозначно определяются из контекста). Связь между идеалами и гомоморфизмами очевидна, т. к. операды можно рассматривать как многоосновные линейные алгебры.
54
Алгеброй над операдой R называется правый K -модуль A вместе с заданными для каждого
n 1 полилинейными операциями композиции
A
n Kn Rn ;! A; (a1 a2 : : : an !) 7! a1a2 : : : an !;
для которых a" = a для любого a 2 A, и выполнено тождество ассоциативности
(a1 1 a2 1 : : : ak1 1 !1 )(a1 2 a2 2 : : : ak2 2 !2 ) : : : (a1 m a2 m : : : akm m !m )! =
= (a1 1 a2 1 : : : ak1 1 : : : a1 m a2 m : : : akm m )(!1 !2 : : : !m!):
Гомоморфизм алгебр h : A ! B над одной и той же операдой R есть гомоморфизм K -модулей такой, что h(a1 a2 : : : an !) = h(a1 )h(a2 ) : : : h(an )!. Категория алгебр и гомоморфизмов Alg-R явля-
ется многообразием линейных мультиоператорных алгебр в следующем смысле. Сама операда
R рассматривается в качестве сигнатуры, причем для всех n 1 Rn есть множество символов n-арных полилинейных операций. Категория Alg-R есть абстрактный класс универсальных
алгебр, замкнутый относительно подалгебр, прямых произведений и факторалгебр. В соответствии с ([15], c. 328) это означает, что Alg-R есть многообразие. Явный вид тождеств Alg-R в
рамках данной работы не является существенным.
Пример 1. Пусть R | ассоциативная K -алгебра с единицей. Полагаем R1 = R, Rn = f0g
при n > 1. Операция композиции состоит из умножения в R и нулевых отображений. Таким
образом, ассоциативные кольца с единицей можно рассматривать как простейшие операды. Алгебры над этими операдами суть в точности правые модули, многообразие алгебр эквивалентно
категории всех модулей.
Пример 2. Пусть On = n для каждого n 1. Определим композицию следующим образом:
если i 2 ni , = (n1 ; n2 ; : : : ; nm ), то 1 2 : : : m = (1 2 m )( ). Из тождеств леммы
1 следует, что выполнены все аксиомы операды. Линеаризация этой операды O есть K -линейная
операда R, Rn = K n . Многообразие Alg-R фактически является многообразием всех линейных
ассоциативных K -алгебр (без единицы).
Пример 3. Построим операдный аналог полугрупповых и групповых алгебр. Пусть G |
полугруппа с единицей. Положим On = Gn . Действие n определяется естественным образом (перестановка сомножителей). Определим композицию следующим образом. Пусть g =
(g1 ; : : : ; gn ) 2 Gn, g1 ; : : : ; gk ; x 2 G. Тогда полагаем gx = (g1 x; : : : ; gn x). Если теперь !i = gi =
(g1 i ; : : : ; gni i ) 2 Oni , 1 i m, ! = (x1 ; : : : ; xm ) 2 Om , то
!1 : : : !m! = (g 1x1 ; : : : gmxm ) 2 Gn1 ++nm = On1 +:::+nm :
Все свойства операды проверяются непосредственно. Линеаризация этой операды, т. е. семейство
полугрупповых алгебр R = f Rn = K [Gn] j n = 1; 2; : : : g, очевидным образом превращается
в линейную операду. В случае, когда G состоит из одного элемента, получается операда C
такая, что Cn = K , а композиция фактически сводится к умножению элементов коммутативного
(полу)кольца K . В [5] она обозначена через Com.
Пример 4. Пусть K и R | две линейные операды над K . Определим операду K R, полагая
(K R)n = Kn Rn . Действие симметрической группы n на Kn Rn определяется очевидным
образом: (! ) = (!) (), а композиция | по правилу (!1 1 ) : : : (!m m )(! ) =
(!1 : : : !m!) (1 : : : m ). Определение операды проверяется без затруднений. Положим K[G]n =
Kn K [Gn ], т. е. K[G] есть тензорное произведение K и операды предыдущего примера.
Теорема 1. Многообразие Alg-K[G] изоморфно категории, объектами которой являются
K-алгебры с заданным правым (линейным) действием полугруппы с единицей G таким, что
(a1 g) : : : (an g)! = (a1 : : : an !)g для каждых ! 2 Kn и g 2 G, а морфизмами | G-эквивариантные
гомоморфизмы K-алгебр.
55
Доказательство. По определению P
K[G]n = P
Kn K [Gn ]. Можно представлять элементы
K[G]n как линейные комбинации вида !g = ! g , где ! 2 Kn , g = (g1 ; : : : ; gn ) 2 Gn
и почти все ! = 0. Определим композицию на базисных элементах следующим образом:
(!1 g 1 ) : : : (!m gm )(!g ) = (!1 : : : !m!)(g 1 : : : g m g), и далее распространим по линейности. Если выбрать e = (e; e; : : : ; e), где e 2 G | единица группы G, то имеется гомоморфное вложение операд
Kn ! K[G]n , ! 7! ! e = !e. Поэтому любая K[G]-алгебра будет также алгеброй над подоперадой K, поэтому K [G] K[G]1 = K1 [G]. Это значит, что K[G]-алгебры являются также и K [G]модулями. Пусть g 2 G; g = (|g; g;{z: : : ; g}), ! 2 Kn , a1 ; : : : ; an 2 A. Рассмотрим (a1 : : : an )(! g). По
n
определению композиции в операде C[G] имеем g = (e; e; : : : ; e)g, где (e; e; : : : ; e) 2 C[G]n = K [Gn],
g 2 C[G]1 = K [G]: Отсюда ! g = !" (e; : : : ; e)g = (! (e; : : : ; e))("
g). Ранее ! (e; : : : ; e) = ! e
уже отождествлен с !, а " g | c g. Поэтому элемент (a1 : : : an )(! g ) алгебры A можно
представить как ((a1 : : : an )!)g. С другой стороны, тот же g = (g; g; : : : ; g) в операде C[G] есть
g : : : g(e; : : : ; e) = (g; g; : : : ; g)e.
Аналогично, ! 2 Kn есть ! = (" : : : ")!. Отсюда ! g = " : : : "! (g : : : g)e = (" g) : : : (" g)(!e). Ввиду ассоциативности (a1 : : : an )(! g) = (a1 : : : an)((" g) : : : (" g)(!e)) = (a1 (" g)) : : :
(an (" g))(!e) = (a1 g) : : : (an g)!.
Обратно, пусть дана K-алгебра A, на которой линейно действует G так, что выполнено тождество (a1 g) : : : (an g)! = (a1 : : : an !)g. Определим композицию An (Kn K [G]) ! A, удовлетворяющую необходимым требованиям. Пусть x = (x1 ; : : : ; xn ) 2 Gn, ! 2 Kn , a1 ; : : : ; an 2 A. Для
x = x1 : : : xn e и ! = " : : : "! положим a1 : : : an(! x) = (a1 x1 ) : : : (an xn )!. Прямая проверка показывает, что все аксиомы алгебры выполнены. Очевидно, что совпадают также соответствующие
гомоморфизмы, и переходы от K[G]-алгебр к K-алгебрам (с указанным в теореме свойством) и
в противоположном направлении взаимно обратны.
Пусть K | некоторая K -линейная операда, X | произвольное множество. Построим матричную операду M = M (X; K), являющуюся операдным обобщением кольца jX j jX j-матриц
над ассоциативным кольцом. Положим Mn равным множеству всех отображений ! из X n X
в Kn таких, что для каждого x 2 X n имеет место !(x; y) = 0 для почти всех y 2 X . Определим
действие n на Mn , полагая (!)(x; y) = (!(x; y)). Пусть !i 2 Mni , ! 2 Mm , 1 i m,
xi 2 X ni . Определим
X
!1 (x1 ; y1 ) : : : !m(xm ; ym )!(y1 : : : ym ; z):
(!1 : : : !m!)(x1 : : : xm ; z ) =
y1 ;:::;ym 2X
Непосредственная проверка показывает, что M | операда. В случае, когда K = C, т. е. Kn =
K для всех n, получим классический объект | многомерные матрицы [16]. Введенная нами
композиция превращается по сути в умножение многомерных матриц, определенное в [17].
Положим [n] = f1; 2; : : : ; ng и M (n; R) = M ([n]; R). Многомерным аналогом известного в
теории колец факта [18] является
Теорема 2. Операда K изоморфна матричной операде M (n; R) для некоторой операды R
тогда и только тогда, когда в K1 существует семейство матричных единиц fei j j i; j =
1; : : : ; ng. При этом операду R можно выбрать как подопераду в K.
Доказательство. Пусть матричные единицы ei j 2 K1, 1 i; j n, существуют. Будем
действовать по аналогии с [18]. Определим операду R = fRm j m 1; 2 : : : g, Rm = f! 2 Km j
8i; j ei j : : : ei j ! = !ei j g.
Легко проверяется,
что R | подоперада операды K. Для всех ! 2P Km определяем элеP
менты !j1 :::jm ;i = ej j1 : : : ej jm !ei j , принадлежащие Rm . Тогда ! =
ej i : : : ejm i !j1 :::jm ;i.
j
j1 :::jm ;i 1
Обратно, по любому набору элементов j1 :::jm ;i 2 Rm по аналогичной формуле строится элемент 2 Km, причем это соответствие взаимно однозначно. Утверждается, что R | искомая
операда, т. е. K = M (n; R). Построим K -линейное отображение ! 7! !e = (!) e, K ! M (n; R),
56
определяя его так: !e : X n X ! Rm , !e (j1 : : : jm ; i) = !j1 :::jm ;i . Взаимная однозначность этоf = !e .
го отображения следует из однозначности представления ! через !j1 :::jm ;i . Ясно, что !
m
f
e
!(; i) = (!)j1 :::jm ;i (; i) = (!j1 :::jm ;i(; i)) = !(; i) для всех (; i) 2 X X . Пусть !i 2 Kni ,
! 2 Km. Проверка показывает, что (!1 : : : !m !) e = !f1 : : : !fm !e . Итак, имеет место изоморфизм
K
= M (n; R).
Будем в дальнейшем обозначать операду M (X; C) через M (X; K ), т. к. это фактически операда многомерных матриц с элементами из K . Базисные элементы в K -модуле M (X; K )m (многомерные аналоги матричных единиц) определим так: ex;y (x0 ; y0 ) = 1 при x = x0 2 X m , y = y0 2 X , в
противном случае это нуль. Легко проверить, что ex1 ;y1 : : : exm ;ym ey1 :::ym ;z = ex1 :::xm ;z , в остальных
случаях такая композиция равна нулю, как и в случае обычных матричных единиц. Доказательства следующих утверждений несложны.
Лемма 2. Имеет место изоморфизм операд M (X; K) = K M (X; K ).
Лемма 3. Существует гомоморфизм операд P : C[n] ;! M (n; K )n, который на базисных
P
элементах определяется так: если = (1 : : : m ) и ! = P ( ), то ! = e1 (j):::m (j);j .
j =1
Для любых двух K -линейных операд R и K можно определить произведение операд R K,
(RK)n = Rn Kn , где все операции (композиция и действие n ) покомпонентные. Конгруэнцией
на K назовeм подопераду E K K, En Kn Kn такую, что En есть отношение эквивалентности
для всех n с обозначением !1 E !2 , (!1 ; !2 ) 2 En . Если K | коммутативное кольцо и все
Kn | модули, то конгруэнции на K взаимно однозначно соответствуют идеалам, как и в случае
колец.
Теорема 3. Имеет место изоморфизм решеток конгруэнций операд K и M = M (n; K). Если
операды определены над кольцом, то имеет место изоморфизм решеток идеалов операд.
Доказательство. Пусть дана некоторая конгруэнция U K K в операде K. По ней строится конгруэнция M (n; U) M (n; K) M (n; K),
(!1 ; !2 ) 2 M (n; U)k , 8 (i1 : : : ik ; i) 2 [n]k [n]; !1 (i1 : : : ik ; i) U !2 (i1 : : : ik ; i)
(или (!1 (i1 : : : ik ; i); !2 (i1 : : : ik ; i)) 2 Uk ):
Нетрудно проверить, что этим действительно определяется конгруэнция. Покажем, что соответствие U 7! M (n; U) инъективно. Пусть M (n; U1 ) = M (n; U2 ). Возьмем любые x0 ; x00 2 Km такие,
что x0 U1 x00 , тогда существуют !0 ; !00 2 Mm такие, что !0 (1 : : : 1; 1) = x0 , !00 (1 : : : 1; 1) = x00 ,
!0 (i1 : : : im ; i) = 0, !00(i1 : : : im ; i) = 0 для любого набора (i1 : : : im ; i) 6= (1 : : : 1; 1). Отсюда следует
!0 M (n;U1 ) !00, а значит, !0 M (n;U2 ) !00 , откуда ввиду выбора !0 , !00 получим x0 U2 x00 . По
симметрии U1 = U2 .
Набор (i1 : : : ik ) из [n]k будем обозначать через . !1 M (n;U1 \U2 ) !2 ) для всех индексов
(; i) имеет место !1 (; i) U1 \U2 !2(; i) ) !1 (; i) U1 !2 (; i) и !1 (; i) U2 !2 (; i), откуда
M (n; U1 \ U2 ) M (n; U1) \ M (n; U2 ). Обратное очевидно. Итак, соответствие U 7! M (n; U) сохраняет пересечения. Оно сохраняет также и включения, т. е. U1 U2 влечет M (n; U1 ) M (n; U2 ),
что проверяется очевидным образом. Следовательно, соответствие U 7! M (n; U) сохраняет и
точные верхние грани, т. к. U1 _ U2 = U1 ;U\2 U U.
Осталось показать, что любая конгруэнция E на M (n; K) имеет вид M (n; U) для некоторой
(однозначно определенной) конгруэнции U на K. Пусть дана конгруэнция E на M (n; K), тогда
конгруэнция U на K, для которой E = M (n; U), определяется так. Пусть x; y 2 Kk . Тогда
x U y , 9 !; 2 Rk такие, что !(1 : : : 1; 1) = x; (1 : : : 1; 1) = y; ! E :
Проверим, что это действительно конгруэнция. Большая часть проверок не вызывает затруднений. Пусть x01 U x001 ; : : : ; x0m U x00m , x0 U x00 . Тогда существуют !10 E !100 ; : : : ; !m0 E !m00 ,
57
!0 E !00 такие, что !i0 (1 : : : 1; 1) = x0i , !i00 (1 : : : 1; 1) = x00i , !0 (1 : : : 1; 1) = x0 !00 (1 : : : 1; 1) = x00 . Заменим элементы !i0 , !i00 , !0 , !00 , 1 i m, на соответствующие элементы вида = e1 1 : : : e1 1 !e1 1
(добавляя соответственные штрихи и индексы). Тогда (1 : : : 1; 1) = !(1 : : : 1; 1) и (i1 : : : im ; i) = 0
при (i1 : : : im ; i) 6= (1 : : : 1; 1): При этом сохранятся эквивалентности 01 E 001 ; : : : ; 0m E 00m,
0 E 00. Отсюда 01 : : : 0m0(1 : : : 1; 1) = x01 : : : x0m x0 , 001 : : : 00m 00 (1 : : : 1; 1) = x001 : : : x00m x00 ; т. е.
x01 : : : x0mx0 U x001 : : : x00mx00.
Используя тождества
ei1 1 : : : eim 1 !e1 i (i1 : : : im ; i) = !(1 : : : 1; 1),
ei1 1 : : : eim 1 !e1 i (i01 : : : i0m ; i0 ) = 0 на остальных наборах (i01 : : : i0m; i0 ),
e1 i1 : : : e1 im !0 ei 1(1 : : : 1; 1) = !0(i1 : : : im ; i),
легко убедимся, что набор (1 : : : 1; 1) 2 [n]m [n] в определении конгруэнции U можно заменить
на любую фиксированную комбинацию (i1 : : : im ; i) 2 [n]m [n].
Теперь покажем, что E = M (n; U), где U построена по E. Пусть !1 E !2 . Утверждается,что
!1 M (n;U) !2, т. е. для всех (; j ) 2 [n]m [n] верно !1 (; j ) U !2 (; j ). Это эквивалентно
тому, что для любого фиксированного (; j ), как показано выше, существуют !10 , !20 такие, что
!10 (; j ) = !1 (; j ), !20 (; j ) = !2 (; j ) и !10 E !20 . Но по условию в качестве !10 и !20 можно взять
сами !1 и !2 , причем сразу для всех (; j ).
PОбратно, пусть !1 M (n;U) !2 . Рассмотрим представление !l при l = 1; 2 в виде !l =
!l(;k), где !l(;k) = ek1 k1 : : : ekm km !l ek k при = (k1 : : : km ). Проверка показывает, что
k1 :::km ;k
!l(;k) (; k) = !l(; k), а в остальных случаях !l(;k) (; j ) = 0. Так как достаточно установить, что для всех (; k) !1(;k) E !2(;k) , то можно считать, что !1 (; j ) = !2 (; j ) = 0 для
всех (; j ) 6= (; k). Но по определению U существуют !10 , !20 такие, что !10 (; k) = !1 (; k),
!20 (; k) = !2(; k) и !10 E !20 . Замена !l0 на ek1 k1 : : : ekm km !l0 ek k не повлияет на эквивалентность
по модулю E, но после этого окажется, что !l = !l0 , l = 1; 2. Значит, M (n; U) E.
Пусть K | линейная операда над K , и A 2 Alg-K. Модулем над алгеброй A ([5], [19], [20])
называется следующий комплекс данных. Правый K -(полу)модуль M . Семейство K -линейных
отображений композиции, заданных для всех n = 1; 2; : : : ,
M A
(n;1) Kn ;! M; x a1 an;1 ! 7! xa1 : : : an;1 !;
которые, помимо линейности по всем аргументам, должны обладать следующими свойствами.
1) В случае n = 1 отображение M K1 ;! M задает на M структуру унитарного K1 -модуля.
В частности, x" = x.
2) Ассоциативность. Пусть x 2 M , a1 2 An1 ;1 , ai 2 Ani при 2 i m, !i 2 Kni при 1 i m,
! 2 Km . Тогда (xa1 !1)(a2!2) : : : (am!m)! = x(a1 a2 : : : am )(!1 !2 : : : !m!).
3) Если 2 n , (1) = 1, то x(a2 : : : an )(!) = x(a2 : : : an )!.
Гомоморфизм модулей над алгеброй A 2 Alg-K | это K -линейное отображение h : M1 ! M2
такое, что h(xa!) = h(x)a!. Обозначим через Mod-AK категорию модулей над A и их гомоморфизмов. Определим категорию Mod-K, объекты которой | пары (M; A), где A есть K-алгебра,
а M | A-модуль. Морфизм этой категории из (M1 ; A1 ) в (M2 ; A2 ) состоит из пары (h; f ), где
f : A1 ! A2 есть гомоморфизм K-алгебр, а h : M1 ! M2 есть гомоморфизм K -модулей такой,
что для любого натурального n и всевозможных x 2 M1 , a1 ; : : : ; an;1 2 A1 , ! 2 Kn имеет место
равенство h(xa1 : : : an;1 !) = h(x)f (a1 ) : : : f (an;1 )!. Естественным образом определен функтор
S = SK : Mod-K ;! Alg-K, отображающий объект (M; A) в A, а морфизм (h; f ) | в f . Ясно, что
Mod-AK изоморфна подкатегории Mod-K, состоящей из всех объектов вида (M; A) при данном
фиксированном A и всех морфизмов вида (h; 1A ).
Теорема 4. Пусть M = M (n; K). Существуют функторы
F : Alg-K ;! Alg-M, G : Alg-M ;! Alg-K,
F : Mod-K ;! Mod-M, G : Mod-M ;! Mod-K
58
такие, что следующая диаграмма коммутативна с точностью до естественных эквивалентностей:
F
G
Alg -K ;;;!
Alg -M ;;;!
Alg -K
x
?
?SK
x
?
?SR
x
?
?SK
F
G
Mod -K ;;;!
Mod -M ;;;!
Mod -K:
При этом FG = IdAlg ;M , GF = IdAlg ;K , F G = IdMod ;M и G F = IdMod ;K . В частности, для
любой K-алгебры A имеет место эквивалентность категорий Mod-AK и Mod-F (A)M (n;K) .
Доказательство. Пусть A 2 Alg-K, тогда положим F (A) = Map([n]; A) = f j : [n] ! Ag.
(Map(X; Y ) есть множество всех отображений из X в Y .) Покажем, что F (A) является Mалгеброй. При этом, если ! 2 Mm , ! : [n]m [n] ! Km, то 1 : : : m ! 2 Map([n]; A) определяется
так:
X
(1 : : : m !)(j ) =
1 (k1 ) : : : m (km )!(k1 : : : km ; j ):
k1 :::km
Имеем i (ki ) 2 A, 1 i m, !(k1 : : : km ; j ) 2 Km . Ввиду того, что A есть K-алгебра, вся
сумма принадлежит A. Ассоциативность композиции проверяется прямым вычислением. Легко проверяются также свойство единицы и свойство, связанное с действием подстановок (по
определению (1 : : : m )(!) = 1 : : : m !). Итак, F (A) | действительно M-алгебра. Если
дан гомоморфизм K-алгебр f : A1 ! A2 , то F (f ) есть гомоморфизм M-алгебр, определяемый следующим образом: если : [n] ;! A1 , то F (f ) действует по правилу F (f )( )(i) =
f ( (i)), F (f ) : F (A1 ) ;! F (A2 ). Гомоморфность F (f ) есть без труда проверяемое соотношеf
g
ние F (f )(1 : : : m !) = F (f )(1 ) : : : F (f )(m )!. Свойство F (gf ) = F (g)F (f ), где A1 ;!
A2 ;!
A3 ,
сразу следует из определения. Таким образом, F | функтор.
Определим теперь (по аналогии с теорией колец) операду ei i M ei i следующим образом:
(ei i Mei i )m = ei i : : : ei i Mm ei i = fei i : : : ei i !ei i j ! 2 Mm g. Ее можно считать подоперадой операды
M, хотя в ei i Mei i единицей является элемент ei i . Очевидно, (ei i Mei i )m совпадает с множеством
Di;m = f : [n]m [n] ! Km j (i1 : : : im; j ) = 0 при (i1 ; : : : ; im ; j ) 6= (i; : : : ; i; i)g. Построим изоморфизмы операд i : K ;! ei i Mei i , (i )m : Km ;! (ei i Mei i )m , полагая (i )m (c) = c , c(i : : : i; i) = c,
c (i1 : : : im ; j ) = 0, если хотя бы один из i1 : : : im , j 6= i. Фиксируем здесь i, а m будет однозначно
определяться из контекста. Проверим, что i | гомоморфизм операд. Линейность и эквивариантность очевидны, так что надо установить равенство c1 : : : cm c = c1 :::cm c , сравнив значения
функций на одних и тех же аргументах. Так как (ei i Mei i )m = Di;m , то легко заметить, что i
| изоморфизм. В частности, имеем изоморфизм ei i Mei i = ej j Mej j , задаваемый композицией
;i 1
j
ei i Mei i ;;! K ;! ej j Mej j .
Пусть B 2 Alg-M, Bei i = fbei i j b 2 B g. Легко проверяется, что Bei i имеет структуру
ei i M ei i-алгебры
(b1 ei i ) : : : (bm ei i )(ei i : : : ei i !ei i ) = ((b1 ei i ) : : : (bm ei i )(ei i : : : ei i !))ei i 2 Bei i :
Bei i можно теперь превратить в K-алгебру следующим образом: (b1 ei i ) : : : (bm ei i )! =
(b1 ei i ) : : : (bm ei i )(i )m (!), где ! 2 Km , (i )m (!) 2 (ei i Rei i )m .
Построим изоморфизмы K -алгебр i j : Bei i ;! Bej j , полагая i j (b) = bei j . Предварительно
заметим, что Bei i = fb 2 B j bei i = bg. Линейность i j очевидна, остается убедиться, что
i j (b1 : : : bm!) = i j (b1 ) : : : i j (bm )!. В самом деле, i j (b1 : : : bm!) = b1 : : : bm ei j : : : ei j (j )m (!),
и достаточно показать, что (i )m (!)ei j = ei j : : : ei j (j )m (!). Вычисляя для каждого аргументa
(i1 : : : im ; j0 ) левую и правую части необходимого нам равенства, убеждаемся, что обе части
равны ! для (i : : : i; j ), а на остальных аргументах | это нули. Для каждого i j существует
обратный ;i j1 = j i . Таким образом, i j : Bei i ;! Bej j есть изоморфизм K-алгебр. Так как
59
n
P
ei i
i=1
n
P
= 1, то B = Bei i . Теперь можно построить функтор G : Alg-M ! Alg-K. Пусть B 2 Algi=1
M. Положим G(B ) = Be1 1 . Как было показано выше, Be1 1 является K-алгеброй. Пусть дан
гомоморфизм M-алгебр g : B1 ;! B2 , тогда определяем G(g) : G(B1 ) ;! G(B2 ) как ограничение
g на подмножество Be1 1 B , G(g)(be1 1 ) = g(be1 1) = g(b)e1 1 . Проверка показывает, что G(g) |
гомоморфизм, а G | функтор.
Построим естественный изоморфизм ' : IdAlg ;K ! GF . Пусть A 2 Alg-K, тогда GF (A) =
F (A)e1 1 = f e1 1 j : [n] ! Ag, e1 1 (i) = P (j )e1 1 (j; i) = (1)e1 1 (1; i), отсюда e1 1 (i) = 0, если
j
i 6= 1, и e1 1 (1) = (1). Положим '(A)(a) = a , где a : [n] ! A есть такое отображение, что
a (1) = a, a(j ) = 0, j 6= 1. Очевидно, отображение a 7! a является биективным. Легко проверяются K -линейность '(A), равенство '(A)(a1 : : : am !) = '(A)(a1 ) : : : '(A)(am )! и то, что '(A) есть
гомоморфизм. Проверим, что ' | естественное преобразование, т. е. совпадают два отображе'(A1 )
F (f )e1 1
'(A2 )
f
ния: A1 ;;;!
F
(A1 )e1 1 ;;;;!
F
(A2 )e1 1 и A1 ;!
A
2 ;;;! F (A2 )e1 1 . По определению функтора
g
G для B1 ;!
B2 имеем G(g)(be1 1) = g(b)e1 1 , таким образом, GF (f )( ) = F (f )e1 1 = (f )e1 1 , т. е.
все будет следовать из равенства (fa )e1 1 = f (a) , проверяемого прямым вычислением. Итак, '
| естественный изоморфизм.
Построим естественный изоморфизм : FG ! IdAlg -M . Пусть B 2 Alg -M, ! 2 FG(B ), т. е. ! :
n
P
[n] ! G(B ) = Be1 1 . Положим (B )(!) = (!) = 1 i (!(i)), где !(i) 2 G(B ) = Be1 1 , 1 i (!(i)) 2
i=1
Bei i . Покажем, что = (B ) | гомоморфизм M-алгебр, т. е. (!1 : : : !m) = (!1 ) : : : (!m),
где 2 Mm . Имеет место тождество
i ((k1 : : : km ; k)) = ei k1 : : : ei km ei i :
()
Заметим также, что 1 k (c)el i = 1 i (c) при l = k, а при l 6= k | это нуль. Здесь c 2 Be1 1 .
Применив формулу (), получим
(!1 : : : !m ) =
n
X
i=1
1 k (c)((!1 : : : !m)(k)) =
=
n X
X
i=1 k1 :::km
1 k1 (!1 (k1 )) : : : 1 km (!m(km ))ek1 k1 : : : ekm km ek k : ()
P P
Так как для каждого 2 Mm имеет место тождество =
ei i : : : eim im ek k , то выражеi1 :::im k 1 1
ние (!1 ) : : : (!m ) также можно привести к виду ().
Итак, (B ) есть гомоморфизм M-алгебр. Проверим естественность . Для каждого гомоморфизма M-алгебр g : B1 ;! B2 должны быть равны следующие композиции отображений:
(B1 )
(B2 )
(g)
g
B2 ;
B1 ;;;
FG(B1) и B2 ;;;
FG(B2 ) FG;;;
FG(B1 ). Здесь G(g)(b) = g(ben 1 1 ) = g(b)e1 1 ,
G(g)
FG(g) есть композиция [n] ;! B1 e1 1 ;;! B2 e1 1 . Все сводится к равенству g P 1 i( (i)) =
n
P
i=1
n
g(1 i ( (i))) = P 1 i (g (i)). Для
i=1
дет g(1 i (b)) = 1 i (g(b)). Так как 1 i
i=1
доказательства достаточно установить, что для всех i бу= xe1 i , а g есть гомоморфизм M-алгебр, то это проверяется
непосредственно.
n
P
Осталось показать, что | изоморфизм. Ранее было отмечено, что B = Bei i . На самом
i=1
деле, легко показать, что эта сумма K -модулей прямая. Таким образом, ! 2 FG(B ) можно
однозначно представить как строку (!(1); : : : ; !(n)), !(i) 2 Bei i . Теперь становится очевидным
наличие взаимно однозначного соответствия (!(1); : : : ; !(n)) $ (1 1 (!(1)); : : : ; 1 n (!(n))), а т. к.
i j являются изоморфизмами, то имеем изоморфизм на каждой компоненте !(i) $ 1 i (!(i)),
откуда получаем, что есть изоморфизм M-алгебр.
60
Полагаем F (M; A) = (F1 (M ); F (A)), G(N; B ) = (G1 (N ); G(B )), где F1 (M ) = Map([n]; M ),
G1 (N ) = Ne1 1 . Сначала проверим, что F1 (M ) есть модуль над алгеброй F (A) над операдой
M. Пусть 1 2 F1 (M ), 1 : [n] ! M , 2 2 F (A); : : : ; k 2 F (A), ! 2 Mk , i : [n] ! A, 2 i k, ! : [n]k [n] ! Kk . Определим
отображение F1 (M ) F (A) F (A) Mk ! F1 (M ),
P
полагая (1 2 : : : k !)(j ) =
1 (l1 ) : : : k (lk )!(l1 : : : lk ; j ). Здесь 1 (l1 ) 2 M , i (li ) 2 A по
1l1 :::lk n
определению F (A) при i 2, !(l1 : : : lk ; j ) 2 Kk . Тогда 1 (l1 ) : : : k (lk )!(l1 : : : lk ; j ) 2 M , т. к. M |
модуль над алгеброй A. Cвойства модульной композиции без затруднений проверяются прямым
вычислением значений функций для одних и тех же аргументов. Итак, F1 (M ) | модуль над
алгеброй F (A); F = (F1 ; F ) | функтор из Mod-K в Mod-M: для заданного гомоморфизма Kалгебр f : A1 ! A2 и соответствующего ему гомоморфизма h из A1 -модуля M1 в A2 -модуль M2
формула F1 (h)( )(i) = h( (i)) определяет гомоморфизм из F (A1 )-модуля F1 (M1 ) в F (A2 )-модуль
F1 (M2 ), соответствующий гомоморфизму алгебр F (f ) : F (A1 ) ! F (A2 ).
Перейдем к построению функтора G1 : Mod-BM ! Mod-G(B )K . Пусть N 2 Mod-BM , тогда положим G1 (N ) = Ne1 1 . Покажем сначала, что G1 (N ) есть G(B )-модуль над операдой
e1 1Me1 1 = K. Определим отображение G1(N ) G(B ) G(B ) e1 1 Me1 1 ;! G(N ), полагая
его равным ограничению композиции для модуля N на подмножество (Ne1 1 Be1 1 Be1 1 e1 1Mk e1 1 ) N B B Mk . Достаточно показать, что результат принадлежит Ne1 1 . Пусть
x 2 N , bi 2 B , тогда (xe1 1 )(b2 e1 1 ) : : : (bk e1 1 )(e1 1 : : : e1 1 !e1 1 ) = (xb2 : : : bk )(e1 1 : : : e1 1 !)e1 1 . Равенство имеет место в силу ассоциативности композиции для модуля N над алгеброй B . Отсюда
же следует ассоциативность композиции для модуля Ne1 1 . Нетрудно показать, что свойство,
связанное с действием симметрических групп, также выполнено. Итак, G1 (N ) есть модуль над
алгеброй G(B ) над операдой e1 1 Me1 1 . Чтобы превратить G1 (N ) в модуль над операдой M, как
и выше, используется изоморфизм 1 : K ! e1 1 Me1 1 . Так как большая часть вычислений и
проверок аналогична уже проделанным, то будем опускать их, описывая только общую схему
рассуждений.
Легко проверяется, что G = (G1 ; G) является функтором. Остается построить естественные
изоморфизмы ' : IdMod -K ! G F , : F G ! IdMod -M . Каждый из них фактически состоит из
двух компонент: ' = ('1 ; '), '1 : Id ! G1 F1 , ' : Id ! GF , = ( 1 ; ), 1 : F1 G1 ! Id,
: FG ! Id. Отображения '1 и 1 строятся следующим образом. Пусть M | модуль над
A 2 Alg-K, тогда G1 F1 (A) = F1 (A)e1 1 = f : [n] ! M j (j ) = 0 при j 6= 1g. Определяем
'1 (M )(x) = x : [n] ! M , x(1) = x, x (j ) = 0 при j > 1. Биективность очевидна, а все остальные
необходимые свойства проверяются точно так же, как иn для '. Пусть N | модуль над B 2 AlgM, тогда F1 G1 (N ) = f : [n] ! Ne1 1 g. Ясно, что N = i
Ne , и каждый Nei i есть Bei i -модуль
=1 i i
над операдой ei i Mei i . Существует семейство изоморфизмов i j : Nei i ! Nej j , согласованных с
изоморфизмами i j , построенными выше, а именно, i j (x) = xei j . Теперь определяем 1 (N ) =
n
P
1 i( (i)). Биективность и остальные требуемые проверки
1 : F1 G1 (N ) ! N , полагая 1 ( ) =
i=1
проходят по аналогии с проделанными выше.
Литература
1. Артамонов В.А. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры // УMH. {
1969. { Т. 24. { Є 1. { С. 47{59.
2. May J.P. The geometry of iterated loop spaces // Lect. Notes Math. { 1972. { V. 271. { 175 p.
3. Бордман Дж., Фогт Р. Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах. { М.: Мир, 1977. { 408 с.
4. Смирнов В.А. Гомотопическая теория коалгебр // Изв. АН СССР. Сер. матем. { 1985. {
Т. 49. { Є 6. { С. 1302{1321.
5. Ginzburg V., Kapranov M. Koszul duality for operads // Duke Math. J. { 1994. { V. 76. { Є 1. {
P. 203{272.
61
6. Loday J.-L, Stashe J.D., Voronov A.A. Operads: proceedings of renaissance conferences //
Contemporary Math. { 1997. { V. 202. { 443 p.
7. Kapranov M. Operads and algebraic geometry // Proc. Int. Congr. Math. Berlin, 1998. August
18{27. V. II: Invited Lectures. (Documenta Mathematica. Extra Volume ICM. II. { P. 277{286).
8. Далецкий Ю.Л. Модули и расслоения над операдой // Алгебра и анализ. { 1998. { Т. 10. {
Є 1. { С. 20{31.
9. Тронин С.Н. О многообразиях, задаваемых полилинейными тождествами // Тез. сообщ.
XIX Всесоюзн. алгебр. конф., 9{11 сент. 1987 г. Ч. 2. { Львов, 1987. { С. 280.
10. Тронин С.Н. О некоторых свойствах финитарных алгебраических теорий // Тез. сообщ.
V Сибирской школы по многообразиям алгебр. систем, 1{5 июля 1988 г. { Барнаул, 1988. {
С. 68{70.
11. Тронин С.Н. О некоторых свойствах алгебраических теорий многообразий линейных алгебр,
I. Многообразия, задаваемые полилинейными тождествами. { Казанск. гос. ун-т. { Казань,
1988. { 31 с. { Деп. в ВИНИТИ 11.08.88, Є 6511-В88.
12. Тронин С.Н. О ретракциях свободных алгебр и модулей: Дис. : : : канд. физ.-матем. наук. {
Кишинев, 1989. { 105 с.
13. Тронин С.Н., Копп О.А. Матричные линейные операды // Алгебра и анализ. Тез. докл.
школы-конф., посвящ. 100-летию со дня рожд. Б.М. Гагаева (16{22 июня 1997 г., г. Казань).
{ Казань. { 1997. { С. 216{217.
14. Копп О.А. Эквивалентность Мориты для матричных линейных операд // Математика,
механика, программирование. Тез. докл. студ. научн. конф. фак-ов ВМК и мехмата Казанск.
гос. ун.-та. { Казань, 1998. { С. 12{13.
15. Aртамонов В.А., Салий В.Н., Скорняков Л.А. и др. Общая алгебра. Т. 2. { М.: Hаука, 1991.
{ 480 с.
16. Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц. { Киев: Наук. думка, 1972. { 175 с.
17. Гаспарян А.С. О некоторых приложениях многомерных матриц. { М.: ВЦ АН СССР, 1983.
{ 60 с.
18. Джекобсон Н. Строение колец. { М.: Ин. лит., 1961. { 392 с.
19. May J.P. Operads, algebras and modules // Contemp. Math. { 1997. { V. 202. { P. 15{31.
20. May J.P. Denitions: operads, algebras and modules // Contemp. Math. { 1997. { V. 202. { P. 1{7.
Казанский государственный
университет
Поступили
первый вариант 01:07:1998
окончательный вариант 21:04:1999
62
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
238 Кб
Теги
матричный, операды, линейный
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа