close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод моментов в задаче гашения колебаний дифференциальной системы на графе.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2010. Вып. 2
УДК 517.977.56
В. В. Провоторов
МЕТОД МОМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ НА ГРАФЕ
Исследованию задач управления упругими колебаниями на классических компактах посвящено большое число работ (см. [1−3] и приведенную литературу в них). В последнее время активно разрабатывается новое направление − управление упругими
колебаниями объектов, реализованных на компактном графе [4, 5].
Настоящая статья посвящена изучению вопроса отыскания граничных управляющих воздействий в задаче гашения колебательных процессов, которые описываются
линейными дифференциальными уравнениями в частных производных на геометрическом графе-дерево, представляющем собой цепочку последовательно соединенных
звезд. Подобный анализ проводился в [4] на графе-дерево, где граничное управление
Дирихле формировало инструмент исследования − метод распространяющихся волн.
Достаточно глубоко разработанная спектральная теория краевых задач на графе ([6,
7] и литература в них) приводит к использованию универсального спектрального метода анализа, эффективного и в численных методах на графе. При этом реализуется
управление полным динамическим состоянием системы. Проведенные исследования базируются на изучении прикладных задач, связанных с описанием колебательных процессов при моделировании различного типа механических конструкций, например антенной системы, состоящей из конечного числа упругих континуумов. В работе применяется метод моментов [1, с. 56], который дает единую вычислительную процедуру
вне зависимости от сложности линейного управляемого объекта и числа управляющих
воздействий.
Ниже используются определения и обозначения, приведенные в монографии [6,
с. 24]. Звезды Γ ( = 1, L) цепочки имеют узлы ξ и ребра γk (k = 1, m ), ребра
( = 1, L − 1) соединяют узлы ξ звезд Γ . Для каждой звезды Γ ( = 1, L) ориенγm
тация ребер γk (k = 1, m − 1) «к узлу ξ », ребер γm
− «от узла ξ » ( = 1, L); каждое
ребро γk (k = 1, m − 1) параметризовано отрезком [( − 1)π/2, π/2], ребро γm
− от
резком [π/2, ( + 1)π/2] ( = 1, L); каждому узлу ξ ставится в соответствие число π/2
( = 1, L); C() − множество непрерывных на функций, C[] − множество кусочнонепрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле ξ по разным ребрам
существуют и могут быть различными), C 2 [] − множество функций, все производные
которых до второго порядка включительно принадлежат C[].
Изменения амплитуд колебаний Q(x, t), (x, t) ∈ × [0, T ] описываются уравнениями
∂2
∂t2 Q(x, t)γk
=
∂2
∂x2 Q(x, t)γk
− q(x)γk Q(x, t)γk
(1)
Провоторов Вячеслав Васильевич – доцент кафедры уравнений в частных производных и теории
вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета. Количество
опубликованных работ: 72. Научное направление: системы с распределенными параметрами на графе.
E-mail: wwprov@mail.ru.
c В. В. Провоторов, 2010
60
на каждом ребре γk (k = 1, m , = 1, L), соотношениями в узле ξ1
1 ,
Q( π2 , t)γk1 = Q( π2 , t)γm
m
1 −1
∂Q π
∂Q π
1
1
∂x ( 2 , t)γk = ∂x ( 2 , t)γm
k=1
(2)
1
и в узлах ξ , = 2, L,
, k = 1, m − 1,
Q( π2 , t)γk = Q( π2 , t)γm
m
−1
∂Q π
∂Q π
∂Q π
−1
+
∂x ( 2 , t)γm
∂x ( 2 , t)γk = ∂x ( 2 , t)γm
−1
k=1
(3)
.
Для получения математической модели физического процесса к соотношениям (1)–(3)
добавляются начальные условия
Q(x, 0) = ϕ(x),
∂
∂t Q(x, 0)
= ψ(x), x ∈ ,
(4)
и граничные условия в граничных узлах графа (t ∈ [0, T ]):
∂
π
∂x Q(( − 1) 2 , t)γk −
∂
π
L
∂x Q((L + 1) 2 , t)γm
L
hk Q(( − 1) π2 , t)γk = μk (t), k = 1, m − 1, = 1, L,
+ HQ((L + 1) π2 , t)γm
L
= ν(t).
(5)
L
Здесь функции q(x), ϕ(x), ψ(x) ∈ C(), μk (t) (k = 1, m − 1, = 1, L), ν(t) ∈ C[0, T ]
и постоянные hk (k = 1, m − 1, = 1, L), H вещественные.
Соотношения (1)–(3) назовем уравнением колебаний на графе , соотношения
(1)–(5) – граничной задачей на графе .
Пусть функции μk (t) (k = 1, m − 1, = 1, L), ν(t) в граничных условиях (5) являются управляющими функциями линейной управляемой системы (1)–(5), состояние
которой описывается функцией Q(x, t), (x, t) ∈ × [0, T ]. Будем считать, что имеют
место ограничения
max μk (t) C (k = 1, m − 1, = 1, L), max ν(t) c
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
(6)
(C > 0 − некоторая заданная постоянная).
Задача гашения колебаний системы (1)–(5) состоит в определении момента времени T и управляющих функций μk (t) (k = 1, m − 1, = 1, L), ν(t), удовлетворяющих
ограничениям (6) таких, чтобы условия
Q(x, T ) = 0,
∂
∂t Q(x, T )
=0
(7)
(условия успокоения) выполнялись в момент времени T .
Собственные значения и собственные функции задачи Штурма–
Лиувилля. В C() ∩ C 2 [] определяется задача Штурма–Лиувилля [7, с. 88] для дифференциального уравнения на цепочке −y + q (x) y = λy, x ∈ ,
(8)
которое на каждом из ребер γk (k = 1, m , = 1, L) при фиксированной параметризации
реализуется в форме дифференциального уравнения
−yγ + q(x)γk yγk = λyγk , x ∈ γk (k = 1, m , = 1, L),
k
61
в узле ξ1 − как условие
m
1 −1
k=1
y ( π2 )γk1 = y ( π2 )γk1 ,
а в узлах ξ ( = 2, L) − как условия
−1
+
y ( π2 )γm
−1
m
−1
k=1
y ( π2 )γk = y ( π2 )γm
( = 2, L),
где λ − спектральный параметр. Краевые условия имеют вид
y (( − 1) π2 )γk − hk y(( − 1) π2 )γk = 0, k = 1, m − 1, = 1, L,
(9)
y ((L + 1) π2 )γm
L
+ Hy((L + 1) π2 )γm
L
= 0.
(10)
L
L
Можно показать [7, с. 93], что собственные значения и собственные функции задачи Штурма–Лиувилля (8)–(10) вещественные, cобственные функции, соответствующие
различным собственным значениям, ортогональны в L2 () .
Определим функции Qk (x), x ∈ [( − 1)π/2, (L + 1)π/2] (k = 1, m − 1, = 1, L):
⎧
⎪
⎨ q(x)γk , x ∈ [( − 1)π/2, π/2],
, x ∈ [π/2, ( + 1)π/2],
q(x)γm
Qk (x) =
⎪
⎩
(k=1,m −1,
p , x ∈ [pπ/2, (p + 1)π/2] (p = + 1, L),
q(x)γm
p
=1,L−1)
q(x)γkL , x ∈ [(L − 1)π/2, Lπ/2],
=
QL
k (x)
q(x)γm
L , x ∈ [Lπ/2, (L + 1)π/2].
(k=1,mL −1)
L
Имеет место утверждение, аналогичное теореме 1.5 [8, с. 17]:
Теорема 1. Для любых фиксированных k, (1 k m − 1, 1 L)
и любого α существует единственное решение z k (x, λ) ∈ C 1 [( − 1)π/2, (L + 1)π/2] ∩
C 2 (( − 1)π/2, (L + 1)π/2) уравнения
−zk + Qk (x)zk = λzk ,
(11)
такое, что z k (( − 1)π/2, λ) = sin α, z k (( − 1)π/2, λ) = − cos α. Для каждого фиксированного x ∈ [( − 1)π/2, (L + 1)π/2] функция z k (x, λ) является целой аналитической функцией от λ.
Пусть для каждого фиксированного k, (1 k m − 1, 1 L) функции
μ k (x, λ) , η k (x, λ) ∈ C 1 [( − 1)π/2, (L + 1)π/2]∩C 2 (( − 1)π/2, (L + 1)π/2) − решения
уравнения (11), удовлетворяющие условиям (k = 1, m − 1, = 1, L)
μk π2 , λ = 1, μk π2 , λ = 0,
ηk π2 , λ = 0, ηk
π2 , λ = 1.
Ясно, что функции μk (x, λ) , ηk (x, λ) при x ∈ [π/2, (L + 1)π/2] не зависят от индекса
k: μk (x, λ) ≡ μ (x, λ) , ηk (x, λ) ≡ η (x, λ), x ∈ [π/2, (L + 1)π/2], = 1, L, где функции
μ (x, λ), η (x, λ) − решения (11) на [π/2, (L + 1)π/2], удовлетворяющие условиям ( =
1, L)
μ π2 , λ = 1, μ π2 , λ = 0,
η π2 , λ = 0, η π2 , λ = 1.
62
Для каждого фиксированного k (k = 1, m − 1) и ( = 1, L) определим функции
uk (x, λ) ∈ C 1 [( − 1)π/2, (L + 1)π/2] ∩ C 2(( − 1)π/2, (L + 1)π/2) как решения уравнения
(11) с условиями (k = 1, m − 1, = 1, L)
uk (( − 1) π2 , λ) = 1, uk (( − 1) π2 , λ) = hk ;
функция v(x, λ) ∈ C 1 [0, (L + 1)π/2] ∩ C 2 (0, (L + 1)π/2) есть решение уравнения (11)
( = 1, k = m1 − 1) с условиями
v((L + 1) π2 , λ) = 1, v ((L + 1) π2 , λ) = −H.
В силу теоремы 1, при каждом фиксированном λ функции uk (x, λ)
(k = 1, m − 1, = 1, L), v(x, λ) являются целыми аналитическими по λ, при этом
uk (( − 1) π2 , λ) − hk uk (( − 1) π2 , λ) = 0 (k = 1, m − 1, = 1, L),
v ((L + 1) π2 , λ) + Hv((L + 1) π2 , λ) = 0.
Рассмотрим числовые множества Λ (λ) = {u k (π/2, λ), k = 1, m − 1}, = 1, L;
mΛ (λ) − число нулевых элементов Λ (λ): 0 mΛ (λ) m − 1, а также зависимое
от λ числовое множество Θ(λ) = {η−1 (π/2, λ), = 2, L}, mΘ (λ) − число нулевых его
элементов: 0 mΘ (λ) L − 1.
Пусть Ω – множество собственных значений задачи Штурма–Лиувилля (8)–(10);
III
ΩI , ΩII
Υ,ΥΘ , ΩΥ,ΥΘ − множества чисел λ вида
ΩI = {λ : mΛ (λ) = 0, = 1, L},
ΩII
Υ ΥΘ = {λ : mΛ (λ) = Υ , = 1, L,
L
Υ=
Υ , mΘ (λ) = ΥΘ , v(Lπ/2, λ) = 0},
=1
ΩIII
Υ ΥΘ = {λ : mΛ (λ) = Υ , = 1, L,
L
Υ=
Υ , mΘ (λ) = ΥΘ , v(Lπ/2, λ) = 0}
=1
и
D(λ) = (−1)M−1
m1 −2
k=1
где
u1 k (π/2, λ)
L m −1
=2 k=1
u
( π , λ) v( π2 , λ)
δ(λ) = 1 m1 −1 π2
u1 m1 −1 ( 2 , λ) v ( π2 , λ)
u k (π/2, λ)δ(λ),
L
, M =
m − L.
=1
Теорема 2 [7, с. 134]. Нули функции D(λ) совпадают с собственными значениями
λ ∈ Ω и имеет место
Ω = ΩI ∪
L−1
.
M
.
III
(ΩII
Υ, ΥΘ ∪ ΩΥ, ΥΘ )
ΥΘ =0 Υ=1
III
(множества ΩI , ΩII
Υ ΥΘ , ΩΥ ΥΘ не имеют общих элементов), при этом, если собственное значение λ0 таково, что
63
1) λ0 ∈ ΩI , то оно простое,
2) λ0 ∈ ΩII
Υ,ΥΘ , его кратность равна Υ + ΥΘ − L,
3) λ0 ∈ ΩIII
Υ,ΥΘ , его кратность равна Υ + ΥΘ − L + 1.
Здесь
L
Υ=
Υ , если Υ > 0, = 1, L,
=1
L0
Υi + 2(L − L0 ), если Υi
i=1
1, L0 (1 < L0 < L), = 1, L;
Υ=
> 0, Υ = 0 ( = i , 1 > 1),
i=
причем, если v(Lπ/2, λ0 ) = 0, то
L0
Υi + ΥL при 1 > 1, L0 = L,
а) Υ =
б) Υ =
i=1
L0
i=1
Υi + 1 при 1 = 1, L0 < L,
0
L
0
если v(Lπ/2, λ0 ) = 0 и 1 L L, то Υ =
i=1
Υi + ΥL−1 .
Собственная функция y(x, λ), соответствующая собственному значению λ задачи
Штурма–Лиувилля (8)–(10), имеет представление
⎧
αk uk (x, λ) x ∈ γk (k = 1, m − 1),
⎪
⎪
( = 1, L − 1),
⎨
β1 μ (x, λ) + β2 η (x, λ) x ∈ γm ,
y(x, λ) =
(12)
⎪ αLk uLk (x, λ) x ∈ γLk (k = 1, mL − 1),
⎪
⎩
βv(x, λ) x ∈ γLmL .
Для фиксированного λ = λ0 совокупность коэффициентов αk , β1 , β2 (k =
1, m − 1, = 1, L), β является нетривиальным решением системы с определителем,
равным D(λ0 ).
1. Пусть λ0 ∈ ΩI . Коэффициенты αLk (k = 1, mL − 1), βL−1 1 , βL−1 2 однозначно
определяются через коэффициент β. Собственная функция y(x, λ0 ) имеет вид
⎧
α k u k (x, λ0 ), x ∈ γk (k = 1, m − 1),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ β 1 μ (x, λ0 ) + β 2 η (x, λ0 ), x ∈ γ m , = 1, L,
y(x, λ0 ) = 1/β
⎪
⎪
⎪ αL k uL k (x, λ0 ), x ∈ γL k (k = 1, mL − 1),
⎪
⎩
βv(x, λ0 ), x ∈ γL mL ,
α1 k =
L−1
- mj+1
-−1
j=1
β1 1 =
β1 2 =
L−1
- mj+1
-−1
j=1
i=1
L−1
- mj+1
-−1
j=1
64
i=1
i=1
uj+1 i ((j + 1) π2 , λ0 )
m1 −1
i=1
(i=k)
u1 i ( π2 , λ0 )β,
uj+1 i ((j + 1) π2 , λ0 )β,
uj+1 i ((j + 1) π2 , λ0 )
m
1 −1
k=1
u1 k ( π2 , λ0 )
m1 −1
i=1
(i=k)
u1 i ( π2 , λ0 )β,
α k =
(=1,L)
L−1
- mj+1
-−1
j=
β 1
(=2,L−1)
β 2
= u−1 ( π2 , λ0 )
=
(=2,L−1)
m −1
×
i=1
i=1
uj+1 i ((j + 1) π2 , λ0 )u−1 ( π2 , λ0 )
L−1
- mj+1
-−1
i=1
j=
L−1
- mj+1
-−1
i=1
j=
m −1
i=1
(i=k)
u i ( π2 , λ0 )β,
uj+1 i ((j + 1) π2 , λ0 )β,
uj+1 i ((j + 1) π2 , λ0 )(u−1 ( π2 , λ0 ) ×
m
−1
u i ( π2 , λ0 ) + u−1 ( π2 , λ0 )
L
Рассмотрим случай Υ L, Υ =
k=1
u k ( π2 , λ0 )
m −1
i=1
(i=k)
u i ( π2 , λ0 ))β.
Υ , 1 Υ m − 1 ( = 1, L), 0 < ΥΘ < L − 1
=1
(случаи ΥΘ = 0, ΥΘ = L − 1, а также 1 Υ L − 1 представлены в [7, с. 134]).
Υ
L
2. Пусть λ0 ∈ ΩII
mΥk (λ) mk − L), тогда u k (π/2, λ0 ) =
Υ, ΥΘ (1 mΛ (λ) =
k=1
k=1
0 (k = 1, m − 1, k = ki , i = 1, Υ , = 1, L), ki (i = 1, Υ , = 1, L) – индексы равных
нулю элементов множества Λ (λ0 ): u ki (π/2, λ0 ) = 0 (i = 1, Υ ).
Собственные функции определяются параметрами Υ каждой звезды Γ , = 1, L.
Общий вид собственной функции y0 (x) представлен формулой (12), в которой
α k = 0 (k = 1, m − 1, k = ki , i = 1, Υ , = 1, L),
Υ
−1
1
α kΥ
= − u
α ki u k ( π2 , λ0 ), = 1, L, = j , j = 1, ΥΘ ,
( π ,λ0 )
k
Υ
α
j kΥj
j
2
1
(j π
2 ,λ0 )
= − u
j
j k
Υ
−
i=1
Υj −1
i=1
i
α
j ki j
u
j ki j
(j π2 , λ0 ) −
j
Υj −1
α −1 kj −1 u
−1 ((j
j
j −1 ki j
i
i=1
−
, j = 1, ΥΘ ,
1) π2 , λ0 )
β,1 = β,2 = 0, = 1, L − 1, = j , j = 1, ΥΘ ,
Υ j
βj −1,2 = −
α j u j (j π2 , λ0 ), j = 1, ΥΘ ,
i=1
j ki
j ki
β = 0.
Таким образом, получаем
L
Υj − L + ΥΘ функций, при этом каждая звезда Γ порож-
j=1
дает Υ − 1 ( = 1, L) собственных функций:
⎧
⎪
0, x ∈ γkζ , k = 1, mζ , ζ = 1, L, k = ki , kΥ
,
⎪
⎪
⎨ u (x, λ0 ), x ∈ γ ,
k
ki
i
yi (x, λ0 ) =
u k ( π
2 ,λ0 )
⎪
⎪
i
i=1,Υ
−1
) ⎪
(
(x, λ0 ), x ∈ γ ,
⎩ − u ( π2 ,λ0 ) u kΥ
kΥ
k
Υ
(13)
65
каждое из соотношений ηj −1 (j π/2, λ0 ) = 0 (j = 1, ΥΘ ) добавляет еще Υj собственных
функций:
⎧
−1
⎪
0, x ∈ γkζ , k = 1, mζ , ζ = 1, L, k = kΥj −1 , mj , ki j ,
⎪
j
⎪
⎪
π
⎪
u
ζ (ζ 2 ,λ0 )
⎪
⎪
ζ k
⎪
ζ
⎪
−
μj −1 (j π2 , λ0 )×
π
⎪
u
⎪
ζ −1 ((ζ −1) 2 ,λ0 )
⎪
⎪
ζ −1 k
Υ −1
⎨
ζ
j −1
(14)
yij (x, λ0 ) =
ζ (x, λ0 ), x ∈ γ −1 ,
×u
j
⎪
ζ kΥ
⎪
k
Υ
ζ
⎪
j −1
(i=1,Υj )
⎪
⎪
j −1
⎪
π
π
⎪
−u
⎪
j (j 2 , λ0 )μj −1 (j 2 , λ0 )ηj −1 (x, λ0 ), x ∈ γmj ,
⎪
⎪
j kj
⎪
⎪
⎪
⎩ u (x, λ ), x ∈ γ j .
j ki j
0
ki j
3. Пусть, далее, λ0 ∈ ΩIII
Υ, ΥΘ , тогда к условиям предыдущего пункта добавится условие v(Lπ/2, λ0 ) = 0. Значит, L-я звезда ΓL формирует еще одну собственную функцию
⎧
L
⎪
0, x ∈ γkζ , k = 1, mζ , ζ = 1, L, k = kΥ
, mL ,
⎪
L
⎨
π
v
(L
,λ
)
0
L
2
ΥL
uL kΥ
L (x, λ0 ), x ∈ γ L
(x, λ0 ) =
yL
km ,
u L (L π
2 ,λ0 )
L
L
Lk
⎪
ΥL
⎪
⎩
L
,
v(x, λ0 ), x ∈ γm
L
если ηL−1 (Lπ/2, λ0 ) = 0, и
⎧
L−1
0, x ∈ γkζ , k = 1, mζ , ζ = 1, L, k = kΥ
, mL−1 , mL ,
⎪
L−1
⎪
⎪
π
⎪
v (L 2 ,λ0 )
⎨ − uL−1 kL−1 (x, λ0 ), x ∈ γkL−1
,
π
L−1
u
ΥL
ΥL−1
mL−1
L−1 ((L−1) 2 ,λ0 )
L−1 k
(x, λ0 ) =
yL
ΥL−1
⎪
⎪
L−1
⎪
v (L π2 , λ0 )μL−1 (L π2 , λ0 )ηL−1 (x, λ0 ), x ∈ γm
,
⎪
L−1
⎩
L
v(x, λ0 ), x ∈ γmL ,
если ηL−1 (Lπ/2, λ0 ) = 0. Вместе с функциями (12)–(14) (при λ0 ∈ ΩIII
Υ, ΥΘ ) количество
L
собственных функций равно
Υj − L + ΥΘ + 1.
j=1
Полнота и базисность системы собственных функций в L2 (). Пусть
{λn }n0 – множество всех собственных значений λ0 λ1 ... задачи Штурма–
Лиувилля (8)–(10), при этом каждое собственное значение присутствует в множестве
{λn }n0 столько раз, какова его кратность (теорема 2). Пусть {Xn (x)}n0 − множество ортонормированных собственных функций Xn (x), соответствующих собственным
значениям λn (одинаковым – т. е. кратным – собственным значениям отвечают собственные функции, упомянутые выше и взятые в произвольном порядке).
Следующие утверждения [7, с. 139] являются обоснованием метода разделяющих
переменных для граничной задачи (1)–(5).
Теорема 3. 1). Система собственных функций {Xn (x)}n0 задачи Штурма–
Лиувилля (8)–(10) полна и образует ортогональный базис в L2 (). 2). Для любой абсолютно непрерывной функции f (x) , x ∈ , имеет место разложение в обобщенный
ряд Фурье по собственным функциям {Xn (x)}n0 , причем ряд сходится равномерно
на .
Гашение колебаний системы (1)–(5). Рассмотрим вопросы, связанные с возможностью отыскания условий на заданные управляющие граничные функции при успокоении колебательных процессов, описываемых граничной задачей (1)–(5) на цепочке .
66
В соответствии с утверждениями теоремы 3 решение Q (x, t) задачи (1)–(5) будем
искать в виде
Q (x, t) =
∞
un (t) Xn (x) , un (t) =
,
Q (x, t) Xn (x) dx.
n=0
Предположим, что собственные значения задачи Штурма–Лиувилля (8)–(10) положительные. Продифференцируем функцию un (t) дважды и, используя уравнение
колебаний (1)–(3) на с граничными условиями (4), (5), приходим к уравнению
(t > 0, λn = ρ2n )
un (t) + ρ2n un (t) = zn (t),
(15)
zn (t) =
L m
−1
=1 k=1
μk (t)Xn (( − 1) π2 )γk − ν(t)Xn ((L + 1) π2 )γm
L .
L
Решение уравнения (15) с учетом начальных условий записывается в виде
un (t) = ϕn cos ρn t +
ψn
ρn
sin ρn t +
1
ρn
,t
zn (τ ) sin ρn (t − τ )dτ,
0
где ϕn , ψn − коэффициенты Фурье функций ϕ (x) , ψ (x), разложенных по системе
∞
∞
функций {Xn (x)}n0 : ϕ(x)=
ϕn Xn (x) , ψ(x)=
ψn Xn (x). Учитывая вид Q(x, t)
n=0
n=0
и ∂Q
∂t (x, t), представление zn (t) для уравнения (15) и условия успокоения (7), в силу
полноты системы {Xn (x)}n0 в L2 () (теорема 3), получаем (n = 0, 1, 2, ...)
−τn cos ρn T −
τ̂n
ρn
sin ρn T =
1
ρn
,T
0
[−
L m
−1
=1 k=1
μk (ζ)Xn (( − 1) π2 )γk +
L ] sin ρn (T − ζ)dζ,
+ ν(ζ)Xn ((L + 1) π2 )γm
L
L m
−1
,T ρn τn sin ρn T − τ̂n cos ρn T = [−
μk (ζ)Xn (( − 1) π2 )γk +
0
(16)
=1 k=1
L ] cos ρn (T − ζ)dζ.
+ ν(ζ)Xn ((L + 1) π2 )γm
L
Умножим первое уравнение системы (16) на ρn i (i − комплексная единица) и сложим
со вторым. Сокращая на eρn T и выделяя действительную и мнимую части, приходим
к системе
L m
−1
,T Xn (( − 1) π2 )γk cos ρn ζ μk (ζ)dζ =
0 =1 k=1
= Xn ((L + 1) π2 )γm
L
L m
−1
,T 0 =1 k=1
,T
L
0
ν(ζ) cos ρn ζdζ + τ̂n ,
(n = 0, 1, 2, ...)
(17)
Xn (( − 1) π2 )γk sin ρn ζ μk (ζ)dζ =
L
= Xn ((L + 1) π2 )γm
,T
L
0
ν(ζ) sin ρn ζdζ − ρn τn .
Тем самым получена более удобная при практической реализации система моментных равенств (17) для определения граничных управляющих воздействий μk (t) (k =
1, m − 1, = 1, L), ν(t) и времени T , таких, чтобы выполнялись условия (7).
67
З а м е ч а н и е. Для системы (1)–(5) можно рассматривать задачу оптимального
управления по быстродействию: определение минимального значения времени T такого, чтобы выполнялись условие (7).
Колебательные процессы упругой антенной конструкции, состоящей из мачты и поддерживающих ее растяжек с L узлами закрепления их к телу мачты, достаточно удовлетворительно описывается граничной задачей (1)–(5). При этом мачтовый континуум,
находящийся выше последнего (верхнего) узла закрепления растяжек, имеет массу,
несравнимо меньшую, чем масса остальных частей тела мачты, и влияние этой части
тела мачты на колебательный процесс несущественно, тогда при моделировании процесса ею можно пренебречь. Растяжки (струны) испытывают поперечные колебания,
мачтовый континуум (стержень) − продольные, управляющее воздействие на антенную конструкцию осуществляется в основаниях растяжек (граничные узлы графа ).
Упругие характеристики колеблющихся континуумов системы определяются положительной функцией q(x)γm , постоянные hk (k = 1, m − 1, = 1, L) и H также положительные. Нетрудно показать, что в данном случае собственные значения λn ∈ Ω задачи
Штурма–Лиувилля (8)–(10) положительные. Действительно,
,
,
λn Xn2 (x)dx = (−Xn (x) + q(x)Xn (x))Xn (x)dx =
=
L m
,
=1 k=1 γ (−Xn (x)
+ q(x)Xn (x))Xn (x)dx =
k
=
+
L m
−1
hk Xn2 (( − 1) π2 ) + HXn2 ((L + 1) π2 ) +
=1
, k=1
(Xn2 (x)
+ q(x)Xn2 (x))dx > 0.
Здесь слагаемые, содержащие Xn (x), интегрировались по частям, для собственных
функций Xn (x) использовались условия согласования в узлах ξ ( = 1, L) и краевые
условия (9), (10).
Для упругой L-уровневой системы «мачта–растяжки» рассматривается задача гашения колебаний − перевод системы (1)–(5) из возбужденного состояния (4) в состояние
покоя (7). Система (17) принимает вид (n = 0, 1, 2, ...)
L m
−1
,T 0 =1 k=1
L m
−1
,T 0 =1 k=1
Xn (( − 1) π2 )γk cos ρn ζ μk (ζ)dζ = τ̂n ,
Xn (( − 1) π2 )γk sin ρn ζ μk (ζ)dζ = −ρn τn .
Управляющими воздействиями являются функции μk (t) (k = 1, m − 1, = 1, L);
ν(t) = 0, t ∈ [0, T ].
Литература
1. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука,
1975. 568 с.
2. Зубов В. И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416 с.
3. Знаменская Л. Н. Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004. 176 с.
4. Белишев М. И. О граничной управляемости динамической системы, описываемой волновым
уравнением на одном классе графов (на деревьях) // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2004. Т. 308.
С. 23–47.
68
5. Avdonin S. A., Ivanov S. A. Families of exponentials. The Method of Moments in Controllability
Problems for Distributed Parameter Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1995. 93 с.
6. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004. 272 с.
7. Провоторов В. В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения. Воронеж:
Научная книга, 2008. 247 с.
8. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными
уравнениями второго порядка / пер. с англ. В. Б. Лидского; под ред. Б. М. Левитана. М.: Изд-во
иностр. лит-ры, 1960. Т. 1. 342 с.
Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.
Статья принята к печати 24 сентября 2009 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
250 Кб
Теги
дифференциальной, метод, гашения, моментов, система, граф, колебания, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа