Метод подобных операторов в спектральном анализе дифференциального оператора с инволюцией.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
73
MSC 34B05
МЕТОД ПОДОБНЫХ ОПЕАТООВ В СПЕКТАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ
ДИФФЕЕНЦИАЛЬНОО ОПЕАТОА С ИНВОЛЮЦИЕЙ
Е.Ю. оманова
Воронежский осударственный Университет,
пл. Университетская, 1, Воронеж, 394006, оссия, vsu.romanovagmail.om
Аннотация. Изучается диеренциальный оператор L с инволюцией, порожденный ди-
еренциальным выражением l(y) = y ? (x) ? q(x)y(? ? x) с q ? L2 [0, ?], и краевыми условиями
y(0) = y(?). Для исследования спектральных свойств данного оператора применяется метод
подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра, а также оценки равносходимости спектральных разложений.
Ключевые слова: спектр оператора, диеренциальный оператор с инволюцией, подоб-
ные операторы, асимптотика спектра, спектральное разложение, равносходимость спектральных разложений.
1. Введение. Пусть L [0, ?]? гильбертово пространство суммируемых с квадратом
2
на [0, ?] комплекснозначных ункций со скалярным произведением
(x, y) =
Z?
x(? )y(? )d? ,
x, y ? L2 [0, ?] .
0
Через W21 [0, ?] обозначим пространство Соболева
{y ? L2 [0, ?] : y абсолютно непрерывна и y? ? L2 [0, ?]} .
ассмотрим оператор
L : D(L) ? L2 [0, ?] 7? L2 [0, ?] ,
порожденный диеренциальным выражением [1?
l(y) = y ? (x) ? q(x)y(? ? x) ,
x ? [0, ?] , q ? L2 [0, ?] ,
(1)
с областью определения
y ? D(L) = {y ? W21 [0, ?] : y(0) = y(?)}.
Запишем оператор L в виде
Ly = L0 y ? By ,
(2)
где (L0 y)(x) = y ?(x). Оператор L(0) будем называть свободным оператором, играющим
роль невозмущенного оператора, а (By)(x) = q(x)y(? ? x) возмущения.
абота выполнена при инансовой поддержке ФФИ, проекты 13-01-00378, 14-01-31196.
74
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
Спектр ?(L0 ) состоит из собственных значений вида ?n = 2?in/? , n ? N . Каждое
собственное подпространство, отвечающее собственному значению ?n , n ? N,
является
одномерным. Соответствующая собственная ункция имеет вид en (t) = exp 2?int/? .
Проекторы исса Pn , n ? N, построенные по одноточечным множествам {?n }, n ? N
для любого x ? L2 [0, ?] имеют вид Pn x = (x, en )en , n ? N.
Интерес к изучению оператора L связан с тем, что такие операторы применяются в
теории ильтрации. Инволютивное отображение применялось В.А. Плиссом при исследовании субгармонических колебаний, описываемых уравнениями без диссипации [2?.
Отметим также, что к обыкновенным диеренциальным уравнениям, содержащим
простейшую инволюцию, сводятся некоторые геометрические задачи, например, задача
Бернулли и Эйлера о взаимных траекториях [3?, а также краевые задачи для уравнений в частных производных гиперболического и эллиптического типов, если оператор
уравнения допускает акторизацию.
В теории возмущенных линейных операторов при изучении диеренциальных операторов, определяемых краевыми условиями на конечном промежутке, используются
разнообразные методы [10?- [11?. В настоящей статье для исследования спектральных
свойств оператора L используется метод подобных операторов [4?- [9?. Суть метода состоит в преобразовании подобия исследуемого (возмущенного) оператора в оператор,
спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам невозмущенного
оператора (в данном случае свободного оператора L0 ).Тем самым существенно упрощается изучение исследуемого оператора L.
2. Полученные результаты.
Основная идея метода подобных операторов [4?- [9?
состоит в следующем. Пусть A линейный оператор, действующий в банаховом пространстве X (он обычно называется невозмущенным оператором), и B другой оператор, который в некотором смысле ѕмалї по сравнению с A. При определенных условиях естественно ожидать, что оператор A ? B подобен оператору A ? B0 , где B0 имеет
несложную по отношению к A структуру. Оказалось, что процедура построения оператора B0 и оператора преобразования оператора A ? B в A ? B0 тесно связана с гармоническим анализом линейных операторов из некоторого пространства возмущений
оператора A, которому принадлежит и B . Проверка условия подобия операторов A ? B
и A ? B0 обычно приводит к вопросу разрешимости некоторых нелинейных уравнений
в пространстве возмущений.
Применяя метод подобных операторов для исследования спектральных свойств оператора L, будем рассматривать оператор L в виде L = A ? B, где свободный оператор
L0 = A будем считать невозмущенным оператором, а B возмущением.
Пусть L2,? = L2,? [0, ?] гильбертово пространство определенных на R комплексных
периодических периода ? ункций, суммируемых с квадратом модуля на [0, ?].
ассмотрим ограниченные операторы JB , ?B из End L2,? , определяемые ормулами
X
X ? X
JB =
Pn BPn ,
?B =
Pi BPj ,
i, j ? Z .
2?n i?j=n
n?Z
n?Z
Далее, введем последовательности операторов (Jm B), (?m B), и трансорматоров
(Jm ), (?m ), m ? N [8?, принадлежащих End L2,? и входящих в допустимую тройку метода
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
75
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
подобных операторов [4?:
Jm B = P(m) BP(m) +
X
|k|?m+1
(3)
Pk BPk = J(B ? P(m) BP(m) ) + P(m) BP(m) ,
(4)
?m B = ?(B ? P(m) BP(m) ) ,
где
P(m) =
m
X
Pk ,
k=1
Z2? x ? s + ?
q
y(s)ds ,
2
(5)
Z2? ? ? x ? s x ? s + ? f
q
y(s)ds ,
2
2
(6)
Z2? 2? ? x ? s x ? s
f
q(x)q
y(s)ds ,
2
2
(7)
1
((JB)y)(x) =
2?
0
1
((?B)y)(x) =
2?
0
1
((B?B)y)(x) =
2?
0
y ? L2,? , x ? [0, ?], f (t) = i(t ? ?/2), t ? [0, ?], f ? L2,? . В таком случае матрицы
(bnj ), (cnj ), n, j ? N, соответственно операторов B и B?B в рассматриваемом базисе
{en ; n ? Z} имеют вид
bnj = qn+j ,
(8)
cnj =
? X qn+k qk+j
.
2?i k6=j k ? j
(9)
Используя метод подобных операторов, были получены следующие результаты.
Теорема 1.
Если число k ? Z+ таково, что k?k Bk2 < 1, (т.е. оператор I + ?k B обратим), где ?k B принадлежит идеалу S2 (L2,? ) операторов ильберта-Шмидта, и k?k Bk2
e = A ? B,
e где
норма ильберта-Шмидта, то оператор L = A ? B подобен оператору L
e = Jk B + (I + ?k B)?1 (B?k B ? (?k B)Jk B) ,
B
(10)
причем имеет место равенство
e .
(A ? B)(I + ?k B) = (I + ?k B)(A ? B)
e являются операторами ильберта-Шмидта
Операторы Jk B, ?k B, B?k B, (?k B)(Jk B), B
e из (10) представим в виде
из S2 (L2,? ). Оператор B
e = JB + B?B ? (?B)JB + C ,
B
(11)
76
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
где оператор C принадлежит идеалу S2 (L2,? ).
Непосредственно из теоремы 1 получается, что имеет место
Теорема 2.
Возмущенный оператор L является оператором с компактной резольвентой и существует такая нумерация собственных значений,что ?(L) представим в
виде
?(L) = ?(m) ? {?n ; n ? m + 1} ,
(12)
где ?(m) конечное множество, а ?n , n ? m + 1 определяются равенствами
?n = i
2?n
? X1
? q2n ?
(q2n+k )2 + ?n ,
?
2?i k6=0 k
где ?n суммируемая последовательность,
P
n?Z
(13)
| ?n |< ?.
В следующей теореме Pe(m) , Pen , n ? m + 1 спектральные проекторы исса, построенные по оператору L и множествам ?(m) , ?n , n ? m + 1, соответственно.
Теорема 3 [8?. Имеет место равносходимость спектральных разложений операторов
L и L0 :
lim kPe(m) +
n??
n
X
k=m+1
Pek ? P(m) ?
n
X
k=m+1
Pk k 2 = 0 .
(14)
Литература
1. Хромов А.П. Смешанная задача для диеренциального уравнения с инволюцией и
потенциалом специального вида // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. 10:4. C.17-22.
2. озовский М.И. Механика уругонаследственных сер / Сер.ѕИтоги наукиї. Упругость
и пластичность / М.: Мир, 1967. 340 с.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической изики / М.: Наука, 1988. 512 с.
4. Баскаков А.. армонический анализ линейных операторов / Воронеж: Воронежский
государственный университет, 1987. 164 с.
5. Баскаков А.. Теория о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений // Изв. АН ССС. Сер. матем. 1986. 50:4. C.435-457.
6. Баскаков А.. Спектральный анализ возмущјнных неквазианалитических и спектральных операторов // Известия АН. Cер.матем. 1994. 58:4. C.3-32.
7. Баскаков А.. Метод подобных операторов и ормулы и регуляризованных следов //
Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1984. ќ3. C.3-12.
8. Баскаков А.., Дербушев А.В., Щербаков А.О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом // Известия АН, серия математическая. 2011. 75:3. C.4-28.
9. Romanova E.Yu. Similar operators method in spetral analysis of Dira's operator in the
lebesgue spaes // Spetral and evolution problems. 2011. 21; 2. P.185-186.
10. Данорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральные операторы / М.: Мир,
1974. 896 .
11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 1972. 740 с.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
77
SIMILAR OPERATORS METHOD AT SPECTRAL ANALYSIS
OF DIFFERENTIAL OPERATOR WITH INVOLUTION
E.Yu. Romanova
Voronezh State University,
Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: vsu.romanovagmail.om
Abstrat. The dierential operator L with involution dened by the dierential expression
l(y) = y ? (x)?q(x)y(??x), q ? L2 [0, ?] and boundary onditions y(0) = y(?) is studied. The method
of similar operators is used to analyze the spetral properties of the operator. The asymptoti of
spetrum and estimates of equionvergene of spetral deomposition are obtained.
Key words: spetrum of operator, dierential operator with involution, similar operators
method, asymptoti of spetrum, spetral deomposition, equionvergene of spetral deomposition.