close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод последовательных приближений в оценке близости приближенного и точного точечных отображений при учете неизохронности процессов в динамике систем ИФАПЧ.

код для вставкиСкачать
Вестник Нижегородского университета
им.
Н.И. Лобачевского, 2013, № 5 (1), с. 210–212
О.Г.
Антоновская
210
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 517.9+518.61
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ОЦЕНКЕ БЛИЗОСТИ
ПРИБЛИЖЕННОГО И ТОЧНОГО ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИ УЧЕТЕ
НЕИЗОХРОННОСТИ ПРОЦЕССОВ В ДИНАМИКЕ СИСТЕМ ИФАПЧ
 2013 г.
О.Г. Антоновская
НИИ прикладной математики и кибернетики
Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
olga.antonovsckaja@yandex.ru
Поступила в редакцию 27.06.2013
Решается вопрос о точности результатов, полученных путем изучения точечного отображения, построенного по первому приближению метода последовательных приближений, при исследовании поведения траекторий динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с малым
параметром.
Ключевые слова: математическое моделирование, динамика систем, асимптотические методы, малый параметр, точечное отображение.
Введение
Важную роль в теории нелинейных колебаний и теории систем автоматического регулирования играет метод точечных отображений
[1, 2], позволяющий единообразно подходить к
исследованию математических моделей систем
различной природы, описываемых дифференциальными уравнениями.
Построение точечных отображений не представляет затруднений, если известно общее решение рассматриваемых дифференциальных
уравнений. В случае, когда получение такого
общего решения невозможно, можно прибегнуть к тем или иным приближенным (в том
числе и асимптотическим) методам [2–5]. При
этом учет погрешности необходим, т.к. в противном случае применение приближенного точечного отображения может привести к качественно неверному результату [4].
При изучении систем импульсно-фазовой автоподстройки частоты (ИФАПЧ) методом точечных отображений возникают дополнительные
трудности, связанные с тем, что это системы синхронизации с динамически изменяющимся интервалом регулирования, а соответствующее точечное отображение является неизохронным [6–8]. В
качестве малого параметра μ выступает астатизирующий параметр фильтра (в случае идеального
астатизма μ=+0) [8].
В настоящей работе ставится вопрос о точности результатов исследования поведения траекторий динамических систем, описываемых
дифференциальными уравнениями с малым параметром [4,5], полученных путем изучения
точечного отображения и произведения точечных отображений, построенных по первому
приближению метода последовательных приближений [2] на дуге траектории, соответствующей фиксированному интервалу времени.
При оценке погрешности приближения используется методика, предложенная в [1] для оценки
разности между точным решением дифференциального уравнения и нулевым приближением
в методе Ван-дер-Поля.
Построение приближенного
точечного отображения
методом последовательных приближений
Рассмотрим систему дифференциальных
уравнений
xi  X i ( x1 , x2 ,..., xn , t ), i=1,2,…,n, (1)
где 0<μ<<1. Пусть τ есть время пребывания
траектории системы в подпространстве, где она
определяется дифференциальными уравнениями (1). Фазовое пространство в этом случае
представляет собой топологическое произведение пространства переменных x1 , x2 ,..., xn и
Метод последовательных приближений в оценке близости приближенного и точного точечных отображений 211
окружности, соответствующей фазе   t - [t/] .
Поверхность =0 в этом фазовом пространстве
является секущей, и фазовые траектории определяют на ней точечное отображение T [2], которое может быть найдено путем интегрирования уравнений (1). В качестве приближенного
точечного отображения для изучения T возьмем
~
T [2, 9]
t
2
i
0
t

m 

0
i=1,2,…,n,
где последовательные приближения ищутся по
рекуррентной формуле
| x (t )  x (t ) |  | X i ( x12 (t ), x22 (t ),..., xn2 (t ), t ) | dt 
2
i

0
t

1
1
1
2
0
t2
t3
dt  n 2 3 B 2 M , i = 1,2,...,n, (11)
2!
3!
3
i
| x ( )  x1i ( ) | n 2 BM 2 /2! n 2  3 B 2 M 3 / 3!
 ( M / B)((nB) 2 / 2! (nB) 3 / 3!),
i = 1,2,...,n,
(12)
и т.д.
Предположим, что для m-го приближения
| xim (t )  xim-1 (t ) | n m 1 m B m 1 M m / m! ,
i = 1,2,...,n,
(13)

j
( nB)
| xim ( )  xi1 () | ( M / nB)
,
j!
j 2
i = 1,2,...,n.
(14)
Тогда для (m+1)-го приближения имеем
| xim 1 ( )  xi1 ( ) || xim 1 ( )  xim () |  | xim ( )  xi1 ( ) |,
i = 1,2,...,n.
(15)
А поскольку

 | x
0
t
m
j
(t )  x mj -1 (t ) |]dt 
j 1
(16)
m
t
t m 1
 n m  m 1 B m M
dt  n m  m 1 B m M
,
m!
(m  1)!
0

то
m 1

j2
0
 X i ( x10 , x20 ,..., xn0 , t )]dt ,
i = 1,2,...,n,
n
| xim 1 (t )  xim (t ) | B [
| xim1 ( )  x1i ( ) | ( M / nB)
1
n
x (t )  x (t )   [ X i ( x (t ), x (t ),..., x (t ), t ) 
т.е.

1
j
j 1
t
t
1
i
2
j
j
Будем последовательно оценивать разности
xim ( )  x1i ( ) , i=1,2,...,n, поскольку ~
xi  x1i () ,
i=1,2,...,n.
Для оценки разности xi2 ()  x1i () заметим,
что
2
i
n
  | x (t )  x (t ) |]dt 
 B [
0
j 1
i = 1,2,...,n. (9)
t
3
i

(6)
(7)
1
Для того чтобы оценить xi3 ( )  xi1 ( ) , заметим, что
| xi3 ()  xi1 () || xi3 ()  xi2 () |  | xi2 ()  x1i () | . (10)
При этом
xim (t )  xi0   X i ( x1m 1 (t ), x2m 1 (t ),..., xnm 1 (t ), t )dt, (4)
 | x  x | .
1
0
| xi2 (t )  x1i (t ) | n 2 BM 2 / 2! ,
 n 2 3 B 2 M
n
0
n
j 1 0
0
i=1,2,…,n, m=2,3,4,… .
Будем считать функции X i ( x1 , x2 ,..., xn , t ),
i=1,2,...,n, непрерывными и ограниченными на
множестве | xi  xi0 | A (i = 1,2,...,n) и, кроме
того, удовлетворяющими условиям Липшица,
т.е. существуют положительные числа M и B,
такие, что для любых точек M (x1 , x2 ,..., x n ) ,
M (x1 , x2 ,..., xn ) , M (x1, x2,..., xn ) из рассматриваемого интервала и любых t выполняются неравенства
| X i ( x1 , x2 ,..., xn , t ) | M , i = 1,2,...,n,
(5)
| X i ( x1, x 2 ,..., xn , t )  X i ( x1, x 2,..., xn, t ) |
0
2

t
0
0
1
t

j
i
 n 2 BM tdt  n 2 BMt 2 / 2!, i = 1,2,...,n, (8)
xi1 (t )  xi0   X i ( x10 , x 20 ,..., xn0 , t ) dt ,
B
n
0


j 1
   | X ( x , x ,..., x , t ) | dt ]dt 

xi  xi0   lim X i ( x1m (t ), x2m (t ),..., xnm (t ), t )dt , (3)
0
j
t
 2B [
~
xi  xi0   X i ( x10 , x20 ,..., x n0 , t )dt , i=1,2,…,n. (2)
0
1
j
| x (t )  x (t ) | B [

Заметим, что точное точечное отображение
T может быть найдено методом последовательных приближений как
n
  | x (t )  x (t ) |]dt 
1
i
(nB) j
,
j!
i = 1,2,...,n,
(17)
и формулы (13), (14) доказаны методом математической индукции.
Таким образом, в пределе
212
О.Г. Антоновская
| xi  ~
xi || xi ()  x1i () |

M
nB


j2
(nB) j

j!
M nB
(e
 (1  nB)),
nB
i = 1,2,...,n,
(18)
т.е. ошибка нахождения xi , i=1,2,..., по первому
приближению в методе последовательных приближений имеет порядок малости  2 .
Замечание 1. В случае, когда начальное значение t  t 0  0 , формула
|x ~
x || x (t  )  x1 (t  ) |
i
i
i
0
i
0
M nB

(e
 (1  nB)),
nB
i = 1,2,...,n,
(19)
может быть доказана путем перехода к новому
времени t1  t0  t .
Замечание 2. Случай одного дифференциального уравнения автоматически получается
при n=1.
Заключение
Результаты приведенных выше исследований посвящены вопросам построения близких к
тождественным точечных отображений для исследования квазилинейных систем дифференциальных уравнений и находят свое применение для обоснования возможности приближенного исследования близких к тождественным
точечных отображений плоскости в плоскость
[10] и n-мерного пространства в себя [11], что
существенно для решения вопросов применимости результатов приближенного исследова-
ния систем с малым параметром. При этом речь
может идти и об оценке погрешности приближенного задания точечных отображений более
сложного вида, а именно точечных отображений, представляющих собой произведение элементарных точечных отображений, содержащих
малый параметр [8].
Список литературы
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория
колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.
2. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в
теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.
3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.
4. Антоновская О.Г. // Вестник Нижегор. ун-та.
Математическое моделирование и оптимальное
управление. 1999. Вып. 2(21). С. 198–208.
5. Антоновская О.Г. // Вестник Нижегор. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2011. Вып. 1(23). С. 243–254.
6. Горюнов В.И. // Динамика систем: Межвуз. сб.
Горький: Изд-во ГГУ, 1985. С. 113–125.
7. Горюнов В.И., Кириллов Ю.П. // Динамика
систем: Межвуз. сб. Горький: Изд-во ГГУ, 1976.
С. 156–163.
8. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник
Нижегор. ун-та. 2013. Вып. 1(1). С. 184–190.
9. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А.
Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. 384 с.
10. Антоновская О.Г. // Вестник Нижегор. ун-та.
Математическое моделирование и оптимальное управление. 2004. Вып. 1(27). С. 63–69.
11. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник
Нижегор. ун-та. Математическое моделирование и
оптимальное управление. 2006. Вып. 2(31). С. 9–16.
SUCCESSIVE APPROXIMATION TECHNIQUE IN PROXIMITY EVALUATION FOR EXACT
AND APPROXIMATE POINT MAPPINGS TAKING INTO ACCOUNT NONISOCHRONISM
IN PULSED PHASE-LOCKED LOOP SYSTEM DYNAMICS
O.G. Antonovskaya
The article considers the accuracy in studying trajectories of dynamic system behaviour described by differential
equations with a small parameter. These equations are obtained by point mapping using the first approximation in the
successive approximation technique.
Keywords: mathematical modeling, system dynamics, asymptotic methods, small parameter, point mapping.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа