close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод приближенного решения задачи Коши для системы уравнений стационарного течения газа в трубопроводе.

код для вставкиСкачать
фиксированных координатах Х4 = 5, х 5 = 2, х 6 =4 и
выполним уже описанные процедуры.
Реш ением задачи , удовлетворяю щ и м условию
f (х) = 109, будут точки:
х° = (2,3,4,5. 6 ,1) , х° = (1,3.6.5.4,2) ,
Х3 = (1 ,5 ,3 ,6 ,4 ,2 ), х° = (3 ,1 Д 6,4 ,2 ) ,
х° = (3 ,1, 6.5 ,2, 4 ) , х° = (3 ,4 ,2,6 , 1,5 ) ,
х° = (4 ,2 ,3 ,6 ,1 ,5 ), xg = (2 ,4 ,5 ,3 ,1 ,6 ) .
Следует отметить, что значения функции вверх возра­
стает и вниз убывает с одинаковым интервалом при
равномерном распределении значений коэффициен­
тов.
Выводы
Исследованы сложные комбинаторные задачина мно­
жестве перестановок. Рассмотрены некоторые свой­
ства допустимой области евклидовой комбинаторной
задачи с использованием теории графов и комбина­
торных конфигураций, предложен и реализован алго­
ритм метода локализации значения линейной функции
на множестве перестановок.
Дальнейшее развитие данной работы будет направле­
но на реализацию и адаптацию сформулированного
метода на других комбинаторных конструкциях, а
также на разработку новых методов решения комби­
наторных оптимизационных задач с учетом входных
данных.
Литература: 1.Сергиенко II.В., Каспишцкая М.Ф. Моде­
ли и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач
оптимизации. Киев: Наук, думка, 1981. 287 с. 2.Сергиенко
II.В., Шило В.П. Задачи дискретной оптимизации: про­
блемы, методы решения и исследования. Киев: Наук,
думка. 2003. 260 с. 3. СтояиЮ.Г., Яковлев С,В. МатематиУДК519.63:519.85:533:532.542
МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ СТАЦИОНАРНОГО
ТЕЧЕНИЯ ГАЗАВ ТРУБОПРОВОДЕ
ТЕВЯШЕВ А.Д ., СМИРНОВА B.C._________
Предлагается метод приближенного решения задачи Коши
для системы уравнений стационарного течения газа в
трубопроводе. Верификация метода проводится путем
сравнения результатов приближенного анализа с резуль­
татами численного моделирования стационарных неизо­
термических режимов течения природного газа.
1. Введение
Математическому моделированию ичисленному ана­
лизу стационарных неизотермических режимов транс­
порта природного газа по участку трубопровода по­
священо большое количество работ [ 1- 10 1. Однако до
РИ, 2009, № 1
ческие модели и оптимизационные методы геометричес­
кого проектирования. Киев: Наук, думка, 1986. 265 с.
А.Барстов В.Н., Стечкин Б.С . Экстремальные комбина­
торные задачи и их приложения. М. :Физматлиг, 2004. 238
с. 5. Смець О. О., Колєчкіиа Л. М. Задачі комбінаторної
оптимізації з дробово-лінійними цільовими функціями.
Киев: Наук, думка, 2005. 118 с.6.СеменоваН.В., Колечкина
Л.Н., Нагорная А.Н. Подход к решению векторных задач
дискретной оптимизации на комбинаторном множестве
перестановок // Кибернетика и системный анализ. 2008.
№ 3. С. 158-172. 1.Донец Г.А., ШулинокН.Э. О сложности
алгоритмов поиска в глубину на модульных графах//
Теорія оптимальних рішень. 2002. №1. С. 105-110. Н.Донец
Г.А. Алгоритмы раскраски плоских графов// Теорія опти­
мальних рішень. 2006. №5. С. 134-143.9 ДонецГА., Самер
НМ. Алыиаламе. Решение задачи о построении линейной мозаики//Теорія оптимальних рішень. 2005. №4. С. 1524. 10. Донец ГЛ., Колечкина Л.П. Метод упорядочения
значений линейной функции на множестве перестановок
// Кибернетика и системный анализ. 2009. № 2. С.50-61,
И.Донец Г.А., Колечкина Л.Н. Об одном подходе к реше­
нию комбинаторной задачи оптимизации на графах //
Управляющие системы и машины. 2009. № 4. С.31-35. 12.
Рыбников K.A. Введение в комбинаторный анализ. М:.Издво Моск. ун-та, 1985. 308 с. 13. Липский В. Комбинаторика
для программистов. М.: Мир, 1988. 213 с.
Поступила в редколлегию 02.06.2009
Рецеїнент: д-р физ.-мат.наук, Шарифов Ф.А.
Донец Георгий Афанасиевич, д-р физ.- мат. наук, зав.
отделом Института кибернетики им. В.М.Глушкова НАН
Украины. Научные интересы: математическое модели­
рование, информатика, кибернетика. Адрес: Украина,
03680, МСП, Киев-187, пр. академика Глушкова, 40.
Колечкина Людмила Николаевна, канд. физ.-мат. наук,
доцент, докторант Института кибернетики им. В.М.Глуш­
кова НАН Украины. Научные интересы: математическое
моделирование, информатика, кибернетика. Адрес: Ук­
раина, 03680, МСП, Киев 187, пр. академика Глушкова, 40,
e-mail: ludapl@ukr.net, 8(050)2034585,8(0532)666915.
настоящего времени еще не построен комплекс адек­
ватных стандартизованных математических моделей
стационарных неизотермических режимов транспор­
та природного газа, которые корректноучитываютвсе
значимые физические эффекты, оказывающие влия­
ние на физические параметры транспортируемого газа.
Для успешного развития этих моделей необходимо
эффективное сочетание методов аналитического ана­
лиза и адекватного численного анализа.
В наших работах [11,12] сформулирована математи­
ческая модель нестационарного неизотермического
движения реального газа по участку трубопровода,
построенная на основе базовых в газовой динамике
фундаментальных законов сохранения массы, им­
пульса и энергии с использованием общих положе­
ний термодинамики. Эта модель также описывает
стационарные режимы работы участка газопровода,
когда параметры системы не зависят от времени. В
[ 11 , 12 ] проведен аналитический и численный анализ
модели стационарного неизотермического движения
81
реального природного газа по участку трубопровода,
которая представляет собой систему из двух обыкно­
венных дифференциальных уравнений относительно
неизвестных функций давления р и температуры Т.
Для описания дозвукового режима течения газа рас­
смотрена задача Коши для данной системы уравне­
ний. изучены общие свойства решений и получены в
явном виде решения в некоторых частных случаях.
Однако полученные аналитические решения описы­
вают не все важные для практики случаи. Поэтому для
дальнейшего развития модели актуальной задачей
является разработка приближенных аналитических
методов решения задачи Коши и получение аппрокси­
мирующих формул, описывающих стационарное не­
изотермическое течение газа с необходимой для прак­
тики точностью.
сопротивления: безразмерный параметр, который за­
висит от числа Рейнольдса и относительной шерохо­
ватости внутренней поверхности трубопровода; Ср(р,Т)
- удельная теплоемкость газа при постоянном давле­
нии; к>0 - коэффициенттеплопередачи; Тн-тем п ера­
тура окружающей среды; /(р.Т) - коэффициент сжи­
маемости в термическом уравнении состояния:
Целью работы является дальнейшее развитие матема­
тической модели: разработка метода приближенного
аналитического решения задачи Коши, получение
формул, описывающих распределение давления вдоль
трубопровода, и разработка алгоритмов расчета гид­
равлических режимов стационарного неизотермичес­
кого течения природного газа по линейному участку
трубопровода.
Мы предполагаем, что газ является физически одно­
родным иописываетсяуравнениями состояния, кото­
рые удовлетворяют условиям устойчивости равно­
весных термодинамических систем [5]. Функции
/(р.Т) и Ср(р,Т) считаются заданными функциями
термодинамических переменных р и Т. При этом
функции /(р.Т )>0 и Ср(р,Т)>0 ограничены, непре­
рывны и имеют непрерывные частные производные
всех п оряд ков в о б л а сти С: { 0 < рт ;п< р < р тах,
0<Ттга<Т<Ттах}. Предполагаем, что область С соответствуетреальным режимам транспорта природного
газа.
2. М атематическая модель стационарног о
неизотермического течения газа по участку
трубопровода
Стационарное течение газа в тру бопроводе постоян­
ного круглого сечения при постоянном удельном
массовом расходе \У описывается системой двух
обыкновенных дифференциальных уравнений отно­
сительно неизвестных функций давления р(х) и абсо­
лютной температуры Т(х) (х - координата вдоль оси
трубопровода) [11, 12]. Далее будем рассматривать
реальные безаварийные стационарные режимы тече­
ний, когда скорость газа много меньше скорости
звука. Пусть на горизонтальном участке однониточ­
ного газопровода длиной Ь течение газа происходит в
положительном направлении оси х, в этом случае
\¥>0. Формальная постановка задачи о дозвуковом
стационарном течении газа в трубопроводе может
быть сформулирована в виде задачиКоши. Требуется
найти непрерывные вместе с производными функции
р(х) и Т(х), удовлетворяющие на интервале 0 < х < Ь
системе обыкновенных дифференциальных уравне-
с1р _ Ж \У гТ
с1х
20р 9
сГГ =
с1\
с!р
( 1)
4к
' с1\ т х с , ,
(2 )
и начальным условиям
Р (0 )= Р Ь Т(0) = Т1.
(3)
Здесь Я - газовая постоянная; В -внутренний диаметр
трубопровода; X >0 - коэффициент гидравлического
р = 2(р.Т)Я Тр,
(4)
где с - плотность газа,
ц(р.Т) = - ^
ат
-V
ЕГ
&
РС,
э т
(5)
-коэффициентДжоуля-Томсона, V = 1/р -удельны й
объем.
3. Метод приближенного интегрирования
Задача (1)-(3) в общем случае не поддается точному
решению. Поэтому для ее аналитического решения
используются различного рода приближения [9]. Боль­
шинство из них основано на замене функций /( р.Т).
Ср(р,Т), Ц (р,Т) их средними значениями, которые
затем вычисляются с помощью итерационных проце­
дур с использованием численных методов.
В настоящей работе предложен метод приближенного
решения задачи ( 1)—(3), позволяющий получить ана­
литическое описание стационарного течения газа. Суть
метода состоит в замене уравнения ( 1 ) более простым
приближенным уравнением с разделяющимися пере­
менными, решение которого может быть получено в
явном виде. Покажем, что уравнение (1) можно пред­
ставить в виде
йр _
с1х
Х1Ш 2У(р)
2Б р
’
( 6)
где У(р) - фу нкция давления. Точный вид функции
У(р) можно найти следующ им образом. Пусть
Р = У1(х) и Т = у 2 (х) -реш ен и езад ач и (1)-(3). Фун­
кция р = \ | (х) монотонноубываетнаинтервале [0 ,Ь]
и имеет однозначную обратную функцию \ = у ^ 1( р ) .
Поэтому температуру можно представить в виде фун­
кции
давления
Т = у 2 (уГ 1(Р)) • П од стави в
Т = УгСуГЧр)) в (1)’ получим уравнение, которое
имеет вид ( 6 ), где У(р) определяется соотношением
У (р) = г(р, у 2 (у Г1(р)))у 2 (уГ1(р)) •
82
РИ, 2009, № 1
Таким образом, задача (1)-(3) сводится к решению
системы уравнений (2 ) и (6 ), где У(р) определяется
соотношением (7), с учетом условий (3). Уравнение
( 6 ) является обыкновенным дифференциальным урав­
нением с разделяющимися переменными и при усло­
вии (3) будет иметь решение р = У1( х ) . Однако фун­
кция У(р) неизвестна, пока не найдены У] (х) и
у 2 (х), и требуется другой метод ее определения.
Поэтому можно аппроксимировать функцию У(р)
приближенным выражением У (р ). Для этого мы
будем использовать метод пробных функций.
х =0 первые и вторые члены будут попарно равны,
различие появится в слагаемых, которые содержат х
в степени два и выше. Поэтому можно ожидать, что
при соответствующим образом подобранной функ­
ции Р(р) решение у ^ х ) приближенного уравнения
(9) будет мало отличаться от точного решения у ^(х) на
интервале [0 , 1 ].
Р (р )> 0 , непрерывные и ограниченные в области
Таким образам, приближенное решение задачи (1 )(3) осуществляется в два этапа. Сначала задается
функция Б(р) и находится решение р = У1(х) прибли­
женного уравнения (9), удовлетворяющее условию
(3). Затем это решение подставляется в уравнение (2),
из которого находится зависимость Т = у 2 (х ), удов­
летворяющая условию (3).
Ртш > Р > Ртах Пусть Б(р) -пробнаяфункция,кото­
р ая
в ы б р ан а
так ,
что
ф у н кц и я
Уравнение (9) удобно записать в виде уравнения с
разделяющимися переменными
В качестве пробных будем рассматривать функции
,-/.д 2(у 1(х ),у 2 (х))у 2 (х)
1 (х ) = --------------------------- слабо и зм еняется при
^ Р(У!(Х))
О < х < Ь . Запишем уравнение (1) в виде
ф
dx
Ж \У 2 Щр) /Т
20
р Б(р) ’
У(р)
2 Бр
Р(Р 1)
(9)
( 10)
Конкретный вид функции У(р) будет определяться
выбором пробной функции Б (р ). При этом из опреде­
лений ( 10 ) и ( 6 ) следует, что для любой Р(р) всегда
имеет место равенство
У(Р1) = У(Р1).
Щр])
давления от х, поскольку в общем случае У(р) не
совпадает с У (р ). Сравнение функции р = у ] (х) с
точным решением задачи (1)-(3)) р = У1(х) показы­
вает, что всегда имеют место следующие свойства:
а) У1(0 ) = У1(0 ) = Р] (вытекает из начального условия
(3)):
ДУ1
(следует из (11) и уравнений (9)
ах х= 0
Из свойств а) и б) следует, что в разложениях функ­
(13)
,
(14)
где
Х етт
20
/.(р!.!, и.
(15)
Р1
Интегрируя (14) и учитывая начальное условие (3),
получаем:
1
р (х ) =
р 2_ а - ( 2 - а ) В х
2 -а
(16)
ИДИ
(11)
Решение р = У1(х) уравнения (9). удовлетворяющее
условию (3), описывает приближенную зависимость
6) ® <1х х= 0
и ( 6 )).
20
Р ^ - В
В=
Д РьТрТ,
г(р 1,Т 1)Т1
Выбор функции Р(р) неоднозначен и оценивается по
точности получаемых с ее помощью результатов и по
простоте аналитических вычислений. Возьмем в каче­
стве пробной функции Б(р) = р а ,где а -вещ ествен ­
ная постоянная. В этом случае (12) принимает вид
где
У<(Й = Р(Р)
АШУ
( 8)
при 0 < х < Ь • Значение этой постоянной можно вы ­
числить в точке х = 0 • Тогда ( 8 ) можно заменить
приближенным уравнением
( 12 )
где
В=
гТ
и формально будем считать, что в ( 8 ) ------=дай8Й[х)
Р(р)
ф
ах
Р Ф
= -В
Б(р) ах
Р(Х) = Р 1
(2 -а)
2 -а
г(р 1,Т 1)Т1
• (17)
В р2
2
В частном случае при а = 2 из (17) получаем
р(х) = р 1е“Вх,
(18)
где
В=
Х Ш 2 Мрт Г|) Г,
20
(19)
Р1
Из формулы (16) получаем давление на выходе трубо­
провода при х = Ь :
1
р 2 = р(ь) = р2-«
(2 и)В1.
2 -а
( 20 )
ций V] (х) и У| (х) в ряд Тейлора в окрестности точки
РИ, 2009, № 1
83
Отсюда получаем соотношение
1
от
BL=^
г(рь Т1)Т1 _ г(р 2 .Т 2 )Т2
Г, 2 - а
I|,|
РСр,)
2 -а |
■
'
р 2
В случае, когда Р(р)= р а , сформулированный крите­
рий принимает вид
Вычислим среднее давление на интервале [о, ь ] :
_
1^
р = — I р(х)с1х
Р(р2)
<21»
( 22 )
/ (Р 1-Т]) Г] _ г(р 2 ,Т 2 )Т2
ь о
Используя (16), получаем выражение для р через
параметры р ! , В и а :
1
Р
3—а
А Ц З -а )
Р1
( 2 —а
\р,
/л
3 -а '
\т)т 1 2—а
-(2 -а )В Ь )
• (23)
Подставив (21) в (23), получим выражение для р
через параметры р}, р 2 и а :
_ _ (2 - а ) (р?“а - р 32“а )
(24)
( з - « ) (Р 12- а - РГ а ) '
Р1
Условие (27) позволяет определить значение а для
пробной функции Б(р)= ра . Ниже мы получим реше­
ния задач, имеющих прикладное значение, и пока­
жем, как соотношение (27) преобразуется в уравне­
ние относительно а .
5. Расчет величины \\' при известных
значениях р |, р2, Т ,, Т2
Для решения рассматриваемой здесь задачи получим
выражение для \¥ . Используя формулы (16) и (21),
имеем:
Формула (24) справедлива при любом а . В частных
Ш
случаях, когда а = 2 или а = 3 , она принимает вид:
р = Р]__, при а = 2 .
]п Р 1
Р2
р = Р,Р 2 |п(Р| Р2) . п р и а = 3
Р1 - Р 2
(25)
2Ь г(р 1,Т 1)Т1 _
20
эг —р^у
3(Р1 + Р 2 )
Р1
2
\¥ =
84
ШЬ-гй^ТзДТ!
-Ш -*
р2
(29)
1п 2<Р| - I . )Т,
г(р 2 .Т 2 )Т2
а =-
(30)
1п Р]
Р2
г(р,Т)-Т на интервале 10 . 1, | . Таким образом, возни­
должны получить функцию от х, которая слабо изме­
няется на интервале [О, Ь]. Поэтому можно потребо­
вать, чтобы значения этой функции на концах проме­
жутка [О, Ь] были равны:
2 ВР[
В рассматриваемой задаче величины р ь р2, Т ] и Т 2
считаются известными, поэтому, согласно (27), вели­
чина параметра а определяется соотношением:
лучш им образом ап п рокси м и ровал а ф ункцию
дачи Коши (1)-(3) в выражение /(р. Т) Т/ Щ>) мы
(28)
(р ? - р ? р Н
1/2
Функцию Р(р) следует выбрать так, чтобы она наи­
В данной работе мы примем простой критерий опти­
мальной аппроксимации. При записи уравнения (9)
предполагалось, что после подстановки решения за­
1/2
Если а = 2 , то из (28) получаем:
4. Условие оптимальной аппроксимации
кает задача об оптимальном выборе функции Р(р).
Для количественной формулировки этой задачи необ­
ходимо установить, что следует понимать под наилуч­
шей аппроксимацией функции /(р.Т) •Т . Очевидно,
можно дать различные определения наилучшего при­
ближения. Однако пригодность того или иного крите­
рия может быть установлена лишь после детального
анализа результатов решаемых с его помощью прак­
тических задач.
-Р 2
Б
( 2 - а ) ХШ_/г(р1,Т 1)Т1
Если сс —0 , то (24) переходит в известное в литерату­
ре выражение [13]:
2(р? + Р 1Р 2 + Р 2 )
/ 2 -а
1
“ (г-а)^ 1
Отсюда получаем
\У =
(26)
(27)
Р2
Учитывая соотношение (27), формулу (28) можно
записать в более «симметричной» форме:
1/2
\¥ =
О
2 -а
Р|
2 (Р1-Т1)Т1
Р2
г(р 2 ,Т 2 )Т2
, схф 2
(31)
где величина а определяется формулой (30).
Если вычисленная по формуле (30) величина а будет
равна 2 , то для вычисления
следует использовать
формулу (29).
Используя уравнение состояния (4), выражения для
\У и а можно записать в другой форме. Соотношение
(3 0 ) принимает вид:
1п Р1
а = 1 --
Р2
111ж
Р2
(32)
РИ, 2009, № 1
Таблица 1
Формула (31) записывается в виде:
1/2
W =
2-а
(33)
7 ^ -[P iP i- Р 2 Р 2 ]
XL
Формула (29) записываются в виде
1/2
W = 2 DPiPi.ln.PL
XL
Р2
(34)
Ниже мы приведем результаты расчетов до я конкрет­
ных режимов течения природного газа
435.24
544.05
680.06
794.313
р2, Па
7.03-106
6.19Т06
4.58Т06
1.77106
Т2, К
299.024
298.29
294.715
285.392
исходных данных для расчетов по полученным в
работе формулам.
Таблица 2
6. Численное моделирование стационарных
режимов течения газа
Для проверки корректности сделанных предположе­
ний при выводе приближенных уравнений и адекват­
ности приближенного аналитического анализа были
использованы результаты численного анализа. Для
получения тестовых примеров было проведено чис­
ленное моделирование стационарных неизотермичес­
ких режимов течения природного газа (метана). В
качестве термического уравнения состояния исполь­
зовалось уравнение Бертло [2, 5], доя которого
2(р.Т) = 1+ 0.07(р/рс )(Тс /Т )(1 -6 Т 2 / Т 2) ,
W
кг/(м 2ї )
(35)
W.
кг/(\ r ‘.fc)
435.24
544.05
680.06
794.313
а
0.301
0.139
0.054
0.0162
Sf
0.0052
0.0059
0.0082
0.0134
5W
0.0015
0.0016
0.002
0.0024
Значения а , рассчитанные по формуле (30)с исполь­
зованием (35) и данных из табл. 1, приведены в табл.
2.
После расчета величин сс было проверено предполо-
где рс=4.6*10б Па, Тс=190 К. Численное решение
задачи Коши (1)-(3) для различных значений удель­
ного массового расхода V проводилось при началь­
ных условиях Р 1= 8.3 •10б Па, Т 1=3 13 К и следующих
значениях параметров: В=1.4 м, Ь = 1 12000 м, л= 0 .01 ,
к= 1.63 Вт/(м 2*К), 11=518 Дж/(кг*К), Ср=2746 Дж/
(кг*К), Тн=283 К.
2 (Р,Т)Т
жение, что после подстановки в выражение
решения задачи Коши (1)-(3) мы должны получить
функцию, которая слабо изменяется на интервале
[0,Ь].
Бы ли
рассчитаны
за в и с и м о с т и
z(p(x).T(x))-T(x)
Решение проводилось методом конечных элементов
при дискретизации пространственной области на 120
одномерных лагранжевых элементов пятого порядка.
(значения ct брались изтабл.
р(х)а
2 ). Ha рисунке представлены графики зависимостей
Были получены зависимости р(х) и Т(х) при следую­
щих значениях
435.24 кг/(м 2,с), 544.05 кг/(м 2*с),
680.06 кг/(м 2*с), 794.313 кг/(м 2*с). Расчет показал,
что при Ш=680.06 кг/(м 2, с) скорость движения газа
по трубопроводу не превышает 21,2 м/с. Поэтому доя
практического применения результатов численного
моделирования можно принять, что рабочие режимы
течения газа соответствуют значениям
\У<680 кг/(м 2,с). Расчеты при \¥=794.313
кг/(м 2#с) имеют иллюстративный харак­
тер, поскольку в этом режиме имеется
большой перепад давления на длине тру­
бопровода, а скорость движения газа в
конце трубопровода достигает 64,5 м/с,
что, по-видимому, нетипично для стаци­
онарных безаварийных режимов транс­
порта природного газа. Однако даже в
этом случае, как будет показано ниже,
результаты приближенного анализа обес­
печивают высокую точность расчетов.
f ( x) / f ( 0 ).
В табл. 1 приведены результаты числен­
ного решения задачи Коши (1 )-(3), кото­
рые далее мы использовали в качестве
РИ, 2009, № 1
f(x) =
Из рисунка видно, что f (х) действительно слабо зави­
сит от х и мало отличается от постоянной. Количе­
ственной мерой максимального отличия является ве­
личина 8 f = max f ( x ) / f ( 0 ) - l , значения которой
Графики зависимости f(x )/f(o ) при различных значениях W:
1 -4 3 5 .24 кг/(м2,с); 2 - 544.05 км м «си 3 - 680.06 кг/(м2,с);
4 - 794.313 кг/(м2,с)
85
а
приведены в табл. 2. Из приведенных в табл. 2 данных
z(P 2 •Т2 )Р2 = [1 - ( 2 - а )с]
4 р ,.т ,)т ,
видно, что 8 £ < 10"2, если \У<680 кг/(м 2*с).
Была проведена численная оценка величины \У при
заданных значениях р ь р2, Т ь Т 2 (аналитическое
решение этой задачи получено выше в разделе 5).
Расчет \У проводился по формуле (31) с учетом (35),
р 2 и Т 2 брались из табл. 1. Рассчитанные значения
хорошо совпали со значениями \¥ , приведенными в
табл. 1. Относительная погрешность 5 w =| V/ / \¥ - 1 1
приведена в табл. 2 ( \\
рассчитанное значение).
Видно, что формула (31) дает оценку величины \У с
относительной погрешностью, не превыш ающей
0.0025.
2- а
(41)
В левой части этого уравнения вместо р 2 следует
подставить выражение (39). Вследствие этого конк­
ретный явный вид уравнения (41) зависит от вида
функции г(р,Т2) (напомним, что величины р], Т], Т 2
считаются заданными). Корень уравнения (41) следу­
ет искать на интервале
2 - 1/ С < а < о о .
(42)
Сформулируем утверждение о корнях уравнения (41 )в
виде леммы.
7. Расчет величины р2 при известных
значениях р 1, Т ,, Т2, W
Лемма. Пусть функция /(р. Т) действительных пере­
Для решения рассматриваемой здесь задачи предста­
вим р 2 в виде зависимости от р], Т]. Т2, \¥. Положив
х = Ь в формуле (17), получим:
0(р,Т) = {О< ртш < р < ртах < оо, 0 < Тт т < Т < Ттах < оо}
менных р и Т непрерывна в области
1
,
(2- а ) A R W ^zfpi.T ,)!, 2—а
Р 2 =Pi
0 < г шт —2 (Р-Т) —2тах ^ 00 •
(36)
Dpi
Т огд а
Легко показать, что при а = 2 :
/ Л и \ ; 1.2(р|. 1| ) 1|
(р],Т 1) е О ,
Р1 ^ 0 ,
2 - 1/ С < а < о о имеет нечетное число действительных
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим для краткости пра­
(37)
вую часть уравнения (41) как ф 2 (а ). Рассмотрим
предел левой части уравнения (41) при а —» 2 - 1/С .
Обозначим:
С=
Замечаем, что
/.RW 2 Lz(p|.Ti)Ti
(38)
2 Dp?
lim
1
Отсюда:
l im
z ^ .T ,)^
(39)
Очевидно, что формула (39) имеет смысл при усло­
вии (2 - а)С < 1.
^
z min Mnin
lim ср7 (а 1= +со
а-»2- 1/€
Нт
а-» 2- 1/С
то р 2 как функция а монотонно возрастает от 0 до
при увеличении а в интервале 2 - — < а < о о , т.е.
р2 = 0
и
а-> 2-1/С
(44)
На основании (43) и (44) заключаем:
Анализ выражения (39) показывает: если 0 < С < — ,
Пт
Z( P 2 - Т 2 ) Т 2 = Z( ° - T 2 ) T 2 < z m axT max < ^
“ >2—i/с
Вычислим предел:
р2 = р 1 Н - а ) С р .
со о тн о ш е н и я
р2 = 0
а —»2-1/C
В рассматриваемой задаче С - положительная посто­
янная, значение которой вычисляется с помощью
исходных данных. С учетом (38) формула (36) запи­
сывается в виде
м есто
0 < С < 1/2 ,
корней.
Dpj
и м ею т
п ри
Тт ;п < Т 2 < Т тах у р а в н е н и е (41) на и н те р в а л е
Заметим, что формула (36) справедлива и при а = 2 .
р 2 = Pj exp
и в этой области удовлетворяет условию
ср2 ( а ) - - Z(P2-T2)T:
Вычислим предел при а
Н т Ф2 ( а ) - ^(Р2 -Т2)Т2
z(Pl-Tl)Tl
а —>°о
(45)
• оо:
^ i - T2)T2
z(Pl -Т| )т,
<0
(46)
Н т р 2 = Р] •
а —»со
Здесь мы и с п о л ь зо в а л и , ч то
Величина параметра а определяется из дополнитель­
ного условия (27), которое мы запишем в виде:
а —>00
2 ( р 2 -Т 2 ) т 2
4 р 1 Т ,)т |
fn Л
P2
(40)
Подставив (39) в (40), получим уравнение относи­
тельно а :
86
limcp 2 (a) = 0 и
lim р 2 = Р,
На основании (45) и (46) заключаем, что разность
между ф 2 (а) и выражением в левой части (41) на
концах интервала 2 -1 /С к а < оо имеет разные знаки.
РИ, 2009, № 1
Отсюда вытекает, что рассматриваемаяразность внутри
этого интервала меняет знак нечетное число раз. Сле­
довательно, уравнение (41) на интервале (42) имеет
нечетное число корней. Лемма доказана.
Полученные результаты имеют важную практичес­
кую значимость при расчете гидравлических режи­
мов стационарного неизотермического течения при­
родного газа по линейному участку трубопровода.
Для численных расчетов были взяты значения
\¥
из табл. 1. Величина а определялась из решения
уравнения (41), а затем по формуле (39) вычислялась
величина Р2. Результаты расчетов приведены в табл. 3.
Литература: 1. Чарный H.A. Основы газовой динамики.
М.: Гостоптехиздал, 1961. 200 с. 2. Неизотермическое
Таблица 3
W
435.24
544.05
680.06
794.313
Отн ос.
по­
греш ­
ность
5 .8 1 0 ’4
0.0013
0.0047
0.0596
Из приведенных в табл. 3 данных видно, что расчетное
значение рг отличается отточного с погрешностью, не
превышающей 0.0047, если ДУ<680 кг/(м 2*с).
8. Выводы
Проведено дальнейшее развитие математической мо­
дели дозвукового стационарного неизотермического
течения реального газа в однониточном трубопрово­
де, которая представляет собой систему из двух обык­
новенных дифференциальных уравнений относитель­
но неизвестных функций давления р(х) и температуры
Т(х).
Научная новизна состоит в том, что предложен новый
метод приближенного решения задачи Коши для дан­
ной системы уравнений. Суть метода состоитв замене
точного уравнения более простым приближенным
уравнением, решение которого может быть получено
в явном виде. Для вывода приближенного уравнения
использов ан метод пробных функций. Предложен вид
пробной функции и получены аналитические выраже­
ния, описывающие распределение давления вдоль
трубопровода. Получено решение задачи расчета ве­
личины массового расхода по известным значениям
давления и температуры на входе и выходе трубопро­
вода. Получено решение задачи расчета величины
давления на выходе трубопровода по известным зна­
чениям расхода, давления и температу ры на входе и
температуры на выходе.
Верификация предложенного метода проведена пу­
тем сравнения результатов приближенного анализа с
результатами численного моделирования стационар­
ных неизотермических режимов течения природного
газа. Результаты расчетов тестовых примеров показа­
ли, что полученные в работе формулы с высокой
точностью описываюттипичныережимы транспорта
природного газа.
РИ, 2009, № 1
течение газа в трубах / Васильев О.Ф., Бондарев Э.А.,
Воеводин А.Ф., Каниболоцкий М.А. Новосибирск: На­
ука, 1978. 128 с. 3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и
газа. М.: Наука, 1987. 840 с. 4. Черный Г.Г. Газовая дина­
мика. М.: Наука, 1988. 424 с. 5. Термогидродинамика
систем добычи и транспорта газа / Бондарев Э.А., Васи­
льев О.Ф., Воеводин А.Ф. и др. Новосибирск: Наука. Сиб.
отд-ние, 1988. 272 с. 6 . Седов ЛИ. Механика сплошной
среды. СПб.: Лань, 2004. 2 т. 7. Основы численного моде­
лирования магистральных трубопроводов / Под ред. В.Е.
Селезнева. М.: Ком Книга, 2005. 496 с. 8. Современные
компьютерные тренажеры в трубопроводном транспор­
те: математические методы моделирования и практичес­
кое применение / Под ред. В.Е. Селезнева. М.: МАКС
Пресс, 2007. 200 с. 9. Сухарев М. Г., Карасевич А. М.
Технологический расчет и обеспечение надежности газои нефтепроводов. М.: ГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ
нефти и газа им. И М . Губкина, 2000. 272 с. 10. Гидравли­
ческие цепи. Развитие теории и приложения / H.H. Новиц­
кий, Е.В. Сеннова, М.Г. Сухарев и др. Новосибирск: Наука,
Сибирская издательская фирма РАН. 2000. 273 с. 11. Об
одном классе задач математического моделирования не­
стационарных неизотермических режимов транспорта
природного газа по участку трубопровода / Тевяшев
A.Д., Смирнова B.C. // Восточно-Европейский журнал
передовых технологий. 2007. №4/5 (28). С. 45-51.12 .Мате­
матическое моделирование нестационарного неизотер­
мического течения газа по участку трубопровода // А.Д.
Тевяшев, B.C. Смирнова. // Радиоэлектроника и инфор­
матика. 2008. №2. С. 21-27.13. Евдокимов А. Г., Дубровский
B.В., Тевяшев А. Д Потокораспределение в инженерных
сетях / Под общ. ред. А. Г. Евдокимова. М.: Стройиздат,
1979.199с.
Поступила в редколлегию 19.03.2009
Рецешент: д-р физ.-мат. наук, проф. Дорошенко В.А.
Тевяшев Андрей Дмитриевич, Д-ртехн. наук, проф., заве­
дующий кафедрой ИМ ХНУРЭ. Научные интересы: сис­
темный анализ и теория оптимального стохастического
управления. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина,
'14,тел. (057) 702-14-36.
Смирнова Виктория Сергеевна, аспирантка кафедрыПМ
ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделиро­
вание физических процессов. Адрес: Украина, 61166,
Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 702-14-36.
87
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
238 Кб
Теги
решение, уравнения, метод, кошик, система, стационарного, приближённого, трубопроводов, задачи, газа, течение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа