close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод явного счета для реализации модели циркуляции атмосферы.

код для вставкиСкачать
Вестник СГТУ. 2012. № 1(64). Выпуск 2
УДК 519.633
Л.Н. Гук
МЕТОД ЯВНОГО СЧЕТА ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ МОДЕЛИ
ЦИРКУЛЯЦИИ АТМОСФЕРЫ
В работе предложен разностный метод явного счета решения
одномерных задач конвективной диффузии, как составных частей более
сложной задачи реализации модели циркуляции атмосферы. Приведено
описание алгоритма реализации метода. Представлены результаты
теоретического исследования метода по основным характеристикам:
аппроксимация, устойчивость, сходимость. Описаны преимущества и
недостатки предложенного метода.
Модель циркуляции атмосферы, задача конвективной диффузии,
разностный метод, порядок точности, устойчивость, сходимость
L.N. Huk
METHOD OF EXPLICIT COUNTING FOR IMPLEMENTATION
OF ATMOSPHERIC CIRCULATION MODEL
A finite-difference method of explicit counting for solving one-dimensional
convective diffusion problems is proposed. Each of these problems is a part of
intricate problem implementation of atmospheric circulation model.
Implementation algorithm of method. The results of theoretical study of key
features: approximation, stability, convergence are produced. Advantages and
disadvantages of proposed method are described.
Atmospheric circulation model, convective diffusion problem, difference
method, order of accuracy, stability, convergence
Введение
В современной науке экологические, климатические и синоптические прогнозы тесно
связаны с математическим моделированием циркуляции атмосферы. Решение большинства
метеорологических задач базируется на реализации сложных математических моделей, основу которых составляют уравнения Навье-Стокса и тепло-, массопереноса [1, 2]. В общем
случае − это трехмерные нелинейные уравнения в частных производных второго порядка с
малыми параметрами при старших производных, из-за которых уравнения модели могут
непредвиденно изменять тип в области решения задачи [1, 2]. Задача реализации модели
циркуляции атмосферы имеет значительную вычислительную сложность и ограничение на
срок получения решения. Выбор оптимального метода решения уравнений параболического
и гиперболического типов для задач метеорологии является сложной проблемой, т.к. цель
(точность) и средства (экономичность) противоречат друг другу.
Часто решение гидродинамических систем уравнений, моделирующих динамические
процессы в атмосфере, проводят с помощью расщепления по пространству и (или) по физи20
Проблемы естественных наук
ческим процессам. Это позволяет свести проблему к решению последовательности одномерных задач конвективной диффузии, связанных между собой начальными данными.
Разработан мощный аппарат решения уравнений конвективной диффузии. Известные
и проверенные методы нашли место в таких фундаментальных работах как [3-5]; более новые подходы представлены в многочисленных публикациях. Разные методы имеют достоинства и недостатки. Поэтому выбор метода реализации модели циркуляции атмосферы должен диктоваться особенностями задачи. При реализации модели циркуляции атмосферы
необходимо учитывать: нелинейность уравнений, возможность изменения их типа при
стремлении к нулю коэффициентов диффузии, вычислительную сложность и ограничение на
время получения решения, а также ошибку начальных данных, обусловленную измерениями
и неравномерным распределением измерительных станций на земном шаре.
Учитывая вышеизложенные критерии можно утверждать, что методы повышенной
точности не подходят для реализации уравнений модели циркуляции атмосферы, так как они
требуют значительных временных затрат, однако этом точность решения не будет выше точности начальных данных. Неявные методы при смене типа уравнения в расчетной области
могут давать качественно неверное решение [6], а в случае нелинейных уравнений возникает
необходимость применения итераций, что значительно увеличивает время вычислений.
Применение явных методов требует жесткого ограничения на временной шаг, что также
приводит к увеличению машинного времени реализации.
В данной работе предложен разностный метод решения одномерной задачи конвективной диффузии, которому не присущи указанные выше недостатки.
Метод явного счета
Применяя расщепление по пространственным координатам систему трехмерных
уравнений гидродинамики можно свести к последовательности одномерных задач типа:
∂u
∂u
∂ 2u
+v
= µ 2 + f ( x , t ) , µ = µ ( x, t ) > 0 , 0 < x < l , t > 0 ,
(1)
∂t
∂x
∂x
u ( x,0) = η( x ) , 0 ≤ x ≤ l ,
(2)
u x =0 = α(t ) , u x =l = β(t ) , t > 0 .
(3)
Проведем пространственно-временную дискретизацию. Введем сетку ωhτ = ωh × ωτ ,
ω h = xi = ih , i = 0,1,... N , h = l , ωτ = t n = nτ, i = 0,1,2... .
N
Аппроксимируем задачу (1)-(3) следующей разностной схемой [7]
yin+1 − yin v +  yin+1 − yin yin+1 − yin−+11  v −  yin++11 − yin+1 yin − yin−1 
+
+
+

+

−
τ
2 
h
h
h
h
 2 

{
−
}
{
n+1
n
n
− yin−+11  1  − yin++11 − yin+1
1  + yin+1 − yin
+ yi
− yi − yi −1 
n
a
−
a
−
a
−
a
i
+
1
i
i
+
1
i



 = fi ,
h
h
h
h
h
h



i = 1, 2, ..., N − 1 , n = 0, 1, ... ,
yi0 = u0 ( xi ) , i = 0,1, ..., N ,
( )
( )
y0n+1 = α t n+1 , y Nn +1 = β t n +1 , n = 0, 1, ... ,
где
}
(
)
(
(4)
(5)
(6)
)
v + = 0.5 vin + vin ≥ 0 , v − = 0.5 vin − vin ≤ 0 , v + + v − = v ,
 µ i + µ i −1
, vi ≥ 0,

ai+ =  2
0, vi < 0;

 0, vi ≥ 0,

ai− =  µ i + µ i −1
, vi < 0.
 2
21
Вестник СГТУ. 2012. № 1(64). Выпуск 2
Построение данной схемы основано на вынесении разностей против потока на верхний слой, как в аппроксимации первой пространственной производной, так и второй. Благодаря этому возмущения не могут распространяться в сторону, обратную физической конвекции и волны нефизической природы не должны искривлять численное решение. Схема реализуется последовательно шаг за шагом бегущим счетом.
Приведем подробнее алгоритм реализации схемы (4)-(6).
Шаг 1: определяем точки расчетной области, в которых скорость конвекции меняет
свой знак.
Находим множество
K = k 0 = 0, k j = i, j = 1, J , i ∈ I = {1,..., N − 1} : sgn vin ≠ sgn vin−1 , k J +1 = N ,
{
( )
( )
}
J − количество перемен знака скорости конвекции в расчетной области.
Шаг 2: находим решение в точках перемены знака скорости конвекции с «−» на «+».
Для всех k ∈ K /{0, N } таких, что vkn > 0 находим значения y kn−+11 , ykn+1 . Для этого воспользуемся следующими размышлениями.
Запишем схему (4) для точек xk −1 и xk , учитывая, что v kn − 1 < 0, v kn > 0 :
ykn−1 − ykn−2 
ykn−+11 − y kn−1 vkn−1  y kn+1 − ykn−+11 ykn−1 − ykn−2 
1  n ykn+1 − y kn−+11
n
n
−
a
−
a
+
+
−
k −1
 k
 = f k −1 ,


τ
2 
h
h
h
h
h



n
n
n +1
n+1
n +1
n
n
n
n
n +1
n +1
y − yk
y − yk −1 
1
yk − yk vk  yk +1 − yk y k − yk −1 
n
− a kn k
+
+
− − a nk +1 k +1
 = fk .


τ
2 
h
h
h
h
h


Таким образом, имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными из которой
находим значения y kn−+11 , ykn+1 :
(1 + pk )ℜ k − qk −1ℑk ,
ykn−+11 =
(7)
sk
p ℜ + (1 − qk −1 )ℑk
ykn+1 = k k
,
(8)
sk
где
τ  vkn akn 
τ  vkn akn+1 


 , sk = 1 + pk − qk −1 ;
pk =  +  , qk =  −
h 2
h 
h 2
h 
ℜ k = (1 − pk −1 ) y kn−1 + pk −1 y kn−2 + τf kn−1 , ℑk = (1 + q k ) y kn − qk y kn+1 + τf kn .
Шаг 3: непосредственное вычисление.
Для всех точек xk j , k j ∈ K , j = 0, J выполняем следующую последовательность действий:
1) проверяем знак vknj
– если vknj ≥ 0 , то проводим расчет по схеме
n +1
yin+1 − yin vin  yin+1 − yin yin+1 − yin−+11  1  n yin+1 − yin
− yin−+11 
n yi
n
+
+
−
a
−
a
i
+
1
i

 = f i , ∀i = k j + 1, k j +1 − 1 ; (9)


τ
2 
h
h
h
h
h



– если v kn j < 0 , то проводим расчет в обратную сторону по схеме
yin+1 − yin vin  yin++11 − yin+1 yin − yin−1  1  n yin++11 − yin+1 n yin − yin−1 
n
+ 
+
−a
 − a
 = f i , ∀i = k j +1 − 1, k j + 1 . (10)
τ
2 
h
h
h
h
h



i +1
22
i
Проблемы естественных наук
Входные данные: N – количество
точек пространственной сетки; U – массив значений функции u на нижнем временном слое; v
– массив значений скорости конвекции на нижнем временном слое; µ – массив значений коэффициента диффузии на нижнем временном
слое; f – массив значений правой части на
нижнем временном слое, α, β – граничные
условия на верхнем слое. КОНЕЦ
Выходные данные: U n+1 – массив значений функции u на верхнем временном слое.
Таким образом расчет по схеме (4)-(6) ведется бегущим счетом, усложняясь лишь определением точек перемены знака скорости конвекции
и расчетом значений на верхнем слое в точках перемены знака v( x ) с «–» на «+».
Такая организация расчета экономичнее, чем применение метода прогонки. При
ведении расчета по схеме (4)-(6) отсутствует
необходимость применять итерации, так как
коэффициенты берутся с нижнего слоя.
Блок 1
Основные характеристики
метода явного счета
Теоретические исследования аппроксимации, устойчивости и сходимости метода
явного счета показали [8, 9]:
1. Схема (4)-(6) аппроксимирует задачу
(1)-(3)
с
точностью
порядка
2
O τ / h + τ + h в равномерной норме.
2. Для постоянных коэффициентов
схема абсолютно устойчива [9]. Для случая
переменной конвекции при постоянном коэффициенте диффузии схема устойчива по
начальным данным и правой части при выполнении условия
τ ≤ 4 /(5M 0 + V ) ,
(9)
(
)
Блок 2
2
где M0 = vmax
/ µ, vmax = maxv( x) , V = maxv′(x) > 0 .
x
x
Для случая переменной конвекции при
µ ≡ 0 схема устойчива по начальным данным
и правой части при
τ < 2 /V .
(10)
Для случая переменной диффузии
устойчивость схемы по начальным данным и
правой части справедливо при
(11)
τ ≤ 1 /(V + M / 2h) ,
Блок-схема алгоритма
23
Вестник СГТУ. 2012. № 1(64). Выпуск 2
где M = max µ′( x) > 0 .
x
3. Решение разностной задачи (4)-(6) сходится к решению дифференциальной задачи
(1)-(3) со скоростью O τ + h 2 + τ / h при выполнении следующих условий:
(12)
τ ≤ 1 /(V + M / 2h) ,
(
)
τ / h → 0 , τ → 0, h → 0 .
(13)
В случае, когда коэффициент диффузии равен нулю решение разностной задачи (4)-(6)
сходится к решению дифференциальной задачи (1)-(3) со скоростью O τ + h 2 при условии
τ < 2 /V .
(14)
Замечание 1. Для метода явного счета справедливо условная аппроксимация. Наибольшим членом порядка ошибки является τ / h . Необходимо отметить, что в разложении в ряд Тейлора при τ / h содержиться коэффициент диффузии (значение которого в задачах метеорологии,
как правило, очень мало). За счет этого τ / h фактически не влияет на точность метода.
Характеризируя точность метода, следует отметить его диссипативные и дисперсионные свойства. Схема имеет второй порядок дисперсионности и второй порядок диссипации.
Таким образом, дисперсия и диссипация схемы взаимно гасятся, что позволяет ей работать
более точно [10].
Последнее утверждение подтверждают результаты численных экспериментов [7, 11],
согласно которых точность схемы имеет порядок O τ 2 + h 2 , что вполне подходит для решения метеорологических задач.
Замечание 2. Как видно из условия (11) для метода явного счета справедливо зависимость временного и пространственного шагов. Ограничение (11) гораздо предпочтительнее
жестких ограничений известных явных методов, где временной шаг τ должен быть порядка
h 2 . Условие (11) является достаточным условием, а значит, его нарушение не обязательно
приведет к нарушению устойчивости схемы при расчете, но его следует учитывать при выборе шагов пространственно-временной сетки.
Замечание 3. Условия сходимости (12) и (13) взаимосвязаны таким образом, что выполнение одного автоматически приводит к выполнению другого. Отсюда следует, что если
необходимо обеспечить сходимость численного решения к точному с порядком O h ε , то
(
(
)
)
( )
1+ε
временной шаг целесообразно выбирать из условия τ ≤ h
тельно слабее условия Куранта.
. Последнее ограничение значи-
Заключение
В данной работе предложен разностный метод явного счета решения одномерных задач конвективной диффузии, как составных более сложной задачи реализации модели циркуляции атмосферы.
Предложенный метод позволяет осуществить расчет бегущим (явным) счетом. В работе подробно расписан алгоритм реализации метода, указаны его преимущества перед известными неявными и явными схемами:
– простота организации вычислений (бегущий счет) и отсутствие необходимости
применять итерации позволяют экономить время решения задачи;
– при стремлении коэффициента диффузии к нулю (вырождение типа уравнения) не
возникает некорректностей в решении.
Условия устойчивости метода явного счета являются менее жесткими, чем ограничения, характерные для явных методов. При этом для расчета используются не только начальные, но и краевые условия.
24
Проблемы естественных наук
Как недостаток метода, можно выделить условную аппроксимацию, вносящую в порядок точности схемы компоненту O(τ / h ) и выдвигающую дополнительное условие сходимости схемы: τ / h → 0 при τ → 0, h → 0 . Таким образом необходимо выбирать шаги пространственно-временной сетки исходя из условия τ ≤ h1+ε . Это позволит получить решение с
точностью O h ε и выполнить условие сходимости.
Результаты теоретического исследования [8, 9] и тестирования [7, 11] метода явного
счета подтверждают его эффективность и целесообразность его использования для реализации модели циркуляции атмосферы.
( )
ЛИТЕРАТУРА
1. Прусов В.А., Дорошенко А.Ю. Моделювання природних і техногенних процесів в
атмосфері. Київ: Наукова Думка, 2006. 542 с.
2. Белов П.Н., Борисенков Е.П., Панин Б.Д. Численные методы прогноза погоды. Л.:
Гидрометеоиздат, 1989. 376 с.
3. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.
4. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2-х т. Т.1. Основные
положения и общие методы / пер. с англ. А.И. Державиной, под ред. В.П. Шидловского. М.:
Мир, 1991. 504 с.
5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекциидиффузии. Москва : Эдиториал УРСС, 1999. 248 с.
6. Федоренко Р.П. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений и
их численное интегрирование // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991.
Вып. 8. С. 328-380.
7. Прусов В.А., Дорошенко А.Е., Черныш Р.И., Гук Л.Н. Эффективная разностная
схема численного решения задачи конвективной диффузии // Кибернетика и системный анализ. 2007. №3. C. 64-74.
8. Прусов В.А., Дорошенко А.Е., Черныш Р.И., Гук Л.Н. Теоретическое исследование
одного численного метода решения задачи конвективной диффузии // Кибернетика и системный анализ. 2008. №2. С. 161-170.
9. Гук. Л.М. Стійкість та збіжність економічного методу розв’язання одновимірної задачі конвективної дифузії // Вісник Київського університету, серія: фізико-математичні
науки. 2008. №4. С. 115-118.
10. Москальков М.Н. Исследование дисперсионных свойств разностных схем для
уравнения переноса // Численный анализ. Киев: ИК АН УССР, 1978. С. 75-86.
11. Гук. Л. М. Експериментальне дослідження методу розв’язання одновимірної задачі
конвективної дифузії // Вісник Київського університету, серія: фізико-математичні науки. –
2009. №1. С. 98-101.
Гук Леся Николаевна –
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела физики атмосферы Украинского научно-исследовательского гидрометеорологического института (УкрНиГИИ)
Статья поступила в редакцию 6.02.12, принята к опубликованию 12.03.12
25
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
288 Кб
Теги
счет, явного, метод, атмосфера, реализации, модель, циркуляция
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа