close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Методика структурно-параметрической идентификации системы временных рядов.

код для вставкиСкачать
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №4(4), 2013
УДК 519.246.8
МЕТОДИКА СТРУКТУРНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМЫ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
© 2013 Ю.Е. Кувайскова
Ульяновский государственный технический университет
Поступила в редакцию 26.09.2013
Описывается методика структурнопараметрической идентификации системы взаимосвязанных
временных рядов. Методика основана на подходе адаптивного динамического регрессионного моде
лирования, предусматривающего при построении математических моделей временных рядов после
довательную адаптацию модели к возможным нарушениям основных предположений регрессионно
го анализа. При этом построенная модель системы временных рядов адекватна реальной ситуации и
позволяет прогнозировать с большей точностью будущее состояние процесса.
Ключевые слова: система временных рядов, адаптивное динамическое регрессионное моделирова
ние, прогнозирование.
Одной из важных задач во многих отраслях
промышленности является задача прогнозиро
вания будущего состояния технического объекта.
В большинстве случаев состояние объектов в раз
личных технических приложениях характеризу
ется набором значений параметров, фиксируе
мых через определенные моменты времени и об
разующих систему временных рядов. При этом
часто наблюдается высокая степень корреляци
онной зависимости между временными рядами
значений параметров технического объекта. При
моделировании динамики временных рядов не
редко сталкиваются с такими нарушениями схем
регрессионного анализа, как высокая степень
автокорреляционной зависимости между после
дующими и предшествующими членами времен
ного ряда, ненормальность распределения остат
ков и другие. В связи с этим возникает задача ком
плексной обработки системы взаимосвязанных
временных рядов с обязательной проверкой со
блюдения предположений нормальной схемы
ГауссаМаркова и последующей адаптацией к их
нарушениям.
Для решения данной задачи разработана ме
тодика структурнопараметрической идентифи
кации системы взаимосвязанных временных ря
дов на основе методологии адаптивного динами
ческого регрессионного моделирования [1, 2].
Подход адаптивного динамического регрессион
ного моделирования представляет собой реали
зацию метода многоэтапной структурнопара
метрической идентификации. На каждом этапе
проводятся построение и анализ соответствую
щей компоненты модели временного ряда, оцен
ка точности аппроксимации и прогнозирования,
Кувайскова Юлия Евгеньевна, кандидат технических наук,
доцент кафедры «Прикладная математика и информа#
тика». E#mail: u.kuvaiskova@mail.ru
диагностика свойств остатков и при необходимо
сти – адаптация к нарушениям предположений о
характеристиках этих свойств.
Рассмотрим технический объект, состояние
которого характеризуется параметрами, значе
ния которых регистрируются через определен
ные промежутки времени и образуют систему
временных рядов, которую можно записать в виде
y (t )  { y (t1 ), y (t 2 ), , y (t n )} , где параметр t
указывает на момент времени, в который зафик
сировано значение, или номер наблюдения.
Пусть t  1, 2, , n (т.е. количество наблюде
ний равно n), рассмотрим N временных рядов
y1 (t ), y 2 (t ), , y N (t ) .
В соответствии с подходом адаптивного ди
намического регрессионного моделирования од
номерный временной ряд y i (t) , наблюдаемый в
равноотстоящие моменты времени t1 , t 2 ,  , t n
представляется в виде:
y i (t)  f i (t )  g i (t )   i (t )   i (t ), (1)
при этом функция f i (t) – неслучайная (долго
временная) функция тренда соответствующего
ряда; g i (t) – неслучайная периодическая функ
ция – совместная гармоническая составляющая
ряда;  i (t) – случайная с элементами регуляр
ности функция – векторная авторегрессия;  i (t)
– нерегулярная компонента (случайная величи
на, ошибка).
На первом этапе для системы временных ря
дов выполняется разведочный анализ (фрак
тальный, мультифрактальный) для выявления
степени регулярности каждого ряда системы [3].
При выявлении заметной трендоустойчиво
сти для соответствующих рядов выделяется фун
кция тренда f(t) , которою обычно приближают
полиномом достаточно низкой степени, также
могут быть использованы и различные нелиней
914
Механика и машиностроение
ные по оцениваемым параметрам выражения.
Оптимальная функция трендовой составляющей
ищется по критерию минимума внешнего сред
неквадратического отклонения (СКО)   .
Точность аппроксимации  (внутреннее
СКО) рассчитывается по формуле:

n
(y
i

 y i ) 2 /( n  p ) ,
у которых на данном периоде Tk имеются значи
мые гармоники.
Совместную гармоническую составляющую
можно представить в виде:
n/2
 2t

  k  ,
g i (t )   Ak  sin
k 1
 Tk

(2)
N
i 1
где n – количество наблюдений, p – число слага
емых
 в модели, yi результат iго наблюдения,
yi прогнозируемое значение по построенной
модели.
Для вычисления внешних мер (внешнего
СКО   и др.) [1] исходная выборка данных де
лится на две части обучающую и контрольную.
По обучающей выборке строится модель, по кон
трольной – внешние меры, характеризующие
прогностические свойства модели.
Точность прогнозирования   вычисляется
по формуле:
 
k
 (
i
 ) 2 /( k  1) ,
где t  1, 2, ..., n , A :
k

yi
,

yi
ния, вычисляемые по комплексной модели.
При этом для оценивания применяется ли
нейный или нелинейный метод наименьших квад
ратов. Полученная модель для одного ряда мо
жет быть представлена в виде:
y i (t )  f i (t )   _ trend i (t ) ,
i
(5)
i
где y (t ) – фактические значения iго ряда; f (t )
– функция трендовой составляющей для iго
ряда,  i _ trend (t ) – случайная величина, харак
теризующая отклонения реального значения
ряда от теоретического, найденного по уравне
нию регрессии.
Далее из каждого ряда системы выделяются
остатки  _ trend i (t ) :
 _ trend i (t )  y i (t )  f i (t ) .
(6)
 k   2 k  1k .
(8)

 ,

(9)
n
 2d
v jk    _ trend jd  cos 
d 1
 Tk

 ,

(10)
n
  _ trend
jd
d 1
(4)
– его прогноз – значе
,
 2 d
 sin 
 Tk
w jk 
k
– наблюдаемое значение отклика на конт
рольном интервале,
Tk
 A  w2  v2
jk
jk
jk


v jk ,
)
 jk  arctg (
w jk

k
i
j ,k
находим для каждого из N временных рядов по
формулам:
тов контрольной выборки),
i 1
j 1
A jk ,  jk ( j  1, 2,  , N , k  1, 2,  , n)

где  i  yi  yi , i  1, k (k – количество элемен

A
Коэффициенты
(3)
i 1
(7)
Tk 
n
.
k
Далее находятся остатки для каждого времен
ного ряда:
 _ g i (t )   _ trend i (t )  g i (t ) .
(11)
После выделения регулярных составляющих
целью анализа системы временных рядов явля
ется моделирование остатков  _ g i (t ) случай
ной с элементами регулярности функцией  (t) .
Функция  (t) для системы взаимосвязанных
временных рядов может быть представлена в
виде модели векторной авторегрессии.
Модель векторной авторегрессии – это сис
тема уравнений, каждое из которых представля
ет собой модель авторегрессии и распределенно
го лага. Пусть x i (t ) i  1..N iй временной ряд.
Модель векторной авторегресии порядка p – мо
дель для iго временного ряда будет иметь вид
Дальнейшее сглаживание временных рядов
производится методами гармонического анализа,
основанного на использовании формул Фурье.
Для каждого временного ряда методом поша
говой регрессии находятся значимые гармоники.
Затем последовательно ищутся совместные амп
литуды и фазы только для тех временных рядов,
N
x i (t )  a 0i   a1i j x j (t  1) 
j 1
N
  a 2i j x j ( t  2 )  ... 
j 1
N
  a ipj x j (t  p )   i (t )
j 1
915
(12)
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №4(4), 2013
Матричная запись модели векторной авто
регрессии порядка p для системы временных ря
дов X (t )  x1 (t ), x2 (t ), , x N (t ) запишется в
виде
В итоге получаем для каждого из N времен
ных рядов комплексную модель следующего
вида:
y i ( t )  f i ( t )  g i ( t )  a 0i 
X (t )  a0  A1 X (t  1)  A2 X (t  2)  ... 
p
 Ap X (t  p)   (t )  a0   Am X (t  m)   (t )

(13)

i
mj
A  ( X T X ) 1 X T Y .
(14)
Здесь X – это матрица значений рядов, пред
ставленная в виде:
 1 x 1 ( t  1 ) ... x 1 ( t  p ) ... x N ( t  1 ) ... x N ( t  p ) 


 1 x 1 ( t  1 ) ... x 1 ( t  p ) ... x N ( t  1 ) ... x N ( t  p ) 

 ,(15)
 ...

 1 x 1 ( t  1 ) ... x 1 ( t  p ) ... x N ( t  1 ) ... x N ( t  p ) 


единичный столбец соответствует нулевому ко
эффициенту.
Y – вектор последних значений всех рядов:
(16)
( x 1 (t )...x N (t )) T .
В результате операций над матрицами, по
лучаем матрицу коэффициентов A, имеющую
(1+N·p) строк и N столбцов.
a 0N 


 
.
 a NN  p 
 a10

 
 a1
 Np
...
(17)
Каждый столбец здесь соответствует коэффи
циентам для iого уравнения модели.
Остатки  i _ g (t ) после вычитания из исход
ного ряда регулярной составляющей представ
ляются в виде модели векторной авторегрессии:
 _ g (t )  a 
i

N
a
j 1

N
a
j 1

p
a
k 1
i
0
i
2j
N
a
j 1
i
ki
N
a
y j ( t  1) 
N
a
i
2 j
y j ( t  2 )  ... 
(20)
j 1
i
pj
y j (t  p ) 
j 1
p
a
i
ki
 _ g i (t  k )   i (t )
k 1
Для построенных моделей по формулам (2) и
(3) подсчитывается точность аппроксимации 
и прогнозирования   .
После структурнопараметрической иденти
фикации системы временных рядов проверяется
соблюдение условий применения “регрессионно
го анализаметода наименьших квадратов”. Если
основные предположения соблюдаются, постро
енная комплексная модель системы временных
рядов может быть использована для прогнози
рования.
При несоблюдении предположений прово
дится соответствующая процедура адаптации к
нарушению данного предположения [1].
Ниже представлены результаты анализа, мо
делирования и прогнозирования временных ря
дов вибраций гидроагрегата в режиме работы в
сети. Наблюдения в режиме работы агрегата в
сети длились 1200 секунд, показания снимались 2
раза в секунду, всего получено 2400 наблюдений
по каждому из восьми каналов. После усреднения
каждые 10 секунд получилось 120 наблюдений.
Применяя методику структурнопараметри
ческой идентификации системы временных ря
дов для моделирования измерений вибраций по
восьми каналам, получены следующие модели:
y1(t)=641,946  0,025 t  1,022  sin 26,68  t  65,093 
 0,001 y 2(t-1 )-0,001 y 3(t-1 )  0,002  y 4(t-1 ) 
 0,001 y 5(t-1 )  0,0004 y 6(t-1 )-0,002  y 7(t-1 )  ε 1(t),
i
1j
y (t  1) 
j
y 2(t)=698,017  0,003 t  1,022  sin12,493 t  22,256 
 0 ,0002 y 1(t-1 )-0,006  y 3(t-1 )  0,007  y 4(t-1 ) 
y j ( t  2 )  ... 
(18)
i
pj
i
1j
j 1
m 1
где Am – матрицы элементов a .
Коэффициенты уравнений модели можно
получить методом наименьших квадратов,
пользуясь следующей формулой:
N
a
y j (t  p ) 
 0 ,004  y 5(t-1 )-0,001 y 6(t-1 )  ε 2(t),
y 3(t)=225,93  0,997  sin0,0001 t  11,456 
 0,317  y 1(t-1 )  0,002  y 4(t-1 )  0,0001 y 5(t-1 ) 
 _ g i (t  k )   i (t )
 0,001 y 6(t-1 )  0,011 y 7 (t-1 )  0,005  y 8(t-1 )  ε 3(t),
Оптимальная модель векторной авторегрес
сии (18) ищется по критерию минимума внешне
го СКО   , рассчитанного по формуле (3). Далее
из каждого ряда системы выделяются остатки:

N
N
N
p

j 1
j 1
j 1
k 1

 i (t )   _ g i (t )   a0i  a1i j y j (t  1)  a2i j y j (t  2)  ...  a ipj y j (t  p)  akii  _ g i (t  k )  .

(19)
916
y 4(t)=44,752 0,109 t 1,021 sin236,654 t 170,546 
 0,001 y1(t-1)  0,0002 y 2(t-1)  0,008 y3(t-1) 
 0,001 y5(t-1)  0,002 y6(t-1)-0,014 y 7(t-1) 
 0,007 y8(t-1)  ε 4(t),
Механика и машиностроение
y 1(t)=643,6562+0 ,2151 y 1(t-1 ),
y 5(t)= 29 ,174  0 ,008  t  1,023  sin  1,299  t  0 ,041 
 0 ,001  y 1(t-1 )- 0 ,0001  y 2(t-1 )  0 ,0001  y 3(t-1 ) 
y 2 (t)=697 ,9956-0 ,3888  ε 2 (t-1 )-0 ,1814  ε 2 (t- 2 ),
 0 ,0003  y 6(t-1 )  0 ,0002  y 8(t-1 )  ε 5(t),
y 3(t)= 21,16052+0 ,51052  y 3(t-1 ),
y 6 (t)= 3 ,943  t  1,014  sin  0 ,191  t  2 ,518  
y 4 (t)=39 ,69158-0 ,10275  ε 4 (t-1 )+0 ,20859  ε 4 (t- 2 ),
 0 ,109  y 1(t-1 )- 0 ,001  y 2 (t-1 )  0 ,199  y 3 (t-1 ) 
y 5 (t)= 28,76911-0 ,20671  ε 5 (t-1 )+0 ,12513  ε 5 (t- 2 ),
 0 ,024  y 4 (t-1 )- 0 ,002  y 5 (t-1 )- 0 ,129  y 7 (t-1 )  ε 6 (t),
y 6 (t)=- 42 ,3635+0 ,8185  y 6 (t-1 )+0 ,1815  y 6 (t- 2 ) 
y 7 (t)= 26 ,049  1,001  sin 0 ,040  t  0 ,011 
 0 ,0973  ε 6 (t-1 )+0 ,5629  ε 6 (t- 2 ),
 0 ,001  y 1(t-1 )  0 ,001  y 3(t-1 )  0 ,0002  y 4(t-1 ) 
y 7 (t)= 25,28663+0 ,96942  y 7 (t-1 )+
 0 ,001  y 5(t-1 )- 0 ,001  y 6(t-1 )  0 ,004  y 8(t-1 )  ε 7 (t),
 0 ,61375  ε 7 (t-1 )+0 ,22012  ε 7 (t- 2 ),
y 8(t)=32,155  1,022  sin  3197,496  t  734,684 
y 8 (t)=31,82976-0 ,06093  ε 8 (t-1 ).
 0 ,0004  y 1(t-1 )  0 ,016  y 3(t-1 )  0 ,008  y 4(t-1 ) 
 0,0003  y 5(t-1 )  0,0004  y 6(t-1 )-0 ,004  y 7(t-1 )  ε 8(t).
На рис. 1 а показаны графики исходных дан
ных (сплошная линия) и аппроксимации по со
ответствующей модели (штриховая линия), а
также графики (Рис. 1 б) предсказанных (штри
ховая линия) и исходных (сплошная линия) зна
чений временных рядов для данных вибраций по
первому каналу.
Для сравнительного анализа эффективнос
ти разработанной методики моделирования сис
темы временных рядов использовалась методи
ка построения моделей авторегрессии проинтег
рированного скользящего среднего (АРПСС),
реализованная в пакете Statistica [4].
Построен ные модели АРП СС в пакете
Statistica, представлены ниже.
Результаты сравнения по точности прогно
зирования (внешнее СКО) двух методик для сис
темы временных рядов, полученных по восьми
каналам измерения вибраций в режиме работы в
сети гидроагрегата, приведены в табл. 1.
Таким образом, совместное описание ха
рактеристик технического объекта с примене
нием методики многоэтапной структурнопа
раметрической идентификации с адаптацией
к нарушениям основных предположений рег
рессионного анализа повышает точность про
гнозирования по сравнению с точностью при
использовании одномерных методов (методи
ка АРПСС), что позволяет принимать с опре
деленным запасом времени управленческие
решения, направленные на предупреждение
опасной ситуации.
а
б
Рис. 1. Моделирование (а) и прогнозирование временного ряда (б)
Таблица 1. Оценка точности прогнозирования для системы временных рядов при использовании двух методик
Номер канала
Среднеквадратическое отклонение прогнозирования (   )
Мет одика
1
2
3
4
5
6
7
8
Методика АРПСС
(Statistica)
4,99
3,3 2
2,68
15,91
8,21
878,55
6,01
2,72
Методика структурнопа рам етри чес кой
идентификации систем ы
врем енных рядов
3,56
2,5 7
2,25
14,17
6,12
66 7,124
3,60
2,20
917
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №4(4), 2013
Исследование выполнено при поддержке Ми#
нистерства образования и науки Российской Фе#
дерации, соглашение 14.B37.21.0672 (федеральная
целевая программа “Научные и научно#педагоги#
ческие кадры инновационной России”).
2.
3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4.
1.
Валеев С. Г. Регрессионное моделирование при обра
ботке наблюдений. М.: Наука, 1991. 272 с.
Валеев С. Г., Кувайскова Ю. Е. Программное обеспе
чение обработки временных рядов техногенных ха
рактеристик // Обозрение прикладной и промыш
ленной математики. 2009. Т. 16. Вып. 6. С. 10371038.
Валеев С. Г., Кувайскова Ю. Е., Губайдуллина С. А. При
менение мультифрактального анализа при описании
временных рядов в технике и экономике // Вестник
Ульяновского государственного технического уни
верситета. 2008. №. 2. C. 2327.
Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в си
стеме STATISTICA в среде Windows. М.: Финансы
и статистика, 1999. 384 с.
METHOD OF STRUCTURAL PARAMETRIC
IDENTIFICATION OF TIME SERIES SYSTEM
© 2013 Ju.E. Kuvayskova
Ulyanovsk State Technical University
Method of structural parametric identification of relative time series system is described. The method
based on procedure of adaptive dynamic regression modeling, providing at construction of mathematical
models of time series consecutive adaptation of model to possible infringements of the basic assumptions of
regression analysis. Thus constructed model of time series system is adequate to a real situation and allows
predicting a process condition with greater exactness
Keywords: time series system, adaptive dynamic regression modeling, predicting.
Julia Kuvayskova, Associate Professor at the Applied
Mathematics and Computer Science Department.
E#mail: u.kuvaiskova@mail.ru
918
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
262 Кб
Теги
методика, структура, временные, система, рядом, идентификация, параметрические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа