close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Моделирование быстропротекающих процессов фильтрации несжимаемой жидкости через усреднение периодических структур односкоростной континуум.

код для вставкиСкачать
75
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
УДК 517.958:531.72, 517.958:539.3(4)
МОДЕЛИРОВАНИЕ БЫСТРОПРОТЕКАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ
ФИЛЬТРАЦИИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ УСРЕДНЕНИЕ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР: ОДНОСКОРОСТНОЙ КОНТИНУУМ3)
И.В. Некрасова
Белгородский государственный университет,
ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: Nekrasova_i@bsu.edu.ru
Аннотация. В работе рассматривается линейная система дифференциальных уравнений,
описывающая совместное движение упругого пористого тела и вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей поры. В предположении периодичности структуры порового пространства
и малости характерного времени процесса предлагается строгий вывод усредненных уравнений, которыми являются анизотропные уравнения Стокса для односкоростного континуума.
Доказательство основано на методе Нгуетсенга двухмасштабной сходимости усреднения периодических структур.
Ключевые слова: уравнения Стокса, гидравлический разрыв, двухмасштабная сходимость, усреднение периодических структур.
1. Введение
В настоящей статье рассматривается задача о совместном движении деформируемого упругого тела, перфорированного системой каналов (пор), заполненных жидкостью.
Такие среды называются упругими пористыми средами и являются достаточно хорошим приближением реальных консолидированных грунтов. Твёрдая компонента такой
среды называется скелетом грунта, а область занятая жидкостью – поровым пространством. В безразмерных (не отмеченных штрихами) переменных
′
x = Lx,
′
t = τ t,
L2
w = 2 w,
gτ
′
ρ′s = ρ0 ρs ,
ρ′f = ρ0 ρf ,
F ′ = gF ,
дифференциальные уравнения модели для безразмерного вектора перемещений w в
области Ω ∈ R3 имеют вид:
∂2w
ρ̄ 2 = divP + ρ̄F ,
(1)
∂t
∂w P = χ̄αµ D x,
+ (1 − χ̄)αλ D(x, w) − p I ,
(2)
∂t
div w = 0 ,
(3)
3
Работа поддержана РФФИ (грант 03-01-11111).
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
76
(4)
p = χ̄pf + (1 − χ̄)ps .
Здесь и далее мы будем обозначать
D(x, u) = (1/2) ∇u + (∇u)T ,
ρ̄ = χ̄ρf + (1 − χ̄)ρs ,
I – единичный тензор, pf – давление жидкости, ps – давление в твердом скелете, L –
характерный макроскопический размер (размер рассматриваемой области), τ – характерное время процесса, ρf и ρs – средние безразмерные плотности жидкой и твердой
фаз (отнесенные плотности воды ρ0 ) соответственно, g – величина ускорения силы тяжести. Характеристическая функция порового пространства χ̄(x) и вектор удельных
массовых сил F (x, t) считаются известными.
Заметим, что предположение о несжимаемости жидкости автоматически влечет несжимаемость твёрдого скелета, поскольку скорость звука в твёрдой среде в несколько
раз больше скорости звука в жидкости. А как известно, мерой несжимаемости (сжимаемости) является скорость звука – менее сжимаемая среда обладает большей скоростью
звука. В силу этого уравнения неразрывности для жидкой и твердой компонент среды
можно записать в виде одного уравнения (1.3), справедливого всюду в области Ω.
Дифференциальные уравнения (1)–(4) означают, что скорость v = ∂w/∂t удовлетворяет уравнениям Стокса в поровом пространстве Ωf , а вектор перемещений w удовлетворяет уравнениям Ламэ в твёрдом скелете Ωs .
На границе Γ "твёрдый скелет – поровое пространство" вектор перемещений w и
давление жидкости pf удовлетворяют условиям непрерывности перемещений
[w](x0 , t) = 0 ,
(5)
x0 ∈ Γ, t ≥ 0
и нормальных напряжений
[P · n](x0 , t) = 0,
x0 ∈ Γ, t ≥ 0,
(6)
где n(x0 ) – вектор единичной нормали к границе в точке x0 ∈ Γ и
[ϕ](x0 , t) = ϕ(s) (x0 , t) − ϕ(f ) (x0 , t),
ϕ(s) (x0 , t) =
lim ϕ(x, t),
x → x0
x ∈ Ωs
ϕ(f ) (x0 , t) =
lim ϕ(x, t).
x → x0
x ∈ Ωf
Для простоты изложения считаем, что область Ω есть единичный куб (0, 1) × (0, 1) ×
(0, 1) ⊂ R3 .
Задача замыкается однородными начальными и граничными условиями
w(x, 0) = 0,
∂w
(x, 0) = 0,
∂t
w(x, t) = 0,
x ∈ Ω,
x ∈ S1 ,
(P · n)(x, t) = 0,
x ∈ S2 ,
(7)
(8)
(9)
77
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
где
S2 = {0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, x3 = 1},
[
S¯1 S¯2 = S = ∂Ω.
Безразмерные постоянные αµ и αλ определяются формулами
αµ =
2µτ
,
L2 ρ0
αλ =
2λτ 2
,
L2 ρ0
где µ – вязкость жидкости, λ – упругая постоянная Ламэ.
Математическая модель (1)–(9) общепринята и содержит естественный малый параметр ε, которым является отношение среднего размера пор l к характерному размеру
L рассматриваемой области:
l
ε= .
L
Пусть выполнено следующее
Предположение 1.1. Область Ω = (0, 1)3 есть периодическое повторение элементарной ячейки Y ε = εY , где Y = (0, 1)3 и величина 1/ε есть целое число так, что Ω
всегда содержит целое число элементарных ячеек Y ε . Пусть Ys есть "твёрдая" T
часть
Y , и ее "жидкая" часть Yf есть открытое дополнение Ys в Y и граница γ = ∂Yf ∂Ys
между "жидкой" и "твёрдой" компонентами есть липшицева поверхность.
Поровое пространство Ωεf есть периодическое повторение элементарной ячейки εYf ,
твёрдый скелет
Ωεs есть периодическое повторение элементарной ячейки εYs а граница
T
Γε = ∂Ωεs ∂Ωεf есть периодическое повторение в Ω границы εγ. Твёрдый скелет Ωεs и
"поровое пространство" Ωεf являются связными множествами.
χ̄(x) = χε (x) = χ (x/ε) ,
ρ̄ = ρε (x) = χε (x)ρf + (1 − χε (x))ρs ,
где χ(y) – характеристическая функция Yf в Y .
Нашей целью является нахождение предельного режима (усредненных уравнений)
точной модели (1.1)-(1.9) при ε ց 0 в случае, когда
0 < µ0 < ∞,
λ0 = 0,
λ1 = ∞ ,
где
αλ
.
εց0
εց0
εց0 ε2
Отметим, что данный случай возникает при описании быстро протекающих физических процессов таких, например, как гидро-разрыв нефтяного пласта, когда длительность процесса исчисляется долями секунд. Случай условий Дирихле был рассмотрен
в [1]. Там же можно найти соответствующую библиографию.
µ0 = lim αµ (ε),
λ0 = lim αλ (ε),
λ1 = lim
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
78
2. Формулировка основных результатов
Существуют различные эквивалентные в смысле теории распределений формы записи уравнений (1) в каждой из областей Ωεf и Ωεs и краевых условий (5)–(6) на границе
Γε между поровым пространством Ωεf и твёрдым скелетом Ωεs . Для нас будет удобной
запись в виде интегральных тождеств.
Назовём функции w ε , pε обобщённым решением задачи (1)–(9), если они удовлетворяют условиям регулярности
wε , D(x, wε ), pε ∈ L2 (ΩT )
(10)
в области ΩT = Ω × (0, T ), граничному условию (8), уравнению неразрывности
div wε = 0
(11)
почти всюду в области ΩT , интегральному тождеству
Z ∂2ϕ
∂ϕ
) − ρε F · ϕ +
ρε w ε · 2 − χε αµ D(x, wε ) : D(x,
∂t
∂t
ΩT
(12)
ε
ε
ε
+ (1 − χ )αλ D(x, w ) − p I : D(x, ϕ) dxdt = 0 ,
для всех гладких вектор-функций ϕ = ϕ(x, t) таких, что
ϕ(x, t) = 0, x ∈ S1 , t > 0;
ϕ(x, T ) =
∂ϕ
(x, T ) = 0, x ∈ Ω .
∂t
Очевидно, что давление pε определяется с точностью до аддитивной постоянной.
Фиксируем эту постоянную условием
Z
pε dx = 0 .
(13)
Ω
В (12) через A : B обозначена
P3 свертка двух тензоров второго ранга по обоим индек∗
сам, т.е. A : B = tr (B ◦ A) = i,j=1 Aij Bji.
Теорема 1. Пусть функции F , ∂F /∂t ограничены в L2 (ΩT ):
2 !
Z
∂F
|F |2 + dxdt ≤ F 2 .
∂t
ΩT
Тогда при всех ε > 0 на произвольном интервале времени [0, T ] существует единственное
обобщенное решение задачи (1)–(9) и справедливы оценки
√ ∂w ε
∂w ε
√ ε
ε
αµ χ D x,
(t) + αλ (1 − χ )D x,
(t) ≤ C0 F 2 ,
(14)
∂t
∂t
2,Ω
2,Ω
79
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
√
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
2 ε
ε
∂
w
αµ χ D x, ∂t2 (t) 2,ΩT
2 ε ∂ w
+ + kpε (t)k2,Ω ≤ C0 F 2 ,
∂t2 (t)
2,Ω
(15)
где C0 не зависит от малого параметра ε и t ∈ [0, T ].
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы теоремы 1. Тогда:
1) для функций ∂w ε /∂t существует продолжение v ε из Ωεf × (0, T ) в ΩT и
ε
kv (t)k 2,Ω
ε ∂w ε ≤ C0 χ
(t)
∂t
Z
ε
Ω
Z
ΩT
|D(x, v )|
2
ε 2
∂v
D x,
∂t ,
2,Ω
ε ∂v
ε ∂ 2 wε ≤ C0 χ
(t)
,
∂t (t)
2
∂t
2,Ω
2,Ω
ε 2
∂w
dx ,
dx ≤ C0 χ D x,
∂t Ω
2
Z
∂ 2 wε ε dxdt ≤ C0
χ D x,
dxdt ,
∂t2 ΩT
Z
ε
где C0 не зависит от малого параметра ε и t ∈ [0, T ];
2)существует подпоследовательность из {ε > 0} и 1 – периодические по переменной y
функции U (x, y, t) и P (x, y, t), такие что последовательности {v ε } и {∂v ε /∂t} сходятся
сильно в L2 (ΩT ) и слабо в L2 ((0, T ); W21(Ω)) к функциям v и ∂v/∂t соответственно,
а последовательности {D(x, v ε )} и {D(x, ∂v ε /∂t)} сходятся двухмасштабно в L2 (ΩT ) к
функциям D(x, v) + D(y, U ) и D(x, ∂v/∂t) + D(y, ∂U /∂t) соответственно;
3)последовательности {∂w ε /∂t} и {∂ 2 wε /∂t2 } сходятся двухмасштабно в L2 (ΩT ) к
функциям v(x, t) и ∂v/∂t(x, t) соответственно;
4) последовательности {pε } {χε pε } и {(1−χε )pε } сходятся слабо в L2 (ΩT ) к функциям
p = pf + ps , pf и ps соответственно
и двухмасштабно в L2 (ΩT ) к функциям P , χ(y)P и
(1/(1 − m) 1 − χ(y) ps (x, t) соответственно;
5) функция v обращается в ноль на части S1 границы S, то есть
Z
T
0
Z
S1
|v(x + δn, t)| dσdt → 0 при δ → 0,
где n – вектор единичной нормали к границе S1 в точке x.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда слабые и сильные пределы
pf , ps и v удовлетворяют в ΩT начально-краевой задаче
∂v
= div P̃ + ρ̂ F ,
∂t
(16)
P̃ = µ0 Af0 : D(x, v) − p I ,
(17)
div v = 0 ,
(18)
ρ̂
где ρ̂ = mρf + (1 − m)ρs , m =
R
Y
χdy – пористость среды.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
80
Симметричный строго положительно определенный постоянный тензор четвертого
ранга Af0 дается ниже формулой (45).
Дифференциальные уравнения (16) замыкаются однородными краевыми и начальными условиями
v(x, 0) = 0, x ∈ Ω;
v(x, t) = 0,
(P̃ · n)(x, t) = 0,
x ∈ S1 ,
x ∈ S2 ,
t > 0.
(19)
3. Доказательство теоремы 1
Оценки (14) и (15) для перемещений следуют из энергетического тождества в форме
2 ε 2
!
Z
Z
ε
ε
d
∂
w
∂w
∂w
ρε
dx + αλ (1 − χε )D x,
: D x,
dx
2
dt
∂t
∂t
∂t
Ω
Ω
+ αµ
Z
∂ 2 wε
∂ 2 wε
∂F ∂ 2 wε
χ D x,
:
D
x,
dx
=
·
dx .
∂t2
∂t2
∂t2
Ω
Ω ∂t
Z
ε
(20)
Последнее получается после дифференцирования уравнения для w ε по времени,
умножения на ∂ 2 w ε /∂t2 и интегрирования по частям. Заметим, что все слагаемые не
границе Γε «твёрдый скелет – поровое пространство» исчезают, благодаря граничным
условиям (5)–(6). Используя неравенства Гёльдера и Гронуолла в (20), получаем требуемые оценки (14) и (15) для перемещений. Эти же оценки гарантирует существование и
единственность обобщенного решения задачи (1)–(9). Для этого достаточно воспользоваться методом Галеркина, рассмотрев в качестве базового пространство соленоидальных функций из W21 (Ω), удовлетворяющих условию (8), а в качестве базиса – любой
базис, ортонормированный в скалярном произведении пространства L2 (Ω).
Для оценки давлений мы используем интегральное тождество (12) в форме
Z
pε div ψdx =
Ω
Z 2 ε
∂ w
∂w ε
ε
ε
ε
ε
ρ
− F · ψ + χ αµ D x,
+ (1 − χ )αλ D (x, w ) : D(x, ψ) dx ,
∂t2
∂t
Ω
◦
Рассматривая давление pε как линейный функционал на пространстве W21 (Ω), мы получаем
Z
ε
p div ψdx ≤ C0 max kψ(t)kW 1 (Ω) ,
2
0≤t≤T
Ω
где C0 не зависит от малого параметра ε.
Выбирая функцию ψ такой, что divψ = pε , мы получаем
max kdiv ψ(t)k2Ω = max kpε (t)k2Ω ≤ C0 max kψ(t)kW21 (Ω) .
0≤t≤T
0≤t≤T
0≤t≤T
(21)
81
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
Такой выбор ψ всегда возможен (см. [2]), если положить
ψ = ∇ϕ + ψ0 ,
где
△ϕ = pε ,
divψ 0 = 0 ,
x ∈ Ω,
x ∈ Ω,
ϕ = 0,
x∈S,
ψ0 = −∇ϕ ,
x ∈ S.
(22)
(23)
Продолжая решение ϕ задачи (22) как нечетную функцию на границе S мы получаем
◦
ϕ ∈W22 (Ω) и
max k∇ϕ(t)kW21 (Ω) ≤ C max kpε (t)kΩ .
0≤t≤T
0≤t≤T
Далее, рассматриваем решение ψ 0 задачи (23) как решение системы Стокса:
△ψ 0 + ∇q = 0, div ψ0 = 0, x ∈ Ω
с неоднородным граничным условием
ψ0 = −∇ϕ, x ∈ S.
Задача имеет единственное решение, такое что
max kψ 0 (t)kW21(Ω) ≤ C max k∇ϕ(t)kW21(Ω) ,
0≤t≤T
0≤t≤T
тогда и только тогда, когда
Z
Z
Z
div(∇ϕ)dx ≡
∆ϕdx =
pε dx = 0.
Ω
Ω
Ω
Справедливость последнего следует из условия (13). Используя все оценки, мы получим желаемые ограничения для давления pε . В итоге, благодаря тому, что произведение двух функций pε и (1 − χε )pε равно нулю, приходим к ограниченности каждого
из давлений.
4. Доказательство теоремы 2
Первое утверждение теоремы есть результат работы [3].
Оценки (14) и (15) Теоремы 1 и теорема Нгуетсенга [4] доказывают второе утверждение теоремы.
Третье утверждение теоремы вытекает из следующей леммы.
Лемма 4.1. Слабые и двухмасштабные пределы последовательностей {v ε } и
{∂w ε /∂t} совпадают.
Пусть Ψ(x, t, y) – произвольная гладкая функция периодическая по y. Последовательность {σijε }, где
Z
√
∂ 2 wiε
ε
σij =
αλ
(x, t) Ψ(x, t, x/ε)dx, wε = (w1ε , w2ε , w3ε )
∂xj ∂t
Ω
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
82
равномерно ограничена по ε. Следовательно,
Z
ε
∂ 2 wiε
ε
(x, t) Ψ(x, t, x/ε)dx = √ σijε → 0
αλ
Ω ∂xj ∂t
при ε ց 0, что эквивалентно следующему:
Z Z
∂Wi
∂Ψ
(x, t, y)
(x, t, y)dxdy = 0 ,
∂yj
Ω Y ∂t
W = (W1 , W2 , W3 ),
или
∂w
∂W
(x, t, y) =
(x, t) .
∂t
∂t
Переходя к двухмасштабному пределу при ε ց 0 в равенстве
∂w ε
ε
ε
χ v −
=0
∂t
мы приходим к утверждению леммы. Пятое утверждение теоремы есть следствие леммы:
Лемма 4.2. Пусть функции
v ε ∈ L2 (0, T ; W21(Ω))
и v ε = 0 в части σ ε = S0 ∩ Sfε ⊂ Sfε = ∂Ωεf ∩ ∂Ω границы S = ∂Ω, последовательность
{vε } сходится слабо в L2 (0, T ; W21(Ω)) к функции v.
Тогда v = 0 в части S0 границы S, то есть
Z TZ
|v(x + δn, t)| dσdt → 0 при δ → 0 ,
0
S0
где n – вектор единичной нормали к границе S в точке x.
В качестве упрощающего допущения примем S0 = S ∩ {x3 = 0}. Пусть ϕ(x′ , t) =
ϕ(x1 , x2 , t) – гладкая финитная в S0 вектор-функция. Утверждение леммы эквивалентно тождеству
Z TZ
dψ
dv
ϕ v
+ψ
dxdt = 0
(24)
dx3
dx3
0
Ω
для некоторой гладкой функции ψ = ψ(x3 ), такой что
ψ ≡ 1 при x3 = 0 и ψ ≡ 0 при x3 = 1.
Это следует из очевидного тождества
Z TZ
Z TZ
dvε
ε dψ
ϕ v
+ψ
dxdt = −
ϕv ε dσdt ≡ J ε ,
dx
dx
3
3
0
Ω
0
S0
83
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
если мы покажем, что
J ε → 0 при ε → 0.
Для этого рассмотрим все подобласти Ωε(k) = εY + x(k) , прилегающие к границе S0 .
Пусть
ṽ(y, t) = v ε (x, t), где x = εy + x(k) .
По условию леммы существует прямоугольник
σ0 = {y ′ : α1 < y1 < β1 , α2 < y2 < β2 },
такой что ṽ = 0 на σ0 . Пусть
Q = {y : α1 < y1 < β1 , α2 < y2 < β2 , 0 < y3 < 1}.
Тогда действует неравенство Пуанкаре-Фридрихса
Z
Z
2
|ṽ| dy ≤
|∇y ṽ|2 dy.
Q
(25)
Q
Далее мы рассматриваем параллелепипед
G = {y : α1 < y1 < β1 , 0 < y2 < 1, 0 < y3 < 1} .
Интегрируя равенство
2
2
|ṽ| (y) = |ṽ| (y1 , ξ, y3) + 2
Z
ξ
ṽ(y1 , s, y3)
y2
∂ ṽ
(y1 , s, y3) ds
∂y2
по переменной ξ в интервале (α2 , β2 ), затем по переменной y1 в интервале (α1 , β1 ), затем
по переменным y2 и y3 в интервале (0, 1) и оценивая правую часть с использованием
неравенства Гёльдера и (25) получим
Z
Z
2
|ṽ| dy ≤ C
|∇y ṽ|2 dy.
G
G
Повторяя последнюю процедуру еще раз для переменной y1 , получим
Z
Z
2
|ṽ| dy ≤ C
|∇y ṽ|2 dy .
Y
Возвращаясь к исходным переменным, имеем
Z
Z
2
2
|v| dx ≤ Cε
Ωε(k)
Ωε(k)
|∇x v|2 dx .
Пусть Qε – объединение всех Ωε(k) , прилегающих к границе S0 . Тогда
Z
Z
2
2
|v| dx ≤ Cε
|∇x v|2 dx .
Qε
(26)
Y
Qε
(27)
(28)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
84
Как и в предыдущем случае, рассматривая представление
Z x3
∂v ′
ε 2
′
ε 2
′
|v | (x , 0) = |v | (x , x3 ) + 2
v(x′ , s)
(x , s) ds ,
∂x3
0
покажем, что
ε
Z
ε 2
′
|v | dx ≤
S0
Z
ε 2
|v | dx + 2ε
Qε
Z
12 Z
|v | dx
ε 2
Qε
21
|∇x v | dx
ε 2
Qε
или, учитывая (28),
Z
ε 2
S0
Следовательно
ε
|J | ≤
T
Z
0
Z
|v | dx ≤ Cε
21 Z
|v | dxdt
T
ε 2
S0
0
Z
Z
Qε
|∇x v ε |2 dx .
12
Z
|ϕ| dxdt
≤C ε
T
2
S0
0
Z
21
|∇x v | dxdt
ε 2
Qε
и
J ε → 0 при ε → 0 .
Далее покажем, что тождество (24) заключает в себе утверждение леммы. Полагаем
Z TZ
u(x3 ) =
ϕ(x′ , t)v(x, t) dx′ dt .
0
Тогда имеем
1
Z
0
S0
dψ
du
u(s) (s) + ψ (s) ds = 0 .
ds
ds
(29)
Заметим, что функция u непрерывна. Следовательно, выбирая в качестве ψ кусочнолинейную функцию, такую что ψ(s) = 1 при 0 < s < x3 , и ψ(s) = 0 при s > x3 + δ,
переходя к пределу при δ → 0, получаем следующее равенство
Z x3
du
u(x3 ) =
(s) ds ,
ds
0
или
Z
0
T
Z
′
′
ϕ(x , t)v(x, t) dx dt =
S0
Z
0
T
Z
x3
0
Z
S0
ϕ(x′ )
∂v ′
(x , s, t) dxdt .
∂s
(30)
Далее, для фиксированного x3 принимаем ϕ = sgn v(x, t). Тогда
Z TZ
|v(x′ , x3 , t)| dx′ dt ≤ Cx3 . 0
S0
Наконец, четвертое утверждение теоремы доказывается, наряду с другими утверждениями в нижеследующей лемме.
85
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
Лемма 4.3 Для почти всех (x, t) ∈ ΩT и y ∈ Y слабые и двухмасштабные пределы
последовательностей {χε pε }, {(1 − χε )pε }, {w ε } и {v ε } удовлетворяют соотношениям
P s = ps
(1 − χ)
,
(1 − m)
Pf = χPf ,
(31)
div v = 0 ,
(32)
χ divy V = 0 .
(33)
Для доказательства (31), в интегральное тождество (12) подставим пробную функцию вида ψ ε = εψ (x, t, x/ε), где ψ(x, t, y) – произвольная 1-периодическая, финитная
в области Ys функция от y. Переходя к пределу при ε ց 0, мы получим
∇y Ps (x, t, y) = 0 ,
y ∈ Ys .
(34)
Далее, осуществляя двухмасштабный предельный переход в равенстве
χε ((1 − χε )pε ) = 0 ,
получим
χPs = 0,
что вместе с (34) доказывает (31).
Для доказательства (32) достаточно рассмотреть уравнение неразрывности в виде
Z
T
0
Z
Ω
∂w ε
· ∇ϕ(x, t)dxdt = 0 ,
∂t
справедливое для всякой гладкой финитной в ΩT функции ϕ, и перейти к пределу при
ε ց 0. Для доказательства (33), достаточно рассмотреть двухмасштабный предел в
уравнении (11) при ε ց 0 с пробными функциями вида εψ (x/ε) h(x, t), где ψ и h –
произвольные гладкие функции и учесть (32). 5. Доказательство теоремы 3
Доказательство теоремы разобьем на ряд независимых утверждений.
Лемма 4.4. Для всех (x, t) ∈ ΩT выполняется соотношение
(1 − χ)
divy µ0 χ(D(y, V ) + D(x, v)) − Pf +
ps , I = 0 .
(1 − m)
(35)
Подставляя пробную функцию вида ψ ε = εψ (x, t, x/ε), где ψ(x, t, y) – произвольная 1-периодическая в y функция, исчезающая на границе S1 , в интегральное тождество
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
86
(12), и переходя к пределу при ε ց 0, получим уравнение (35), которое можно также
переписать в виде
1
divy χ µ0 (D(y, V ) + D(x, v)) − Pf −
ps I
= 0. (36)
(1 − m)
Лемма 4.5. Пусть ρ̂ = mρf + (1 − m)ρs . Тогда функции v и p удовлетворяют в ΩT
системе макроскопических уравнений
∂v
− ρ̂F = div {µ0 (mD(x, v) + h D(y, V ) iYf ) − p · I} ,
∂t
и однородному начальному условию
ρ̂
v(x, 0) = 0,
(37)
(38)
x ∈ Ω.
Уравнения (37) и начальное условие (38) есть результат предельного перехода в
тождестве (12) с пробными функциями, не зависящими от ε в ΩT . Лемма 4.6. Слабые пределы v, pf и ps удовлетворяют в ΩT начально-краевой задаче
∂v
= div P̃ + ρ̂F ,
∂t
(39)
P̃ = µ0 Af0 : D(x, v) − p I ,
(40)
div v = 0 ,
(41)
ρ̂
где симметричный строго положительно определенный тензор четвертого ранга Af0
определён ниже формулой (45).
Дифференциальные уравнения (39) дополняются однородными начальными и краевыми условиями
v(x, 0) = 0 , x ∈ Ω;
v(x, t) = 0,
x ∈ S1 ,
(P̃ · n)(x, t) = 0 ,
x ∈ S2 ,
t > 0.
(42)
Усредненные уравнения (39) следуют из макроскопических уравнений (36), после
подстановки в них выражения
µ0 hD(y, V )iYf = µ0 Af1 : D(x, v).
В свою очередь, последняя формула есть результат решения уравнений (33) и (36) на
элементарной ячейке Yf .
Действительно, полагая
3
X
V =
V (ij) (y)Dij ,
i,j=1
87
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Pf −
где
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
3
X
1
ps I = µ 0
P ij (y)Dij ,
(1 − m)
i,j=1
1
Dij (x, t) =
2
∂vi
∂vj
(x, t) +
(x, t)
∂xj
∂xi
,
получим следующую периодическую краевую задачу в Y :
divy χ D(y, V (ij) ) − P (ij) I + Jij
= 0,
χ divy V (ij) = 0 .
(43)
(44)
Как следует из предположения о геометрии "жидкой" части ячейки Yf , задача (43)–
(44) имеет единственное решение, с точностью до постоянного вектора. С целью исключения произвола потребуем, чтобы
hV (ij) iYf = 0 .
Таким образом
Af0 = m J + Af1 ,
Af1 =
3
X
h D(y, V (ij) ) iYf ⊗ Jij ,
(45)
i,j=1
Симметричность тензора Af0 следует из симметричности тензора Af1 . Симметричность последнего следует из равенства
h D(y, V (ij) ) iYf : Jkl = −h D(y, V (ij) ) : D(y, V (kl) ) iYf
(46)
которое, в свою очередь, является результатом умножения уравнения (43) для функции
V (ij) на V (kl) и интегрирования по частям.
Это же равенство доставляет нам положительную определенность тензора Af0 . Действительно, пусть Z = (Zij ) есть произвольная симметричная матрица. Полагая
Z=
3
X
V (ij) Zij
i,j=1
и учитывая (46) получаем
h D(y, Z) iYf : Z = −h D(y, Z) : D(y, Z) iYf .
Последнее равенство и определение тензора Af0 дают
(Af0 : Z) : Z = h(D(y, Z) + Z) : (D(y, Z) + Z)iYf .
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2010. №23(94). Вып. 21
88
Строгая положительная определенность тензора Af0 следует теперь из вышеприведенного равенства и геометрии элементарной ячейки Yf . А именно, положим (As0 : Z) : Z = 0
для некоторой матрицы Z, такой что Z : Z = 1. Тогда (D(y, Z) + Z) = 0, что возможно
если, и только если Z – линейная функция переменной y. С другой стороны, все линейные периодические функции в Yf исчерпываются постоянными. Наконец, нормировка
hV (ij) iYf = 0 влечет равенство Z = 0. Последнее невозможно, поскольку функции V (ij)
линейно независимы. Литература
1. Meirmanov А. Homogenized models for a short-time filtration in elastic porous media //
EJDE. – 2007. – 18. – P.481-496.
2. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости /
О.А. Ладыженская. – М.: Наука,1970.
3. Conca C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in
fluid mechanics // J. math. pures et appl. – 1985. – 64. – P.31-75.
4. Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization // SIAM J. Math. Anal. – 1989. – 20. – P.608-623.
MATHEMATICAL MODELING
OF SHORT-TIME FILTRATION OF IMCOMPRESSIBLE FLUID.
THE AVERAGE OF PERIODIC STRUCTURES
AND THE ONE-VELOCITY CONTINUUM
I.V. Nekrasova
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: Nekrasova_i@bsu.edu.ru
Abstract. The linear system of differential equations describing the joint motion of elastic
porous body and the viscous imcompressible fluid that occupies its porous space. We suppose that
the porous space is periodical and the characteristic time of process is small enough. It is proposed
the deduction of averaged equations which are non-isotropic Stokes equations in the one-velocity
continuum. Our proof is based on Nguetseng’s two-scale convergence method at the average in
periodic structures.
Key words: Stokes equations, hydraulic discontinuity, two-scale convergence, homogenization
of periodic structures.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа