close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Моделирование течения жидкости в водопроводных галереях шлюзовых камер.

код для вставкиСкачать
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
ВОДНЫЕ ПУТИ, ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ
СООРУЖЕНИЯ И ПОРТЫ
УДК 519.6
А. В. Васин,
канд. физ.-мат. наук,
СПГУВК
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
В ВОДОПРОВОДНЫХ ГАЛЕРЕЯХ ШЛЮЗОВЫХ КАМЕР
FLUID FLOW MODELLING IN THE LOOP CULVERTS OF THE LOCK CHAMBERS
В работе производится сравнение моделей движения идеальной жидкости и течений с постоянной
завихренностью в приложениях к водопроводным галереям шлюзовых камер. Даются объяснения, почему
модели с постоянной завихренностью больше соответствуют опытным данным.
We compare the models of ideal fluid flows with the fluid flows endowed by the constant vorticity applied to
the loop culverts of the lock chambers. We explain why the models with the constant vorticity are more consistent
with the experimental data.
Ключевые слова: идеальный поток жидкости, течения с постоянной завихренностью, гармонические функции, задача Дирихле.
Key words: ideal fluid flow, fluid with constant vorticity, harmonic functions, Dirichlet problem.
Выпуск 3
В
8
ВОПРОСАХ движения жидкости по
водопроводным галереям шлюзовых камер перечислим те условия,
которые приводят к содержательным приложениям, не только к качественным, но и количественным. Сжимаемость и вязкость среды
оказываются несущественными, и ими можно
пренебречь. Движение считаем установившимся и будем рассматривать плоскопараллельное течение. В этом случае уравнения
движения Эйлера приобретают простой вид,
пригодный для дальнейшего исследования.
Предположим, что жидкость находится в потенциальном силовом поле, т. е. действующие
на нее внешние силы F имеют потенциал U:
F = gradU (например, жидкость находится в
поле силы тяжести). Тогда оказывается, что
завихренность векторного поля скоростей
жидкости равна нулю rotV = 0. И мы получаем стандартное течение идеальной жидкости
с большим числом приложений (можно успешно применять методы теории функций
комплексного переменного [1; 2], правда, с не
менее большим числом парадоксов). Вопрос
ставится так: можно ли, оставаясь в рамках
идеальной жидкости, получить теоретические
результаты, согласованные с практическими
наблюдениями? Рассмотрим простейшую модель водопроводной галереи, имеющую вид
полукольца Ω.
Рис. 1. Потенциальное течение
Известно, что поле скоростей имеет
комплексный потенциал
Ф(x, y) = φ(x, y) + iψ(x, y),
где φ(x, y) и ψ(x, y) — гармонические на Ω ∪ Г
функции, называемые потенциалом скоростей
и функцией тока соответственно. Кривые, определяемые уравнением φ = φ(x, y) = cost,
называются линиями равного потенциала. Кривые, определяемые уравнением
ψ = ψ(x, y) = cost, являются линиями тока.
Потенциал для движения жидкости в данной
области представляет собой аналитическую
функцию Ф(z) = logz, осуществляющую кон-
Ж У Р Н А Л
формное отображение заданной области на
прямоугольник [0,1] ×[0, π] (логарифмический
полюс находится вне области). Ясно, что абсолютная величина скорости жидкости
Ф′(z) = Vx – iVy = 1/z
.
(1)
В этом случае движение жидкости не
потенциально, тем не менее для решения задач обтекания, как и в классическом случае,
вводится функция тока, для дифференциала которой выполняется dφ = –Vydx + Vxdy,
в силу второго уравнения (1) это выражение
является точным дифференциалом. Линии
тока также определяются как линии, где
ψ = (x, y) = const. Водопроводная галерея
представляет собой область типа полосы
Ω = {y0(x) < y < y1(x)}, и в ней требуется построить и исследовать течение с постоянной
завихренностью. Задача сводится к решению
уравнения Пуассона Δψ = ω с граничными условиями ψ│Г = 0, ψ│Г = 0, а границы Г0 и Г1
0
1
определяются как графики функций у = y0(x) и
у = y1(x) соответственно. Прежде чем рассматривать движение в области Ω, обратим внимание на совсем простой случай, когда границы
области являются параллельными прямыми линиями, а область представляет собой
прямолинейную полосу. В этом случае уже
можно наблюдать интересные явления. Действительно, если предположить, что скорость
на бесконечности ограничена, то несложные
вычисления [1] по схеме идеальной жидкости
в условиях потенциального течения (ω = 0)
дают ламинарный поток жидкости с постоянной скоростью, так что линии тока параллельны граничным прямым.
Как уже говорилось, исследование модели с постоянной завихренностью ω ≠ 0
предполагает решение уравнения Пуассона.
Оказывается, что в данном случае несложно
получить, что при ограниченном расходе и ограниченной скорости на бесконечности линии
тока также представляют собой прямые линии, параллельные границе, и визуально поле
направлений (не скоростей) выглядит как в
случае ламинарного потока. Завихренность
зрительно не наблюдается, но есть важное
отличие: абсолютная величина вектора скорости изменяется в нормальном направлении
к границе. Поставив простейшие граничные
условия, можно получить, что для функции
тока справедливо ψ(x, y) = ωy2/2, в этом случае
расход равен ω/2, а скорость на бесконечности
Выпуск 3
уменьшается от внутренней дуги полукольца
к внешней, а это находится в противоречии с
практическими измерениями.
Ситуация не изменится для других
форм поворотов водопроводных галерей: на
выпуклых поверхностях скорость на практике меньше, а схема идеального потока для
потенциального течения дает обратный результат. На самом деле возникает гипотеза,
что при движении в поворотных галереях и,
вообще, в каналах непрямолинейной формы
схема потенциального течения идеальной
жидкости не работает. Мы вынуждены для более точного описания движения использовать
модели с завихренностью, например в самой
простой форме с постоянной завихренностью
[2], где применение подобных моделей дает
приличные результаты для выделения вихревых областей и склеивания вихревых и потенциальных течений. В нашем случае важным
является построение модели при движении
по галерее (рис. 1) так, чтобы скорость на внешней границе была больше, чем на внутренней. Именно на мнимой оси в водопроводных
галереях находятся подъемные ворота, на
которые распределяется крайне неравномерная нагрузка, и таким образом, задача имеет
практический интерес. Кроме того, трехмерные модели с вязкостью и уравнениями Навье–Стокса не подходят по техническим причинам, а трехмерные модели потенциального
течения не дают качественного улучшения
ситуации (скорости в теории больше там, где
на практике они меньше).
Таким образом, получим новую схему
установившегося движения, если откажемся
от условия отсутствия вихрей, предполагая,
что вихри располагаются во всех точках области. Для простоты будем считать завихренность постоянной во всей области Ω. Тогда
вместо обычных уравнений, приводящих к
условию аналитичности, для координат вектора скорости Vx и Vy получим следующие
уравнения:
университета
в о д н ы х
коммуникаций
9
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
равна ωy и направлена вдоль границы. Таким
образом получаем, что существует модель в
прямолинейной полосе с отличным от постоянного распределения скоростей потока. Не
очень ясно, как физически представить постоянное завихрение в подобной прямолинейной
области, если специально не создавать вихри,
тем не менее эта модель в случае реальных водопроводных галерей с решетками на входе в
галерею как раз дает вихревое течение с меньшими скоростями на выпуклых поверхностях.
Для водопроводной галереи формы из рис. 1
можно, варьируя величину расхода и величину завихренности, также получить требуемое
распределение скоростей, отличное от потенциальных моделей.
Условие обтекания на дугах окружностей заключается в ортогональности вектора
V = (Vx, Vy ) с нормальным вектором n = (cos φ,
sin φ), что дает граничное условие
аналитической. Наше движение не является
потенциальным, поэтому этот результат не
удивителен.
2. Линии тока представляют собой дуги
концентрических окружностей, так же как в
схеме с потенциальным течением.
3. Но самое интересное заключается в
том, что для данной модели скорости увеличиваются по абсолютной величине от внутренней границы к внешней. Этот вывод заслуживает самого тщательного исследования,
ибо без учета вязкости мы получаем согласованные результаты с практическими измерениями.
Vx = cos φ + Vy sin φ = 0,
которое можно переписать в следующем виде
Re(z(Vx + ωy + iVy ) + ωiz2/2) = 0.
Рис. 2. Вихревое течение
На входе и выходе из галереи (на отрезках вещественной оси) имеем естественное
условие Vx = 0. Для моделей с постоянной завихренностью ω вектор скоростей Vx – iVy не
является аналитической функцией, но нетрудно убедиться, что зато функция Vx + ωy – iVy
является аналитической, и для этой функции
мы получаем простую краевую задачу и ее
единственное решение для Vx + iVy = iωz/2.
Здесь несколько интересных наблюдений.
1. В схеме с потенциальным течением
подобная функция Vx + iVy не является аналитической, а лишь комплексно сопряженной к
К сожалению аналитические решения
для галерей общего вида невозможны, но мы
убеждаемся, что, действительно, можно ожидать совсем другие эпюры скоростей, чем
если бы мы следовали схеме с потенциальным
течением. В скором времени автор надеется
опубликовать численные расчеты в реальной
ситуации шлюзовых камер. Автор выражает
благодарность профессору А. М. Гапееву, который указал на парадоксальность ситуации,
а также профессору Д. П. Голоскокову за полезные консультации.
Выпуск 3
Список литературы
10
1. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев,
Б. В. Шабат. — М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — 749 с.
2. Лаврентьев М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — 417 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
263 Кб
Теги
водопроводная, моделирование, камеры, галерея, жидкости, течение, шлюзовых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа