close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Модификация метода рандомизированных траекторий для оценки значений финансово-экономических показателей.

код для вставкиСкачать
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА РАНДОМИЗИРОВАННЫХ
ТРАЕКТОРИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ ЗНАЧЕНИЙ ФИНАНСОВОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.
Чудовская Людмила Анатольевна
Кандидат экономических наук
доцент кафедры высшей математики
Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет
e-mail: lachud@mail.ru
Аннотация
Рассматривается
рандомизации
модель
множества
функциональную
задания
неопределенности,
возможных
зависимость
состоящей
в
траекторий,
описывающих
соответствующих
финансово-
экономических показателей. Разработана методика учета ограничений на
функции и их приращения в рамках модели неопределенности выбора
дискретной монотонной траектории, описывающей функциональную
зависимость финансово-экономических показателей. Приведен пример
использования метода.
Ключевые
слова:
функциональная
зависимость
финансово-
экономических показателей, метод рандомизации траекторий, учёт
ограничений на функции и их приращения
Summary
We consider a model of uncertainty, consisting of randomization in the set of
possible trajectories, describing the functional dependence of the relevant
financial and economic indicators. The challenge is to develop methods of
accounting constraints on the function and their changes in the model selection
uncertainty discrete repetitive trajectory describing the functional dependence of
1
the financial and economic indicators. An example of the method’s application
is represented.
Key words: functional dependence of the financial and economic indicators,
method of trajectories randomization, accounting constraints on the function
and their changes
1. ВВЕДЕНИЕ.
Во многих практических задачах используются стохастические
процессы с равновероятными монотонными дискретными реализациями
(траекториями), проходящими через узлы заданной целочисленной
решётки. В работах [1,4] разрабатывается, на основе метода рандомизации
функций,
модель
неопределенности
выбора
из
конечного
класса
дискретных траекторий, заданных на целочисленной конечной решетке;
строится, исходя из этой модели, методика оценки статистических
характеристик
стохастического
процесса
с
равновероятными
монотонными реализациями.
Вероятность
прохождения
рассматриваемой
решётки
траектории
через
определяется
с
заданный
помощью
узел
формул
комбинаторного анализа.
Однако, ряд приложений требует введения линейных ограничений на
траектории таких процессов, что приводит к выделению классов
равновероятных, линейно-ограниченных с одной или двух сторон
траекторий процессов.
В этой работе рассмотрена модель задания неопределенности, состоящей в
рандомизации
множества
функциональную
возможных
зависимость
траекторий,
описывающих
соответствующих
финансово-
экономических показателей. Разрабатывается методика возможности
учета ограничений на функции и их приращения в рамках модели
2
неопределенности
выбора
дискретной
монотонной
траектории,
описывающей функциональную зависимость финансово-экономических
показателей. Приведен пример оценки (прогнозирования) роста стоимости
простой бескупонной облигации. Пример демонстрирует разработанную
модификацию метода рандомизированных траекторий, которую можно
использовать для оценки монотонных траекторий временных рядов
значений финансово-экономических показателей
2.
ЗАДАЧА
ОЦЕНКИ
ЗНАЧЕНИЙ
ФИНАНСОВО-
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.
Рассмотрим задачу оценки (прогнозирования) значений y (t 0 ), ..., y (t m ) ,
принимаемых
изучаемым
финансово-экономическим
показателем
в
(будущие) моменты времени t  t 0 ,..., t m , t 0  ...  t m . Пусть задано конечное
множество
всех
Y  { y ( ) :  1,..., N }
возможных
траекторий
y ( )  ( y (t 0 ; ), ... , y (t m ; )) временного ряда y (t 0 ), ..., y (t m ) . Помимо значений
y (t 0 ; ), ... , y (t m ; ) функции y  y (t ; ) будем рассматривать и приращения
d (t i ; )  y (t i ; )  y (t i 1 ; ) , i  1,..., m , этой функции, определяющие значения
функции y  y (t ; ) по формуле y (t i ;  )  y (t 0 ;  )  d (t1 ;  )  ...  d (t i ;  ) .
На основе дополнительной информации I о значениях функций
y  y (t ; )
и
d  d (t ; )
возможен
отбор
элементов
множества
Y  { y ( ) :  1,..., N } всех возможных траекторий y ( )  ( y (t 0 ; ), ... , y (t m ; ))
временного ряда y (t 0 ), ..., y (t m ) . В результате такого отбора формируется
множество Y (I ) всех допустимых траекторий: Y ( I )  Y . Иными словами,
оцениваемая (прогнозируемая) траектория
временного ряда известна с
точностью
Y (I ) .
до
конечного
множества
Для
моделирования
неопределенности выбора конкретного элемента y ( ) из множества Y (I )
можно предложить метод рандомизированных траекторий (МРТ),
3
основанный на случайном выборе траектории y ( ) из множества Y (I ) . В
результате такой рандомизации выбора траектории получается случайный
вектор
(стохастический
процесс,
случайная
функция)
~
~
~
~
y (t )  y (t ; )  ( y (t 0 ; ), ... , y (t m ; )) . В качестве оценки (прогноза) случайного
значения исследуемого финансово-экономического показателя можно
использовать математическое ожидание y i случайной величины ~y i  ~y (t i )
(одномерного сечения стохастического временного ряда ~y (t ) , t  t 0 ,..., t m ).
Точность же полученной оценки y i естественно измерять величиной
стандартного отклонения  i  D ~yi , где D ~y i есть дисперсия случайной
величины ~y i  ~y (t i ) .
3. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА РАНДОМИЗИРОВАННЫХ
ТРАЕКТОРИЙ
С
УЧЁТОМ
ВВЕДЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ
ОГРАНИЧЕНИЙ ДЛЯ ТРАЕКТОРИЙ,
В настоящей работе рассматривается модификация описанного
метода рандомизированных траекторий, соответствующая случаю, когда
равновероятные возможные реализации временного ряда представляют
собой монотонные дискретные функции дискретного аргумента, а
дополнительная информация I определяет линейные ограничения для
этих траекторий.
Не уменьшая общности, будем рассматривать в качестве возможных
траекторий
дискретные
функции
j (i; )  j (i; m, n; ) ,
j (i; )  {0,1,..., n} ,
дискретного аргумента i  {0,1,..., m} , заданные на целочисленной решетке
[0, m]  [0, n]  {(i, j ) : i  0,1,..., m, j  0,1,..., n}
и
удовлетворяющие
монотонности ( j (i  1; )  j (i; ) ), а также двум
условию
краевым условиям
( j (0; )  0 , j (m; )  n ) [1]. Элементам множества J (m, n) всех возможных
4
траекторий указанного вида можно взаимно однозначно сопоставить
монотонные пути на решетке [1, m]  [0, n] , определяемые в работе [3] как
ломанные
линии
из
вертикальных
и
горизонтальных
отрезков,
соединяющие точку (0,0) с точкой (m, n) : в работе [2] показано, что общее
число N (m, n)  (n  m  1)! (m  1)!n! элементов множества J (m, n) равно числу
P(m  1, n) монотонных путей на решетке [1, m]  [0, n] .
Рассмотрим класс J (m, n; a,b) монотонных траекторий, лежащих
между траекториями j  (i )  i  b и j  (i )  i  a .
В работе [2] выведена и
доказана формула
 m  n 1



N (m, n, a, b)  N (m, n)   ( 1) 
 i  1 1  i   
i 1
 n  (  2  a   2  b) 


  

 m  n 1

r1

i 1 
(1) 
 i  1
 i  1 ,

n

b

a
i 1

 2 
 2 


  

r1
i 1
определяющая число N (m, n, a,b) элементов множества J (m, n; a,b) при
условии выполнения соотношений
a1  a  1, a  n  m, b  m  n,

 r1  1  a1   r1  b  n   r1  2  a1   r1  1  b,
 2 
 2 
 2 
 2 
 1
 r1  1
 r1  2 
 r1  1  1
 r  1 
b

a

m

b

2
 2 
 2 a ,
 2 









 k  l 

  0, при k  0 или l  0.
 k 
Квадратные скобки в этой формуле используются для обозначения целой
части числа.
4. ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССА.
5
Приведенная формула для числа N (m, n, a,b) позволяет найти
распределение
~
j (i; m, n; a,b)
процесса
одномерного сечения стохастического
f j ( j , i; m, n; a, b)
с
равновероятными
траекториями
N(m,n,a,-b)
j (i; m, n; )  J (m, n, a, b) . Действительно, из общего числа
траекторий
через точку (i, j ) проходит число монотонных линейно-
ограниченных
траекторий
равное
N (i, j; a, b)  N (m  i, n  j; i  j  a, ( j  i  b))
множества
J (i, j; a,b)
на
число
числа
произведению
таких
траекторий
траекторий
из
из
множества
J (m  i, n  j; i  ( j  a),[ j  (i  b)]) . Следовательно, имеет место формула
f ~j ( j , i; m, n; a,b) 
N (i, j; a,b)  N (m  i, n  j; i  j  a,( j  i  b))
N (m, n; a,b)
для распределения одномерного сечения стохастического процесса
~
j (i; m, n; a,b) . Знание этого распределения позволяет найти математическое
~
 (i; m, n; a,b)  E j (i; m, n; a,b)
ожидание
и
дисперсию
~
~
 2 (i; m, n; a,b)  D j (i; m, n; a,b) процесса j (i; m, n; a,b) .
Найденный
тренд
 (i; m, n; a,b) стохастического
процесса
~
j (i; m, n; a,b) может использоваться как искомая оценка (прогноз) значений
исследуемого финансово-экономического показателя на моменты времени
i  1,..., m .
Наглядное представление о точности полученных оценок
 (i; m, n; a,b) , i  1,..., m , дает область вокруг тренда, которая ограничена
графиками функций   (i )   (i; m, n; a,b)   (i; m, n; a,b) , где  (i; m, n; a,b) есть
стандартное отклонение случайного процесса ~j (i; m, n; a,b) .
5.
ПРИМЕР,
МОДИФИКАЦИИ
ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЙ
МЕТОДА
ТРАЕКТОРИЙ,
6
РАБОТУ
РАНДОМИЗИРОВАННЫХ
В
заключение
статьи
продемонстрируем
работу
описанной
модификации МРТ, основанной на стохастическом процессе ~j (i; m, n; a,b) с
равновероятными линейно ограниченными траекториями, следующим
иллюстративным примером. Рассмотрим динамику цены некоторой
облигации, имеющей номинал 100 руб. и продающейся в момент эмиссии
по цене 76 руб. Облигация погашается через шесть месяцев по
номинальной цене 100 руб. Требуется оценить значение цены облигации
на конец каждого из шести месяцев.
Предположив, что траектория цены облигации есть неубывающая
функции и выбрав в качестве единицы цены облигации четыре рубля,
получаем
множество
J (6, 6)  { j ( ) (i), i  0,1,..., 6,  1,..., N (6,6)}
всех
возможных дискретных монотонных траекторий j ( ) (i) на целочисленной
решетке [0, 6]  [0, 6]  {(i, j ) : i  0,1,...,6; j  0,1,..., 6} , принимающих дискретные
значения
из
j ( ) (i  1)  j ( ) (i ) ,
множества
{0,1,..., 6}
j ( ) (0)  0 ,
N (m, n)  (n  m  1)! [n!(m  1)!]
и
удовлетворяющих
j ( ) (6)  6 .
определим
общее
По
число
условиям
формуле
N (6, 6)  462
траекторий j ( ) (t ) , составляющих множество J (6,6) . Будем моделировать
неопределенность выбора траектории j ( ) (i) из множества J (6,6) при
помощи
стохастического
процесса
~
j (i;6,6)
с
равновероятными
реализациями (траекториями) j ( ) (i;6,6) ,   1,...,462 .
Используя полученные в [1, с.604] формулы, получаем оценку
 (i;6,6)  i тренда и оценку  (i;6,6)  0.5345 i (6  i ) стандартного отклонения
стохастического процесса ~j (i;6,6) . Отсюда получаем нижнюю   (i;6,6) и
верхнюю   (i;6,6) границы для доверительной области вокруг тренда
 (i;6,6)  i этого процесса. Значения функций  (i;6,6) ,  (i;6,6) ,   (i;6,6) ,
  (i;6,6) приведены в табл.1 (значение   (5;6,6)  6,1952 , выходящее за
7
пределы рассматриваемой решетки, заменено на максимально возможное
значение функции  (i;6,6) , равное 6).
Таблица 1. Характеристики случайного процесса ~j (i;6,6)
 (i;6,6)
i
 (i;6,6)
  (i;6,6)
  (i;6,6)
0
0
0 0
0
1 1
1,1952
-0,1952
2,1952
2 2
1,5119
0,4881
3,5119
3 3
1,6036
1,3964
4,6036
4 4
1,5119
2,4881
5,5119
5 5
1,1952
3,8048
6,1952
6 6
0,0000
6,0000
6,0000
Пусть теперь исследователь обладает дополнительной информацией I ,
определяющей линейные границы j  (i )  i  2 и j  (i)  i  1 для возможных
траекторий роста цены облигации.
Сформируем множество
всех допустимых траекторий
J (6,6; I )
j ( ) (i;6,6) ,   1,..., N (6,6; I ) . Множество
J (6,6; I )
состоит из N (6,6; I )  29
элементов, приведенных в табл. 2.
Таблица 2. Допустимые траектории из множества J (6,6; I )

j ( ) (0)
j ( ) (1)
j ( ) (2)
j ( ) (3)
j ( ) (4)
j ( ) (5)
j ( ) (6)
1
0
0
1
2
3
4
6
2
0
0
1
2
3
5
6
3
0
0
1
2
4
4
6
4
0
0
1
2
4
5
6
5
0
0
1
3
3
4
6
8

j ( ) (0)
j ( ) (1)
j ( ) (2)
j ( ) (3)
j ( ) (4)
j ( ) (5)
j ( ) (6)
6
0
0
1
3
3
5
6
7
0
0
1
3
4
4
6
8
0
0
1
3
4
5
6
9
0
0
2
2
3
4
6
10
0
0
2
3
3
4
6
11
0
0
2
3
3
5
6
12
0
0
2
3
4
4
6
13
0
0
2
3
4
5
6
14
0
1
1
2
3
4
6
15
0
1
1
2
3
5
6
16
0
1
1
2
4
4
6
17
0
1
1
2
4
5
6
18
0
1
1
3
3
4
6
19
0
1
1
3
3
5
6
20
0
1
1
3
4
4
6
21
0
1
1
3
4
5
6
22
0
1
2
2
3
4
6
23
0
1
2
2
3
5
6
24
0
1
2
2
4
4
6
25
0
1
2
2
4
5
6
26
0
1
2
3
3
4
6
27
0
1
2
3
3
5
6
28
0
1
2
3
4
4
6
29
0
1
2
3
4
5
6
Данные
табл.
2
позволяют
сосчитать
для
процесса
~
j (i;6,6; I )
характеристики  (i;6,6; I ) (тренд),  (i;6,6; I ) (стандартное отклонение),
9
  (i;6,6; I ) ,   (i;6,6; I ) , значения которых приведены в табл.3. На рис. 1
приведены графики функций   (i;6,6; I ) ,  (i;6,6; I ) ,   (i;6,6; I ) , дискретные
точки которых соединены для наглядности, отрезками прямой.
Таблица 3. Характеристики случайного процесса ~j (i;6,6; I )
i
 (i;6,6; I )
 (i;6,6; I )
  (i;6,6; I )
  (i;6,6; I )
0
0
0
0
0
1
0,5667
0,4955
0,0711
1,0622
2
1,4667
0,4989
0,9678
1,9656
3
2,5667
0,4955
2,0711
3,0622
4
3,5000
0,5000
3,0000
4,0000
5
4,5000
0,5000
4,0000
5,0000
6
6,0000
0
6,0000
6,0000
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Рисунок 1. Графики функций   (i;6,6; I ) ,  (i;6,6; I ) ,   (i;6,6; I ) ,
10
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведенный пример оценки (прогнозирования) роста стоимости
простой
бескупонной
облигации
демонстрирует
работоспособность
разработанной модификации метода рандомизированных траекторий
(МРТ), которую можно использовать для оценки монотонных траекторий
временных рядов значений финансово-экономических показателей.
Список литературы
1. Корников В.В., Серёгин И.А., Хованов Н.В. Случайные композиции и
монотонные пути на конечной целочисленной решётке // Обозрение
прикладной и промышленной математики. 2005. Т. 12. Выпуск 3. С. 596609.
2. Чудовская Л.А. Стохастические процессы с монотонными линейноограниченными дискретными реализациями // Вестник Ленинградского
государственного
университета.
Серия
1.
Математика,
механика,
астрономия (Депонировано ВИНИТИ 27.01.88 № 1330-В88). М.: 1988. – 24
с.
3. Bizly M.T.L., Grossman H.D. Paths having a given number of lattice points
in a given region // Scripta Mathematica. 1954. Vol. 20. P. 203-204.
4. Чудовская Л.А. Рандомизированная оценка монотонных траекторий
рядов значений финансово-экономических показателей // Современные
аспекты экономики №9(134) 2008. С. 104-110.
11
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
279 Кб
Теги
показатели, финансово, экономическая, оценки, метод, рандомизированное, модификация, траектория, значение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа