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Модификация многомерного алгоритма Левинсона.

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ћ атематические проблемы управлени¤
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
”ƒ 519.246.8
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¬.¬. лимченко
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CONTROL SCIENCES є 2 ? 2009
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
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ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 2 ? 2009
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k = 0, 1, ..., n, (3)
j=0
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ѕ–≈ќЅ–ј«ќ¬јЌ»я —Ћ”„ј…Ќќ√ќ ѕ–ќ÷≈——ј
k = 0, 1, ..., n,
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1, ..., n.
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дл? ??ш???? ?????м? ????????? (4), ??м???? ??????????? ???????ц?????? ??дм????ц? Cl ?? ????????ч????м? ?ц????м? Rl . ??л?ч???ль??? ч????
?лг????м?, ??м?м? ??????? ???????? ???ч???? ?
м???м?ль??г? ????м? ??????м?? ??м???, ???люч????? ? ??????????? ???л?д?????ль????? ??ч??л????. ?? ???д?? ?????ц?? ??ш???? ?????м? (4)
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???ч??? ??? ????????м n = m, м???? ????????ь
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3
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
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ћ≈∆ƒ” ќ¬ј–»ј÷»ќЌЌџћ» ћј“–»÷јћ»
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j, k = 0
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??????д???? ???д??ь?? ? ??м, ч?? м????ц? Vm, ????д?л??м?? ???м?л?? (?4), ??л????? ???????ц?????? м????ц?? ?л?ч????г? ???????, ????????г?
?? ?ш???? ????г? ?ц????????.
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??м???????м?. ??л?? ??г?, ??л? ?? ?????-л??? ??
???? м????ц ?????л??ь ?????д?????, ?? ???????????ю??? ??????д?л???? ???????????? ??л? ?? ????????????м, ?. ?. ??????????л? ?? д????м??????????? ??????м???ь м??д? ??м???????м? ?л?ч????г? ???????. ??? ??? ? ??????ч????? ?????ц???
??д????? ???????? ?? ?????????? дл? ?л?ч?????
???ц?????, ??д?м ???д??л?г??ь, ч?? м????ц? Vm ?
V?m ?? ?????д??? ?, ?л?д?????ль??, ??л?????ль??
????д?л???.
CONTROL SCIENCES є 2 ? 2009
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
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? ??????ч?м ?? ????????????ч????? ч??л? ч????
f1, ..., fr . ?? ????д?л???? ??м??????л?? м????ц?
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? 1/2
1/2
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ч??л? м????ц? F?m .
???????? [13], ч?? ??? ????л????? ??л???? (9)
? (11) ???д???? м????ч??? ????????? ??д?
?
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?. ?. ?????????? ?????????????? ??д????, ???????ю??? м????ц? Fm ? ????????? ??мм????ч????? ??????ц???ль?? ????д?л????? м????ц??, ??? ?л?м???? ??????? д????????ль??. ?л?д?????ль??, ???
????????????ч????? ч??л? f1, ..., fr д????????ль??
? ??????ц???ль?? [13].
???м? ??г?, ?????ль?????ш??ь ??????ш????м?
(?3), (?5) ? (?12), ??л?ч?м
(8)
гд? Ir ? ?д???ч??? м????ц? ????д?? r. ???д??????
??? ????????? ? ??д?
? 1/2
Vm
? 1/2
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1/2
? 1/2 T
= (V m + 1 V m
1/2
(Ir ? Fm)V m
1/2
=
? 1/2
) Vm + 1 Vm
? ?ч?????? ???????д??????ь м????ц Vm ? Vm + 1,
м???? ???д??ь?? ? ??м, ч?? ??? ????????????ч????? ч??л? м????ц? (Ir ? Fm) (??????ч?м ?? ч????
g1, ..., gr) д????????ль?? ? ??л?????ль??.
???л? g1, ..., gr ?? ????д?л???ю ??л?ю??? ?????м? ????????? det(Ir ? Fm ? ?Ir) ? det(?Fm + (1 ?
? ?)Ir) = 0, ??гд? ??? ????????????ч????? ч??л?
f1, ..., fr ?д??л??????ю? ????????ю det(Fm ? ?Ir) = 0.
?????м? ??? ????? ???? д??? ????????? м????
?????д?????????ь ? ????? ???л?д?????ль?????,
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? ??л?????ль??, ?? ?? ??л?ч????? ??????ш????
?л?д?ю? ???????????
| fk | < 1,
k = 1, ..., r.
(9)
????м ???л?г?ч??? ??????д???? м???? ?????? ? ??????ш????м
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| f?k | < 1,
k = 1, ..., r,
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 2 ? 2009
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(10)
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?
? (Wm W?m )
j
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j=0
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? (Wm W?m )
j
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j
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= Ir +
(Ir ? F?m )?1 = Ir + Wm(Ir ? Fm)?1 W?m .
(12)
= Ir +
j=0
j=0
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j?
+ Wm ? ? F m? W?m , ?. ?.
?j = 0 ?
??м???м, ч?? м????ц? Vm ? V?m ???д?? ? ???м?л? ?лг????м? ????????? ? м???? ?????? ???????.
???люч???? ??????л?ю? л?шь ???м?л? (?12) ?
(?13), ???д?????ч????? ??ль?? дл? ??????д? ?
?л?д?ю??? ?????ц??. ?????м? ?? ???д?? ?????ц?? м???? ???????ь ??ч??л???? м????ц Vm + 1 ?
V?m + 1 , ??л? ????? ??ч??л??ь ???????? ? ??м м????ц? ?? ???м?л?м
?1
?1
V m + 1 = V m (Ir ? Fm)?1,
?1
?1
(13)
?1
V?m + 1 = V?m (Ir ? F?m ) ,
(14)
??????ю??м ?? ??????ш???? (8) ? (10).
????м ??????м, ????д????? ?д??ь ???м?л?
(12) ???д?????л??? ???м??????ь ??м????ь ???ц?д??? ????????? д??? м????ц Vm + 1 ? V?m + 1 ????-
?????м ??ль?? ?д??? м????ц? (Ir ? Fm). ??ч???1
?1
?1
л?? (Ir ? Fm) , м???? ????м ????? V m + 1 ? V?m + 1 ??
???м?л?м (12)?(14). ?л?д?????ль??, ???м??????
???дл?г??м?? м?д?????ц?? ?? ???д?? ?????ц??
?лг????м? ?????д?? ? д????????м? ?????????ю
ч??л? ?????ц?? ????????? м????ц, ?????ль??
?1
м????ц? V m
(11)
? j = (I ? F? )?1.
m
r
? Fm
j=0
j=0
? 1/2
? 1/2
? 1/2 T
? 1/2
= (V?m Um V m ) (V?m Um V m ),
Vm + 1 = (Ir ? Fm)Vm,
j
F m = (Ir ? Fm)
?1
? V?m , ????ль???м?? ? ???м?л??
(13) ? (14), ???д??? ?? ???д?д???м ш?г?.
5
ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
????????? м????ц? Xm = (Xm,0 Xm,1 ... Xm,m), ?д??л??????ю??? ?????м? ????????? XmPm = Qm, гд?
«ј Ћё„≈Ќ»≈
?????л?? ???д??м??м? ?????ц??м? м??г?м????? ???????? ????????? ??л?ю??? ???ц?д??? ????????? м????ц. ???дл?г??м?? м?д?????ц?? ??ч??л???ль??? ???м? ?????л??? ????????ь ч??л?
???????м?? м????ц ? д?? ???? ?? ????????ю ??
????д?????м ????????м ?лг????м?. ?д????, ???
??л? ??? ??м?ч??? ?? ???д???? ? д????? ????ь?,
??? д??????ч?? ??льш?? (n > 512) ???м???? м????ц? ??ш??м?? ?????м? ????????? Ђ????????????ї
?лг????м? ???????ю? ???????ю ????????? ??
???????? ???ч????.
? ???? ????? м???? ???????ь ???м???? ?? ??,
ч?? ??л? ??? ??????????? n д? ???ч???? ? ?????ль?? д??????? (???ч?? ?? ????? ??????ю? ???ч????
n ? ???д?л?? ?? 40 д? 50) ??-??????м? ?? д????г????? ?д?????????ь ?м????ч????? м?д?л? ?л?ч????г? ???ц????, ???? ???? ?л???? ?????????м дл?
??м????? ? ???ц?????????? [14]. ??л? ? ??м, ч??
м?дл????? ???????? ??????ч??? ???????ц?????? ????ц?? ??????? ?????л??????м ?????-л???
?? ?????? ????????????ч????г? ????????? ????м?? д???м?ч????? ?????м? ??л??? г????ц? ?? ?????ч?????? (??л?ю????? ? ?л?ч?? д????????г?
???м??? ?д???ч??? ?????????ью). ????? ?????л?????? ?????? ?????д?? ? ?л???? ????л??л??????? м????ц? ??ш??м?? ?????м? ?????????,
ч?? м???? ??????ь ??д??????м? ??льш?ю ??г??ш????ь, ????? ?? ?лг????м ??ш???? ?? ???м???л?? [15].
? ??д????? ?????ц??? ??????д?м? ?????????????? ????д??г? ???м????г? ??д? дл? ?д?л????
?????? ????????????ч????г? ????????? ?? г????ц? ??л???? ???ц??????????. ???г?м ????г? ?????????????? д?л??? ????ь д??????ч?? ???????
???????? ????лю???? ??л?ч??? ???????ц??????
????ц?? ???л?д??м?г? ???ц???? ?, ?л?д?????ль??,
д????????? ?д?????????? ????м?? ?м????ч?????
м?д?л? ??? ????????ль?? ????льш?м ???ч???? n.
? ??ч????? ш????? ???????????????г? ? ????ш?
??????м??д????ш?г? ???? ?? ???????? ???м???
??л??м?г? ?????????????? м???? ???????? д???????ц???????? ??м?????? ???м????г? ??д?, ??????? ? ?л?ч?? д????????г? ???м??? ???д???? ?
?????ю ????ч??? ????????? ???люд??м?г? ???ц???? [14, 16].
ѕ–»Ћќ∆≈Ќ»≈
ћЌќ√ќћ≈–Ќџ… јЋ√ќ–»“ћ Ћ≈¬»Ќ—ќЌј
? д????м ???л?????? ?????д???? ??ч??л???ль??? ???м? м??г?м????? ???????? ????????? [7, 8] дл?
6
Qm = (Q0,0 Q1,1 ... Qm,m);
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R1
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l = ?m, ..., ?1, 0, 1, ..., m.
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Xm ? 1 = (Xm ? 1,0 Xm ? 1,1 ... Xm ? 1, m ? 1), Ym ? 1 =
= (Ym ? 1,0 Ym ? 1,1 ... Ym ? 1, m ? 1) ? Zm ? 1 =
= (Zm ? 1,0 Zm ? 1,1 ... Zm ? 1, m ? 1),
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? X m ? 1 P m ? 1 = ( Q 0,0 Q 1,1 ...Q m ? 1, m ? 1 )
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? Y m ? 1 P m ? 1 = ( ? R 1 ... ? R m )
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T
T
? Z m ? 1 P m ? 1 = ( ? R m ... ? R 1 ).
(?1)
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? X m P m = ( Q 0,0 Q 1,1 ...Q m ? 1, m ? 1 Q m, m )
?
? Y m P m = ( ? R 1 ... ? R m ? R m + 1 )
?
T
T
T
? Z m P m = ( ? R m + 1 ? R m ... ? R 1 )
м???? ????? ?? ?л?д?ю??м ???м?л?м [7, 8]:
U m = Rm + 1 +
m
? Ym ? 1, m ? j Rj ;
(?2)
j=1
?1
(?3)
? Zm ? 1, m ? j Rj ;
(?4)
Wm = ?Um V m ,
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Vm = R0 +
m
j=1
T
?1
W?m = ? U m V?m ,
(?5)
гд?
V?m = R0 +
m
T
? Ym ? 1, j ? 1 Rj
;
(?6)
j=1
Ym = (Ym ? 1, 0Ym ? 1, 1 ... Ym ? 1, m ? 10r) +
+ Wm(Zm ? 1, 0Zm ? 1, 1 ... Zm ? 1, m ? 1Ir),
(?7)
гд? Ir ? ?д???ч??? м????ц? ????д?? r;
CONTROL SCIENCES є 2 ? 2009
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Zm = (0r Zm ? 1, 0Zm ? 1, 1 ... Zm ? 1, m ? 1) +
+ W?m (IrYm ? 1, 0Ym ? 1, 1 ... Ym ? 1, m ? 1);
Sm =
(?8)
m
? Xm ? 1, m ? jRj ;
(?9)
j=1
W?m = (Qm, m ?
?1
Sm)V m ;
(?10)
Xm = (Xm ? 1, 0 Xm ? 1, 1 ... Xm ? 1, m ? 10r) +
+ W?m (Zm ? 1, 0Zm ? 1, 1 ... Zm ? 1, m ? 1Ir);
T
?1
Vm + 1 = Vm ? U m V?m Um;
?1
(?11)
(?12)
T
V?m + 1 = V?m ? Um V m U m .
(?13)
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?1
m = 1, X0,0 = Q0,0 R 0 ,
V1 = R0 ?
T
R1
?1
Y0,0 = ?R1 R 0 ,
?1
R 0 R1,
V?1 = R0 ?
T
?1
Z0,0 = ? R 1 R 0 ,
?1
R1 R 0
T
R1
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