close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нахождение периодического решения системы интегро-дифференциальных уравнений с бесконечным последействием описывающее взаимодействие видов.

код для вставкиСкачать
Приволжский научный вестник
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.968
А.Т. Алымбаев
канд. физ.-мат. наук, профессор,
кафедра математических и естественно-научных дисциплин,
Восточный университет им. Махмуда Кашгари Барскани,
г. Бишкек, Киргизия
НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ,
ОПИСЫВАЮЩЕЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВИДОВ
Аннотация. В работе рассматриваются вопросы построения периодического решения системы интегродифференциальных уравнений с бесконечным последействием на основе численно-аналитического метода.
Ключевые слова: периодическое решение, интегро-дифференциальное уравнение, численноаналитический метод.
A.T. Alymbayev, East university of Mahmoud Kashgari-Barskani, Bishkek, Kyrgyzstan
THE FINDING OF THE PERIODIC DECISION OF SYSTEM OF INTEGRO-DIFFERENTSIALNYH OF THE
EQUATIONS WITH THE INFINITE AFTER-EFFECT DESCRIBING INTERACTION OF TYPES
Abstract. In work questions of creation of the periodic decision of system of the integro-differential equations
with an infinite after-effect on the basis of a numerical and analytical method are considered.
Keywords: periodic decision, integro-differential equation, numerical and analytical method.
Математические модели широко применяются в задачах математической экологии. Например, при исследовании сосуществования двух видов популяций необходим учет возрастного
состава популяций, что приводит к эффекту запаздывания, так как возрастная структура популяции обладает памятью о прошлой ее эволюции. Этот эффект был впервые исследован
В. Вольтерром [2] на примере системы «хищник-жертва», когда продолжительность последействия была ограниченной.
Среди математических моделей, применяемых в задачах математической экологии,
важное значение имеют модели, описывающиеся системой интегро-дифференциальных уравнений с бесконечным последействием, то есть системой с памятью, имеющей предысторию с
достаточно отдаленным временем.
Поскольку в природе наблюдаются колебания численности хищников и жертв с определёнными амплитудами и периодами, то задача построения периодических решений системы
уравнений, описывающих предельные циклы, является не менее важной задачей.
В работе [2] рассмотрена система интегро-дифференциальных уравнений вида
t


dx
= b1x  1 − c11x − c12 ∫ K1(t − s )y (s )ds  ,
dt
−∞


t


dy
= b2 y  −1 + c21 ∫ K 2 (t − s )x(s )ds  ,
dt
−∞


(1)
где b1, b2 и c11, c12 , c21 – постоянные; K1( z ), K 2 ( z ) – заданные функции.
Система (1) описывает контакты между хищником x и жертвой y в прошлые времена,
влияющие на скорости роста обоих видов.
Представим систему (1) в виде
№ 5 (57) – 2016
5
Приволжский научный вестник
t
dx
= b1x − b1c11x − b1c12 x ∫ K1(t − s )y (s )ds,
dt
−∞
(2)
t
dy
= b2 y + b2 c21y ∫ K 2 (t − s )x (s )ds.
dt
−∞
Система (1) обладает свойством автономности.
Предположим, что b1 = b2 = ω i и K1(t − s ) = K 2 (t − s ) = e − ( t − s ) . Из системы (2) имеем:
t
dx
= i ω x − i ωc11x − i ω c12 x ∫ e −( t − s ) y (s )ds,
dt
−∞
(3)
t
dy
= i ω y + i ω c21y ∫ e −( t − s ) x(s )ds.
dt
−∞
В системе (3) произведем замену переменных
x = e iωt x1,
y = e i ω t y1 .
(4)
Получим
i ωe iωt x1 + e iωt
t
dx1
= i ω e iωt x1 − i ωc11e iωt x12 − i ω c12 e iωt x1 ∫ e −( t −s ) e − iωs y1(s )ds,
dt
−∞
−i ω e − i ω t y 1 + e − i ω t
t
dy1
= −i ωe − iωt y1 + i ωc21e − iωt y1 ∫ e −( t − s )e − iωs x1(s )ds.
dt
−∞
Отсюда имеем
e iωt
t
dx1
= −i ωc11e 2iωt x12 − i ωc12e iωt x1 ∫ e −( t − s )e − iωs y1(s )ds,
dt
−∞
e − iωt
t
dy1
= i ω c21e − iωt y1 ∫ e −( t − s )e − iωs x1(s )ds,
dt
−∞
или
t
dx1
= −i ωc11e iωt x12 − i ωc12 x1 ∫ e − ( t − s )e − iωs y1(s )ds,
dt
−∞
t
dy1
= i ω c21y1 ∫ e −( t − s )e iωs x1(s )ds.
dt
−∞
(5)
Заменив ωt = θ , приведем (5) к 2π -периодической правой частью вида
θ
ω
θ

− −s 
dx1
= −ic11e iθ x12 − ic12 x1 ∫ e  ω  e − iωs y1(s )ds,
dt
−∞
θ
ω
dy1
= ic21y1 ∫ e
dt
−∞
Положив s =
z
ω
θ

− −s 
ω 
(6)
e iωs x1(s )ds.
из (6) получим
θ
θ −z
−
dx1
i
z
= −ic11e iθ x12 − c12 x1 ∫ e ω e − iz y1   dz,
dt
ω
ω 
−∞
θ
θ −z
−
dy1 i
z
= c21y1 ∫ e ω e iz x1   dz.
dt
ω
ω 
−∞
(7)
Чтобы получить периодическое с периодом 2π решение системы (7), применяем схему
численно-аналитического метода [1]:
6
№ 5 (57) – 2016
Приволжский научный вестник
θ
i

x1m (θ , x10 , y10 ,ω ) = x10 + ∫  −ic11e iθ x1,2m −1(θ , x10 , y10 ,ω ) − c12 x1, m −1(θ , x10 , y10 ,ω ) ×
ω
0
θ
×∫ e
−
θ −z
ω
−∞
−
i
ω
z
e − iz y1, m −1  , y10 , y10 ,ω
ω
θ
c12 x1, m −1(θ , x10 , y10 ,ω ) ∫ e
2π
1

 dz −
2
π

θ −z
−
ω
−∞
∫  −ic
e iθ x1,2m −1(θ , x10 , y10 ,ω ) −
11
0
z
  
e − iz y1, m −1  , y10 , y10 ,ω  dz  dθ  dθ ,
ω
  
θ
θ
θ −z
−
i
z
y1m (θ , y10 , y10 ,ω ) = y10 + ∫  c21e iθ y1, m −1(θ , y10 , y10 ,ω ) ∫ e ω e − iz x1, m −1  , x10 , y10 ,ω
ω
ω


0
−∞
−
1
2π
2π
i
∫  ω c
θ
e iθ y1, m −1(θ , x10 , y10 ,ω ) ∫ e
−
21
θ −z
ω
−∞
0
При m = 1 из (8) получим
y11(θ , x10 , y10 ,ω ), x11(θ , x10 , y10 ,ω ) вида
z
e − iz x1, m −1  , x10 , y10 ,ω
ω
определяющее
2π
∆1(1) ( x10 , y10 ,ω ) =
∫
0
уравнение

 dz −

  
 dz  dθ  dθ .
  
первого
(8)
приближения
θ
θ −z
−
− iz


i
iθ 2
ω
−
ic
e
x
−
c
x
e
y10 dz dθ = 0,
 11
10
12 10 ∫
ω
−∞


2π
θ
θ −z
−
+ iz
i

∆ ( x10 , y10 ,ω ) = ∫  c21y10 ∫ e ω x10 dz dθ = 0.
ω
0 
−∞

(9)
(2)
1
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
θ
∫e
−
θ −z
− iz
ω
dz =
−∞
ω
1 − iω
e − iθ ,
θ
∫e
−
θ −z
+ iz
ω
dz =
−∞
ω
1 + iω
e iθ .
Из системы (9) получим
∆1(1) ( x10 , y10 ,ω ) =
2π

∫  −ic
x e iθ −
2
11 10
0
∆1(2) ( x10 , y10 ,ω ) =
2π
i
∫ ωc
0
y
21 10
i
ω
c12 x10
ω y10 − iθ 
e dθ = 0,
1 − iω

ω x10 iθ
e dθ = 0.
1 + iω
Отсюда получим
2
∆1(1) ( x10 , y10 ,ω ) = −c11x10
(e 2π i − 1) +
c12 x10 y10 2π i
(e − 1) = 0,
1 − iω
c x y
∆ ( x10 , y10 ,ω ) = 21 10 10 (e 2π i − 1) = 0.
1 + iω
(10)
(2)
1
Поскольку e 2π i = cos 2π + i sin 2π = 1, e −2π i = cos 2π − i sin 2π = 1, то система (10) имеет корни при любых фиксированных значениях x10 , y 01,ω .
Из системы (9) получим в первом приближении 2π -периодическое решение вида
θ
i


2
x11( x10 , y10 ,ω ) = x10 + ∫  −ic11e iθ x10
− c12 x10 y10 e − iθ dθ =
ω

0
c12 x10 y10 iθ
(e − 1),
1 − iω
2π
c x y
ω x10 iθ
i
y11( x10 , y10 ,ω ) = y10 + ∫ c21y10
e dθ = y10 + 21 10 10 (e iθ − 1).
1 + iω
1 + iω
0 ω
2
= x10 − c11x10
(e iω − 1) +
Согласно закону (4), в первом приближении
2π
ω
(11)
-периодическое по t решение системы
интегро-дифференциального уравнения (1) имеет вид
№ 5 (57) – 2016
7
Приволжский научный вестник


c x y
2
x (1) (t , x10 , y10 ,ω ) = e iωt  x10 − c11x10
(e iωt − 1) + 12 10 10 (e iωt − 1) ,
1 − iω


y ( x10 , y10 ,ω ) = e
(1)
− iωt


c21x10 y10 iωt
(e − 1) .
 y10 +
1 + iω


Построим вещественное в первом приближении
2π
ω
(12)
-периодические решения системы
(1), представив (12) в виде
c12 x10 y10 (1 + i ω )
(1 − e iωt ) =
1 + iω 2
2
= (cos ωt + i sin ωt )x10 − c11x10
[cos 2ωt − cos ω t + i (sin 2ωt − sin ωt )] +
2
2
x (1) (t , x10 , y10 ,ω ) = e iωt x10 − c11x10
− c11x10
(e 2 i ω t − e i ω t ) +
c12 x10 y10 (1 + i ω )
2
(1 − cos ωt − i sin ω t ) = x10 cos ω t − c11x10
(cos 2ω t − cos ωt ) +
1+ ω2
c x y
c x y
2
+ i [ −c11x10
(sin 2ωt − sin ωt ) + x10 sin ω t ] + 12 10 210 (1 − cos ωt ) + 12 10 210 sin ωt +
1+ ω
1+ ω
c x y

c x y
2
+ i  12 10 210 (1 − cos ω t ) + 12 10 210 sin ω t  = x10 cos ωt − c11x10
(cos 2ω t − cos ωt ) +
1+ ω
 1+ ω

c x y
2
(sin2ω t − sin ω t ) +
+ 12 10 210 (1 − cos ωt + ω sin ω t ) + i [ x10 sin ω t − c11x10
1+ ω
c x y
+ 12 10 210 (ω (1 − cos ωt ) − sin ω t )],
1+ ω
c x y (1 − i ω )
y (1) (t , x10 , y10 ,ω ) = e − iωt y10 + 21 10 10 2
(1 − e − iωt ) = (cos ωt − i sin ω t )y10
1+ ω
c x y (1 − i ω )
c x y
+ 21 10 10 2
(1 − cos ω t + i sin ω t ) = y10 cos ωt + 21 10 210 (1 − cos ωt ) +
1+ ω
1+ ω


c12 x10 y10ω
c21x10 y10
c21x10 y10
+
sin ωt + i  − y10 sin ω t +
sin ωt −
(1 − cos ωt ) =
2
2
2
1+ ω
1+ ω
1+ ω


c21x10 y10
c21x10 y10
= y10 cos ω t +
(1 − cos ω t + ω sin ωt ) − i [ y10 sin ωt +
(ω (1 − cos ωt ) − sin ω t )].
1+ ω 2
1+ ω2
+
Отсюда получим пару действительных
2π
ω
-периодических решений в первом прибли-
жении вида
2
x1(1) (t , x10 , y10 ,ω ) = x10 cos ω t − c11x10
(cos 2ωt − cos ω t ) +
c12 x10 y10
(1 − cos ωt + ω sin ωt ),
1+ ω2
c x y
y1(1) (t , x10 , y10 ,ω ) = y10 cos ω t + 21 10 210 (1 − cos ω t + ω sin ω t ).
1+ ω
+
13)
и
2
x2(1) (t , x10 , y10 ,ω ) = x10 sin ωt − c11x10
(sin 2ωt − sin ωt ) +
c12 x10 y10
(ω (1 − co s ω t ) − sin ωt ),
1+ ω2
c x y
y 2(1) (t , x10 , y10 ,ω ) = y10 sin ωt + 21 10 210 (ω (1 − cos ωt ) − sin ω t ).
1+ ω
+
(14)
Рассмотрим частный случай, когда x10 = y10 = ω = 1, c11 = c12 = c21 = 1
8
№ 5 (57) – 2016
Приволжский научный вестник
x2(1) (t ,1,1,1) = sin ωt − (sin2t − sin t ) +
1
(1 − co s t − sin t ) = 1,5 sin t − 0,5 cos t − sin 2t ,
2
1
y 2(1) (t ,1,1,1) = sin t + (1 − cos t − sin t ) = 0,5 sin t − 0,5cos t + 0,5.
2
π
π
3π
5π
Вычислим значения решений для t1 = 0, t 2 = , t3 = , t 4 =
, t5 = π , t 6 =
,
4
2
4
4
6π
7π
, t8 =
, t 9 = 2π и получим расчетную таблицу (расчет велся на компьютере на языке
4
4
Excel) (табл. 1).
t7 =
Таблица 1 – Расчётная таблица
№ п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0,785398
1,570796
2,356194
3,141593
3,926991
4,712389
5,497787
6,283185
t
0
0,785
1,57
2,355
3,14
3,925
4,71
5,495
6,28
x – хищники
0
0,206544
1,998009
2,915054
1,005534
-1,20428
-1,00358
0,083806
0,001595
y – жертвы
0
0,499718
0,999602
1,207106
1,000796
0,501408
0,001196
-0,2071
-0,00159
Построим графическое изображение полученных данных (рис. 1)
Точка равновесия популяции
Рисунок 1 – Графическое изображение полученных данных
Из графика видно, что количество хищников ( x ) и жертв ( y ) достигает наибольшей
численности при t = 2,31 . При t = 3,15 численность жертв и хищников совпадает. При t = 3,47
количество хищников ( x ) почти равняется нулю, а при t = 4,8 количество жертв ( y ) падает
почти до нулевого уровня. Происходит процесс исчезновения обоих видов.
Список литературы:
1. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. – Киев.: Вища школа, 1976. – 179 с.
2. Cushing J.M. Predator-prey interactions with time delays // J. Math. Biol. – 1976. –
3, № 3-4. – P. 369–380.
3. Алымбаев А.Т. Численные, численно-аналитические и асипмтотические методы исследования краевых задач. – Бишкек, 2004. – 175 с.
№ 5 (57) – 2016
9
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа