close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Неконформные конечные элементы в трехмерных задачах теории упругости.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 13, Специальный выпуск 4, 2008
Неконормные конечные элементы
в трехмерных задачах теории упругости?
А. А. Калинкин
Институт вычислительной математики
и математической геоизики СО АН, Новосибирск, оссия
e-mail:
alexander.a.kalinkinintel.om
In this article, we propose nonconformal finite elements of the Crouise?Raviart
type for a 3D elasticity problem on a parallelipedal grid. We also propose a twostep iterative method for solution of the corresponding grid problem. We construct a
preconditioner based on a transition from the elasticity operator to the grid Laplace
operator as well as on a diagonalisation of the tangent displacement matrix and internal
Chebyshev?s iterations for the normal displacements. Theoretical and experimental
analysis of the method is performed.
Введение
При решении задач механики сплошной среды широко используется неконормный метод конечных элементов (МКЭ), когда допустимое пространство сеточных ункций не
является подмножеством пространства разрешимости исходной вариационной задачи.
В этом случае наиболее употребимы элементы Крузеяавьяра [1?, степени свободы
для которых связаны со сторонами симплициальной сетки.
Для трехмерной задачи Стокса неконормные элементы со степенями свободы на
гранях ячеек параллелепипедальной (или почти
параллелепипедальной) сетки вве-
дены в работе [5?, где рассмотрены узловые и моментные степени свободы. Для двумерных уравнений Ламе аналогичный неконормный МКЭ детально проанализирован
. Фолком в [2?. Перенос этих результатов на трехмерный случай вызывает определенные трудности, связанные с наличием жестких вращательных перемещений (даже при
наличии условий Дирихле на части границы). В работе [4? в рамках разрывного метода
алеркина проведено исследование неконормного метода на симплициальном разбиении для плоской задачи теории упругости. Устойчивость обеспечивается добавлением
стабилизирующего ункционала на границах ячеек. В работе [3? анонсирован перенос
результатов . Фолка на трехмерный случай. Однако в [3? не используется стабилизирующая добавка, а для приведенного способа аппроксимации отсутствуют доказательства
корректности сеточной задачи и сходимости приближенного решения к точному. Математически проблема неустойчивости связана с тем, что в общем случае закрепления
?
абота выполнена при инансовой поддержке оссийского онда ундаментальных исследований
(грант ќ 07-01-00164а).
Институт вычислительных технологий Сибирского отделения оссийской академии наук, 2008.
47
48
А. A. Калинкин
части границы может отсутствовать сеточный аналог неравенства Корна. В этом случае сеточный оператор теории упругости имеет не пустое ядро и, следовательно, не
порождает скалярное произведение в пространстве разрешимости сеточной задачи.
В настоящей работе для трехмерной задачи теории упругости предлагаются неконормные элементы типа Крузеяавьяра на параллелепипедальной сетке (отличные
от предложенных в [5?), построено экономичное решение возникающих сеточных задач
итерационным методом. Собственно, речь пойдет о конструировании переобусловливателя в обобщенном методе сопряженных градиентов. Приводится ряд тестовых расчетов, иллюстрирующих весьма высокую эективность рассмотренной методики.
1. Аппроксимация неконормными элементами
? ? R3 составленное из параллелепипедов ограниченное открытое множество
?? = ?D ? ?N его граница. Далее пусть u = (ui)3i=1 вектор упругих перемещений
?(u) = (?ij (u))3i,j=1 симметричный тензор деормаций с компонентами
Пусть
и
и
1
?ij (u) =
2
Пусть
?ui ?uj
+
?xj
?xi
L2 (?) = (L2 (?))3 , Hl (?) = (H l (?))3
.
пространства Соболева для векторных
полей,
C? (?, ?) = {u ? C? (?),
и
u = 0,
x ? ? ? ??},
H1 (?, ?) замыкание C? (?, ?) по норме пространства H1 (?), задаваемой равенством
kuk2H1 (?)
=
3
X
kui k2H 1 (?) .
i=1
H1 (?) Ч H1 (?) зададим симметричную билинейную
Z
Z
a(u, v) = 2µ ?(u) : ?(v)dx + ? (? · u)(? · v)dx,
В пространстве
?
орму
(1.1)
?
где
?(u) : ?(v) =
3
X
?ij (u)?ij (v).
i,j=1
Тогда обобщенная задача может быть сормулирована следующим образом: для неко1
торого векторного поля f ? L2 (?) требуется найти поле перемещений u ? H (?, ?D ),
1
удовлетворяющее при произвольной вектор-ункции v ? H (?, ?D ) интегральному
тождеству
a(u, v) =
Z
f · vdx.
(1.2)
?
В
?
зададим параллелепипедальную сетку
T = {? },
состоящую из ячеек
? = [x1,i1 , x1,i1 +1 ] Ч [x2,i2 , x2,i2 +1 ] Ч [x3,i3 , x3,i3 +1 ].
Неконормные конечные элементы в трехмерных задачах теории упругости
ассмотрим каноническую ячейку (referene ell)
ее граней
e?l ,
?? = [?1, 1]3
49
со следующей нумерацией
l = 1, . . . , 6:
e?2k?1 = ?? ? {x?k = ?1},
e?2k = ?? ? {x?k = 1},
k = 1, 2, 3.
?? введем 18-мерное пространство неконормных CR элементов (типа Крузеяавьяра)
Q(?? ), состоящее из векторов вида
?
?
a1 + b1 x?1 + c1 x?2 + d1 x?3 + r1 x?22 + s1 x?23
v?(x?) = ? a2 + b2 x?1 + c2 x?2 + d2 x?3 + r2 x?21 + s2 x?23 ? .
a3 + b3 x?1 + c3 x?2 + d3 x?3 + r3 x?21 + s3 x?22
В
В пространстве
Q(?? )
?kl
найдем два базиса и
?kl ,
связанных с двумя различными
способами задания интерполирующих операторов, из следующих условий:
??kl (p?m ) = ?lm ek ,
где
l, m = 1, . . . , 6, k = 1, 2, 3
p?1 = ?e1 ,
p?m
и векторы
p?2 = e1 ,
a
Pe?m ??kl = ?lm ek ,
центры граней
p?3 = ?e2 ,
p?4 = e2 ,
1
P? u =
mes(?)
Z
e?m :
p?5 = ?e3 ,
p?6 = e3 ,
u(x)d?.
?
Пусть
u?
сужение
u
на ячейку
?.
Введем пространство
Hh = {u ? L2 (?) | u? ? H1 (? )}
и зададим в нем полунорму следующим равенством
|u|?,h =
X
|u? |2H1 (? )
? ?T
!1/2
.
ассмотрим его замкнутое подпространство
Vh = {u ? L2 (?) | u? ? Q(? )} ? Hh .
Пусть
E0
непустое пересечение с
?),
т. е.
? e ? E0 ? ?1 , ?2 ? T
такие, что
[u]e (x) = u?1 (x) ? u?2 (x),
Пусть,
ED
? ? T (имеющих
e = ?1 ? ?2 . Обозначим
множество всех различных внутренних граней ячеек
множество всех граней, лежащих на
[u]e (x) = u? (x),
x ? e ? E0 .
?D ,
и для
e = ? ? ?D :
x ? e ? ED .
Введем два пространства сеточных ункций, в которых будут сормулированы задачи
о поиске приближенных решений. Пусть
(1)
Vh,0 = {u ? Vh | ?e ? E0 ? ED
[u]e (pe ) = 0},
(1.3)
50
где
А. A. Калинкин
pe
центр грани
e,
и
(2)
Vh,0 = {u ? Vh | ?e ? E0 ? ED
При этом
(k)
Vh,0 6? H1 (?, ?D ),
Pe [u]e = 0}.
(1.4)
а следовательно, эти пространства порождают некон-
ормный метод конечных элементов.
Сужение билинейной ормы (1.5) на пространство
ством
a? (u? , v? ) = 2µ
Z
?(u? ) : ?(v? )dx + ?
?
В пространстве
Hh Ч Hh
(? · u? )(? · v? )dx.
?
X
a? (u? , v? ) +
? ?T
he
задается равен-
введем билинейную орму
a?,h (u, v) =
где
Z
H1 (? ) Ч H1 (? )
X
e?E0 ?ED
характерный линейный размер грани
2µ
he
Z
[u]e · [v]e de,
(1.5)
e
e.
Используя введенные пространства
(k)
(k)
(1.3) и (1.4), сормулируем две сеточные задачи: найти вектор-ункции u
? Vh,0 , k =
(k)
1, 2, такие, что для любых вектор-ункций v(k) ? Vh,0 выполняются интегральные
тождества
Z
a?,h (u(k) , v(k) ) =
f · v(k) dx ,
k = 1, 2.
(1.6)
?
Тогда можно доказать следущие теоремы (более подробно см. в [6?).
Найдется не зависящее от(k)параметров сетки и вектор-ункции u
положительное число c такое, что ? u ? Vh,0
, k = 1, 2, имеет место неравенство
Теорема 1.1.
| u|?,h ? c F?,h (u),
где
F?,h (u) =
?
?X Z
?
?(u? ) : ?(u? )dx +
? ?T ?
X
e?E0 ?ED
1
he
Z
e
?1/2
?
| [u]e |2 de
.
?
При mes2(?D ) > 0 найдется положительное число h0 такое, что
при h ? h0 задачи (1.6) однозначно разрешимы.
(k)
Пусть u ? H1(?, ?D ) ? H2(?) решение задачи (1.2), а u(k) ? Vh,0
,
k = 1, 2, решения задач (1.6). Тогда имеют место оценки
Теорема 1.2.
Теорема 1.3.
| u ? u(k) |?,h ? c ?? h | u|H2 (?) ,
|k u ? u(k) k|?,h ? c ?? h | u|H2 (?) ,
k = 1, 2,
где положительное число c не зависит от параметров сетки и векторного поля u, и
|kuk|?,h =
q
a?,h (u, u),
а ?? параметр, характеризующий регулярность сетки.
Неконормные конечные элементы в трехмерных задачах теории упругости
51
Пусть ? параллелепипед и ?D = ??, u решение задачи (1.2) при
(2)
? Vh,0 решение задачи (1.6) при k = 2. Тогда имеет место оценка
Теорема 1.4.
,
(2)
f ? L2 (?) u
k u ? u(2) kL2 (?) ? c ??2 h2 k fkL2 (?) ,
где положительное число c не зависит от параметров сетки и вектор-ункции u.
Параметр ?? взят из предыдущей теоремы.
Отдельно надо остановиться на роли стабилизирующей добавки из (1.5). Приводится
пример сеточной задачи без этой добавки, в котором, несмотря на наличие условий
Дирихле на части границы, оператор задачи имеет непустое ядро (более подробно об
этом см. в [6?).
2. Переобусловливание сеточных уравнений
Собственно, речь здесь идет о конструировании переобусловливателя в обобщенном
методе сопряженных градиентов. Более подробно о нем можно прочитать в [7?. Общая
схема построения переобусловливателя состоит из трех этапов.
Этап 1. На первом этапе показывается спектральная эквивалентность сеточного
оператора Ламе трем сеточным операторам Лапласа. Позволяют это сделать сеточное
неравенство Корна (см. раздел 1) и непрерывность сеточного энергетического скалярного произведения.
Найдется не зависящее от(k)параметров сетки и вектор ункции u
положительное число c такое, что ? u ? Vh,0, k = 1, 2, имеет место неравенство
Теорема 2.1.
|kuk|?,h ? c?? |u|?,h .
Этап 2. На данном этапе строится матрица
B? ,
(2.1)
для которой диагональные блоки
соответствуют нормальным и касательным перемещениям. Это позволит в дальнейшем
легко перейти к дополнениям Шура, соответствующим нормальным перемещениям,
которые являются
M -матрицами, и для обращения которых в следующем разделе будут
использованы процедуры Чебышева. При этом доказывается следующая
Лемма 2.2.
Имеют место неравенства
1
(A?u, u) ? (B?u, u) ? ?2 c(k) (A?, u) ? u ? RN ,
?2
k = 1, 2,
(2.2)
где числа c(1) = 8/3 и c(2) = 6 соответствуют узловому и моментному базисам, число
? параметр неравномерности сетки.
Этап 3. И, наконец, пользуясь работами Ю. Кузнецова [9?, мы спектрально экви-
валентно заменяем обращение дополнений Шура на некоторое иксированное число
шагов в метода Чебышева. В качестве переобусловливателя к методу Чебышева мы
используем попеременно-треугольный метод с двумя вариантами выбора параметров:
либо используя оптимальный параметр из работ A.A. Самарского [10?, находя крайние собственные значения дополнений Шура с помощью степенного метода, что крайне
затратно, либо используя оптимальный параметр из работ А.Н. Коновалова [8?.
52
А. A. Калинкин
3. Численный эксперимент
Приведем результаты численных экспериментов задачи в рассматриваемой в области
? = (0, 1)3 с точным решением
u(x) = 64[x1 x2 x3 (1 ? x1 )(1 ? x2 )(1 ? x3 )]2 e3 ,
(3.1)
т. е. задан вектор объемных сил как действие оператора теории упругости на ункцию
u.
Далее, как нетрудно заметить, ункция
u
является решением смешанной кра-
евой задачи ДирихлеНеймана:
u = 0,
x ? ?D = ? ? {x3 = 0, x3 = 1};
?(u)n = 0,
x ? ?N = ?? \ ?D .
(3.2)
В расчетах использовались значения коэициентов Ламе µ и
3
значениям модуля Юнга E = 10 и коэициента Пуассона ?
?, соответствующие
= 0.1. Все расчеты
?k
проводились на последовательности кубических сеток с шагами h = 2 , k = 3, ..., 6.
?1
В табл. 1 и 2 приведены спектральные числа обусловленности матриц B A для
узлового и моментного базисов, вычисленные степенным методом, где A матрица
жесткости, соответствующая уравнению Ламе, а B построенный нами переобусловливатель, s количество шагов в методе Чебышева. В скобках указаны соответствующие
числа обусловленности при наличии спектральной инормации.
Т а б л и ц а 1. Спектральные числа обусловленности матриц B ?1 A для узлового базиса
h
2?3
2?4
2?5
s=1
17.8 (14.4)
33.6 (32.1)
71.5 (56.9)
s=2
10.8 (11.4)
20.5 (24.0)
44.4 (49.0)
s=3
7.99 (7.58)
14.2 (14.7)
29.2 (28.8)
s=4
6.7 (5.89)
11.1 (10.1)
21.8 (18.7)
Т а б л и ц а 2. Спектральные числа обусловленности матриц B ?1 A для моментного базиса
h
2?3
2?4
2?5
s=1
34.8 (28.2)
101. (71.6)
204.0 (142.0)
s=2
21.6 (21.5)
61.0 (53.9)
125.0 (123.0)
s=3
16.3 (14.9)
41.8 (33.5)
82.6 (72.4)
s=4
13.9 (12.2)
32.5 (23.5)
61.7 (47.2)
лавный вывод, который следует из приведенных расчетов, это слабая зависимость
числа итераций и, что более важно, спектрального числа обусловленности при замене
оптимальных параметров, требующих знания спектральной инормации, на параметры [8? адаптивного подхода при выборе переобусловливателя для чебышевской процедуры.
Список литературы
[1?
Crouzeix M., Raviart P.-A.
Conforming and nononforminf nite element methods for
solving the stationary Stokes equations I // RAIRO. 1973. R.-3. P. 3375.
[2?
Falk R.S.
Nononforming nite element methods for the equation of linear elastiity // Math.
Comp. 1991. Vol. 57. P. 529550.
Неконормные конечные элементы в трехмерных задачах теории упругости
[3?
53
Georgiev I., Margenov S. DD-MIC(0) preonditioning of rotated trilinear FEM elastiity
systems // Comp. Assisted Meh. Eng. Si. 2004. Vol. 11. P. 197209.
[4?
Hansbo P., Larson M.G.
Disontinuous Galerkin and CrouzeixRaviart the Element:
Appliation to Elastiity. Prep. N 2000-09, Chalmers Finite Element Center, G
oteborg, 2001.
12 p.
[5?
Rannaher R., Turek S.
Simple nononforming quadrilateral Stokes element // Numer.
Methods Partial Dierential Equations. 1992. Vol. 8. P. 97111.
[6?
Kalinkin А.А., Laevsky Yu.M. Preonditioning of grid Lame equations in the
nononforming nite element method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 2007. Vol. 22,
N 1. P. 3963.
[7?
A nononforming nite element method for a three-dimensional problem of a elastiity theory // Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 2006. Vol. 21,
N 4. P. 273304.
Kalinkin А.А., Laevsky Yu.M.
[8?
Коновалов А.Н.
[9?
Kuznetsov Yu.A.
[10?
Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременно-треугольным переобусловливателем // Диеренц. уравнения. 2004. Т. 40, ќ 7. С. 953963.
Algebrai multigrid domain deomposition methods // Russ. J. Numer.
Anal. Math. Model. 1989. Vol. 4. P. 351380.
Самарский А.А., Николаев Е.
Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
Поступила в редакцию 20 евраля 2008 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
212 Кб
Теги
элементы, конечный, трехмерная, неконформные, упругости, теория, задача
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа