close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Неконформные схемы МКЭ для гиперболических систем линейных уравнений.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2010
Том 152, кн. 1
УДК 519.63
НЕКОНФОМНЫЕ СХЕМЫ МКЭ
ДЛЯ ИПЕБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УАВНЕНИЙ
Е.М. Федотов
Аннотация
В статье предлагается вариант неконормного метода конечных элементов аппроксимации многомерных симметричных систем уравнений первого порядка гиперболического
типа. При конструировании сеточных схем применяется подход, предложенный ранее
для скалярного уравнения конвекции-диузии, основанный на аппроксимации алјркина Петрова смешанной постановки исходной задачи, учитывающий направление конвективного переноса. Использование такого подхода позволило при аппроксимации систем
уравнений учесть локальные направления характеристик, а также сохранить основные
свойства пространственного оператора исходной задачи.
Доказана устойчивость схемы метода прямых, двухслойной схемы с весами для смешанной граничной задачи.
Ключевые слова: гиперболические системы уравнений, сеточные схемы, метод конечных элементов, разностные схемы с весами.
Методам построения сеточных схем для линейных и нелинейных гиперболических систем уравнений и их решению уделяется большое внимание. Это связано
с большим количеством приложений для таких уравнений. При конструировании
численных методов используются различные подходы (см., например, [1? и имеющуюся там библиограию), которые позволяют строить сеточные схемы, воспроизводящие различные особенности решений этих уравнений.
В настоящей работе предлагается метод построения схем сквозного счјта
для многомерных гиперболических систем линейных уравнений первого порядка в предположении их симметрии. Метод построения сеточных схем для таких
систем уравнений основан на использовании предложенного в [2? метода аппроксимации скалярного уравнения конвекции-диузии. Использование предельной
аппроксимации алјркина Петрова смешанной постановки исходной задачи позволило учесть направление конвективного переноса. При аппроксимации систем
уравнений такой подход естественным образом позволяет учитывать локальные
направления характеристик, а также сохранять основные свойства пространственного оператора исходной задачи. Предложенные здесь сеточные схемы являются
вариантом неконормного метода конечных элементов, в котором приближјнное
решение ищется в пространстве кусочно-полиномиальных ункций, допускающих
разрывы на границах элементов триангуляции.
Построенные в работе сеточные схемы включают в себя как частный случай
известные противопотоковые схемы первого порядка точности и являются естественным обобщением на случай гиперболических симметричных систем известных разрывных локальных схем метода алјркина (см. [35? и цитированную там
литературу).
246
Е.М. ФЕДОТОВ
1.
Постановка задачи и построение
полудискретной схемы для задачи Коши
ассмотрим задачу об определении вектор-ункции u : Rn Ч [0, T ] 7? Rm ,
m ? 1 , удовлетворяющей уравнению
n
?Bu X ?
+
A(i) u + Cu = f ,
?t
?xi
i=1
с начальным условием
u(x, 0) = u0 (x),
x ? Rn , t ? (0, T ]
x ? Rn ,
(1)
(2)
Будем полагать, что B(x, t) , C(x, t) , A (x, t) , i = 1, . . . , n , являются вещественными непрерывно диеренцируемыми m Ч m матрицами, причјм матрица B
предполагается симметричной и положительно определјнной. Будем также полагать, что при любом ? ? Rn матрица
(i)
A(?) =
n
X
A(i) ?i ? A ? ?
(3)
i=1
является симметричной, что обеспечивает гиперболичность системы уравнений (1).
Укажем способ построения сеточной аппроксимации задачи (1), (2). При этом
будем исходить из интегрального тождества:
Z
Z X
Z
n
?Bu
??
(4)
· ? dx ?
A(i) u ·
dx = (f ? Cu) · ? dx,
?t
?xi
i=1
?
?
?
справедливого для любой ограниченной области ? ? Rn и любой непрерывно диеренцируемой в ? вектор-ункции ? такой, что ?|?? = 0 .
Для сокращения записи при выводе сеточных уравнений будем полагать, что
матрицы A(i) , i = 1, . . . , n постоянны, а матрица C и вектор f равны нулю.
Частным случаем изучаемой системы уравнений является риманов случай, когда система уравнений (1), благодаря введению новых переменных, распадается
на систему независимых скалярных или слабосвязанных уравнений. Естественно
требовать, чтобы сеточная схема, построенная для систем уравнений общего вида,
при этом также приводила к устойчивым аппроксимациям соответствующих уравнений.
Указанный случай соответствует попарной перестановочности матриц A(i) ,
i = 1, . . . , n . ассмотрим его. Известно, что в таком случае существует ортогональная матрица Q , что
?(i) = QA(i) QT , i = 1, . . . , n,
(5)
(i)
где ?(i) диагональные вещественные матрицы. Их диагональные элементы ?? ,
? = 1, . . . , m , являются собственными числами матриц A(i) .
Учитывая (5), запишем интегральное тождество (4) следующим образом:
Z
Z X
n
?Bu
?(Q?)
· ? dx ?
?(i) (Qu) ·
, dx = 0.
(6)
?t
?xi
i=1
?
?
Введјм обозначения r = Qu для переменных имана, а также q = Q? для
пробных ункций. Тогда (6) запишется в виде
Z
m Z
X
?Bu
(1)
(n)
· ? dx ?
rj vj · ?qj dx = 0, vj = (?j , . . . , ?j ).
(7)
?t
j=1
?
?
247
НЕКОНФОМНЫЕ СХЕМЫ МКЭ
Аппроксимируем тождество (7). Заметим, что каждое слагаемое под знаком
суммы в этом тождестве соответствует конвективному слагаемому в скалярном
уравнении (1) [2? (см. там же (4)). Воспользуемся методикой раздельной аппроксимации слагаемых, предложенной в указанной работе.
Аналогично [8? построим в Rn конормную триангуляцию Th . Через K условимся обозначать элементы триангуляции, через eK границы элементов K . Приближјнное решение uh задачи будем искать в пространстве Vhm = Vh ЧVh Ч· · ·ЧVh
кусочно-полиномиальных, вообще говоря, разрывных ункций, где
Vh = Vh,k ? {?h ? L? (Rn ) : ?h |K ? Pk (K), K ? Th },
Pk (K) пространство полиномов степени не выше k по каждой переменной на элементе K . Через ?h будем обозначать произвольную конечную часть триангуляции
?
Th , через V h подпространство ункций из Vh , равных нулю вне ?h .
В соответствии с [2? тождество, аппроксимирующее (7), будет иметь вид
Z
?h
m Z
X X
?Buh
· ?h dx +
?
rj,h vj · ?qj,h dx+
?t
j=1
K??h
+
m Z
XX
K
+
rj,h (vj · ?) (qj,h ? qj,h |
K?
eK j=1e
K
) dx = 0
?
? ?h ?V
m
h ,
? ?h ? Th , (8)
где K ? элемент ?h , смежный с K через сторону eK , ? внешняя нормаль к eK
со стороны элемента K , v ± = (|v| ± v)/2 положительная и отрицательная части
ункции v.
Учитывая связь rh = Quh и qh = Q?h , первые слагаемые в квадратных скобках (8) запишем в виде
m Z
X
rj,h vj · ?qj,h dx =
j=1 K
Z X
n
A(i) uh ·
K i=1
??h
dx.
?xi
(9)
Введјм в рассмотрение матрицу
T +
A+
? = Q ?? Q,
+
+
где ?+
? = diag((v1 · ?) , . . . , (vm · ?) ) , тогда второе слагаемое в квадратных скобках (8) примет вид
m Z
XX
rj,h (vj · ?)+ (qj,h ? qj,h |K ? ) dx =
eK j=1e
K
XZ
A+
? uh · (?h ? ?h |K ? ) dx.
(10)
eK e
K
Для симметричной m Ч m матрицы C = C T построим спектральное разложение C = T T ?T , где ? = diag(?1 (C), . . . , ?m (C)) , ?i (C) собственные числа
матрицы C , T T = T ?1 . Введјм в рассмотрение матрицы C ± = T T ?± T , где ?± =
±
+
?
= diag(?±
1 (C), . . . , ?m (C)) . Соответственно, определим матрицу |C| = C + C .
Ясно, что построенные таким образом матрицы неотрицательны, симметричны и
C = C+ ? C? .
Нетрудно видеть, что
X
n
+
+
(i)
A? = A(?) =
A ?i + = (A??)+ .
i=1
248
Е.М. ФЕДОТОВ
С учјтом (9), (10) тождество (8) запишется в виде
Z
Th
Z
n
X Z X
??h
?Buh
· ?h dx +
?
A(i) uh ·
dx + Cuh · ?h dx+
?t
?xi
i=1
+
K?Th
XZ
eK e
K
K
K
Z
+
(A??) uh · (?h ? ?h |K ? ) dx = f · ?h dx
?
? ?h ?V
m
h ,
? ?h ? Th . (11)
Th
Под решением сеточной схемы метода прямых для задачи Коши для уравнения (1) с начальным условием (5) будем понимать вектор-ункцию uh ? Vhm при
?
любых ?h ?V m
h , ?h ? Th , удовлетворяющую тождествам (11) и
Z
?
(uh ? u0 ) · ?h dx = 0 ??h ?V m
h , ?h ? Th , t = 0.
(12)
Th
Такую приближјнную постановку будем использовать как в римановом случае,
когда матрицы A(i) перестановочны, так и в общем случае, когда относительно
матрицы A(?) , определјнной равенством (3), предполагается лишь симметричность при любом ? ? Rm , включая случаи, когда матрицы B , A(i) , i = 1, 2, . . . , n ,
зависят от переменных x и t .
Отметим, что наиболее близкими к предлагаемым здесь схемам являются варианты схем разрывного метода алјркина для систем Фридрихса [6?, а также схемы с
использованием численных потоков Виджайясундарама (Vijayasundaram) (см., например, [7, џ 2.4? и приведјнную там библиограию), применяемые для численного
решения нелинейных гиперболических систем уравнений.
2.
Схема метода прямых для смешанной краевой задачи
Пусть ? многоугольная область в Rn с границей ? . ассмотрим задачу о нахождении вектор-ункции u : ? Ч [0, T ] 7? Rm , являющейся решением уравнения
n
?Bu X ?
+
A(i) u + Cu = f ,
?t
?xi
i=1
x ? ?, t ? (0, T ]
(13)
с граничным условием
(A??)? u = 0,
x ? ?? (t) = {x ? ? : (A??)? 6= 0}, t ? (0, T ],
(14)
где ? внешняя нормаль к границе ? , и с начальным условием
u(x, 0) = u0 (x),
(15)
x ? ?.
Построение схемы метода прямых проведјм указанным выше способом, путјм
аппроксимации интегрального тождества
Z
Z X
Z
Z
n
?Bu
??
(i)
+
· ? dx ?
A u·
dx + (A??) u · ? dx = (f ? Cu) · ? dx, (16)
?t
?xi
i=1
?
?
?
?
справедливого для любой достаточно гладкой вектор-ункции ? ? Rm .
Пусть, как и раньше, Th конормная триангуляция области ? с границей
?h , согласованной с границей ? , K элементы триангуляции, eK границы элементов,
Vh = Vh,k ? {?h ? L? (?) : ?h |K ? Pk (K), K ? Th }.
249
НЕКОНФОМНЫЕ СХЕМЫ МКЭ
Под приближјнным решением схемы метода прямых для задачи (13)(15) будем понимать вектор-ункцию uh ? Vhm , удовлетворяющую при любой векторункции ? ? Vhm интегральным тождествам (ср. с (11), (12)):
Z
Th
n
X Z X
??h
?Buh
· ?h dx +
?
A(i) uh ·
dx +
?t
?xi
i=1
K?Th
+
K
XZ
+
(A??) uh · (?h ? ?h |
K?
eK e
K
Z
) dx = (f ? Cuh ) · ?h dx, (17)
Th
Z
(A??)? uh · ?h dx = 0,
? ?h ? Vhm ,
Z
(uh ? u0 ) · ?h dx = 0,
? ?h ? Vhm ,
(18)
?h
t = 0.
(19)
Th
В тождестве (17) для однородности записи принято, что ?h |K ? = 0 для сторон eK , являющихся частью границы ?h , приграничных элементов K .
1/2
и vA±
=
Введјм в рассмотрение полунормы в Rm : vA? = |A??|v·v
?
1/2
±
= (A??) v·v
. Обозначим через ? множество сторон элементов разбиения Th ,
лежащих в области ? , символом [|uh |] обозначим скачок ункции uh вдоль нормали к стороне e ? ? .
Справедлива
Теорема 1.
лива оценка
kuh (t)k2B
+
Сеточная схема метода прямых (17)(19) устойчива и справед-
Zt X Z
e?? e
0
[|uh |]2 dx dt? +
A?
?e
где
kvk2B ±1
Z
=
ct
kuh (0)k2B
Zt Z
?
0 ?h
+
Z
0
2
uh + dx dt? ?
A
t
kf (?)k2B ?1
c > 0, t ? (0, T ], (20)
d? ,
B ±1 v · v dx.
Th
Доказательство.
1 ?
2 ?t
Z
Th
+
Положим в тождестве (17) ?h = uh :
Z
n
X Z X
?uh
Buh · uh dx +
?
A(i) uh ·
dx + Cuh · uh dx+
?xi
i=1
K?Th
XZ
eK e
K
K
K
Z
Z
1
?B
(A??)+ uh · (uh ? uh |K ? ) dx = f · uh dx ?
uh · uh dx, (21)
2
?t
Th
Th
Преобразуем сначала первое слагаемое в квадратных скобках в (21), пользуясь
следующим представлением подынтегрального выражения, учитывающим симметрию матриц A(i) :
?A(i) uh ·
?uh
1 ?
1 ?A(i)
=?
(A(i) uh · uh ) +
uh · uh .
?xi
2 ?xi
2 ?xi
250
Е.М. ФЕДОТОВ
Имеем:
Z n
Z X
n
XZ 1
?uh
1 X ?A(i)
dx =
uh · uh dx ?
(A??)uh · uh dx.
?
A(i) uh ·
?xi
2
?xi
2
e
i=1
i=1
K
K
K
eK
Тогда, принимая во внимание равенство A?? = (A??)+ ? (A??)? , второе слагаемое в (21) запишем в виде
J=
1
2
Z X
n
X X Z 1
?A(i)
uh · uh dx +
(A ? ?)+ uh · uh +
?x
2
i
e
i=1
K?Th
Th
K
eK
1
?
+
+ (A ? ?) uh · uh ? (A ? ?) uh · uh |K ? dx.
2
Учитывая далее кратность вхождения сторон элементов триангуляции eK , лежащих в ? , граничное условие (18) и отсутствие смежных элементов для сторон,
лежащих на границе области, получим
J=
1
2
Z X
n
?A(i)
Th
i=1
?xi
uh · uh dx +
1X
2 e??
Z
e
[|uh |]2 dx + 1
A?
2
Z
?h
2
uh + dx.
A ?
(22)
Подставляя полученное для J выражение в (21), придјм к равенству
1 ?
2 ?t
Z
Buh · uh dx +
Th
1X
2 e??
=
Z
Z
e
[|uh |]2 dx + 1
A?
2
1
f · uh dx ?
2
Th
Z Th
Z
?h
2
uh + dx =
A ?
n
?B X ?A(i)
+
+ 2C uh · uh dx, (23)
?t
?xi
i=1
откуда, пользуясь непрерывной диеренцируемостью коэициентов матриц B ,
C и A(i) , а также неравенством ронуолла, придјм к утверждению теоремы.
3.
Сеточная схема с весами
Аппроксимируем схему метода прямых (11), (12) схемой с весами. Для этого построим на отрезке [0, T ] сетку ??? = {tj , j = 0, . . . , Nt } , ?? = ??? \ {T } . Определим
пространство сеточных ункций Xh,? следующим образом:
Xh,? = {v(t) ? Vhm , t ? ??? }.
Под решением сеточной схемы с весами будем понимать сеточную ункцию
y ? Xh,? , удовлетворяющую тождествам
Z
Th
(By)t · ?h dx +
n
X Z X
XZ
??h
?
A(i) y(?) ·
dx +
(A??)+ y(?) · (?h ?
?x
i
e
i=1
K?Th
K
K
eK
Z
? ?h |K ? ) dx = (f ? Cy(?) ) · ?h dx,
Th
? ?h ? Vhm , ? ? 0, (24)
251
НЕКОНФОМНЫЕ СХЕМЫ МКЭ
Z
(A??)? y · ?h dx = 0,
Z
(y ? u0 ) · ?h dx = 0,
(25)
? ?h ? Vhm , t ? ?? ,
?h
? ?h ? Vhm ,
(26)
t = 0.
Th
Здесь и далее для средних и разностных отношений будем пользоваться обозначениями, принятыми в [9?:
v (?) (t) = ?v(t + ? ) + (1 ? ?)v(t), vt (t) = v(t + ? ) ? v(t) /?.
Исследуем устойчивость сеточной схемы (24)(26). Для этого определим скалярное произведение в Vhm ормой:
Z
(v, ?) = v · ? dx, ? v, ? ? Vhm .
Th
Сеточные операторы A и B , ? ? Xh,? , y0 ? Vhm определим ормами
(Av, ?) =
Z
n
X Z X
XZ
??h
?
A(i) v·
dx+
(A??)+ v·(?h ??h |K ? ) dx+ Cv·?h dx ,
?xi
e
i=1
K?Th
(Bv, ?) =
Z
K
K
Bv · ?h dx,
(?, ?) =
Th
Z
eK
K
Z
Bf · ?h dx,
Th
(y0 ? u0 ) · ?h dx,
? v, ? ? Vhm .
Th
Схему (24) запишем в операторном виде
(By)t + Ay(?) = ?(t),
t ? ?? ,
y(0) = y0 .
Очевидно, оператор B является самосопряжјнным и положительно определјнным; оператор A , как следует из (22) и предположения о диеренцируемости
матриц коэициентов, может быть оценен следующим образом:
Z
Z
2
1 X 1 2
(Ay, y) ?
[|y|] A? dx +
y A+ dx ? c1 kyk2B , c1 > 0.
?
2 e
2
e
?h
Тогда, следуя [10, с. 6269?, нетрудно доказать, что при значениях весового
параметра 1/2 ? ? ? 1 сеточная схема с весами (24)(26) абсолютно устойчива и
верна оценка
ky(t)k2B +
X
t? ????
?
XZ X Z 2
[|y(t? )|]2 dx +
? y(t? )A+ dx ?
A
?
e
e
t? ????
?
?h
X
? M ky(0)k2B +
? kf (t? )k2B ?1 ,
t? ????
M > 0, t ? ??? ,
252
Е.М. ФЕДОТОВ
4.
Однородная неконормная аппроксимация
Для решения исходной задачи (13)(15) можно также воспользоваться однородной по пространству и времени сеточной аппроксимацией, предложенной в [6?.
Для этого по аналогии с [5, џ 6.3.2? построим на отрезке [0, T ] сетку ??? = {tj ,
j = 0 , . . . , Nt } . Определим пространство сеточных ункций Xh,? :
Xh,? = {v ? L? [0, T ) : v ? Pl (tj , tj+1 ), v(t) ? Vhm , j = 0, 1, . . . , Nt ? 1},
l ? 0.
Под решением однородной неконормной сеточной схемы для задачи (13)(15)
будем понимать сеточную ункцию y ? Xh,? , удовлетворяющую при всех значениях ? ? Xh,? тождествам
Z
(By ·
?h )jt?
tZj+1Z n
??h X (i)
??h
1 X
dx +
?
By ·
+
A y·
dx dt+
?j
?t
?xi
i=1
K?Th
Th
+
X
tj K
tZj+1Z
+
(A??) y·(?h ??h |
K?
) dx dt =
eK t e
j K
1
=
?j
tZj+1Z
tZj+1Z
(f ? Cy) · ?h dx dt, j = 0, 1, . . . Nt ?1, (27)
tj Th
(A??)? y · ?h dx dt = 0
(28)
??h ? Xh,? ,
tj ?h
Z
(y ? u0 ) · ?h dx = 0 ??h ? Vhm ,
(29)
t = 0.
Th
где (v · w)jt? = (v · w)|tj+1 ?0 ? (v|tj ?0 · w|tj +0 ) /?j , ?j = (tj+1 ? tj ) .
Отметим, что сеточная схема (27)(29) является неявной. При l = 0 она совпадает с чисто неявной сеточной схемой с весами ( ? = 1 ), изученной в џ 3..
Характерной особенностью схемы (27)(29) является еј консервативность. Действительно, полагая в тождестве (27) ?h = ?j e(s) , s = 0, 1, . . . , m ,
e(s) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ? Rm (единица в позиции s) и суммируя полученные
равенства по j , придјм к сеточному аналогу закона сохранения:
Z
Th
By
t?0
dx +
ZtZ
+
(A??) y dx dt =
0 ?h
Z
Th
By
t=0
dx +
ZtZ
(f ? Cy) dx dt,
t ? ??? \ {0}.
0 Th
Обозначим через E единичную m Ч m матрицу, через C0 = (C + C T )/2 симметричную часть матрицы C . Скобками h| · |i обозначим скачок ункции по
переменной t .
Воспользовавшись полученными в [6? для этой схемы результатами, придјм
к следующему утверждению.
Теорема 2.
Пусть при всех (x, t) ? ?? Ч [0, t] выполнено неравенство
n
?B X ?A(i)
+
+ 2C0 ? 2c0 E,
?t
?xi
i=1
c0 > 0,
(30)
253
НЕКОНФОМНЫЕ СХЕМЫ МКЭ
тогда сеточная схема (27)(29) абсолютно устойчива и справедлива оценка
ky(tj ?
0)k2B
ZtjX Z
Z
j?1
X
2
2
2
+
h|y|i(ti ) B +
[|y(t)|] A? dx + y(t) A+ dx dt+
?
i=0
c0
+
2
Ztj
0
0
e
e
Z
ky(t)k2E dt ? M ky(0)k2B +
0
?h
tj
kf (t)k2E dt ,
M > 0, j = 1, . . . , Nt .
Заметим, что условия устойчивости схемы (27)(29) являются более жјсткими по сравнению с условиями для схемы метода прямых и схемы с весами. При
l > 0 условие (30) обеспечивает однозначную разрешимость уравнений на каждом
временном слое.
абота выполнена при инансовой поддержке оссийского онда ундаментальных исследований (проекты ќ 09-01-97015, 10-01-00728).
Summary
E.M. Fedotov.
Equations.
Nononformal Finite Element Shemes for Hyperboli Linear Systems of
In this paper we propose a variant of nononformal nite element method of approximation
of the multidimensional linear rst order hyperboli system. The approah is used that
was suggested earlier for the salar onvetion-diusion equation, based on Galerkin Petrov
approximation for the mixed formulation of the original problem, taking into aount the
diretion of onvetion. Using this approah for the approximation of symmetri systems of
equations allows naturally to take into aount the loal diretion of the harateristis, as well
as preserve the basi properties of the spatial operator of the original problem.
Unonditional stability of the semidisrete sheme, impliit two-layer dierene shemes
with weights is proved.
Key words: linear hyperboli systems, mesh shemes, non-onformal nite element
methods, dierene shemes with weights.
Литература
1.
Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 608 с.
Куликовский А.., Погорелов Н.В., Семјнов А.Ю.
2.
Ляшко А.Д., Федотов Е.М. Предельные схемы алјркина Петрова для уравнения
конвекции-диузии // Диеренц. уравнения. 2009. Т. 45, ќ 7. С. 10421052.
3.
The loal disontinuous Galerkin method for time-dependent
onvetion-diusion systems // SIAM J. Numer. Anal. 1998. V. 35, No 6. P. 2440
2463.
4.
Disontinuous Galerkin methods for onvetion dominated problems // HighOrder Methods for Computational Physis. Leture Notes in Computational Siene and
Engineering / Eds. T. Barth, H. Deonink. Springer-Verlag, 1999. V. 9. P. 69224.
5.
Ern A., Guermond J.-L. Theory and Pratie of Finite Elements. V. 159 of Applied
Mathematial Sienes. N. Y.: Springer-Verlag, 2004. 520 p.
6.
Cokburn B., Shu C.-W.
Cokburn B.
M.
Disontinuous Galerkin Methods for Friedrihs Systems with
Irregular Solutions: PhD Thesis. Oxford: Oxford University, 2004. URL:
http://web.omlab.ox.a.uk/oul/researh/na/theses.html.
Jensen
254
7.
8.
Е.М. ФЕДОТОВ
Hartmann R. Disontinuous Galerkin methods for ompressible ows: higher order
auray, error estimation and adaptivity // VKI LS 2006-01: CFD-Higher Order
Disretization Methods , Nov. 1418, 2005 / Eds. H. Deonink, M. Rihiuto. Rhode
Saint Genese, Belgium: Von Karman Institute for Fluid Dynamis, 2005.
Сьярле Ф.
Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.
9.
10.
Самарский А.А.
Теория разностных схем. М.: Мир, 1977. 656 с.
Ляшко А.Д., Федотов Е.М. азностные схемы для нелинейных нестационарных задач. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2008. 199 с.
Поступила в редакцию
18.01.10
Федотов Евгений Михайлович доктор изико-математических наук, проессор
каедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: eugeny.fedotovksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
227 Кб
Теги
уравнения, мкэ, система, линейный, неконформные, схема, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа