close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Некоторые задачи связанные с распределением нулей целых функций определенных рядами Дирихле с конечнозначными коэффициентами.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 12 Выпуск 2 (2011)
Труды VIII Международной конференции
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения,
посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и
120-летию Ивана Матвеевича Виноградова
УДК 511
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НУЛЕЙ ЦЕЛЫХ
ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ РЯДАМИ
ДИРИХЛЕ С КОНЕЧНОЗНАЧНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов)
Аннотация
Для рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, определяющих целые функции, выясняется насколько условия, выраженные в терминах аналитических свойств этих функций, а также дополнительные
условия на коэффициенты рядов Дирихле, влияют на расположение нулей
таких функций в полуплоскости
?>
1
2.
1. Lфункция Дирихле L(s, ?), где ? неглавный первообразный характер
Дирихле, удовлетворяет следующим условиям:
определяет целую функцию f (s), для которой
|f (s)| < ce|s|ln|s|+A|s| ,
где A и c некоторые положительные константы;
удовлетворяет функциональному уравнению типа Риммана
? ? s+?
? ? 1?s+?
s+?
1?s+?
2
2
?
L(s, ?) =
?
L(1 ? s, ??),
k
2
k
2
(1)
(2)
где k модуль характера ?, ?? сопряженный характер, ? величина, равная
0 или 1 в зависимости от четности характера ?;
коэффициенты соответствующего ряда Дирихле являются конечнозначными и мультипликативными.
Цель данной работы по возможности выяснить, насколько каждое из
сформулированных выше условий, имеющих место для Lфункций Дирихле,
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ...
55
как дополнительное условие на целые функции, определяемые рядами Дирихле с конечнозначными коэффициентами, влияет на расположение нулей таких
функций в полуплоскости ? > 12 .
2. Пусть ряд Дирихле с конечнозначными коэффициентами определяет целую функцию, модуль которой удовлетворяет условию роста (1). В работе [1]
показано, что коэффициенты an таких рядов являются периодическими, начиная с некоторого
P номера, и, кроме того, сумматорная функция этих коэффициентов S(x) =
an является ограниченной. В 1978 году С.М. Воронин показал
n6x
(см., например, [2]), что такие функции могут иметь достаточно много нулей,
лежащих в полуплоскости ? > 21 .
3. Пусть ряд Дирихле с периодическими коэффициентами определеяет целую функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению типа Римана
(2). Отметим, что это условие является более сильным, чем условие (1), и оно
накладывает определенные условия на расположение нулей таких функций. В
1936 году Дэвенпорт и Хейльбронн привели пример ряда Дирихле с периодическими коэффициентами, который определяет целую функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению типа Римана [3]. В работе [4] было показано,
что эта функция имеет достаточно много нулей, лежащих на критической прямой, и достаточно много нулей, лежащих в полуплоскости ? > 12 .
В работе [5] показано, что существует бесконечное множество целых функций, определяемых рядами Дирихле с конечнозначными коэффициентами, которые удовлетворяют функциональному уравнению вида (2), и которые имеют
достаточно много нулей как на критической прямой, так и в полуплоскости
? > 21 . Встает вопрос: насколько независимо могут располагаться нули таких
функций в полуплоскости ? > 21 , а именно, для любого ли нуля z0 функции
f1 (z) из этого класса найдется функция f2 (z) из этого же класса, для которой
z0 не является нулем?
Этот ивопрос является важным в связи с решением проблемы о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана. В работе [6] было показано, что
при некотором ограничении на поведение сумматорной функции, связанной с
функцией Мангольда, и при условии выполнения основной гипотезы Римана о
нулях дзетафункции, нетривиальные нули Lфункции Дирихле, не лежащие
на критической прямой, являются нулями любой целой функции, определенной
рядом Дирихле с периодическими коэффициентами.
Численный эксперимент, основанный на быстром приближении целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами полиномами Дирихле, показал, что в области: ? > 21 , |t| 6 106 , нет общих нулей таких
функций.
4. Остановимся более подробно на случае, когда целая функция определяется рядом Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами
an . Если рассмотреть логарифм такой функции, то легко видеть, что отсутствие нулей такой функции в полуплоскости ? > 21 равнозначно тому, что ряд
56
В. Н. КУЗНЕЦОВ, О. А. МАТВЕЕВА
Дирихле вида
f (s) =
X ap
p
ps
(3)
продолжим регулярным образом в эту полуплоскость.
При решении задачи аналитического продолжения рядов Дирихле вида (3)
представляет интерес подход, основанный на изучении поведения функции вида
X
g1 (x) =
ap x p ,
(3? )
p
при подходе к точке x = 1.
Как показано в [1] задача аналитического продолжения рядов Дирихле
f (s) =
X an
n
ns
(4)
равносильна задаче, связанной с поведением функции, определенной степенным
рядом с теми же коэффициентами, что и ряд Дирихле (4):
X
g(x) =
an x n ,
(5)
n
при подходе к точке x = 1.
В работе [7] изучалось поведение степенного ряда (5) при подходе к точке
x = 1 в случае мультипликативных коэффициентов. При этом был задействован аппарат сильно непрерывных ограниченных полугрупп операторов
(С.Н.О.П.О.). Известно [8,9], что наличие С.Н.О.П.О., действующей в банаховом пространстве, обеспечивает прямые и обратные теоремы приближения по
собственным подпространствам такие же как и в классическом случае.
Построение соответствующих С.Н.О.П.О. позволило сравнить величину En (g(x)) величину наилучшего приближения функции вида (5) алгебраическими полиномами степени, не выше n, с величиной En? (g(x)) величиной
наилучшего приближения функции вида (5) алгебраическими полиномами с
мультипликативными коэффициентами, сначала на отрезке [0, 1 ? ?], а затем
в результате предельного перехода и на отрезке [0, 1]. При этом было показано, что сравнение велечин En (g(x)) и En? (g(x)) равносильно сравнению величин En (g(x)) и E?n (g1 (x)), где функция g1 (x) определяется рядом вида (3'), а
E?n (g1 (x)) величина наилучшего приближения функции g1 (x) полиномами,
порожденными степенями {xp }p6n . Это позволило получить условия аналитического продолжения рядов Дирихле вида
X ap
.
(6)
f1 (s) =
s
p
p
Одно из таких условий состоит в том, что:
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ...
57
1) степенной ряд (5) определяет функцию g(x), непрерывную на отрезке
[0, 1];
2) Степенной ряд
X ap
g2 (x) =
xp
(6? )
p
p
определяет функцию, непрерывную на отрезке [0, 1];
3) модуль непрервыности функции g2 (x), определяемой рядом (6'), удовлетворяет условию ДиниЛипшица, то есть
1
?( , g2 (x)) 6 c ln?1 n.
n
(7)
Рассмотрим случай Lфункции Дирихле L(s, ?), где ? неглавный и недействительный характер Дирихле. В этом случае известна оценка [10]
X
?(p) log p = o
p6x
x ,
lnm x
(8)
где m > 2.
В силу тауберовой теоремы ИкеарыВинера [11], примененной к функциям
? (s,?)
? ? (s)
? ?(s) и ? LL(s,?)
, из оценки (8) следует оценка вида
x ,
?(p) = o
lnm x
p6x
X
(9)
где m > 2.
P ?(p)
Суммируя числовой ряд
по частям, на основании оценки (9) полуp
p
чаем его сходимость. Таким образом, степенной ряд (6') определяет функцию,
непрерывную на отрезке [0, 1]. Вопрос о том, удовлетворяет ли функция (6')
условию ДиниЛипшица (7) остается открытым. Здесь нужно получить либо
более сильный результат относительно области, свободной от нулей Lфункции,
либо получить условие (7), развивая методы работы [7] для случая Lфункций
Дирихле.
В заключении отметим, что авторам неизвестен факт существования рядов
Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, отличных
от Lфункций Дирихле, которые определяют целые функции. Решение этого
вопроса тесно связано с гипотезой Н.Г. Чудакова [12] о том, что конечнозначная
мультипликативная функция натурального аргумента h(n), которая почти для
всех простыхPотлична от нуля и для которой ограничена сумматорная функция S(x) =
h(n), является характером Дирихле. Эта гипотеза до сих пор
n6x
остается открытой. В работе [13] приведены результаты, которые отражают современное состояние дел в направлении решения этой задачи.
58
В. Н. КУЗНЕЦОВ, О. А. МАТВЕЕВА
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле //
Мат. заметки, 1984. Т.36. ќ6.
[2] Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М.: Физматгиз,
1994.
[3] Devenport H., Heilbronn H. On the zeros certain Dirichlet series I,II // J. Lond.
Math. Soc. 1936. V. 11. P. 181185 and 307312.
[4] Карацуба А.А. О нулях функции ДэвенпортаХейльбронна, лежащих на
критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. Мат., 1990. Т. 54, ќ2. С. 303
315.
[5] Кузнецов В.Н., Полякова О.А. К вопросу описания рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, определяющих целые функции и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана // Изв. Сарат. ун-та.
Серия Математика. Механика. Информатика. Вып. 3, ч. 1. Саратов, 2011.
С. 2125.
[6] Кузнецов В.Н., Полякова О.А. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Чебышевский сб. Тула: Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2011. Т. 4 . С. 9196.
[7] Кузнецов В. Н., Водолазов А. М. К вопросу аналитического продолжения
рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами // Исследования по алгебре,теории чисел, функциональному анализу и смежным
вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003, Вып.
1. С. 4359.
[8] Терехин А.П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение
// Диф. уравнения и выч. матем.: Межвуз. научн. сб. Саратов: Изд-во
Сарат. ун-та, 1975. С. 3172.
[9] Кузнецова Т. А. Отыскание полугруппы операторов целой экспоненциального типа на заданных подпространствах: Дис.. . . канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1981.
[10] Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.
[11] Хейльброн Х. ? -функции и L-функции // В кн.: Алгебраическая теория
чисел. Под редакцией Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969. С. 310
347.
[12] Чудаков Н.Г., Линник Ю.В. Об одном классе вполне мультипликативных
функций/ ДАН СССР, 1950. Т. 74. Вып. 2. С. 193196.
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ...
59
[13] Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Полякова О.А. О некотором условии периодичности конечнозначных мультипликативных функций // Исследования
по алгебре,теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам:
Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.6. С. 5562.
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского.
Поступило 17.10.2011
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа