Некоторые задачи целевого управления для одного класса непрерывно-дискретных систем.

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
a version of the Pontryagin maximum principle providing a complete set of necessary optimality
conditions. The dominating discount condition is not assumed.
Key words: optimal control; Innite horizon; innite horizon transversality condition; necessary conditions of optimality; Lyapunov stability; shadow prices.
Хлопин Дмитрий Валерьевич, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный
сотрудник, e-mail: khlopin@imm.uran.ru.
УДК 517.929
SOME PROBLEMS OF ON-TARGET CONTROL
FOR A CLASS OF CONTINUOUS-DISCRETE SYSTEMS
c
A.L. Chadov, V.P. Maksimov
Key words
: abstract functional dierential equations; hybrid systems; control problems.
For a functional dierential system with continuous and discrete times, the problem of control
with respect to an on-target vector-functional is considered. Conditions for the solvability
of the problem are obtained.
We consider here a system of functional dierential equations (FDE, FDS) that, formally
speaking, is a concrete realization of the so-called abstract functional dierential equation
(AFDE). Theory of AFDE is thoroughly treated in [1, 2]. On the other hand, the system
under consideration is a typical one met with in mathematical modeling economic dynamic
processes and covers many kinds of dynamic models with aftereect (integro-dierential, delayed
dierential, dierential dierence, dierence) and impulsive perturbations resulting in system's
state jumps at prescribed time moments. The equations of the system contain simultaneously
terms depending on continuous time, t ? [0, T ] , and discrete, t ? {0, t1 , ..., t? , T } , this is why
the term ѕhybridї seems to be suitable. As this term is deeply embedded in the literature in
dierent senses, we will follow the authors employing the more denite name ѕcontinuous-discrete
systemsї (CDS), see, for instance [3, 4], and references therein. Notice that in [3] a detailed
motivation for studying CDS and examples of applications can be found together with results
on stabilization, observability and controllabality for a class of linear CDS with continuous-time
dynamics described by ordinary dierential equations.
The abstract functional dierential system [1]
?x = ?x + f
(1)
y : [0, T] ? R n , z : {0, t1 , ..., tN , T } ? R ? ,
?11 ?12
?x = col(y?, ?z) , (?z)(ti ) = z(ti ) ? z(0), ? =
?12 :
; ?11 : DS n ? L n ,
?21 ?22
M ? ? L n , ?21 : DS n ? M ? , ?22 : M ? ? M ? are linear operators. Given sets I =
= {0, t1 , ..., t? , T }, 0 < t1 < ... < t? < T ; J = {0, ?1 , ..., ?m , T }, 0 < ?1 < ... < ?m < T, the
spaces DS n and M ? are dened as follows. Let us denote the characteristic function of the
set A by ?A . DS n (see [2]) isthe space of functions y : [0, T ] ? R n representable in the
t
? is the space of functions
form y(t) = y(0) + 0 y?(s) ds + m
1 ?[?i ,T ] (t)[y(?i ) ? y(?i ? 0)] ; M
is considered, where x = col(y, z) ,
1211
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
z : I ? R? .
All the spaces are equipped with natural norms and are Banach spaces. It is
? : DS n Ч M ? ? L n Ч M ?
suggested that operator
is bounded and Volterra.
Consider the abstract control problem (CP)
?x = ?x + F u + f, x(0) = col(?, ?), x = ?,
(2)
F : H ? L n Ч M ? is a linear bounded operator dened on a Hilbert space H of control
n
? ? RN is a given linear bounded vector-functional (the so-called on-target
actions, : DS ЧM
vector-functional with components 1 , ..., N ).
where
We shall obtain conditions of the solvability to (2) on the base of the representation [5]
which gives the description of all solutions to
y(0) = ? ?
Rn
,
z(0) = ? ?
R?
?x = ?x + F u + f
under the initial conditions
:
?
?
?
x = X ? ? ? + Cf + CF u,
?
(3)
X is the fundamental matrix and C is the Cauchy operator [5]. Here the vector
(?y(?1 ), . . . , ?y(?m )) ? Rmn is arbitrary. Applying the vector-functional to both
N
sides of (3) and taking into account the goal of controlling as reaching the given value ? ? R
for x along the trajectories x of (2), we arrived at the equation
?
?
?
X ? ? ? + Cf + CF u = ?
(4)
?
where
? =
col
with respect to
? ? Rmn
and
u?H.
We reduce (4) to a linear algebraic system. Note that
?j = j CF
is a linear bounded
such that
on the Hilbert space H , this is why there exists vj ? H
vj = (CF )? j , ·? stands for adjoint operator notation).
N
Let us seek the control u? in the form of the linear span u? =
i=1 di vi (recall that the space
?
).
can be considered as the sum span(v1 , . . . , vN ) ? [span(v1 , . . . , vN )]
Thus, we have CF u? = V d, where V = {vi , vj }
i,j=1,...,N is the Gram N Ч N -matrix for
the system v1 , . . . , vN ? H .
Let us write the matrix X in the form X = (?y |, ?? |, ?z ) where ?y , ?? , ?z have
dimensions N Ч n , N Ч (mn) , N Ч ? respectively.
functional
dened
?j = vj , u
(
Now we arrive at the system
?? ? + V d = ? ? Cf ? ?y ? ? ?z ?
(5)
and formulate the result as the following theorem.
The control problem (2) for CDS (1) is solvable if and only if the linear
algebraic system (5) is solvable in (mn + N ) -vector col(?, d) . Each solution col(?0 , d0 ) ,
solving CP (2) including the impulses
?0 = col(?01 , . . . , ?0m ) , of the system (5) denes the control ?0k = ?y(?k ) , k = 1, . . . , m and the control u? ? H , u? = N
j=1 d0j vj
T h e o r e m.
.
REFERENCES
1. Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F., Theory of linear abstract functional dierential equations and
applications // Memoirs on Di. Equations and Math. Phys. 1996. ќ 8. P. 1102.
2. N.V. Azbelev and L.F. Rakhmatullina, Introduction to the theory of functional dierential equations: methods and applications. Hindawi Publishing Corporation, New York; Cairo: 2007.
1212
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
3. G.A. Agranovich, Observability criteria of linear discrete-continuous system // Functional Dierential Equations. 2009. V. 16, ќ 1. Р. 3551.
4. V.M. Marchenko, O.N. Poddubnaya, Representation of solutions and relative controllability linear
differential-algebraic systems with many aftereects // Dierentsialnye uravneniya. 2006. V. 42. ќ 6.
Р. 741755. (Russian)
5. V.P. Maksimov, A.L. Chadov, Hybrid models in economic dynamics problems // Perm University
Reports. Economics. Perm. 2011. ќ 2. Р. 5274. (Russian).
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (грант ќ 100196054).
Максимов В.П., Чадов А.Л. Некоторые задачи целевого управления для одного класса непрерывно-дискретных систем. Рассматривается система функционально-дифференциальных уравнений с непрерывным и дискретным временем. Сформулирована общая задача
целевого управления, получены условия разрешимости.
Ключевые слова: абстрактное функционально-дифференциальное уравнение; гибридные
системы; задачи управления.
Maksimov V.P., Perm state university, Perm, Russian Federation, associated professor,
Department of information system and mathematical methods in economy, e-mail:
maksimov@econ.psu.ru.
Chadov A.L. Perm state university, Perm, Russian Federation, associated professor, PhD,
Department of information system and mathematical methods in economy, e-mail:
alchadov@yandex.ru.
УДК 519.6
ЭЛЕМЕНТЫ ПРИТЯЖЕНИЯ В АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧЕ О
ДОСТИЖИМОСТИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ АСИМПТОТИЧЕСКОГО
ХАРАКТЕРА
c А.Г. Ченцов
Ключевые слова: компакт; множество притяжения; полуалгебра; ультрафильтр.
Для абстрактной задачи о достижимости в топологическом пространстве (ТП) исследуются множества притяжения (МП), имеющие смысл асимптотических аналогов
областей достижимости в задачах теории управления. Получены весьма общие представления МП в классе ультрафильтров (у/ф) пространства обычных решений. При
этом используются у/ф широко понимаемых измеримых пространств. Это связано с
тем, что в ѕобычномї случае, когда рассматриваются у/ф семейства всех подмножеств
(п/м) упомянутого пространства, мы располагаем конструктивным способом построения только т. н. тривиальных у/ф, соответствующих обычным решениям, в то время
как многие важные для теории и приложений асимптотические эффекты реализуются
свободными у/ф (имеются в виду у/ф с пустым пересечением всех своих множеств),
которые, грубо говоря, ѕне визуализируемыї. Ситуация, однако, меняется в целом ряде
случаев измеримых пространств с полуалгебрами и алгебрами множеств. Это делает
актуальным исследование конструкций асимптотического (и, вообще говоря, несеквенциального) анализа с применением у/ф тех или иных семейств множеств. Наиболее
известные построения у/ф такого типа соответствуют пространствам Стоуна, когда измеримая структура соответствует оснащению пространства обычных решений алгеброй
множеств. Ниже приводится вариант, отвечающий оснащению полуалгеброй, а также
некоторые ѕчастичныеї (c точки зрения описания МП) представления, использующие
еще более общие измеримые структуры (т. н. ? -системы).
1213