close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нелинейная осесимметричная задача теории упругости для полой сферы.

код для вставкиСкачать
УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2009, вып. 4
НЕЛИНЕЙНАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛОЙ СФЕРЫ
А. А. Морщинина
С.-Петербургский государственный университет,
аспирант, morshinina_alina@mail.ru
Введение. Исследования напряженно-деформированного состояния полых упругих сфер представляют большой интерес для различных прикладных задач физики и
биомеханики. В частности, в последнее время много работ посвящено математическому
моделированию различных проблем офтальмологии [1–6]. Важно отметить, что в основании большинства этих работ лежат соотношения линейной теории упругости. Между
тем, согласно экспериментальным данным [7] зависимость напряжение—деформация
различных областей склеры глаз (см. рис. 1) с нормальной (кривая 1) и миопической
(кривая 2) рефракцией является существенно нелинейной.
Рис. 1.
В данной работе рассматривается физически и геометрически нелинейная задача
о деформации под действием внутреннего давления полой сферы как механической
модели склеры глазного яблока.
Постановка задачи. Рассмотрим полую сферу с внутренним радиусом R1 и внешним R2 , загруженную внутренним давлением p = const. Введем сферическую систему
координат r, θ, ϕ с началом в центре сферы.
Предположим, что процесс деформации является активным, нагружение простым,
а материал сферы несжимаемым [8].
Тогда напряжения и деформации будут связаны между собой соотношениями (см.
[9, 10]):
σi = F (εi ) ,
σrr − σ =
c
84
2σi
εrr ,
3εi
А. А. Морщинина, 2009
σθθ − σ =
2σi
εθθ ,
3εi
σϕϕ − σ =
2σi
εϕϕ ,
3εi
σ = (σrr + σθθ + σϕϕ ) , θ = εrr + εθθ + εϕϕ ,
√ q
2
2
2
2
εi =
(εθθ − εϕϕ ) + (εθθ − εrr ) + (εϕϕ − εrr ) ,
3
q
1
2
2
2
σi = √
(σθθ − σϕϕ ) + (σθθ − σrr ) + (σϕϕ − σrr ) .
2
Здесь σi = F (εi ) = f (r) — нелинейный закон упругого деформирования.
Истинные деформации определяются по следующим формулам:
du
u
εrr = ln 1 +
, εθθ = εϕϕ = ln 1 +
.
dr
r
(1)
(2)
Решение. Обозначим деформированную координату произвольной точки через r∗ .
Очевидно, что
r∗ = r + u (r) ,
(3)
где r — координата этой точки до деформации, а u (r) — ее перемещение.
Так как материал несжимаем, θ = εrr + εθθ + εϕϕ = 0. Подставляя в это выражение
формулы (2) и (3), получаем
r∗
dr∗
ln
+ 2 ln
= 0.
dr
r
Отсюда условие несжимаемости записывается в виде r∗2 /r2 · dr∗ /dr = 1 или dr∗ /dr =
r2 /r∗2 . Проинтегрировав это уравнение, получим
p
3
r∗ = r3 + α3 ,
где α — произвольная постоянная интегрирования. Заметим, что ее размерность совпадает с размерностью u и r. Учитывая формулу (3), можем записать
p
3
u = r3 + α3 − r.
(4)
Подставив зависимость (4) в соотношения (2), устанавливаем, что
εrr = 2 ln r −
Очевидно,
2
ln r3 + α3 ,
3
εθθ = εϕϕ
εθθ = εϕϕ =
1
ln r3 + α3 − ln r .
3
1
α3
1
= − εrr = ln 1 + 3 .
2
3
r
(5)
В соответствии с выражением (1) формула для определения интенсивности деформации εi примет вид
2
α3
εi = ln 1 + 3 .
(6)
3
r
Умножая теперь уравнение равновесия
dσrr
2
+
(σrr − σϕϕ ) = 0
dr∗
r∗
на dr∗ /dr, приводим его к виду
dσrr
2 dr∗
+
(σrr − σϕϕ ) = 0.
dr
r∗ dr
(7)
85
Согласно формулам (2), (1) имеем σϕϕ = σθθ , σϕϕ − σrr = σi . Подставив эти
выражения в равенство (7), после интегрирования получим
σrr = 2
Zr
σi r2
dr + C
+ α3
r3
(C = const) .
(8)
R1
Принимая во внимание краевые условия σrr (R1 ) = −p, σrr (R2 ) = 0, из соотношения (8) находим
Zr
σi r2
σrr = 2
dr − p .
(9)
r3 + α3
R1
Отсюда
p=2
ZR2
σi r2
dr.
r3 + α3
(10)
R1
Пусть обобщенная кривая σi = F (εi ) имеет вид
1/n
σi = Aεi
(A = const, n = const, n ≥ 1) .
(11)
Отметим, что константа A имеет размерность напряжений.
Внеся в эту зависимость выражение (6), получим
σi =
1/n 1/n
α3
2
A ln 1 + 3
.
3
r
(12)
В результате подстановки (12) в (10) находим
1/n
1/n ZR2 dr
ln 1 + α3 /r3
2
.
p = 2A
3
3
3
r (1 + α /r )
(13)
R1
3
Из данного соотношения
определяется произвольная постоянная интегрирования α .
3 3
Разлагая ln 1 + α /r в ряд и ограничиваясь в нем только первым членом, получаем
интеграл в формуле (13) в виде
ZR2
R1
3/n
α3 /r3
dr
.
r (1 + α3 /r3 )
Воспользуемся обобщенной теоремой о среднем значении ([11], стр. 126), тогда
ZR2
R1
3/n
3/n
α3 /r3
dr
1
2α
R3 + α3
≈
ln 23
.
3
3
r (1 + α /r )
3 R2 − R1
R1 + α3
Пренебрегая под знаком логарифма величиной α3 и учитывая, что R2 − R1 = ∆, выводим
1/n 3/n
2
2α
R2
ln
.
p = 2A
3
∆
R1
86
Отсюда
∆3
α =
8
p
3
1/n
2A (2/3)
ln R2 /R1
!n
.
Предположим, что обобщенная кривая имеет вид
1/2
σi = 7εi
,
что хорошо согласуется с экспериментальными данными [7] (см. рис. 1). Тогда в случае
R1 = 11, 75 мм, R2 = 12, 25 мм, ∆ = 0, 4 мм, r = 12 мм график зависимости (4) имеет
вид, представленный на рис. 2.
Рис. 2.
Полученное решение свидетельствует о существенном влиянии физической нелинейности материала сферы на зависимость u − p (перемещение — давление). Заметим, что
для тонкостенных оболочек подобные исследования были выполнены в работах [12–14].
Автор благодарит Юрия Михайловича Даля за советы и помощь в работе.
Литература
1. Нестеров А. П. Глаукома. М.: ООО «Медицинское информационное агентство», 2008.
360 c.
2. Бауэр С. М., Товстик П. Е., Качанов А. Б. К вопросу о построении математической
модели развития глаукомы // Рос. журнал биомеханики, 1999. С. 27–28.
3. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин
в офтальмологии. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 92 c.
4. Воронкова Е. Б. Деформация решетчатой пластины глаза. Дис. . . . канд. физ.-мат. наук.
СПб., 2006. 110 c.
5. Любимов Г. А. О Тонометрических методах измерения внутриглазного давления // Биомеханика глаза. 2005. 131 c.
87
6. Даль Ю. М., Морщинина А. А. Линейные и нелинейные математические модели склеры
и сосудов зрительного нерва при глаукоме // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2008. Вып. 3.
C. 47–55.
7. Иомдина Е. Н. Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии: диагностика нарушений и их экспериментальная коррекция. Автореф. дис. . . . д-р биол. наук. М., 2000. 48 c.
8. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. Л.; М.: Гостехиздат, 1948. 211 c.
9. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Изд-во «Высшая школа», 1968. 512 c.
10. Даль Ю. М., Пронина Ю. Г. Деформация шаровой поры в нелинейно-упругом теле //
Известия РАН. Серия физическая, 2006. Т. 70, № 9. C. 1341–1343.
11. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 2
/ 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, Лаборатория Знаний, 2003. 864 с.
12. Григорьев А. С. Напряженное состояние безмоментных оболочек при больших деформациях // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 21, № 6. C. 827–832.
13. Григорьев А. С. Об устойчивости безмоментных оболочек вращения в условиях растяжения // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1967. № 1. C. 170–172.
14. Григорьев А. С. О теории и задачах равновесия оболочек при больших деформациях
// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1970. № 1. C. 163–168.
Статья поступила в редакцию 21 апреля 2009 г.
88
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
237 Кб
Теги
сферы, нелинейные, упругости, осесимметричных, задачи, полож, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа