close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве.

код для вставкиСкачать
2005
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (521)
УДК 517.929
Е.С. ЖУКОВСКИЙ
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА В БАНАХОВОМ
ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
К нелинейному интегральному уравнению Вольтерра сводятся многочисленные прикладные и теоретические задачи, например, задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, краевые задачи для уравнений параболического типа и т. д. ([1], c. 754). Современные математические модели в физике, экономике, биологии, учитывающие инерцию объектов, конечность скоростей распространения сигналов, факторы запаздывания, описываются
функционально-дифференциальными уравнениями [2]{[4], задача Коши для которых эквивалентна уравнениям с вольтерровыми операторами в некотором банаховом функциональном пространстве. Такие операторные уравнения наследуют многие свойства классических уравнений
Вольтерра и являются их естественным обобщением.
В данной работе рассмотрены утверждения о существовании, единственности, продолжаемости локальных решений нелинейных обобщенно вольтерровых уравнений, получены оценки
области определения предельно продолженных решений, доказаны теоремы о непрерывной зависимости решений от параметров. Все перечисленные результаты являются новыми применительно не только к обобщенному, но и \классическому" уравнению Вольтерра.
1. Неподвижные точки нелинейных вольтерровых операторов
Поставим в соответствие каждому 2 [0; b ; a] некоторое измеримое множество e с мерой
(e ) = таким образом, что
8; 2 [0; b ; a] < ) e e :
(1)
Обозначим совокупность построенных так множеств через v. Пусть Y , B | линейные нормированные пространства функций f : [a; b] ! Rm . Отображение F : Y ! B будем называть
вольтерровым на системе v , если для каждого множества e 2 v и любых функций y; z 2 Y
из y(s) = z (s) на e следует (F y)(s) = (F z )(s) на e . Известное определение из [5] соответствует вольтерровости на системе множеств e = [a; a + ]. Отметим, что современные трактовки
понятия вольтерровости для линейных операторов предложены в работах [6]{[15]. Нелинейные
обобщенно вольтерровые операторы пока изучались мало. С.А. Гусаренко предложен признак
разрешимости уравнения с \B-вольтерровым" оператором ([3], сс. 284, 285).
Исследование свойств нелинейных вольтерровых на системе v операторов начнем с очевидного замечания, что сумма и композиция таких операторов является вольтерровым оператором
на системе v.
Будем говорить, что в функциональном пространстве B относительно системы v выполнено
V -условие, если это пространство банахово и для любого множества e 2 v и любой сxодящейся
последовательности fyi g B , kyi ; ykB ! 0, из равенства yi (t) = 0, i = 1; 2; : : : , при всех t 2 e
следует, что и предельная функция y(t) = 0 при t 2 e .
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проект Є 01-01-00140), Министерства образования Российской Федерации (проект Є E02-1.0-212).
17
V -условие. Если последоваy 2 Y к оператору
F : Y ! B , то оператор F будет также вольтерров на системе v.
Теорема 1. Пусть в банаховом пространстве
тельность вольтерровых на
v
операторов
Fi : Y
B
!B
выполнено
сходится на каждом
Рассмотрим уравнение
(F x)(t) = 0; t 2 [a; b];
(2)
с вольтерровым на системе v оператором F : Y ! B . Обозначим через Y (e ), B (e ) пространства
сужений функций из Y , B на множество e . Определим оператор : B ! B (e ) равенством
( x)(t) = x(t), t 2 e . Пусть оператор P : Y (e ) ! Y некоторым образом продолжает функции из Y (e ) на весь отрезок [a; b]. Если существует число 2 (0; b ; a) и элемент z 2 Y (e ),
удовлетворяющий равенству F P z = 0, то уравнение (2) будем называть локально разрешимым, а функцию z | локальным решением, определенным на e . Элемент zb;a 2 Y , удовлетворяющий уравнению (2), назовем глобальным решением. Будем говорить, что функция
z : <
[ e ! Rm, 2 (0; b ; a], является предельно продолженным решением уравнения (2), если
при любом 2 (0; ) сужение z функции z на множество e является локальным решением
и !lim
kz k = 1. Вследствие вольтерровости оператора F сужение z решения z (локального,
;0 глобального или предельно продолженного) на произвольное множество e , 2 (0; ), будет
локальным решением уравнения (2). Будем называть решение z частью решения z , а решение
z | продолжением решения z .
Рассмотрим утверждения о неподвижных точках вольтеррового на v оператора K : B ! B ,
т. е. исследуем разрешимость уравнения
x(t) ; (Kx)(t) = 0; t 2 [a; b];
(3)
являющегося частным случаем уравнения (2).
Зададим норму в пространстве B (e ) формулой ky kB(e ) = inf kykB , где нижняя грань берется по всевозможным продолжениям y 2 B функции y 2 B (e ). Если выполнено V -условие,
то при таком определении нормы пространство B (e ) становится банаховым. Определим отображение Z : (0; b ; a] B ! R формулой Z (; y) = k ykB(e ) . Вследствие (1) при каждом
фиксированном y 2 B функция Z (; y) не убывает, и поэтому существует !lim
Z (; y) = z0 (y).
0+0
Доопределим отображение Z значением Z (0; y) = z0 (y).
Оператор K : B ! B назовем локально сжимающим на системе v, если существуют такие
числа q < 1, > 0, что выполнены следующие условия:
1) 8 2 (0; ) 8x; y 2 B Z (; Kx ; Ky) 6 qZ (; x ; y);
2) 8; 2 (0; b ; a] < < + 8x; y 2 B
fx(t) = y(t); 8t 2 e ) Z (; Kx ; Ky) 6 qZ (; x ; y)g:
Оператор K : B ! B назовем улучшающим на системе v, если
9% 8x 2 B Z (0; Kx) 6 %;
(4)
(
8r > 0 8" > 0 9 > 0 8x 2 B 8; 2 [0; b ; a] jkx;k 6 jr< ; ) jZ (; Kx) ; Z (; Kx)j < ": (5)
Если оператор K линеен, то условие (4) равносильно равенству Z (0; Kx) = 0 при всех x 2 B .
Отметим также, что линейный улучшающий на v оператор является локально сжимающим на
этой совокупности множеств. Более того, имеет место
18
Теорема 2. Пусть в банаховом пространстве B выполнено V -условие. Если для оператора
K : B ! B существует такой линейный вольтерровый и улучшающий на системе v оператор
W : B ! B , что при всех x; y 2 B , 2 [0; b ; a] выполнено неравенство
Z (; Kx ; Ky) 6 Z (; W (x ; y));
то оператор
K
является локально сжимающим на системе
(6)
v.
Доказательство. Вследствие улучшаемости оператора W можно выбрать произвольно q 2
(0; 1) и найти такое положительное , что
8x 2 B 8; 2 [0; b ; a] j ; j < ) jZ (; W x) ; Z (; W x)j < qkxk;
и, кроме того, Z (0; W x) = 0. Таким образом, при всех 2 (0; ) выполнено
Z (; Kx ; Ky) 6 Z (; W (x ; y)) ; Z (0; W (x ; y)) < qkx ; yk:
(7)
Вследствие вольтерровости оператора W последнее неравенство останется верным, если у функций x, y изменить значения при t 2 [a; b] n e . Эти значения можно изменить так, что для любого
положительного " будет иметь место оценка kx ; yk < Z (; x ; y) + ". Таким образом, получаем
Z (; Kx ; Ky) 6 qZ (; x ; y):
Далее, при всех ; 2 [0; b ; a], < < + , и всех x; y 2 B выполнено неравенство (6).
Если x(t) = y(t) при t 2 e , то (W (x ; y))(t) = 0, t 2 e , вследствие вольтерровости линейного
оператора W , и поэтому Z (; W (x ; y)) = 0. Тогда на основании (7) получаем
Z (; Kx ; Ky) 6 Z (; W (x ; y)) ; Z (; W (x ; y)) < qkx ; yk:
Осталось вновь заметить, что значения функций x, y можно изменить при t 2 [a; b] n e так,
чтобы kx ; yk < Z (; x ; y) + ".
Класс локально сжимающих на системе v операторов достаточно широк. Ему, конечно же,
принадлежат не только сжимающие операторы и операторы, описанные в теореме 2. Важно
заметить, что свойством локальной сжимаемости могут обладать даже разрывные операторы.
Так, например, оператор
8
>
>
<
0;5x(t);
если t 2 [0; 0;5];
(Kx)(t) = >0;5x(0;5) + x(0)(t ; 0;5); если t 2 (0;5; 1]; x(0) | рациональное число;
>
:0;5x(0;5);
если t 2 (0;5; 1]; x(0) | иррациональное число;
действующий в пространстве C[0;1] непрерывных на [0; 1] действительных функций, ни в какой
точке x 2 C[0;1] не является непрерывным. Любая его степень K n : C[0;1] ! C[0;1] также разрывна
в каждой точке. Тем не менее, этот оператор вольтерровый и локально сжимающий на системе
v = f[0; ]g.
Теорема 3. Пусть в банаховом пространстве B выполнено V -условие, оператор K : B !
B является вольтерровым и локально сжимающим на системе v. Тогда при любом 2 (0; b ; a]
существует единственное решение x 2 B (e ) уравнения x = KP x . Другими словами, существует единственное глобальное решение уравнения (3), и всякое локальное решение является частью этого решения.
Доказательство. Возьмем числа q < 1, > 0, удовлетворяющие всем условиям из определения локальной сжимаемости оператора K . Пусть = =2. Уравнение x = KP x имеет
19
единственное решение z 2 B (e ), т. к. оператор K = KP : B (e ) ! B (e ) является сжимающим. Пусть z 2 B | некоторое продолжение функции z . Для нахождения решения уравнения
(3) при t 2 [a; b] n e сделаем замену y = x ; z . Получим уравнение
y = K (y + z ) ; z:
(8)
Определяемый равенством Ky = K (y + z ) ; z оператор K действует в подпространстве B B
функций, тождественно равных нулю на e . При t 2 e2 уравнение (8) является уравнением
y2 = 2 KP2 y2
(9)
со сжимающим оператором K 2 = 2 KP2 , действующим в подпространстве функций из B (e2 ),
равных нулю на множестве e . Уравнение (9) однозначно разрешимо. Пусть z2 | его решение.
Тогда функция (2 z + z2 )(t) является решением уравнения (3) при t 2 e2 .
Продолжая аналогичные рассуждения, за конечное число [ b; a ] шагов построим единственное глобальное решение zb;a 2 B уравнения (3). Любое локальное решение z , определенное
на e , с помощью таких же построений может быть продолжено до глобального решения. Из
единственности решения zb;a следует единственность локального решения z .
Следствие. Пусть в банаховом пространстве B выполнено V -условие, оператор K : B ! B
является вольтерровым на системе v, и найдется такой линейный вольтерровый и улучшающий
на системе v оператор W : B ! B , что имеет место оценка (6). Тогда существует единственное
глобальное решение уравнения (3), и всякое локальное решение является его частью.
Теорема 4. Если в банаховом пространстве
K:B
!B
уравнение
B
выполнено
V -условие,
и если оператор
является вполне непрерывным, вольтерровым и улучшающим на системе
v,
то
(3) локально разрешимо, любое локальное решение является частью либо глобально-
го решения, либо предельно продолженного решения.
Доказательство. Вследствие улучшаемости оператора K существует число %, для которого
выполнено неравенство (4). Пусть r = 2%, " = %=2. Найдем , удовлетворяющее условию (5).
Обозначим = =2. Для любого x 2 B , kxk < 2%, имеет место
;
%
3
Z (; Kx) = Z (; Kx) ; Z (0; Kx) + Z (0; Kx) < + % = %:
(10)
2
2
В пространстве B (e ) выделим замкнутый шар U с центром в нуле радиуса 23 %. Оператором P
продолжим каждую функцию из B (e ) так, чтобы ее норма увеличилась менее, чем на %2 . Из
неравенства (10) следует включение KP U U . А т. к. оператор K = KP : B (e ) ! B (e )
вполне непрерывен, то он имеет неподвижную точку z , являющуюся локальным решением
уравнения (3), определенным на e .
Теперь докажем, что любое локальное решение z1 , определенное на некотором множестве
e1 , продолжаемо до глобального или предельно продолженного. Выберем r = kz1 k + %, " = %2
и найдем 2 , являющееся точной верхней границей всевозможных чисел , удовлетворяющих
условию (5). Обозначим 2 = 1 + 22 . Для любого такого x 2 B , что kxk < kz1 k + %, x(t) = z1 (t)
при t 2 e1 , выполнено
;
Z (2 ; Kx) = Z (2 ; Kx) ; Z (1 ; Kx) + Z (1 ; Kx) < %=2 + kz1 k:
(11)
В пространстве B (e2 ) выделим замкнутый шар с центром в нуле радиуса kz1 k + %, а в нем |
множество U2 функций, совпадающих с z1 (t) при t 2 e1 . Множество U2 замкнуто. Оператором P2 продолжим каждую функцию из B (e2 ) так, чтобы ее норма увеличилась менее, чем
на %=2. Для таких продолжений можем воспользоваться неравенством (11), из которого будет
следовать включение 2 KP2 U2 U2 . Так как оператор K2 = 2 KP2 : B (e2 ) ! B (e2 )
20
вполне непрерывен, то он имеет неподвижную точку z2 . Это локальное решение уравнения (3),
определенное на e2 и являющееся продолжением решения z1 .
Докажем, что, продолжая описанные построения, получим глобальное или предельно1продолженное решение. Вычислим ilim
[ ei ,
!1 i = и рассмотрим функцию z , определенную на i=1
сужением которой на ei будет zi , i = 1; 2; : : : Если функция z не является предельно продолженным решением, то найдется такое число N , что при всех натуральных i имеет место
kzi k 6 N . Возьмем r = N + %, " = %=2 и найдем , являющееся точной верхней границей всевозможных чисел , удовлетворяющих условию (5). Так как kzi k + % 6 N + %, то при любом
i выполнено i > . Это означает, что за конечное число шагов будет построено глобальное
решение уравнения (3).
Будем говорить, что в банаховом пространстве B относительно системы v выполнено C условие, если для каждого y 2 B функция Z (; y ) непрерывна. Если дополнительно Z (0; y ) = 0
при всех y 2 B , то будем считать, что пространство B удовлетворяет условию C0 . Заметим,
что условие C0 выполнено, например, для любой системы v в пространствах Lmp[a;b] , 1 6 p <
1, суммируемых функций, для системы множеств e = [a; a + ] в пространстве C0m[a;b] таких
непрерывных функций x : [a; b] ! Rm , что x(a) = 0. В ([12], c. 25) доказано, что если в банаховом
пространстве B выполнены условия V , C , то элементы любого предкомпактного множества
H B имеют равностепенно непрерывные нормы
8" > 0 9 > 0 8x 2 H 8; 2 [0; b ; a] j ; j < ) jZ (; x) ; Z (; x)j < ":
Следствие 1. Пусть в банаховом пространстве B выполнены условия V , C0 , оператор
K : B ! B является вполне непрерывным вольтерровым на системе v. Тогда уравнение (3)
локально разрешимо, любое локальное решение является частью либо глобального решения,
либо предельно продолженного решения.
Доказательство. Образом шара U произвольного радиуса r является предкомпактное множество KU , элементы которого имеют равностепенно непрерывные нормы ([12], c. 25). Таким
образом, выполнено условие (5). Кроме того, для всех y 2 B имеет место Z (0; Ky) = 0, т. е. верно
также и (4). Итак, оператор K улучшающий на v, и можно воспользоваться теоремой 4.
Аналогично доказывается
Следствие 2. Пусть в банаховом пространстве B выполнены условия V , C , оператор
K : B ! B является вполне непрерывным вольтерровым на системе v и имеет место неравенство (4). Тогда уравнение (3) локально разрешимо, любое локальное решение является частью
либо глобального решения, либо предельно продолженного решения.
В формулировке теоремы 4 можно несколько ослабить требование улучшаемости оператора K .
B удовлетворяет V -условию, для вполне непрерывного, вольтеррового на системе v оператора K : B ! B имеет место (5) и существуют
такие числа %2 > %1 > 0, что при всех x 2 B , если Z (0; x) 2 [%1 ; %2 ], то Z (0; Kx) 2 [%1 ; %2 ]. Тогда
Теорема 5. Пусть банахово пространство
уравнение
(3) локально разрешимо, любое локальное решение является частью либо глобального
решения, либо предельно продолженного решения.
Доказательство этого утверждения использует те же идеи, что и доказательство предыдущей
теоремы.
Большое значение в теории нелинейных интегральных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений имеют оценки вертикальных асимптот решений. Например, промежуток
существования непрерывного решения уравнения Рикатти является промежутком неосцилляции решений соответствующего линейного дифференциального уравнения второго порядка ([16],
21
c. 42). Метод приближенного построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений,
имеющих вертикальные асимптоты, предложен в [17]. В терминологии данной работы наличие
вертикальной асимптоты t = означает, что решение z является предельно продолженным. В
случае, когда уравнение (3) имеет бесконечное множество fz g предельно продолженных решений, интерес представляют оценки нижней грани 0 всевозможных чисел | мер множеств e ,
на которых определены предельно продолженные решения. Для уравнений и включений с вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами в пространстве непрерывных функций такую задачу
поставил и решил А.И. Булгаков. В [18] он доказал, что 0 > 0, т. е. асимптоты решений отделены
от начальной точки t = a, и существует промежуток, входящий в область определения любого
предельно продолженного решения. Сформулируем соответствующий результат для уравнеий
в банаховом пространстве.
Теорема 6. Пусть оператор K : B ! B является вольтерровым и улучшающим на системе v . Тогда для произвольного r0 , r0 > %, существует такое > 0, что для любого локального
решения z уравнения (3), определенного на некотором множестве e 2 v , если kz kB (e ) > r0 ,
то = (e ) > . В частности, существует такое положительное , что для области определения [ e любого предельно продолженного решения z выполнено = ( [ e ) > .
<
<
Доказательство. Выберем числа r , r > r0 > %, " = 0;5(r0 ; %) и найдем > 0, удовлетворяющее условию (5) в определении улучшаемости оператора K .
Возьмем произвольное решение z , норма которого kz kB(e ) > r0 . Для любого 2 (0; ]
обозначим через z = P z сужение решения z на множество e . Функция kz kB(e ) аргумента
2 [0; ] не убывает и непрерывна. Доопределим ее в нуле значением Z0 = lim
kz k . Согласно
!0 B(e )
(4) имеем Z0 %. Существует такое 0 2 [0; ], что kz0 kB(e0 ) = r0 . Продолжим функцию z0 до
некоторой функции z 2 B так, что kz k 6 r. Из (5) следует Z (; Kz ) = Z0 + (Z (; Kz ) ; Z0 ) 6
Z0 + " < 0;5(r0 + %) < r0 . Это означает, что 0 > .
Существенность условий приведенного утверждения подтверждается уравнением
x(t) = x(0)
Z
t
0
x(s)ds
2
+1
в пространстве C[0;1] непрерывных на [0; 1] функций. Здесь оператор K : C[0;1] ! C[0;1],
Rt
2
(Kx)(t) = x(0) x(s)ds +1 , является вольтерровым (согласно определению А.Н. Тихонова),
0
вполне непрерывным и удовлетворяет неравенству (5) в условии улучшаемости оператора. Не
выполнено лишь неравенство (4). Решением рассматриваемого уравнения являются функции
x(t) = cos2c(ct) , где действительное число c принимает любые значения. Каждое решение, кроме
нулевого, имеет вертикальную асимптоту t = 2c . Имеем 2c ! 0 при c ! 1, т. е. утверждение
теоремы 6 не выполнено.
Для того чтобы оценить число , определим точную верхнюю границу ("; r) всевозможных
чисел , удовлетворяющих условию (5). Заметим, что само число ("; r) также удовлетворяет условию (5). Функция (; ) не убывает по первому аргументу и не возрастает по второму аргументу. Выберем " > 0. Пусть сужение z1 предельно продолженного решения z на
некоторое множество e1 имеет норму kz1 kB(e1 ) = % + ". Продолжим эту функцию до элемента z 2 B , kz k 6 % + 2". Вследствие улучшаемости оператора K выполнено неравенство
Z ( ("; %+2"); Kz ) 6 %+". Отсюда 1 > ("; %+2"). Аналогично, мера 2 множества e2 , на котором
kz2 kB(e2 ) = % +2", удовлетворяет неравенству 2 > ("; % +2")+ ("; % +3") и т. д. Таким образом,
1
P
> ("; % + n"). Так как члены этого знакоположительного ряда образуют невозрастающую
n=2
R1
последовательность, то его сумма S (") удовлетворяет неравенству S (") > ("; % + t")dt. (Здесь
2
22
подинтегральная функция аргумента t не возрастает и поэтому измерима.) Вследствие произвольности " > 0 окончательно получаем следующую оценку асимптоты решения.
Теорема 7. Пусть оператор K : B ! B является вольтерровым и улучшающим на системе
v. Если
lim
"!0
то уравнение
1
Z
2
("; % + t")dt > b ; a;
(12)
(3) не имеет предельно продолженных решений. В противном случае для любого
предельно продолженного решения
z
выполнено
> "lim
!0
1
Z
2
("; % + t")dt:
(13)
Замечание. Если при некотором " > 0 несобственный интеграл в (12) расходится или при
" ! 0 интеграл неограниченно возрастает, то неравенство (12), естественно, считаем выполнен-
ным.
Точность оценки (13) проиллюстрируем следующим примером. Рассмотрим в пространстве
непрерывных функций уравнение
x(t) =
t
Z
0
(x2 (s) + 1)ds; t > 0:
Его единственное решение x(t) = tg t имеет вертикальную асимптоту t = 2 . Для оператора
Rt
R2
(Kx)(t) = (x2 (s) + 1)ds имеем % = 0. Из неравенства (r2 + 1)ds < " находим ("; r) = 2 ; 1 =
1
0
" . Следовательно, на основании формулы (13) получаем
r2 +1
> "lim
!0
1
Z
2
"
"2 t2 + 1
dt = "lim
!0
2 ; arctg 2" = 2 :
2. Непрерывная зависимость решений от параметров уравнения
Операторы Ki : B ! B , i = 1; 2; : : : , назовем в совокупности локально сжимающими на
системе v , если существуют такие числа q < 1, > 0, что выполнены условия
1) 8 2 (0; ) 8x; y 2 B 8i Z (; Ki x ; Ki y) 6 qZ (; x ; y);
2) 8; 2 (0; b ; a] < < + 8x; y 2 B 8i
fx(t) = y(t); 8t 2 e ) Z (; Ki x ; Kiy) 6 qZ (; x ; y)g:
Если последовательность в совокупности локально сжимающих на v операторов Ki : B ! B ,
i = 1; 2; : : : , сходится на каждом x 2 B к оператору K : B ! B , то оператор K будет локально
сжимающим на v.
B выполнено V -условие. Пусть, далее, вольтерровые на системе v операторы Ki : B ! B , i = 1; 2; : : : , являются в совокупности локально
сжимающими и для любой сходящейся последовательности fxi g B , kxi ; xk ! 0, имеет
место kKi xi ; Kxk ! 0, где K : B ! B . Тогда при каждом i уравнение
Теорема 8. Пусть в банаховом пространстве
xi (t) ; (Ki xi )(t) = 0; t 2 [a; b];
имеет единственное глобальное решение
(14)
zi , всякое локальное решение будет частью соответ-
ствующего глобального решения. Уравнение
x(t) ; (Kx)(t) = 0; t 2 [a; b];
23
(15)
также имеет единственное глобальное решение
z , всякое локальное решение будет его частью
и
kzi ; zk ! 0:
(16)
Доказательство. Из условий теоремы следует сходимость последовательности fKi g на каждом x 2 B к оператору K . Поэтому оператор K будет локально сжимающим и согласно
теореме 1 вольтерровым на v. Из теоремы 3 следует однозначная разрешимость уравнений (14),
(15). Докажем,что для их решений zi , z выполнено (16).
Возьмем числа q < 1, > 0, удовлетворяющие условию совокупной локальной сжимаемости
операторов Ki , K . Для любого " > 0 найдем такие 1 > 0, I1 2 N , что при всех x 2 B , i 2 N
из неравенств kx ; z k < 1 , i > I1 следует kKi x ; Kz k = kKi x ; z k < (1;6q)" . Без ограничения
общности можем считать, что 1 < (1;6q)" . Определим 2 > 0, I2 2 N так, чтобы при всех x 2 B ,
i 2 N , если kx ; z k < 2 , i > I2 , то kKi x ; Kz k = kKi x ; z k < (1;6q)1 . Считаем 2 < (1;6q)1 ,
I2 > I1 . Далее, существуют такие 3 > 0, I3 2 N , что для любых x 2 B , i 2 N , удовлетворяющих
условию kx ; z k < 3 , i > I3 , выполнено
kKi x ; Kzk = kKi x ; zk < (1;6q)2 , 3 < (1;6q)2 ,
I3 > I2 и т. д. Всего сделаем l = b; a вычислений, и на последнем шаге найдем l , Il . Считаем
l < (1;q6)l;1 , Il > Il;1 .
Рассмотрим сужения zi , z функций zi , z на множество e , являющиеся неподвижными
точками операторов Ki = Ki P : B (e ) ! B (e ), K = KP : B (e ) ! B (e ). При всех i > Il
выполнено kKi z ; z k < (1;6q)l . Поэтому для каждого натурального n получаем kKin z ; z k 6
kKin z ; Kin;1z k + kKin;1z ; Kin;2z k + + kKi z ; z k 6 (qn;1 + qn;2 + + q + 1) (1;6q)l 6 6l .
Учитывая сходимость последовательных приближений Kin z к неподвижной точке zi оператора
Ki , получаем оценку kzi ; z k 6 6l .
Пусть zi2 , z2 | сужения функций zi , z на множество e2 , Ki2 = 2 Ki P2 : B (e2 ) !
B (e2 ), K2 = 2 KP2 : B (e2 ) ! B (e2 ). Построим такое продолжение wi2 2 B (e2 ) функции
zi 2 B (e ), что kwi2 ; z2 k 6 l . При всех i > Il > Il;1 выполнено kKi2 wi2 ; K2 z2 k =
kKi2 wi2 ; z2 k < (1;q6)l;1 . Следовательно, kKi2 wi2 ; wi2 k < l + (1;q6)l;1 < (1;q3)l;1 . Так
как при любом n имеет место равенство (Kin2 wi2 )(t) = wi2 (t), t 2 e , то можно пользоваться
локальной сжимаемостью операторов Kin2 . Получаем kKin2 wi2 ; wi2 k 6 kKin2 wi2 ; Kin2; 1wi2 k +
kKin2; 1wi2 ; Kin2; 2wi2 k + +kKi2 wi2 ; wi2 k 6 (qn;1 + qn;2 + + q + 1) (1;q3)l;1 6 l3;1 . Отсюда
kKin2 wi2 ; z2 k 6 l3;1 + l 6 l3;1 + l6;1 = l2;1 . Так как последовательные приближения Kin2 w2
сходятся к неподвижной точке zi2 оператора Ki2 , то получаем неравенство kzi2 ; z2 k 6 l2;1 .
На следующем шаге вычислений находим такое продолжение wi3 2 B (e3 ) функции zi2 2
B (e2 ), что kwi3 ; z3 k 6 l;1 . Здесь i > Il > Il;1 > Il;2 . Воспользовавшись сходимостью
последовательных приближений Kin3 w3 к неподвижной точке zi3 оператора Ki3 = 3 Ki P3 :
B (e3 ) ! B (e3 ), получаем оценку kzi3 ; z3 k 6 l2;2 . И т. д. На последнем l-м шаге вычислений
докажем, что при всех i > Il имеет место kzi ; z k < ".
В случае, когда операторы Ki не являются в совокупности локально сжимающими, условия
сходимости решений уравнений (14) к решению уравнения (15) можно получить, используя идеи
работ [19] и [20].
Операторы Ki : B ! B , i = 1; 2; : : : , называют в совокупности компактными [20], если для
1
всякого ограниченного множества U B множество i[=1 Ki U компактно.
Нам потребуется следующее утверждение, полученное в [20].
Лемма 1. Пусть операторы Ki : B ! B , i = 1; 2; : : : , в совокупности компактны и для любой сходящейся последовательности fxi g B , kxi ; xk ! 0, имеет место kKi xi ; Kxk ! 0, где
K : B ! B . Тогда любая ограниченная последовательность zi неподвижных точек операторов
Ki является компактной, всякая ее предельная точка является неподвижной
K . Если неподвижная точка z оператора K единственна, то kzi ; z k ! 0.
24
для оператора
Отметим существенность условия ограниченности последовательности неподвижных точек
операторов Ki в этом утверждении. Рассмотрим, например, последовательность операторов
8
>
>
<x
; 1;
если x 6 i;
Ki : R ! R; Ki x = >2x ; i ; 1; если i < x 6 i + 1;
>
:x;
если x > i + 1:
1
Эти операторы в совокупности компактны, т. к. i=1
[ Ki [; ] [ ; 1; ]. Далее, для любого x 2 R
и любой его окрестности U существует такой номер I , что при всех i > I , y 2 U выполнено
Ki y = y ; 1. Таким образом, для любой сходящейся последовательности fxi g R, kxi ; xk ! 0,
имеет место kKi xi ; Kxk ! 0, где Kx = x ; 1. Неподвижные точки оператора Ki образуют
множество @i = [i + 1; 1). Любая последовательность элементов fxi g, выбранных по одному
из каждого множества @i , будет бесконечно большой, а предельный оператор K не имеет неподвижных точек.
Проверка ограниченности последовательности неподвижных точек zi операторов Ki бывает
достаточно сложной. Для уравнений общего вида обычно предполагаются выполненными априорные оценки решений [2], [3], [20], [21], из которых следует ограниченность последовательности
zi . Нахождению таких неравенств в пространстве суммируемых функций на основе теорем о
неподвижных точках монотонных операторов посвящена работа [22]. Можно также воспользоваться оценками решений, полученными в предыдущем параграфе (теоремы 6, 7). Еще одним
препятствием к применению леммы в случае вольтерровости операторов Ki является тот факт,
что уравнения (14) могут иметь предельно продолженные решения, более того, определенные на
разных множествах. Для преодоления этих трудностей также целесообразно воспользоваться
результатами предыдущего параграфа.
Операторы Ki : B ! B , i = 1; 2; : : : , будем называть в совокупности улучшающими на
системе v , если
9% 8x 2 B 8i Z (0; Ki x) 6 %;
(17)
(
8r > 0 8" > 0 9 > 0 8x 2 B 8i 8; 2 [0; b ; a] jkx;k 6 jr< ; ) jZ (; Ki x) ; Z (; Ki x)j < ":
(18)
Лемма 2. Пусть операторы
Ki : B
! B i = 1; 2; : : :
,
, являются в совокупности улуч-
r0 , r0 > %, существует такое > 0, что
zi i уравнения (14), определенного на
i
некотором множестве ei 2 v , если kz kB (e ) > r0 , то i = (ei ) > .
i
i
Доказательство. Выберем числа r , r > r0 > %, " = 0;5(r0 ; %) и найдем > 0, удовлетворяющее условию (18). Возьмем произвольное локальное решение zi i уравнения (14), норма
которого kzi i kB(ei ) > r0 . Существует такое его сужение zii на некоторое множество ei ei ,
что kzi kB(ei ) = r0 . Продолжим функцию zii до некоторой функции z i 2 B так, что kz i k 6 r.
Тогда Z (; Kz ) = Z (0; Kz ) + (Z (; Kz ) ; Z (0; Kz )) 6 % + " < r0 . Поэтому i > i > .
шающими на системе
v.
для любого натурального
Тогда для произвольного
i
и любого локального решения
Прежде чем сформулировать утверждение о непрерывной зависимости решения от параметров уравнения отметим следующее. Пусть операторы Ki : B ! B , i = 1; 2; : : : , на каждом x 2 B
сходятся к оператору K : B ! B . Если операторы Ki являются в совокупности улучшающими
на v, то оператор K также будет улучшающим; если операторы Ki в совокупности компактны,
то и оператор K будет компактным.
B выполнено V -условие. Пусть, далее, вольKi : B ! B , i = 1; 2; : : : , являются в совокуп-
Теорема 9. Пусть в банаховом пространстве
терровые на системе
v, непрерывные операторы
ности компактными и в совокупности улучшающими. Пусть, наконец, для любой сходящейся
25
fxi g B , kxi ; xk ! 0, имеет место kKi xi ; Kxk ! 0, где K : B ! B . Тоi уравнения (14) и (15) локально разрешимы, всякое локальное решение продол-
последовательности
гда при каждом
жаемо до глобального или предельно продолженного решения. Кроме того, существует такое
> 0, что
i и для каждого предельно продолженного решения zi i уравнения (14), определенного на [ e , выполнено i > ;
<
2) для каждого предельно продолженного решения z уравнения (15), определенного на
[ e , выполнено > ;
< 3) если при каждом i выбрать произвольно локальное решение zi уравнения (14), определенное на e , то полученная последовательность будет компактна в пространстве
B (e ), все ее предельные точки будут локальными решениями уравнения (15);
4) если локальное определенное на e решение z уравнения (15) единственно, то
1)
для любого
kzi ; z kB e ! 0:
(
)
Доказательство локальной разрешимости уравнений (14), (15) и продолжаемости решений следует из теоремы 4, существование числа и сходимость последовательности zi | из
лемм 1, 2.
Условия теоремы 9 можно несколько изменить, исходя из следующих соображений. Совокупная улучшаемость операторов Ki : B ! B , i = 1; 2; : : : , будет следовать из их совокупной
компактности, если в пространстве B выполнено условие C и операторы Ki удовлетворяют
неравенству (17), или если в пространстве B выполнено условие C0 . Таким образом, получаем
Следствие. Пусть выполнено одно из условий: либо банахово пространство B обладает
свойствами V , C0 , либо банахово пространство B обладает свойствами V , C , а операторы Ki
удовлетворяют неравенству (17). Пусть, далее, вольтерровые на системе v, непрерывные операторы Ki : B ! B , i = 1; 2; : : : , являются в совокупности компактными. Пусть, наконец, для
любой сходящейся последовательности fxi g B , kxi ; xk ! 0, выполнено kKi xi ; Kxk ! 0, где
K : B ! B . Тогда имеет место утверждение теоремы 9.
Оценим число | меру множества, на котором последовательность локальных решений
уравнений (14) сходится к решению уравнения (15). Обозначим через ("; r) точную верхнюю
границу всевозможных чисел , удовлетворяющих условию (18).
Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда утверждение теоремы имеет
место при любом
, удовлетворяющем неравенству
< "lim
!0
В частном случае, если
1)
2)
для любого
i
1
Z
2
("; % + t")dt:
(19)
R1
lim ("; % + t")dt > b ; a, то
"!0
2
уравнение
(14)
не имеет предельно продолженных решений, т. е. каждое
локальное решение продолжаемо только до глобального
;
(15) не имеет предельно продолженных решений, т. е. каждое локальное ре;
3) если при каждом i выбрать произвольно глобальное решение z i уравнения (14), то поуравнение
шение продолжаемо только до глобального
лученная последовательность будет компактна в пространстве
4)
точки будут глобальными решениями уравнения
если глобальное решение
z
уравнения
(15);
B,
все ее предельные
(15) единственно, то kz i ; z kB ! 0.
26
Доказательство. Достаточно показать, что если 2 (0; b ; a] удовлетворяет неравенству
(19), то, во-первых, при всех i для любого предельно продолженного решения zi i уравнения
(14) выполнено i > и, во-вторых, существует такое число , что при всех i любое локальное
решение zi уравнения (14), определенное на e , имеет норму kzi k 6 .
R1
Итак, пусть выбрано из условия (19). Тогда существует такое " > 0, что < ("; %+t")dt 6
1
P
I
P
2
("; % + n"). Следовательно, найдется такой номер I , что 6 ("; % + n"). Пусть сужение
n=2
на некоторое множество e1 предельно продолженного решения zi i уравнения (14) имеет
норму kzi 1 kB(e1 ) = % + ". Продолжим эту функцию до элемента z 2 B , kz k < % + 2". Вследствие
совокупной улучшаемости операторов Ki выполнено неравенство Z (("; % + 2"); Ki z ) < % + ".
Отсюда 1 > ("; % + 2"). Аналогично, если сужение zi 2 на некоторое множество e2 предельно
продолженного решения zi i уравнения (14) имеет норму kzi 2 kB(e2 ) = % +2", то 2 > ("; % +2")+
I
P
("; % + 3") и т. д. Таким образом, > I > ("; % + n") > . Кроме того, здесь установлено,
n=2
что любое локальное определенное на e решение zi уравнения (14) имеет норму kzi k 6 I".
n=2
zi 1
Автор выражает искреннюю признательность профессору А.И. Булгакову за советы и замечания, во многом повлиявшие на это исследование.
Литература
1. Математическая энциклопедия. Т. 1. { М.: Советская энциклопедия, 1977. { 1152 с.
2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. { М.: Наука, 1991. { 280 с.
3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории
функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. { М.: Институт компьютерных исследований, 2002. { 384 с.
4. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. { Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. { 230 с.
5. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюлл. Моск. ун-та. Секц. А. { 1938. { Вып. 8. {
Т. 1. { С. 1{25.
6. Бродский М.С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов. { М.: Наука,
1969. { 364 с.
7. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. { Новосибирск: Наука, 1983. { 208 с.
8. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве
и ее приложения. { М.: Наука, 1967. { 508 с.
9. Гусаренко С.А. Об одном обобщении понятия вольтеррова оператора // ДАН СССР. { 1987.
{ Т. 295. { Є 5. { С. 1046{1049.
10. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. { 1989. { Т. 25.
{ Є 9. { С. 1599{1605.
11. Жуковский Е.С. Вольтерровость и спектральные свойства оператора внутренней суперпозиции // Дифференц. уравнения. { 1994. { Т. 30. { Є 2. { С. 147{149.
12. Жуковский Е.С. Линейные эволюционные функционально-дифференциальные уравнения в
банаховом пространстве. { Тамбов: Изд-во Тамбовск. ун-та. { 2003. { 148 с.
13. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. { Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та, 1990. { 168 с.
14. Лившиц М.С. О спектральном разложении линейных несамосопряженных операторов //
Матем. сб. { 1954. { Т. 34. { Є 1. { С. 145{198.
27
15. Сумин В.И. Функционально-операторные
управления распределенными системами
вольтерровы уравнения в теории оптимального
// ДАН СССР. { 1989. { Т. 305. { Є 5. { С. 1056{
1059.
16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. { М.: Наука, 1976.
{ 576 с.
17. Жуковский Е.С. О параметрическом задании решения дифференциального уравнения и его
приближенном построении // Изв. вузов. Математика. { 1996. { Є 4. { С. 31{34.
18. Булгаков А.И. Элементы теории краевых задач для функционально-дифференциальных
включений: Дисс. : : : докт. физ.-матем. наук. { Тамбов. Тамбовский институт химического машиностроения, 1993. { 300 с.
19. Artstein Z. Continuous dependence of solutions of operator equations // Trans. Amer. Math. Soc.
{ 1977. { V. 231. { Є 1. { P. 143{166.
20. Максимов В.П. О предельном переходе в краевых задачах для функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. { 1981. { Т. 17. { Є 11. { С. 1984{1994.
21. Гусаренко С.А., Жуковский Е.С., Максимов В.П. К теории функционально-дифференциальных уравнений с локально вольтерровыми операторами // ДАН СССР. { 1986. { Т. 287. {
Є 2. { С. 268{272.
22. Жуковский Е.С. Об интегральных неравенствах в пространствах суммируемых функций
// Дифференц. уравнения. { 1982. { Т. 18. { Є 4. { С. 580{584.
Тамбовский государственный
Поступила
26.12.2003
университет
28
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
230 Кб
Теги
нелинейные, функциональная, уравнения, пространство, банаховом, вольтерра
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа