close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

НЕРАВЕНСТВО ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ $L p$ НА СФЕРЕ С ВЕСОМ ДАНКЛЯ.

код для вставкиСкачать
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 27–49
Математика
УДК 517.5
Неравенство Джексона в пространствах Lp
на сфере с весом Данкля ∗
Р. А. Вепринцев
Аннотация. Получена оценка сверху константы Джексона в
пространствах Lp , 1 6 p < 2, на единичной евклидовой сфере Sd−1
в Rd , d > 2, с весом Данкля, аналогичная оценке Д.В. Горбачева в
безвесовом случае.
Ключевые слова: неравенство Джексона, константа Джексона,
евклидова сфера, вес Данкля, κ-сферические гармоники, наилучшее
приближение, модуль непрерывности, обобщенные сферические
средние, свертка.
Введение
Работа посвящена исследованию константы Джексона, то есть
наименьшей константы в неравенстве Джексона между величиной
наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности в
пространствах Lp , 1 6 p < 2, на единичной евклидовой сфере с весом
Данкля. Модуль непрерывности функции определяется с помощью
обобщенных сферических средних. В качестве аппроксимирующего
множества рассматривается подпространство κ-сферических гармоник.
Исследование константы Джексона использует развитый гармонический
анализ Данкля на евклидовой сфере, основы которого вместе с необходимым
алгебраическим аппаратом изложены в работе [1].
1. Предварительные обозначения и понятия
Пусть N — множество всех натуральных чисел, N0 = N ∪ {0} — множество
всех неотрицательных целых чисел, R — поле действительных чисел, C —
поле комплексных чисел, Rd (d ∈ N) — d-мерное действительное евклидово
d
P
uj vj ,
пространство со стандартным скалярным произведением hu, vi =
j=1
p
kuk = hu, ui — норма (или длина) вектора u, {ej }dj=1 — стандартный
ортонормированный базис в Rd , Sd−1 = {x ∈ Rd | kxk = 1} — единичная
*
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045).
28
Р. А. Вепринцев
евклидова сфера в Rd , C(Sd−1 ) — пространство всех комплекснозначных
измеримых по Лебегу функций на сфере Sd−1 , ω — лебегова мера на сфере
Sd−1 , Bd = {x ∈ Rd | kxk 6 1} — единичный евклидов шар в Rd . Символ
Похгаммера определяется для t ∈ R по формулам
(t)0 = 1,
(t)n = t (t + 1). . . (t + n − 1),
n ∈ N.
Зафиксируем в Rd систему корней R. Выберем в R положительную
подсистему R+ . Обозначим через W = W (R) группу отражений, связанную
с R. Группа W конечна и содержится в ортогональной группе пространства
Rd . Зададим функцию кратности κ : R → R+ на системе корней R. С ее
помощью определяется весовая функция
Y
wκ (x) =
|hx, ui|2κ(u) , x ∈ Sd−1 ,
(1)
u∈R+
которую назовем весом Данкля на сфере Sd−1 . Вес wκ инвариантен
относительно W. С каждой функцией кратности связывают два числа:
X
d−2
κ(u), λκ = γκ +
γκ =
.
(2)
2
u∈R+
В силу W -инвариантности функции κ числа γκ , λκ , определение веса Данкля
wκ (1) не зависят от выбора положительной подсистемы в R.
Рассмотрим важный случай веса Данкля. Множество R = {±ej }dj=1
является системой корней. С базисом e1 , . . . , ed свяжем отношение полного
упорядочения [1, п. 2]. Относительно данного упорядочения R+ = {ej }dj=1 —
положительная подсистема в R. Группа отражений, связанная с R,
изоморфна абелевой группе Zd2 . Функция кратности κ : R → R+ в общем
виде определяется следующими значениями:
κ(±ej ) = κj ,
κj > 0,
j = 1, . . . , d.
(3)
Вес Данкля wκ на сфере Sd−1 равен произведению модулей координат
аргумента в неотрицательных степенях:
wκ (x) =
d
Y
j=1
2κj
|hx, ej i|
=
d
Y
j=1
|xj |2κj .
(4)
2. Весовые пространства и величина наилучшего
приближения
R1
2 λ−1 dt — нормировочная константа, m —
Пусть λ > 0, c−1
λ
λ = −1 (1 − t )
вероятностная мера на отрезке [−1, 1], определяемая равенством dmλ (t) =
29
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
= cλ (1 − t2 )λ−1 dt,
n
³Z
Lp,λ [−1, 1] = f : [−1, 1] → C | kf kp,[−1,1],λ =
1
−1
n
L∞,λ [−1, 1] = f : [−1, 1] → C | kf k∞,[−1,1],λ
´1/p
o
|f (t)| dmλ (t)
<∞ ,
p
o
= esssup |f (t)| < ∞ ,
t∈[−1,1]
1 6 p < ∞,
p = ∞,
— пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу на отрезке [−1, 1]
функций.
Пространство L2,λ [−1, 1] — комплексное гильбертово пространство со
скалярным произведением
Z 1
(f, g)λ,[−1,1] =
f (t)g(t) dmλ (t).
−1
Введем вероятностную меру σκ на сфере Sd−1
Z
−1
dσκ (x) = aκ wκ (x)dω(x), aκ =
wκ (x) dω(x),
Sd−1
весовые пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на
сфере Sd−1 (1 6 p 6 ∞)
n
³Z
o
´1/p
<∞ ,
|f (x)|p dσκ (x)
Lp,κ (Sd−1 ) = f : Sd−1 → C | kf kp,Sd−1,κ =
Sd−1
n
o
L∞,κ (Sd−1 ) = f : Sd−1 → C | kf k∞,Sd−1,κ = esssup |f (x)| < ∞ ,
x∈Sd−1
1 6 p < ∞,
p = ∞.
Пространство L2,κ (Sd−1 ) — комплексное гильбертово пространство со
скалярным произведением
Z
(f, g)κ,Sd−1 =
f (x)g(x) dσκ (x).
Sd−1
Пространство L2,κ (Sd−1 ) разлагается в ортогональную сумму пространств
Adn (κ) всех κ-сферических гармоник степени n ∈ N0 :
d−1
L2,κ (S
)=
∞
X
n=0
Adn (κ),
Adn (κ) ⊥ Adm (κ),
n 6= m.
Оператор ортогонального проектирования
Prn (κ) : L2,κ (Sd−1 ) → Adn (κ)
(5)
30
Р. А. Вепринцев
из L2,κ (Sd−1 ) на Adn (κ) имеет интегральное представление
Z
Prn (κ; f, x) =
f (y)Pn (κ; x, y) dσκ (y), x ∈ Sd−1 ,
(6)
Sd−1
где Pn (κ; ·, ·) — воспроизводящее ядро пространства Adn (κ).
Таким образом, произвольной функции f ∈ Lp,κ (Sd−1 ), 1 6 p 6 ∞, можно
поставить в соответствие ее κ-сферический гармонический ряд
∞
X
Prn (κ; f ).
(7)
n=0
Для функции f ∈ L2,κ (Sd−1 ) этот ряд сходится в среднем квадратичном.
Для ρ > −1 обозначим через Snρ (κ; f ) средние Чезаро ряда (7):
Snρ (κ; f )
n
1 X ρ
= ρ
An−j Prj (κ; f ),
An
j=0
Aρn =
(ρ + 1)n
.
n!
Отметим, что Sn0 (κ; f ) представляет собой n-ю частичную сумму ряда (7).
Для средних Чезаро справедливо следующее предложение [2, theorem 7.4.4,
p. 170].
Предложение 1. При ρ > 2λκ + 1 средние Чезаро κ-сферического
гармонического ряда (7) функции f ∈ Lp,κ (Sd−1 ) при 1 6 p < ∞ и f ∈ C(Sd−1 )
при p = ∞ сходятся к ней по норме пространства Lp,κ (Sd−1 ), а оператор
Snρ (κ) является неотрицательным оператором.
Для R ∈ N
ER (f )p,Sd−1,κ
½
¾
R−1
X
d
An (κ)
= inf kf − gkp,Sd−1,κ | g ∈
(8)
n=0
— величина наилучшего приближения функции f ∈ Lp,κ (Sd−1 ) линейными
комбинациями κ-сферических гармоник порядка не выше R − 1.
В гильбертовом пространстве L2,κ (Sd−1 )
2
(f )2,Sd−1,κ =
ER
∞
X
n=R
kPrn (κ; f )k22,Sd−1,κ .
(9)
3. Обобщенные сферические средние и модуль
непрерывности
3.1. Свертка. Свертка f ⋆κ g двух функций f ∈ L1,κ (Sd−1 ) и g ∈
∈ L1,λκ +1/2 [−1, 1] определена в [3] равенством
Z
£
¤
(10)
(f ⋆κ g)(x) =
f (y)Vκ g(hx, ·i) (y) dσκ (y), x ∈ Sd−1 ,
Sd−1
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
31
где Vκ — оператор сплетения Данкля, который построен и подробно изучен
в [1, п. 6].
£
¤
£
¤
Пусть Gκ (x, y) = Vκ g(hx, ·i) (y), |G|κ (x, y) = Vκ |g(hx, ·i)| (y). Тогда для
любого x ∈ Sd−1 (см. [1, формула (10)], [1, свойства 1), 4) леммы 6], [4,
формула (7)])
£
¤
R
R1
1) Sd−1 Vκ g(hx, ·i) (y) dσκ (y) = −1 g(t) dmλκ +1/2 (t),
¯
¯
2) ¯Gκ (x, ·)¯ 6 |G|κ (x, ·),
°
°
°
°
3) °Gκ (x, ·)°1,Sd−1,κ 6 °|G|κ (x, ·)°1,Sd−1,κ ,
°
°
4) °|G|κ (x, ·)°1,Sd−1,κ = kgk1,[−1,1],λκ +1/2 .
5) Gκ (x, y) = Gκ (y, x) для почти всех x, y ∈ Sd−1 .
Лемма 1. Для любых функций f ∈ L1,κ (Sd−1 ), g ∈ L1,λκ +1/2 [−1, 1] и
почти°всех x ∈°Sd−1 имеем
1) °|f | ⋆κ |g|°1,Sd−1,κ = kf k1,Sd−1,κ kgk1,[−1,1],λκ +1/2 ,
¡
¢
2) |f | ⋆κ |g| (x) > |f ⋆κ g|(x).
Доказательство. Из определения свертки (10), свойств 2), 4), 5)
функции Gκ (·, ·) выводим свойство 1) леммы
Z
Z
´
³Z
¡
¢
|f | ⋆κ |g| (x) dσκ (x) =
|f (y)||G|κ (x, y) dσκ (y) dσκ (x) =
Sd−1
Sd−1
Sd−1
Z
³Z
´
=
|f (y)|
|G|κ (y, x) dσκ (x) dσκ (y) = kf k1,Sd−1,κ kgk1,[−1,1],λκ +1/2 .
Sd−1
Sd−1
Отсюда функция |f | ⋆κ |g| конечна для почти всех x ∈ Sd−1 , и для таких
значений x по свойству 2) функции Gκ имеем
Z
¡
¢
|f | ⋆κ |g| (x) =
|f (y)||G|κ (x, y) dσκ (y) >
Sd−1
Z
Z
¯
¯
¯
¯
>
|f (y)||Gκ (x, y)| dσκ (y) > ¯
f (y)Gκ (x, y) dσκ (y)¯ = |f ⋆κ g|(x).
Sd−1
Sd−1
Лемма доказана.
Из леммы 1 следует, что свертка f ⋆κ g существует (определена) почти
всюду на сфере Sd−1 и f ⋆κ g ∈ L1,κ (Sd−1 ). Таким образом, определение
свертки (10) на сфере корректно.
При κ ≡ 0 получается обычная сферическая свертка в Rd , многие
свойства которой сохраняются и в общем случае κ > 0. В частности,
справедливо неравенство Юнга [3, Proposition 2.2].
Предложение 2. Пусть p, q, r > 1 и p−1 = q −1 + r−1 − 1. Для функций
f ∈ Lq,κ (Sd−1 ) и g ∈ Lr,λκ +1/2 [−1, 1] имеем
kf ⋆κ gkp,Sd−1,κ 6 kf kq,Sd−1,κ kgkr,[−1,1],λκ +1/2 .
32
Р. А. Вепринцев
Из неравенства Юнга получаем следствие.
Следствие 1. Пусть f ∈ Lp,κ (Sd−1 ), 1 6 p 6 ∞, g ∈ L1,λκ +1/2 [−1, 1] и
g = lim gn в L1,λκ +1/2 [−1, 1]. Тогда
n→∞
(f ⋆κ g) = lim (f ⋆κ gn )
n→∞
в Lp,κ (Sd−1 ),
в частности,
kf ⋆κ gkp,Sd−1,κ = lim kf ⋆κ gn kp,Sd−1,κ .
n→∞
Отметим, что оператор ортогонального проектирования Prn (κ) (5) из
L2,κ (Sd−1 ) в Adn (κ), учитывая его интегральное представление (6), можно
записать в виде свертки [2, формула (7.4.4)]
Prn (κ; f ) = f ⋆κ Znκ ,
Znκ (t) =
(n + λκ )(2λκ )n e λκ
Cn (t),
λκ n!
λκ
enλκ (t) = Cn (t) ,
C
Cnλκ (1)
где {Cnλ }∞
n=0 , λ > 0, — полная ортогональная система многочленов
Гегенбауэра в пространстве L2,λ+1/2 [−1, 1] [5, p. 17–20].
3.2. Оператор обобщенного сдвига. В безвесовом случае, т. е. при
κ ≡ 0, классический модуль непрерывности функции f определяется с
помощью оператора сдвига Tθ , 0 6 θ 6 π, который называют сферическим
средним, [2, Definition 2.1.4, p. 31]
Z
1
Tθ f (x) =
f (y) dλx,θ (y), x ∈ Sd−1 ,
ωd−2 (sin θ)d−2 Λx,θ
где dλx,θ обозначает лебегову меру на множестве Λx,θ = {y ∈ Sd−1 | hx, yi =
= cos θ}.
В случае произвольной функции кратности κ > 0 оператор сдвига Mτκ ,
−1 6 τ 6 1, который называют обобщенным (или весовым) сферическим
средним, определяется для функции f ∈ L1,κ (Sd−1 ) и x ∈ Sd−1 неявно
Z 1
Mτκ f (x)g(τ ) dmλκ +1/2 (τ ) = (f ⋆κ g)(x) ∀g ∈ L∞,λκ +1/2 [−1, 1].
(11)
−1
Функция Mτκ f (x) ∈ L1,λκ +1/2 [−1, 1] является единственной функцией
переменной τ, которая удовлетворяет соотношениям (11). Если
f ∈ L∞,κ (Sd−1 ), то для любого x ∈ Sd−1 функция Mτκ f (x) принадлежит
0
L∞,λκ +1/2 [−1, 1]. При κ ≡ 0 имеем Mcos
θ = Tθ , 0 6 θ 6 π.
Отметим некоторые свойства обобщенных сферических средних Mτκ .
Предложение 3 [2–4, 6]. Справедливы следующие утверждения:
(1) Если f0 = 1, то Mτκ f0 (x) = 1.
(2) Mτκ (αf + βg)(x) = αMτκ f (x) + βMτκ g(x) для любых f, g ∈ L1,κ (Sd−1 ) и
α, β ∈ C.
(3) Mτκ сохраняет положительность, т. е. если f > 0, то Mτκ f > 0.
33
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
(4) Если f ∈ Lp,κ (Sd−1 ), 1 6 p 6 ∞, то kMτκ f kp,Sd−1,κ 6 kf kp,Sd−1,κ .
d−1 ) и f = lim f в L
d−1 ), то для любого
(5) Если {fn }∞
n
1,κ (S
n=0 ⊂ L1,κ (S
n→∞
x ∈ Sd−1 последовательность ϕn (τ ) = Mτκ fn (x), n ∈ N0 , сходится к
функции ϕ(τ ) = Mτκ f (x) по норме пространства L1,λκ +1/2 [−1, 1].
e λκ (τ )Prn (κ; f ), n ∈ N0 , и
(6) Prn (κ; Mτκ f ) = Mτκ Prn (κ; f ) = C
n
Z
Z
Mτκ f (x) dσκ (x) =
f (x) dσκ (x) = Pr0 (κ; f ) ∀f ∈ L1,κ (Sd−1 ).
Sd−1
Sd−1
(7) Если f ∈ L2,κ (Sd−1 ), то
Mτκ f
=
∞
X
n=0
enλκ (τ )Prn (κ; f )
C
в L2,κ (Sd−1 ).
3.3. Модуль непрерывности. Модуль непрерывности функции f ∈
∈ Lp,κ (Sd−1 ), 1 6 p < ∞, определим по формуле
´1/p
³Z
£
¤
κ
ω(δ, f )p,Sd−1,κ = sup
, δ ∈ [0, π], (12)
f
(·)
(x)
dσ
(x)
Mcos
x,p
κ
θ
06θ6δ
Sd−1
где fx,p (·) = |f (·) − f (x)|p ∈ L1,κ (Sd−1 ) для почти всех x ∈ Sd−1 .
В гильбертовом пространстве L2,κ (Sd−1 ) модуль непрерывности
принимает вид
ω(δ, f )2,Sd−1,κ = sup
06θ6δ
Так как
∞
´1/2
³ X
¢
¡
enλκ (cos θ) kPrn (κ; f )k2 d−1
.
2
1−C
2,S
,κ
(13)
n=0
fx,2 (·) = |f (·) − f (x)|2 = (f (·) − f (x))(f (·) − f (x)) =
= |f (·)|2 + |f (x)|2 − (f (·)f (x) + f (x)f (·)) =
= |f (·)|2 + |f (x)|2 − 2Re[f (x)f (·)],
¡
£
¤
¢
2
2
κ
κ
Mcos
θ fx,2 (·) = Mcos θ |f (·)| + |f (x)| − 2Re[f (x)f (·)] =
¢
¡
κ
2
2
κ
κ
= Mcos
θ |f (·)| + |f (x)| Mcos θ 1 − 2Mcos θ Re[f (x)f (·)] =
κ
2
2
κ
= Mcos
θ |f (·)| + |f (x)| − 2Re[f (x)Mcos θ f (·)],
то
£
¤
¡ κ
¢
κ
2
2
κ
Mcos
θ fx,2 (·) (x) = Mcos θ |f (·)| + |f (x)| − 2Re[f (x)Mcos θ f (·)] (x) =
κ
2
2
κ
= Mcos
θ |f (x)| + |f (x)| − 2Re[f (x)Mcos θ f (x)],
34
Р. А. Вепринцев
Z
Sd−1
=
Z
£
¤
κ
Mcos
θ fx,2 (·) (x) dσκ (x) =
d−1
S
³Z
=2
¡
¢
κ
2
2
κ
Mcos
θ |f (x)| + |f (x)| − 2Re[f (x)Mcos θ f (x)] dσκ (x) =
´´
³Z
κ
2
f
(x)
dσ
(x)
=
f (x)Mcos
|f (x)| dσκ (x) − Re
κ
θ
Sd−1
∞ Z
³
X
= 2 kf k2,Sd−1,κ −
³
= 2 kf k2,Sd−1,κ −
Sd−1
´
enλκ (cos θ) |Prn (κ; f, x)|2 dσκ (x) =
C
d−1
n=0 S
∞
´
X
enλκ (cos θ)kPrn (κ; f )k2 d−1 .
C
2,S
,κ
n=0
Используя теперь равенство Парсеваля kf k22,Sd−1,κ =
∞
P
n=0
kPrn (κ; f )k22,Sd−1,κ ,
получаем соотношение
Z
∞
X
¢
¡
£
¤
κ
enλκ (cos θ) kPrn (κ; f )k2 d−1 ,
1−C
f
(·)
(x)
dσ
(x)
=
2
Mcos
κ
θ x,2
2,S
,κ
Sd−1
n=0
которое доказывает справедливость представления (13) модуля непрерывности
ω(δ, f )2,Sd−1,κ .
4. Неравенство Джексона и константа Джексона: известные
результаты в пространствах Lp, 1 6 p 6 2, на сфере
и формулировка основного результата
Неравенства между величиной наилучшего приближения функции и
ее модулем непрерывности в пространствах Lp , 1 6 p < ∞, называются
неравенствами Джексона. Константа Джексона или точная константа
в неравенстве Джексона — наименьшая (минимальная) константа в
неравенстве Джексона, при которой неравенство выполняется для всех
функций из пространства Lp . Задача о константах Джексона является
важной задачей теории приближений. Точные неравенства Джексона
(неравенства Джексона с точной константой) в пространствах Lp , p > 2,
отсутствуют.
Константу Джексона определим равенством
¾
½
ER (f )p,Sd−1,κ
d−1
| f ∈ Lp,κ (S ) , 1 6 p < ∞.
K(δ, R)p,Sd−1,κ = sup
ω(δ, f )p,Sd−1,κ
e λκ , δκ,R =
Обозначим через τκ,R наибольший нуль многочлена C
R
= arccos τκ,R . Пусть δR = δ0,R , K(δ, R)p,Sd−1 = K(δ, R)p,Sd−1,0 .
Приведем известные результаты о константе Джексона K(δ, R)p,Sd−1 , 1 6
p
6 p 6 2, d > 2 (p′ =
— показатель, сопряженный с p):
p−1
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
35
I. κ ≡ 0 (безвесовой случай):
d = 2:
• Результат Н.И. Черных (1967, [7]):
³π ´
1
K
,R
=√ .
1
R
2,S
2
d > 2:
• Результаты Н.И. Черных (1992, оценка сверху, [8]) и В.И.
Бердышева (1967, оценка снизу, [9]):
³ 2π ´
−1/p′
K
=
2
, 1 6 p < 2.
,R
R
p,S1
• Результат А.Г. Бабенко (1996, [10]):
1
K(2δR , R)2,Sd−1 = √ .
2
• Результат Д.В. Горбачева (1999, [11]):
′
K(2δR , 2R − 1)p,Sd−1 = 2−1/p ,
II. κ > 0:
d = 2:
Вес Данкля wκ (x1 , x2 ) = |x2 |2κ2 , κ2 > 0 (см. (3), (4)):
• Результаты Д.В. Чертовой (2009, оценка сверху, [12])
и В.И. Иванова, Лю Юнпин (2011, оценка снизу при
1 6 p < 2, [13]):
1
K(2δκ,R , R)2,S1,κ = √ ,
2
′
K(2δκ,R , 2R − 1)p,S1,κ = 2−1/p ,
d > 2:
1 6 p < 2.
1 6 p < 2.
Без дополнительных предположений о весе Данкля wκ (4):
• Результат Yi Gu (2012, Beijing Normal University, устное
сообщение):
1
K(2δκ,R , R)2,Sd−1,κ = √ .
2
(14)
В силу (9), (13) равенство (14) эквивалентно равенству








∞


X
1
1
,
|
ρ
>
0,
ρ
=
1
= sup
n
n
∞
P


2


enλκ (cos θ))ρn
n=R


(1
−
C
2
sup


06θ62δκ,R
n=R
доказанного А.Г. Бабенко [14].
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 1. Если d > 2, 1 6 p < 2, то
′
K(2δκ,R , 2R − 1)p,Sd−1,κ 6 2−1/p .
36
Р. А. Вепринцев
Теорема 1 анонсирована в [15], ее доказательство приводится в
следующем пункте. При доказательстве используются результаты и
методы работ [10], [11], [16, § 1.1]. Схема доказательства неравенств
Джексона в пространствах Lp , 1 6 p < 2, учитывающая строгую выпуклость
пространств, предложена Н.И. Черных [8] и усовершенствована В.И.
Ивановым [17–22].
5. Доказательство оценки сверху константы Джексона
K(2δκ,R, 2R − 1)p,Sd−1,κ, 1 6 p < 2
Воспроизводящее ядро Pn (κ; ·, ·) пространства Adn (κ) является
симметричной, непрерывной функцией на Sd−1 × Sd−1 и допускает удобное
представление
h
i
e λκ (hx, ·i) (y),
(15)
Pn (κ; x, y) = den,κ Pen (κ; x, y), Pen (κ; x, y) = Vκ C
n
2(2λκ + 1)n (n + λκ )
,
den,κ =
n!(n + 2λκ )
de0,κ = 1,
(16)
в котором на оператор сплетения Данкля Vκ можно смотреть как на оператор
из L1,λκ +1/2 [−1, 1] в L1,κ (Sd−1 ) при каждом x ∈ Sd−1 .
Функции Pen (κ; ·, ·) (15) будем называть нормированными воспроизводящими
ядрами пространств Adn (κ).
Нормированные воспроизводящие ядра Pen (κ; ·, ·) непрерывны на Sd−1 ×
× Sd−1 , симметричны и обладают свойством положительной определенности
[1, лемма 2]
Z
Z
Pen (κ; x, y)f (y)f (x) dσκ (x)dσκ (y) > 0 ∀f ∈ L1,κ (Sd−1 ), n ∈ N0 .
Sd−1
Sd−1
(17)
При n ∈ N имеем [1, формулы (18),(19)]
Z
Pen (κ; x, y) dσκ (y) = 0, x ∈ Sd−1 ,
Sd−1
Z
Z
Pen (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) = 0.
Sd−1
(18)
Sd−1
Лемма 2. При 1 6 p < 2, n > 1 для любой функции f ∈ Lp,κ (Sd−1 ) имеем
Z
Z
|f (x) − f (y)|p Pen (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) 6 0.
Sd−1
Sd−1
Доказательство. Справедливы следующие равенства
Z 2π
p
−1
| Re(ze−iϕ )|p dϕ,
|z| = cp
0
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
Z
37
2π
| cos ϕ|p dϕ > 0;
cp =
0
Z ∞
1 − cos(a − b)ξ
|a − b|p = d−1
dξ,
p
ξ p+1
0
Z ∞
1 − cos ξ
dξ > 0.
a, b ∈ R, 0 < p < 2, dp =
ξ p+1
0
z ∈ C,
p > 0,
Пользуясь этими равенствами, свойством положительной определенности
(17), формулой (18), получаем оценку
Z
Z
|f (x) − f (y)|p Pen (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
cp dp
Sd−1 Sd−1
Z
Z
´
³Z 2π
| Re((f (x) − f (y))e−iϕ )|p dϕ Pen (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
= dp
Sd−1 Sd−1
0
Z
Z
´
³Z 2π
| Re(f (x)e−iϕ ) − Re(f (y)e−iϕ )|p dϕ ×
= dp
Sd−1
Z
Z
³Z
Sd−1
0
×Pen (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
2π ³Z ∞
1 − cos(Re(f (x)e−iϕ ) − Re(f (y)e−iϕ ))ξ ´ ´
dξ dϕ ×
ξ p+1
0
Sd−1 Sd−1
0
×Pen (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
Z
Z ∞ Z 2π Z
1 − cos(Re(f (x)e−iϕ ) − Re(f (y)e−iϕ ))ξ
=
×
ξ p+1
0
Sd−1 Sd−1
0
×Pen (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y)dϕ dξ =
Z
Z ∞ Z 2π ³Z
cos Re(f (x)e−iϕ )ξ · cos Re(f (y)e−iϕ )ξ×
=−
d−1
d−1
S
S
0
0
Z
Z
e
×Pn (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) +
sin Re(f (x)e−iϕ )ξ · sin Re(f (y)e−iϕ )ξ×
=
Sd−1
Sd−1
´ dϕ dξ
6 0.
×Pen (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y)
ξ p+1
Лемма доказана.
Лемма 2 обобщает лемму 3 в работе [11].
Рассмотрим функцию из пункта 3.1:
£
¤
Gκ (x, y) = Vκ g(hx, ·i) (y),
x, y ∈ Sd−1 ,
где g(·) — непрерывная неотрицательная на отрезке [−1, 1] функция такая,
что
∞
X
enλκ (t) в L2,λ +1/2 [−1, 1],
(19)
gn C
g(t) =
κ
n=0
38
Р. А. Вепринцев
Z
g0 =
1
g(τ ) dmλκ +1/2 (τ ) = 1.
−1
Таким образом, функция Gκ (·, ·) непрерывна, симметрична, неотрицательна
на Sd−1 × Sd−1 и для любого x ∈ Sd−1
Gκ (x, y) =
∞
X
n=0
gn Pen (κ; x, y)
в L1,κ (Sd−1 ).
Лемма 3. Если f, h ∈ L2,κ (Sd−1 ), то
Z
Z
f (x)h(y)Gκ (x, y) dσκ (y)dσκ (x) =
Sd−1
=
∞
X
Z
gn
Sd−1
Sd−1
n=0
Z
Sd−1
f (x)h(y)Pen (κ; x, y) dσκ (y)dσκ (x).
Доказательство. Из сходимости по норме пространства L2,λκ +1/2 [−
−1, 1] следует сходимость по норме пространства L1,λκ +1/2 [−1, 1]
∞
X
g(t) =
n=0
По определению свертки
Z
(h ⋆κ g)(x) =
Sd−1
а по следствию 1
(h ⋆κ g) =
enλκ (t)
gn C
£
¤
h(y)Vκ g(hx, ·i) (y) dσκ (y),
∞
X
n=0
Отсюда
Z
Sd−1
=
Z
Z
Sd−1
Sd−1
=
∞
X
Лемма доказана.
enλκ )
gn (h ⋆κ C
Z
x ∈ Sd−1 ,
в L2,κ (Sd−1 ).
£
¤
f (x)h(y)Vκ g(hx, ·i) (y) dσκ (y)dσκ (x) =
∞
´
³X
enλκ )(x) dσκ (x) =
f (x)
gn (h ⋆κ C
gn
n=0
в L1,λκ +1/2 [−1, 1].
Sd−1
n=0
enλκ )(x) dσκ (x).
f (x)(h ⋆κ C
(20)
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
39
Для 1 6 p 6 ∞ определим следующие пространства комплекснозначных
измеримых по Лебегу функций на Sd−1 × Sd−1
n
Lpp,Gκ ,κ (Sd−1 × Sd−1 ) = h : Sd−1 × Sd−1 → C |
Z
´1/p
³Z
o
|h(x, y)|p Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y)
khkpp,Gκ ,κ =
<∞ ,
Sd−1
Sd−1
n
L∞∞,Gκ ,κ (Sd−1 × Sd−1 ) = h : Sd−1 × Sd−1 → C |
1 6 p < ∞,
o
khk∞∞,Gκ ,κ = esssup |h(x, y)| < ∞ ,
x,y∈Sd−1
p = ∞.
Произвольной функции f ∈ Lp,κ (Sd−1 ) можно поставить в соответствие
функцию двух переменных TGκ f (x, y), x, y ∈ Sd−1 по правилу
TGκ f (x, y) = f (x) − f (y) ∈ Lpp,Gκ ,κ (Sd−1 × Sd−1 ).
Непосредственно видно, что оператор
TGκ : Lp,κ (Sd−1 ) → Lpp,Gκ ,κ (Sd−1 × Sd−1 )
есть линейный оператор.
В следующих двух леммах оценивается норма оператора TGκ .
Лемма 4. Для всех 1 6 p 6 ∞ линейный оператор TGκ является
ограниченным с нормой, не превосходящей 2 max (Gκ (x, y))1/p , т. е. для
x,y∈Sd−1
любой функции f ∈ Lp,κ
(Sd−1 ),
1 6 p 6 ∞,
kTGκ f kpp,Gκ ,κ 6 2 max (Gκ (x, y))1/p kf kp,Sd−1,κ .
x,y∈Sd−1
Доказательство. Случай p = ∞. Имеем
kTGκ f k∞∞,Gκ ,κ = esssup |TGκ f (x, y)| = esssup |f (x) − f (y)| 6
x,y∈Sd−1
x,y∈Sd−1
6 2 esssup |f (x)| = 2 kf k∞,Sd−1,κ .
x∈Sd−1
Случай p = 1. Имеем
Z
kTGκ f k11,Gκ ,κ =
=
Z
Sd−1
Z
Sd−1
Sd−1
6 max Gκ (x, y)
x,y∈Sd−1
Z
Sd−1
|TGκ f (x, y)|Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
|f (x) − f (y)|Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) 6
Z
Sd−1
Z
Sd−1
(|f (x)| + |f (y)|) dσκ (x)dσκ (y) =
(21)
40
Р. А. Вепринцев
= 2 max Gκ (x, y)
x,y∈Sd−1
Z
Sd−1
Z
Sd−1
|f (x)| dσκ (x)dσκ (y) =
(22)
= 2 max Gκ (x, y) kf k1,Sd−1,κ .
x,y∈Sd−1
Случай 1 < p < ∞. Интерполируя неравенства (21) и (22) [23, теорема 1.3,
с. 202], получим оценку
kTGκ f kpp,Gκ ,κ 6 2 max (Gκ (x, y))1/p kf kp,Sd−1,κ .
x,y∈Sd−1
Лемма доказана.
Лемма 5. Если для функции g(·) (19) имеем
gn > 0,
n ∈ N,
′
то при 2 6 p 6 ∞ норма оператора TGκ не превосходит 21/p , т. е. для любой
функции f ∈ Lp,κ (Sd−1 ), 2 6 p 6 ∞,
′
kTGκ f kpp,Gκ ,κ 6 21/p kf kp,Sd−1,κ .
Доказательство. Случай p = ∞. По лемме (4)
kTGκ f k∞∞,Gκ ,κ 6 2 kf k∞,Sd−1,κ .
(23)
Случай p = 2. Пользуясь положительной определенностью нормированных
воспроизводящих ядер Pen (κ; ·, ·) (17), леммой 3, получим
Z
Z
2
|TGκ f (x, y)|2 Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
kTGκ f k22,Gκ ,κ =
d−1
d−1
S
Z S
Z
=
|f (x) − f (y)|2 Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
d−1
d−1
S
S
Z
Z
¡
¢
=
|f (x)|2 + |f (y)|2 − 2 Re f (x)f (y) Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
Sd−1 Sd−1
Z
Z
=2
|f (x)|2 Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y)−
Sd−1 Sd−1
Z
Z
−2 Re
f (x)f (y)Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
Sd−1 Sd−1
Z
=2
|f (x)|2 dσκ (x)−
−2 Re
∞
X
n=0
gn
Z
Sd−1
Z
Sd−1
Z
∞
³
X
gn
= 2 kf k22,Sd−1,κ −
n=0
Sd−1
Sd−1
f (x)f (y)Pen (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
Z
Sd−1
´
f (x)f (y)Pen (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) 6
6 2 kf k22,Sd−1,κ ,
41
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
т. е.
kTGκ f k22,Gκ ,κ 6 21/2 kf k2,Sd−1,κ .
(24)
Случай 2 < p < ∞. Интерполируя неравенства (23) и (24) [23, теорема 1.3,
с. 202], получим оценку
′
kTGκ f kpp,Gκ ,κ 6 21/p kf kp,Sd−1,κ .
Лемма доказана.
Введем линейный положительный интегральный оператор
AGκ : Lp,κ (Sd−1 ) → Lp,κ (Sd−1 )
по правилу
AGκ f (x) =
Z
Sd−1
f (y)Gκ (x, y) dσκ (y).
Лемма 6. Если для функции g(·) (19) имеем
gn > 0,
n ∈ N,
то при 1 6 p 6 2
′
kf − AGκ f kp,Sd−1,κ 6 2−1/p kTGκ f kpp,Gκ ,κ .
Лемма 6 доказывается с помощью леммы 5 аналогично лемме 2 из работы
[11].
Лемма 7. Пусть 1 6 p < ∞, f ∈ Lp,κ (Sd−1 ), f = lim fn в Lp,κ (Sd−1 ) и
n→∞
{fn } ⊂ C(Sd−1 ). Тогда
Z
Z
Sd−1
Sd−1
·X
Z
∞ ³
gm
= lim
n→∞
Sd−1
m=0
|f (x) − f (y)|p Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
Z
Sd−1
´¸
e
|fn (x) − fn (y)| Pm (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) .
p
Доказательство. Ввиду ограниченности по лемме 4 линейного
оператора TGκ из Lp,κ (Sd−1 ) в Lpp,Gκ ,κ (Sd−1 × Sd−1 ) и сходимости
последовательности функций {fn } ⊂ C(Sd−1 ) к функции f в пространстве
Lp,κ (Sd−1 ) имеем
TGκ f = lim TGκ fn
n→∞
в Lpp,Gκ ,κ (Sd−1 × Sd−1 ).
Отсюда
kTGκ f kpp,Gκ ,κ = lim kTGκ fn kpp,Gκ ,κ ,
n→∞
то есть
Z
Sd−1
Z
Sd−1
|f (x) − f (y)|p Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
42
Р. А. Вепринцев
= lim
hZ
n→∞
Sd−1
Z
Sd−1
i
|fn (x) − fn (y)|p Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) .
(25)
Учитывая (25), для доказательства леммы остается показать, что
Z
Z
|fn (x) − fn (y)|p Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
Sd−1
=
∞
X
gm
m=0
Sd−1
Z
Sd−1
Z
|fn (x) − fn (y)|p Pem (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y).
Sd−1
Так как для всех y ∈ Sd−1
Z
¡
¢
|fn (x) − fn (y)|p Gκ (x, y) dσκ (x) = |fn (·) − fn (y)|p ⋆κ g (y),
(26)
(27)
Sd−1
то по неравенству Юнга (предложение 2, следствие 1)
¡
p
¢
|fn (·) − fn (y)| ⋆κ g (y) =
∞
X
m=0
¢
¡
λκ
em
(y),
gm |fn (·) − fn (y)| ⋆κ C
y ∈ Sd−1 (28)
(поточечная сходимость частичных сумм).
Пусть
q
X
¡
¢
e λκ (y).
gm |fn (·) − fn (y)|p ⋆κ C
Sq (y) =
m
m=0
Тогда из (27), (28) следует
Z
Z
Z
p
|fn (x) − fn (y)| Gκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
Sd−1
lim Sq (y) dσκ (y).
Sd−1 q→∞
Sd−1
(29)
Для получения представления (26) достаточно обосновать возможность
предельного перехода в интеграле в правой части равенства (29).
Очевидно, что
q
¯´
¯X
³
¯
p
λκ ¯
e
|Sq (y)| 6 |fn (·) − fn (y)| ⋆κ ¯
gm Cm ¯ (y).
m=0
Поэтому для всех q ∈ N0
q
¯´
¯X
³
¯
λκ ¯
em
gm C
|Sq | 6 sup sup |fn (·) − fn (y)|p ⋆κ ¯
¯ (y).
y∈Sd−1 q∈N0
(30)
m=0
Выберем произвольное ε0 > 0. Для данного ε0 > 0 существует номер N0 ∈
∈ N такой, что
q
°
°
X
°
λκ °
em
6 ε0 .
gm C
∀q > N0 , °g −
°
m=0
1,[−1,1],λκ +1/2
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
43
Отсюда по неравенству Юнга
∀q > N0 ,
q
¯´
¯X
³
°
°
¯
p
λκ ¯
e
|fn (·) − fn (y)| ⋆κ ¯
gm Cm ¯ (y) 6 °|fn (·) − fn (y)|p °∞,Sd−1,κ ×
m=0
q
°
°X
°
λκ °
em
×°
gm C
°
1,[−1,1],λκ +1/2
m=0
°
°
6 °|fn (·) − fn (y)|p °∞,Sd−1,κ ×
q
°
°
³
X
°
λκ °
em
× kgk1,[−1,1],λκ +1/2 + °g −
gm C
°
1,[−1,1],λκ +1/2
m=0
´
6
°
°
¡
¢
6 °|fn (·) − fn (y)|p °∞,Sd−1,κ kgk1,[−1,1],λκ +1/2 + ε0 .
Пусть
N=
max
06i6N0 −1
(31)
i
´
³
X
e λκ k1,[−1,1],λ +1/2 , ε0 .
kg −
gm C
m
κ
m=0
Тогда из (31) следует оценка
q
¯´
¯X
³
¯
p
λκ ¯
em
gm C
sup |fn (·) − fn (y)| ⋆κ ¯
¯ (y) 6
q∈N0
m=0
°
°
¡
¢
6 °|fn (·) − fn (y)|p °∞,Sd−1,κ kgk1,[−1,1],λκ +1/2 + N ,
Так как
y ∈ Sd−1 .
(32)
°
°
sup °|fn (·) − fn (y)|p °∞,Sd−1,κ 6 2p max |fn (x)|p ,
x∈Sd−1
y∈Sd−1
то из (30), (32) для всех q ∈ N0
¡
¢
|Sq | 6 2p max |fn (x)|p kgk1,[−1,1],λκ +1/2 + N .
x∈Sd−1
Теперь для обоснования возможности предельного перехода в (29) остается
воспользоваться теоремой Лебега о мажорированной сходимости.
Лемма доказана.
Лемма 8. Пусть
u(t) =
∞
X
n=0
enλκ (t),
un C
s(t) =
u0 = s0 = 1,
∞
X
n=0
enλκ (t)
sn C
un > sn ,
в L2,λκ +1/2 [−1, 1],
n ∈ N,
— непрерывные неотрицательные функции на отрезке [−1, 1],
£
¤
£
¤
Uκ (x, y) = Vκ u(hx, ·i) (y), Sκ (x, y) = Vκ s(hx, ·i) (y).
44
Р. А. Вепринцев
Тогда для любой функции f ∈ Lp,κ (Sd−1 ) при 1 6 p < 2
Z
Z
|f (x) − f (y)|p Uκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) 6
Sd−1 Sd−1
Z
Z
6
|f (x) − f (y)|p Sκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y).
Sd−1
Sd−1
Доказательство. По лемме 7
Z
Z
£
¤
|f (x) − f (y)|p Uκ (x, y) − Sκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
Sd−1
= lim
·X
∞
n→∞
Sd−1
(um − sm )
m=1
Z
Sd−1
Z
Sd−1
¸
|fn (x) − fn (y)|p Pem (κ; x, y) dσκ (x)dσκ (y) .
(33)
Отсюда, учитывая условия леммы и лемму (2), получаем, что предел в (33)
неположителен.
Лемма доказана.
Замечание 1. В лемме 8, как и в лемме 3, можно потребовать
сходимость соответствующих рядов в пространстве L1,λκ +1/2 [−1, 1], а не в
L2,λκ +1/2 [−1, 1]. Условие u0 = s0 = 1 также несущественно. В силу свойств
оператора сплетения Данкля Vκ достаточно потребовать только, чтобы
u0 = s0 > 0.
Известно (см., например, [5, p. 22,23], [24, теорема 1.10, с. 38]), что
enλκ (t),
enλκ (−t) = (−1)n C
C
e λκ (τκ,R ) > 0, n = 0, 1, . . . , R − 1.
C
n
λκ (t) (λ
enλκ (t)C
em
Для произведения C
κ > 0)
линеаризации [25, теорема 6.8.2, с. 298]
справедлива
(34)
(35)
формула
min (n,m)
λκ
em
enλκ (t)C
(t) =
C
X
e λκ
e
a(l, n, m) C
n+m−2l ,
l=0
Рассмотрим многочлен степени R − 1
s(t) =
R−1
X
n=0
e
a(l, n, m) > 0.
enλκ (t).
enλκ (τκ,R ) C
den,κ C
(36)
Применяя формулу Кристоффеля-Дарбу [24, теорема 1.5, с. 22], [25,
теорема 5.2.4, с. 236], можно установить, что
e λκ (t)
C
s(t) = dR R
,
t − τκ,R
e λκ (τκ,R )
(2λκ + 1)R−1 C
R−1
dR =
> 0.
(R − 1)!
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
45
Пусть
se(t) =
³R−1
X
n=0
´2
e λκ (τκ,R ) C
e λκ (t) = d2
den,κ C
n
n
R
Ã
e λκ (t)
C
R
t − τκ,R
!2
,
−1 6 t 6 1.
(37)
Соотношения (16), (35), (36) говорят о том, что se есть многочлен степени
2R − 2 вида
se(t) =
2R−2
X
n=0
e λκ (t) > 0,
sen C
n
−1 6 t 6 1,
sen > 0,
n = 0, 1, . . . , 2R − 2, (38)
где sen — коэффициенты Фурье в разложении функции se в ряд по
enλκ }
ортогональной системе {C
Z 1
1
enλκ (t) dmλ +1/2 (t),
se(t)C
sen =
κ
enλκ k2
kC
−1
2,[−1,1],λκ +1/2
или, учитывая [1, формулу (17)],
Z 1
enλκ (t) dmλ
se(t)C
sen = den,κ
κ +1/2
(t),
n = 0, 1, . . . , 2R − 2.
−1
(39)
Коэффициенты Фурье sen многочлена se подчиняются следующим
неравенствам, доказанным в [16, с. 25–27].
Лемма 9. При n = 0, 1, . . . , R − 1
enλκ (τκ,R )e
sen > den,κ C
s0 .
В [10, с. 348–349] построена непрерывная функция на отрезке [−1, 1]
со специальными свойствами, которая позволила А.Г. Бабенко доказать
неравенство Джексона в L2 на сфере Sd−1 . Придерживаясь предложенных
в данной работе обозначений и нормировок (нормировочных констант при
определении функциональных пространств), эту функцию можно записать
в виде
∞
X
enλκ (t) в L2,λ +1/2 [−1, 1].
u
en C
u
e(t) =
κ
n=0
Для нее выполнены свойства:
1) u
e(t) 6≡ 0, u
e(t) > 0;
2) u
e(t) = 0 при t ∈ [−1, cos 2δκ,R ];
R
enλκ (t) dmλ
e λκ (t)C
enλκ (τκ,R ) 1 C
3) u
en = den,κ C
τκ,R
и
R
κ +1/2
4) u
e0 > 0, u
eR = 0, un 6 0 при n > R.
Так как
e λκ (t)| 6 C
e λκ (1) = 1, −1 6 t 6 1,
|C
n
n
enλκ (t) > 0,
C
t ∈ [τκ,R , 1],
(t), n = 0, 1, . . . ;
n ∈ N0 ,
0 6 n 6 R − 1,
46
Р. А. Вепринцев
то по свойству 3) функции u
e имеем при n = 0, 1, . . . , R − 1
Z 1
enλκ (τκ,R )e
e λκ (t) dmλ +1/2 (t) = den,κ C
enλκ (τκ,R )
u0 .
u
en 6 den,κ C
C
κ
R
(40)
τκ,R
Используя накопленный материал, получим оценку сверху константы
Джексона K(2δκ,R , 2R − 1)p,Sd−1,κ при 1 6 p < 2.
Положим
·
¸
¸
·
u
e(hx, ·i)
se(hx, ·i)
e
e
Uκ (x, y) = Vκ
(y),
Sκ (x, y) = Vκ
(y), x, y ∈ Sd−1 .
u
e0
se0
Функция Seκ удовлетворяет условию леммы 6, что следует из (38), поэтому
′
kf − ASeκ f kp,Sd−1,κ 6 2−1/p kTSeκ f kpp,Seκ ,κ =
Z
´1/p
³Z
−1/p′
.
|f (x) − f (y)|p Seκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y)
=2
Sd−1
(41)
Sd−1
eκ и Seκ удовлетворяют условиям леммы 8, если учесть лемму 9,
Функции U
соотношения (38), (40) и свойство 4) для коэффициентов функции u
e, поэтому
Z
Z
|f (x) − f (y)|p Seκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) 6
d−1
d−1
S
S
Z
Z
eκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y).
6
|f (x) − f (y)|p U
(42)
Sd−1
Sd−1
eκ и u
Используя определение и свойства функций U
e, определение модуля
непрерывности ω(δ, f )p,Sd−1,κ (12), определение свертки двух функций (10)
и неравенство Юнга (предложение 2), свойства обобщенных сферических
средних Mτκ (предложение 3), выбирая ρ > 2λκ + 1 и пользуясь свойствами
средних Чезаро Snρ (κ; f ) (предложение 1), получаем
Z
Z
eκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) =
|f (x) − f (y)|p U
Sd−1 Sd−1
Z
Z
Z
¡
¢
eκ (x, y) dσκ (x)dσκ (y) = 1
=
fy,p (x)U
fy,p ⋆κ u
e (y) dσκ (y) =
u
e0 Sd−1
Sd−1 Sd−1
Z
h
¡
¢ i
1
e (y) dσκ (y) =
lim Snρ (κ; fy,p ) ⋆κ u
=
u
e0 Sd−1 n→∞
Z
´
³Z 1
£
¤
1
Mτκ Snρ (κ; fy,p , (·)) (y) u
e(τ ) dmλκ +1/2 (τ ) dσκ (y) =
lim
=
u
e0 Sd−1 n→∞ −1
Z 1
Z
£
¤
1
=
Mτκ fy,p (·) (y)e
u(τ ) dmλκ +1/2 (τ )dσκ (y) =
u
e0 Sd−1 −1
Z
Z 1
£
¤
u
e(τ )
Mτκ fy,p (·) (y) dσκ (y)dmλκ +1/2 (τ ) =
=
e0 Sd−1
−1 u
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
=
Z
1
cos 2δκ,R
Z
sup
6
u
e(τ )
u
e0
cos 2δκ,R 6τ 61 Sd−1
=
sup
06θ62δκ,R
Z
Sd−1
Z
Sd−1
Mτκ
£
47
£
¤
Mτκ fy,p (·) (y) dσκ (y)dmλκ +1/2 (τ ) 6
Z
¤
fy,p (·) (y) dσκ (y)
1
−1
u
e(τ )
dmλκ +1/2 (τ ) =
u
e0
£
¤
p
κ
Mcos
θ fy,p (·) (y) dσκ (y) = ω (2δκ,R , f )p,Sd−1,κ .
(43)
Объединяя оценки (41)–(43), получим
′
kf − ASeκ f kp,Sd−1,κ 6 2−1/p ω(2δκ,R , f )p,Sd−1,κ .
(44)
Из определения ядра Seκ оператора ASeκ и (15)
Z
ASeκ f (x) =
f (y)Seκ (x, y) dσκ (y) =
Sd−1
=
=
=
2R−2
X
n=0
2R−2
X
n=0
2R−2
X
n=0
sen
se0
Z
Sd−1
sen
se0 den,κ
Z
f (y)Pen (κ; x, y) dσκ (y) =
Sd−1
f (y)Pn (κ; x, y) dσκ (y) =
2R−2
X
sen
Prn (κ; f, x) ∈
Adn (κ).
se0 den,κ
n=0
Отсюда и из определения величины наилучшего приближения (8), оценки
(44) получаем неравенство Джексона
E2R−1 (f )p,Sd−1,κ 6 kf − ASeκ f kp,Sd−1,κ 6
′
∀f ∈ Lp,κ (Sd−1 ),
6 2−1/p ω(2δκ,R , f )p,Sd−1,κ
т. е.
′
K(2δκ,R , 2R − 1)p,Sd−1,κ 6 2−1/p ,
1 6 p < 2.
Теорема 1 доказана.
Список литературы
1. Вепринцев Р.А. Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере
и шаре // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С.6–26.
2. Dai F., Xu Y. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls.
Springer: New York, 2013. 440 p.
3. Xu Y. Weighted approximation of functions on the unit sphere // Constr. Approx.
2005. V. 21. P. 1–28.
4. Li Zh., Song F. Inversion formulas for the spherical Radon-Dunkl transform //
SIGMA J. 2009. V. 5. № 025. 15 p.
48
Р. А. Вепринцев
5. Dunkl C.F., Xu Y. Orthogonal polynomials of several variables. Cambridge University Press, 2001. 390 p.
6. Xu Y. Approximation by means of h-harmonic polynomials on the unit sphere //
Adv. Comput. Math. 2004. V. 21. P. 37–58.
7. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88.
С. 71–74.
8. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp (0, 2π) (1 6 p < 2) с точной
константой // Труды МИРАН. 1992. Т. 198. С. 232–241.
9. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88.
С. 3–16.
10. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2
функций на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т. 60. № 3. С. 333–355.
11. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере //
Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 50–62.
12. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp , 1 6 p 6 2 с
периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1.
С. 5–27.
13. Иванов В.И., Лю Юнпин Оценка снизу констант Джексона в пространствах
Lp , 1 6 p 6 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки.
2011. Вып. 2. С. 59–69.
14. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для L2 -приближений на
отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем.
1998. Т. 62. № 6. С. 27–52.
15. Вепринцев Р.А., Иванов В.И. Точное неравенство Джексона в пространствах
Lp , 1 6 p < 2, на сфере со степенным весом // Современные проблемы
математики, механики, информатики: матер. Междунар. науч. конф. Тула:
Изд-во ТулГУ, 2013. С. 38–43.
16. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их
приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.
17. Иванов В.И. Приближение в Lp полиномами по системе Уолша // Матем. сб.
1987. Т. 134. № 3. С. 386–403.
18. Иванов В.И. О модуле непрерывности в Lp // Матем. заметки. 1987. Т. 41. № 5.
С. 682–686.
19. Иванов В.И., Пичугов С.А. Приближение периодических функций в Lp
линейными положительными методами и кратные модули непрерывности //
Матем. заметки. 1987. Т. 42. № 6. С. 776–785.
20. Иванов В.И. Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями // Матем.
заметки. 1988. Т. 44. № 1. С. 64–79.
21. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки.
1994. Т. 56. № 2. С. 15–40.
22. Иванов В.И. Представление и приближение функций в среднем: дис. . . . д-ра
физ.-мат. наук. Тула, 1994. 212 с.
23. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых
пространствах. М.: Мир, 1974. 336 с.
24. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979. 416 с.
25. Аски Р., Рой Р., Эндрюс Дж. Специальные функции. М.: МЦНМО, 2013. 652 с.
Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля
49
26. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 с.
Вепринцев Роман Андреевич (veprintsevroma@gmail.com), аспирант,
кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный
университет.
Jackson inequality in the spaces Lp on the sphere with Dunkl
weight
R. A. Veprintsev
Abstract. The upper estimation of Jackson constant in Lp -spaces, 1 6 p < 2,
on the unit Euclidean sphere Sd−1 in Rd , d > 2, with Dunkl weight function,
similar D.V. Gorbachev estimation in the case without weight, is obtained.
Keywords: Jackson inequality, Jackson constant, Euclidean sphere, Dunkl
weight function, κ-spherical harmonics, best approximation, modulus of continuity, generalized spherical means, convolution.
Veprintsev Roman (veprintsevroma@gmail.com), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 20.09.2013
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
256 Кб
Теги
сферы, джексон, пространство, данкла, весов, неравенства
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа