close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Новый асимптотический подход к проблеме трёхчастичного развала.

код для вставкиСкачать
Сер. 4. 2010. Вып. 2
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 519.632.4
П. А. Белов, С. Л. Яковлев
НОВЫЙ АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ
ТРЁХЧАСТИЧНОГО РАЗВАЛА∗
Работа посвящена численному исследованию граничной задачи, моделирующей
трёхчастичный процесс рассеяния частицы на связанной паре частиц с последующим
развалом данной пары. Рассматриваемая задача возникает после разделения переменных в дифференциальном уравнении
(−Δ + V (x) − E) Ψ(X) = −V (x) P + + P − Ψ(X)
(1)
для компоненты Фаддеева волновой функции [1], где P ± – оператор циклической перестановки частиц. Исследуемая модельная задача, получающаяся из уравнения (1)
после проецирования на состояния с нулевым орбитальным моментом во всех парах
трёхчастичной системы, имеет вид [2]
1
∂2
1 ∂2
− 2 − 2 Ψ(θ, ρ) + − 2 2 + V (ρ cos θ) Ψ(θ, ρ) − EΨ(θ, ρ) = Q(θ, ρ).
∂ρ
4ρ
ρ ∂θ
(2)
Асимптотические граничные условия при ρ → ∞
√
Ψ(θ, ρ) ∼ ϕ(x)ρ1/2 sin qy + a0 (q)ϕ(x)ρ1/2 exp iqy + A(θ, E) exp i Eρ,
(3)
где x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, q 2 = E−, вместе с нулевыми условиями Ψ(0, ρ) = Ψ(π/2, ρ) =
= 0 формируют граничную задачу в первом квадранте. Волновая функция связанной
пары частиц ϕ(x) удовлетворяет уравнению
∂2
− 2 + V (x) ϕ(x) = ϕ(x), x ∈ [0, ∞].
∂x
(4)
Предполагается, что существует только одно квадратично-интегрируемое решение
уравнения (4) c < 0. Функции a0 (q) и A(θ, E) являются амплитудами упругого рассеяния и компонентой Фаддеева амплитуды развала соответственно.
∗ По материалам доклада на юбилейном семинаре «Вычислительная физика» 29–30 октября
2009 г., С.-Петербург.
© П. А. Белов, С. Л. Яковлев, 2010
95
Асимптотическое представление (3) эквивалентно при ρ → ∞ следующему
√
Ψ(θ, ρ) ∼ ϕ(x)ρ1/2 sin qρ + a0 (q)ϕ(x)ρ1/2 exp iqρ + A(θ, E, ρ) exp i Eρ,
где
A(θ, E, ρ) =
ak (E)φk (ρ, θ).
(5)
k1
Здесь φk (ρ, θ), k = 0, 1, 2, . . . – собственные функции задачи Штурма–Лиувилля
1 ∂2
− 2 2 + V (ρ cos θ) φk (ρ, θ) = λk (ρ)φk (ρ, θ), θ ∈ [0, π/2].
ρ ∂θ
Искомая амплитуда A(E, θ) даётся пределом с учётом φk (ρ, θ) ∼
A(E, θ) = lim A(E, θ, ρ) =
ρ→∞
k1
√2
π
(6)
sin 2kθ, k = 1, 2, . . .
2
ak (E) √ sin 2kθ.
π
(7)
Собственная функция φ0 (ρ, θ) при ρ → ∞ связана с решением уравнения (4) соотношением [3]
√
φ0 (ρ, θ) ∼ ρϕ(ρ cos θ).
Модель (2) фиксируется выбором потенциала Баргманна [2]
V (x) = −2βλ2
e−λx
2
(1 + βe−λx )
и модельного источника [2]
Q(θ, ρ) = −V (ρ cos θ)
√
3 ρ5/2 exp (i Eρ sin θ) sin θ cos θ
.
4
( 3/4ρ sin θ + 2)5/2
Уравнение Шрёдингера (4) с выбранным потенциалом имеет единственное квадратично-интегрируемое на полуоси решение с энергией
e=−
2
= −2,224391 МэВ.
2m
Вычислительная схема основывается на разложении решения по базису эрмитовых
кубических сплайнов на сетке по переменной θ и использовании конечно-разностной
аппроксимации второй производной на равномерной сетке по ρ. Данная аппроксимация
порождает систему линейных уравнений с блочно трёхдиагональной матрицей. Эта
система решается методом матричной прогонки [4].
Для решения уравнения (2) с асимптотическим условием (3) формировалась краевая задача для уравнения (2) с граничным условием
√
Ψ(θ, ρmax ) = ϕ(x)ρ1/2
max [sin qρmax + a0 (q) exp iqρmax ] + A(θ, E) exp i Eρmax
при ρ = ρmax . Решение данной задачи даёт набор коэффициентов ak (E, ρmax ), определяющих амплитуду развала A(E, θ, ρmax ) по формуле (5). Этот набор позволяет определить допредельную амплитуду развала:
A(E, θ, ρmax , ρ) =
ak (E, ρmax )φk (ρ, θ),
(8)
k1
96
0,25
Re
0,2
Im
A(θ)
0,15
0,1
0,05
0
- 0,05
- 0,1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
θ, radian
1
1,2
1,4
Рис. 1. Зависимость от угла θ допредельной амплитуды развала A(θ, E, ρmax , ρ):
ρmax = 200 фм, ρ = 200 фм; энергия E = 7,1 МэВ
0,25
Re
0,2
Im
A(θ)
0,15
0,1
0,05
0
- 0,05
- 0,1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
θ, radian
1
1,2
1,4
Рис. 2. Зависимость от угла θ предельной амплитуды развала A(θ, E, ρmax ):
ρmax = 200 фм; энергия E = 7,1 МэВ
которая, в свою очередь, даёт возможность вычислить A(E, θ, ρmax ) как предел (7):
A(E, θ, ρmax ) = lim A(E, θ, ρmax , ρ) =
ρ→∞
2
ak (E, ρmax ) √ sin 2kθ.
π
k1
(9)
Предметом исследования являлось определение таких значений ρmax , начиная с которых коэффициенты разложения ak (E, ρmax ) перестают зависеть от значения ρmax .
Как показали вычисления, при ρmax 200 фм наблюдается постепенная стабилизация
коэффициентов ak (E, ρmax ). Разница между коэффициентами ak (E, ρmax ), вычисленными при ρmax = 500 фм и при ρmax = 1500 фм, составляет несколько процентов, поэтому для нахождения коэффициентов достаточно решить краевую задачу при меньшем
значении ρmax . Теперь, используя полученные коэффициенты в разложении (8) и (9),
можно найти допредельную A(E, θ, ρmax , ρ) и предельную A(E, θ, ρmax ) амплитуды развала соответственно.
97
Сравним полученные результаты с результатами [2]. Для этого построим амплитуды развала при тех же значениях параметров ρ и ρmax , которые использованы в работе [2]. Вид допредельной амплитуды A(E, θ, ρmax , ρ) при ρ = ρmax = 200 фм приведён на рис. 1. Предельная амплитуда развала A(E, θ, ρmax , ρ), отвечающая ρmax =
= 200 фм и ρ = ∞ приведена на рис. 2. Сравнение допредельной амплитуды на рис. 1
с соответствующей амплитудой в [2] показывает отличное согласие полученных результатов с данными этой работы.
Литература
1. Меркурьев С. П., Фаддеев Л. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких
частиц. М., 1985. 400 с.
2. Payne G. L., Glöckle W., Friar J. L. Boundary conditions for three-body scattering in configuration space // Phys. Rev. (C). 2000. Vol. 61. P. 024005-(1)–024005-(9)
3. Kvitsinsky A. A., Kostrykin V. V. Quantum three-body scattering problem in the adiabatic
hyperspherical representation // J. Math. Phys. 1991. Vol. 32. N 10. P. 2802–2812.
4. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М., 1978. 592 с.
Статья поступила в редакцию 22 декабря 2009 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
289 Кб
Теги
асимптотическое, подход, развала, новый, проблемы, трёхчастичного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа