close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Новый подход к теории линейных задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных II.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (446)
1999
УДК 517.9
В.С. МОКЕЙЧЕВ,
А.В. МОКЕЙЧЕВ
НОВЫЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, II
Мы сохраняем обозначения, понятия, соглашения и нумерацию, использованные в [1].
Пусть u | '-решение линейной задачи (7), (8) т. е. задачи
(P (x; @=@x) ; E )u = f (x) 2 H; x 2 Rn ; lu = 0;
и uk | вектор-столбец с координатами uk;j , j = 1; : : : ; m, являющимися коэффициентами Фурье
с номерами (k; j ) по последовательности ' = fe(j )y(k) ; k 2 N ; j = 1; : : : ; mg. Если функции
y(k) имеют производные порядка , и ряд P uk y((k)) сходится по норме в некотором гильбертовом
пространстве H(), то его сумму u() следует назвать производной порядка от '-распределения u. '-распределение u может быть дифференцируемым в H() , но недифференцируемым в
другом гильбертовом пространстве. Если '-распределение u имеет в H() производную порядка
и < , то даже в случае существования u() включение u() 2 H() может не выполниться.
Простой пример: ' совпадает c (1.4), = (1; 1), = (1; 0), H() = L2m (b ; a) и
u=
Теорема 2.3
X
(o
k1
X
x
x
1 ; a1
2 ; a2
uk1 ;0 exp 2ik1 b ; a + u0;k2 exp 2ik2 b ; a :
1
1
2
2
k2
)
глобальной регулярности . Пусть выполняются оценки
:
следующие утверждения равносильны
1.
2.
для каждой
f (x)
в случае существования
производную порядка
при всех
в которых
2 L'
;
'-решения
задачи
(7), (8)
(2:1).
Тогда
оно имеет в
H()
выполняются оценки
c4 k
( ) k
; c(N )k
c4 > 0, N и c(N ) не зависят от
(N; x)k kQ k;
и
k k
| символ нормы в
H().
(2.20)
Напомним, что оценки (2.1) имеют вид
c1 kQ k ; c(N )k (N; x)k kP k c2 kQ k + c(N )k (N; x)k;
иP Q | '-стационарный, взаимно однозначный оператор, определяемый равенствами Qw =
q(k)wk y(k) , в которых q(k) | обратимые матрицы, не зависящие от x. Пусть имеет место
утверждение 2, и u | '-решение задачи (7), (8). В силу (2.1) в H по норме сходится ряд
X
X
Q[uk y(k) ] = q(k)uk y(k) :
Отсюда
и из оценок, используемых в утверждении 2, следует сходимость по норме в H() ряда
P
(
)
uk y(k) . А это означает, что u имеет в H() производную u() . Импликация 2 ) 1 доказана.
P
Докажем обратную импликацию. В силу утверждения
1 и оценок (2.1) ряд uk y((k)) сходится
P
по норме в H(), если в H по норме сходится ряд q(k)uk y(k) . Отсюда и из ортонормированности
Доказательство.
30
' следует сходимость по норме в H() ряда P(q(k));1 vk y((k)) при условии P jvk j2 < +1. Сказанное
позволяет определить оператор T равенствами
X
Tw = (q(k));1 wk y((k)) 8w 2 H:
Напомним, что wk | вектор с координатами wk;j , j = 1; : : : ; m, и wk;j | коэффициент Фурье с
номером (k; j ) '-распределения w. Значит, T определен на всем H . Докажем его замкнутость.
Пусть g 2 H(). Тогда
X
hTw; gi = wk (((q(k)) );1 gk ):
Здесь и ниже h ; i | символ скалярного произведения в H() , | символ скалярного произведения в C m .PТак как последний ряд сходится при любых числовых векторах wk , удовлетворяющих
условию jwk j2 < +1, то в силу известной резонансной теоремы Э. Ландау
X
0 = j((q(k)) );1 gk j2 < +1:
Предположим, что kTw( ) ; vk + kw( ) ; hk ! 0 при ! +1. Тогда
X
jhT (w( ) ; h); gi j p0; j(w( ))k ; hk j21=2:
Поэтому jhT (w( ) ; h); gi j p0 kw( ) ; hk ! 0 при ! +1. Другими словами, доказано, что
T (w( ) ; h) ! 0 слабо. Однако Tw( ) ! v по норме, поэтому Th = v. Итак, доказано, что T |
замкнутый оператор,
определенный на
всем H . В силу теоремы Банаха о замкнутых операторах
T непрерывен, т. е. P(q(k));1 wk y((k)) kT k kwk. Отсюда легко следуют оценки (2.20).
Теорема 2.4
(об индивидуальной регулярности). Пусть u | '-решение задачи (7), (8);
(2:1); операторы c (x), 2 , и функция f (x) настолько гладки, что при
выполняются оценки
'-стационарном операторе Qe , взаимно однозначно отображающем DQ~ H
справедливо включение u 2 DQ
~ и имеет '-решение уравнение
некотором
e )]v = Qf
e Qu;
e (x) ; e
[Qe (P (x; @=@x) ; E
на
H,
(2.21)
e | несобственное значение оператора P~ ; при некоторой постоянной d1 < c1 (см.
(2:1)) и всех 2 L'
e ~ ; P~ Q
e
e
k(QP
(2.22)
) k d1 kP~ Q k + c(N )k (N; x)k:
в котором
Тогда
X
jq(k)qe(k)uk j2 < +1;
(2.23)
q(k), qe(k) | матрицы, определяемые '-стационарностью соответственно Q, Qe .
Доказательство. '-решение уравнения (2.21) обозначим через v . В силу (2.1), (2.22) его
коэффициенты Фурье vk;j удовлетворяют (2.23). По определению '-решения имеем
X
e )[v y ] = Qf
e Qu;
e (x) ; e
Qe (P (x; @=@x) ; E
k (k)
где
и ряд сходится в H по норме. Однако оператор Qe ;1 непрерывен, поэтому
X
e )[v y ] = f (x) ; u;
e
(P (x; @=@x) ; E
k (k)
e )z =
и ряд сходится в H по норме. Следовательно, v | '-решение уравнения (P (x; @=@x) ; E
e , причем u | также его '-решение. Так как e | несобственное значение оператора
f (x) ; u
P~ , то u = v.
31
Применим полученные результаты к математической модели (1), (2), введя в нее спектральный параметр . Итак,
utt ; c2 uxx ; u = f (t; x); H = L21 (R (0; )):
(2.24)
Спектр '-задачи для (2.24) в случае
'=
1
exp(ik1 t) sin(k2 x); k1 = 0; 1; : : : ; k2 = 1; 2; : : :
= f;k12 + c2k22 ; k1 = 0; 1; : : : ; k2 = 1; 2; : : : g. Если
совпадает с множеством
однозначно разрешима, и ее решение имеет вид
2= , то '-задача
X
(fk1 ;k2 =(;k12 + c2 k22 )) exp(ik1 t) sin(k2 x):
Оно будет принадлежать H при любой f (x) 2 H тогда и только тогда, когда jk12 ; c2 k22 j 1 > 0
8k1; k2 .
Замечание 2.2. Выше предполагалось, что оператор Q взаимно однозначен. Без этого предположения теоремы 2.1{2.4 справедливы только тогда, когда множество всех линейно независимых решений уравнения Qv = 0 конечно. Если последнее множество бесконечно, то каждое
2 C является собственным для P, при этом для сохранения теоремы 2.3
нужно в утверждении
2 добавить требование: множество N = fk : det(q(k)) = 0g \ fr : ke(1)y((r)) k 6= 0g конечно.
'-решений с 'e-решениями
Предположим, что для задачи (7), (8) мы можем вычислить '-решение u и 'e-решение v.
Возникает вопрос: какова связь объектов u и v? Чтобы ответить на поставленный вопрос, обозначим через P , Pe операторы, порожденные соответственно '- и 'e-задачами для (7), через Q,
Qe соответственно '- и 'e-стационарные операторы. При этом будем предполагать, что последние
два оператора взаимно однозначны и DP = DQ , DP~ = DQ~ . Напомним, что DB | область определения оператора B . В общем случае DB D 0' либо DB D 0'~ . Тот факт, что из оценок (2.1)
следует равенство DP = DQ , почти очевиден. Чтобы убедиться в обратном, достаточно повторить рассуждения, аналогичные тем, которые были использованы в доказательстве импликации
1 ) 2 в теореме 2.3.
Теорема 3.1. Предположим, что DP = DQ , DP~ = DQ
~ , последовательности ' и 'e явля
ются ортобазисами в гильбертовом пространстве H(0) , и при каждом p 2 N выполняются
3. Связь
равенства
P '(p) =
причем ряды сходятся в
H
X
ap;k Pe'e(k) ;
(3.1)
eпо норме. Тогда '-решение u уравнения (7) продолжается до '
; если, кроме того, DQ H(0), DQ~ H(0) , то u и его продолжение
решения того же уравнения
ue совпадают как элементы из H(0).
Доказательство. В частном случае для конкретных P и ' теорема доказана в ([2], c. 196{
200). Докажем ее в общем случае. В силу (3.1) область значений J1 оператора P содержится
в области значений J2 оператора Pe . Так как выполняются оценки (2.1) и их аналоги, получающиеся заменой в (2.1) P на Pe , Q на Qe и L' на L'~, то в силу теоремы 2.1 J1 и J2 |
подпространства в H , причем в силу взаимной однозначности Qe последовательность
f ; N
f N;
fPe (Qe );1 'e(p) ; p 2 Ng
32
(3.2)
является базисом Рисса в J2 . Справедливость этого факта была установлена в процессе доказаf число элементов конечно.
тельства теоремы 2.2. При этом отмечалось, что в множестве N n N
Так как (3.2) | базис Рисса в J2 и Pe 'e(k) 2 J2 , то
Pe 'e(k) =
X0
p
k;p Pe 'e(p) 8k 2 N :
(3.3)
f. Из последних рассуШтрих указывает на то, что суммирование производится по всем p 2 N
ждений следует, что наряду с (3.1) имеем
X0
aek;p Pe 'e(p) 8k 2 N :
Таким образом, заменяя, если в этом есть необходимость, 'e на последовательность f'e(p) ; p 2
f , добьемся того, что станет несобственным значением оператора Pe . Поэтому, не нарушая
Ng
e
f = N.
общности, можно считать, что | несобственное значение оператора P , т. е. N
P '(k) =
В силу (3.1), (3.2) имеем
P u =
X
P [up '(p)] =
XnX
p
q
o
aq;p Pe 'e(q) up :
(3.4)
Так как J1 J2 , то существует такое 'e-распределение v, что
X
Pev = P u = vq Pe 'e(q) :
(3.5)
Однако (3.2) | базис Рисса в J2 . Поэтому равенства (3.4), (3.5) выполнятся тогда и только
тогда, когда
X
vq = ap;q up 8q 2 N :
(3.6)
p
Докажем, что '-решение u можно продолжить до 'e-решения ue. Обозначим через L линейf для каждой
ную оболочку
множества ' [ 'e. В силу (3.6) и конечности множества N n N
P
e
2 L ряд uph ; '(p) i сходится.
Поэтому можно ввести функционал u, задаваемый на L с
P
помощью равенств ue(') = up h ; '(p) i. Очевидно, выписанный функционал является как 'распределением, так и 'e-распределением, причем ue = u на L' , и в силу (3.6) ue = v на L'~. Следовательно, функционал ue является как '-решением, так и 'e-решением уравнения (7). Первое
утверждение теоремы доказано. Чтобы доказать второе, заметим ue = u на L' , причем ue 2 H(0)
и u 2 H(0) . Однако ' | базис в H(0), поэтому kue ; uk0 = 0.
4. Корректно разрешимая задача для дифференциальных квазиполиномов
с постоянными коэффициентами
Пусть P (z ) | символ (m; m) матричного дифференциального квазиполинома P (D) с постоянными коэффициентами, т. е. при всех z 2 C m , x 2 Rn
P (D) exp(z x) =
X X
M
2 j =1
a;j (z ) exp(z ;j ) exp(z x) P (z ) exp(z x);
где множество мультииндексов , числовые векторы ;j и числовые матрицы a;j не зависят
от z , x, причем конечно.
S
Обозначим ~ = t, где 2 C и t 2 C n , k = f : det(P (~ + ik)) = 0g, = n k . Очевидно,
k 2Z
скалярная функция det(P (~ + ik)) при каждом k аналитически зависит от . Поэтому в случае
det(P (~ + ik)) 6 0 множество k счетно. Если каждое множество k счетно, то и множество счетно. При этом пустое множество считаем счетным.
33
Теорема 4.1. Пусть при некотором t и каждом k имеет место det(P (~
+ ik)) 6 0. Если
2= , то в случае
' = fe(j ) exp((~ + ik) x); k 2 Zn; j = 1; : : : ; mg; = (0; 2)n
'-задача для уравнения P (D)u = f 2 L2m (
) корректно разрешима.
Доказательство. Но определению '-решения имеем
X
P (D )u =
P (~ + ik)uk exp((~ + ik) x) = f:
k2Zn
P
Так как последовательность ' является базисом в L2m (
), то f = n fk exp((~ + ik) x). Поэтому
k2Z
uk = (P (~ + ik));1 fk . Следовательно, '-задача однозначно разрешима. Векторы uk при каждом
k непрерывно зависят от fk , причем последние непрерывно зависят от f . Отсюда следует непрерывная зависимость '-решения u от f .
5. Приложения
Что касается математической модели (1), (2), то о ней подробно говорилось в конце второго раздела. Всюду ниже, если особо не оговорено, k k | символ нормы в H , порожденной
скалярным произведением h ; i.
n
n
Q
1. '-задача в L2m (Rn ). Ниже предполагается, что H = L2m (Rn ), ' = e(j ) y(k ; ) (x ); k 2
=1
o
j = 1; : : : ; m , для каждого последовательность fy(k ; )(x ); k 2 Z+g является ортонормированным базисом в L21 (R), причем
Z+;
s) (t) ! 0; s = 0; 1; : : : ; при jtj ! +1;
y(r;)(t) 2 W1+1;2(R); y((r;
)
2
(5.1)
d + h (t) ; y (t) = 0 8t 2 R;
r;
(r; )
dt
функции h (t) 2 C1+1 (R) удовлетворяют условиям Re h (t) 0 , в которых 0 не зависит от t,
r; 6= 0 8r; .
Простейшим примером функций y(r; )(t), удовлетворяющих отмеченным выше условиям,
являются функции из ортонормированной последовательности Чебышева{Эрмита [3].
Рассмотрим только те уравнения (7), которые представимы в виде
P1 (x; @=@x)u X
2(2)
a (x)((@=@x)2 + h) +
+
X
<
b;
(x)(@=@x) (;) ((@=@x)2 + h)
u ; u = f (x); x 2 Rn : (5.2)
Здесь, как и всюду ниже,
((@=@x)2 + h) n
Y
=1
((@=@x )2 + h (x )) ;
(; ) = (sgn(1 ; 1 ); : : : ; sgn(n ; n )); sgn 0 = 0; sgn t = 1 8t > 0:
Подчеркнем, что уравнения (7), в которых наибольшие мультииндексы имеют только четные
координаты, всегда представимы в виде (5.2).
n
Q
Удобно обозначить (k ) (k; ) , k = (k1 ; : : : ; kn ).
=1
34
" > 0, некоторой c = c(") и всех v(x) 2 H , удовлетворяющих
@=@x v(x) 2 H , jv(x)j ! 0 при jxj ! +1, выполняются оценки
k@=@x v(x)k "k((@=@x )2 + h (x ))v(x)k + ckv(x)k:
(5.3)
Доказательство. Так как Re h (t) 0 , то
k((@=@x )2 + h (x ) ; 0 ; " 2)v(x)k kv(x)k jh((@=@x )2 ; " 2 )v(x); v(x)i + h(h (x ) ; 0 )v(x); v(x)ij jh@=@x v(x); @=@x v(x)i + " 2hv(x); v(x)i + h;(Re h (x ) ; 0 )v(x); v(x)ij k@=@x v(x)k2 + " 2kv(x)k2 :
Поэтому " 2 kv(x)k k((@=@x )2 + h (x ) ; 0 ; " 2 )v(x)k. Учитывая последние две серии оценок, получим " 2 k@=@x v(x)k2p k((@=@x )2 + h (x ) ; 0 ; " 2 )v(x)k2 . Отсюда легко следует, что
"k((@=@x )2 + h (x ))v(x)k + j0 "2 + 1jkv(x)k k@=@x v(x)k.
Лемма 5.2. Пусть при всех v (x) 2 H , удовлетворяющих условиям @=@x v (x) 2 H 8 ,
jv(x)j ! 0 при jxj ! +1, для каждого " > 0 выполняются оценки (5:3), элементы матриц
ce; (x) измеримы и ограничены в существенном, для всех < , 2 (2)
Лемма 5.1. При каждом
условиям
j(k
Тогда при каждом
S1 X
X
2(2) <
) j
1+
X
X
2(2) j(k
;1
) j
!0
если
jkj ! +1:
(5.4)
"1 > 0, некоторой c = c("1 ) и всех (x) 2 L'
ce;
(x)(@=@x) (;) ((@=@x)2 + h)
"1
Доказательство.
(x) X
X
2(2) k((@=@x)2 + h) (x)k + ck (x)k: (5.5)
Левая часть доказываемой оценки не больше
X X
S2 B
k(@=@x)(;) ((@=@x)2 + h) (x)k;
2(2) <
причем B не зависит от (x). Так как (x) 2 L' , то
((@=@x)2 + h)
(x) =
X
(k)(k
k
)
Y
n
=1
y(k ; )(x ) ;
(5.6)
и ненулевых слагаемых конечное число. Поэтому
(@=@x) (;) ((@=@x)2 + h) (x) 2 H 8 2 (2); j((@=@x)2 + h) (x)j ! 0 при jxj ! +1;
ибо имеет место (5.1). Отсюда и из (5.3) следует
S2 "
X
X
2(2) <
k((@=@x)2 + h)(;)+
(x)k + c
X X
2(2)
<
k((@=@x)2 + h)
(x)k :
С другой стороны, в силу (5.4), (5.6) имеем
X X
X X
c
k((@=@x)2 + h) (x)k "2
k((@=@x)2 + h) (x)k + c("2 )k (x)k; 0 < "2 < ":
2(2) <
2(2) Полагая "1 = " ; "2 и учитывая (; ) + , получим (5.5).
35
f0g (Rn ), для любого "2 > 0, некоторого = ("2 )
a (x) 2 Cm;m
и всех x, y , удовлетворяющих условиям kxk , ky k , выполняются оценки
X
ja(x) ; a(y)j "2 :
(5.7)
Лемма 5.3. Предположим, что
2(2)
!r (x) 2 C1+1(Rn ), что (!1 (x))2 +
1, !M ( ) = 1 при j j 2; для всех x 2 supp(!r (x)), y 2 supp(!r (x)) и любого r
выполняются оценки (5:7).
Доказательство. Множества r = fx : jx ; (r )j < 1 g выберем так, чтобы fjxj g 1 [ [ M ;1 и при всех r, x 2 r , y 2 r выполнились оценки (5.7). При r = 1; : : : ; M ; 1
положим fer (x) = exp(jx ; (r)j2 ; p21), если x 2 r и fer (x) = 0 для x 2= r ; feM (x) = exp((2 ;jxj2 );1 )
при jxj > и feM (x) = 0 при jxj . Так как fjxj g 1 [ [ M ;1 , то s(x) = ((fe1 (x))2 +
+(feM ;1(x))2 +(feM (x))2 )1=2 > 0. Поэтому функции !r (x) = fer (x)=s(x) принадлежат C1+1(Rn ) и
(!1 (x))2 + + (!M (x))2 = 1. Если x 2 supp !r (x), y 2 supp !r (x) и r M ; 1, то x 2 r , y 2 r , и
выполняется (5.7). В случае x; y 2 supp !M (x) имеем jxj , jyj , поэтому выполняются (5.7).
Фиксируем 2 так, чтобы fjxj 2 g 1 [ [ M ;1 . Для jxj 2 имеем x 2= 1 [ [ M ;1 ,
!r (x) = 0 8r M ; 1, т. е. !M (x) = 1.
Удобно через C ((D2 + h) ) обозначить множество всех тех функций a(x) 2 Cfg (Rn ), для
которых при всех w(x) 2 C1+1 (Rn ) в равенствах
X
((@=@x)2 + h) (w(x)a(x)) C; (x)(@=@x) (;) ((@=@x)2 + h) w(x)
Тогда существуют такие скалярные вещественные функции
+ (!M (x))2
функции C; (x), не зависящие от w(x), ограничены. Условие a(x) 2 C ((D2 + h) ) означает, что
при 6= 0 производные a( )(x) достаточно быстро убывают (естественно при условии ).
Теорема 5.1. Предположим, что при всех 2 (2), 2 (2) выполняются включения
a(x) 2 Cm;m ((D2 + h)2 ) и функции a (x) имеют пределы при jxj ! +1; элементы матриц
B; (x) измеримы и ограничены в существенном; при некоторых g1 > 0, t 2 C и всех x 2 Rn ,
k 2 Zn, z 2 C n
в которых
имеют место оценки
tE +
2
X
2(2)
j(k ) j 1 +
при каждом
X
2(2) j(k ) j2 jzj2 ;
(5.8)
X
X
2(2) ;1 j(k ) j
! 0;
" > 0 и всех функциях v(x) 2 H , удовлетворяющих условиям (@=@x v(x)) 2 H 8 ;
jxj ! +1, выполняются оценки (5:3).
при
Тогда
1.
2.
X
d(t) ! +1 при jtj ! +1; для всех < , 2 (2) и jkj ! +1
jv(x)j ! 0
a (x)(k ) z g1 (d(t))2 +
'-задачи для уравнения (7) точечен;
'-решение u уравнения (7) существует, то оно удовлетворяет условию
X X X
j(k ) j2juk j2 < +1:
спектр
если
k 2(2) Доказательство. На первом этапе докажем теорему для частного случая, когда B; (x) |
нулевые матрицы. Через Lt (y) обозначим дифференциальный полином
X
tE +
a (y)((@=@x)2 + h) ;
2(2)
36
через q(z ) | скалярный полином, удовлетворяющий условию
X X
jq(k )j j(k ) j 8k 2 Zn;
2(2) через Q | '-стационарный оператор, определяемый равенствами
Qw =
X
k
q(k )wk
n
Y
j =1
y(kj ;j) (xj ) :
Отметим, что в силу (5.8) за дифференциальный полином q(@=@x) можно взять полином
Lt(y)e(1)=g1 , в котором jtj достаточно велико.
Фиксируем малое число " > 0 и функции !1 (x); : : : ; !M (x), построенные в лемме 5.3. Тогда
для (x) 2 L' имеем kLt (y) (x)k F1 ; F2 ; F3 , где
F1 =
F2 =
F3 =
X
M
=1
X
M
=1
M
X
=1
kLt( ( ))(! (x)
F2 "
M X
X
=1 2(2)
(x))k2
k((@=@x)2 + h) (!
(x)
X
M X
"
=1 2(2)
X
M X
+"
;
(x))k2
k! (x)L0 (x) (x) ; L0(x)(! (x)
k(L0 (x) ; L0( ( )))(! (x)
1=2
k(L0 (x) ; L0( ( )))(! (x)
Так как имеет место (5.7), ( ) 2 и
то
(x))k2
=1 2(2)
=
Z
(x))k2
1=2
;
(x))k2
1=2
:
j(L0 (x) ; L0( ( )))(! (x) (x))j2 dx;
1=2
k! (x)((@=@x)2 + h) (x)k2
k((@=@x)2 + h) (!
(x)
1=2
(x)) ; !
+
(x)((@=@x)2 + h)
(x)k2
1=2
:
В силу выбора !1 (x); : : : ; !M (x) первая группа слагаемых совпадает с
F2;1 "
X
2(2)
k((@=x)2 + h)
(x)k2
1=2
:
К оценке второй группы слагаемых применима лемма 5.2. Поэтому
F2 "
X
2(2)
k((@=@x)2 + h) (x)k2
1=2
+ "1
+
X
X
2(2) k((@=@x)2 + h)
К оценке F3 также можно применить лемму 5.2, т. е.
F3 "
X
X
2(2) k((@=@x)2 + h) (x)k2
37
1=2
(x)k2
1=2
+ ck (x)k:
+ ck (x)k: (5.9)
Таким образом, доказано, что
F2 + F3 3"
X
X
2(2) k((@=@x)2 + h)
(x)k2
1=2
+ ck (x)k:
(5.10)
Напомним, что несущественные постоянные мы обозначаем одними и теми же буквами. Труднее
оценить снизу величину F1 . Так как (! (x) (x))() ! 0 для всех и , если jxj ! +1, то
h(! (x) (x))() ; e(j )y(k) (x)i = (;1)[] h! (x) (x); e(j )y((k)) (x)i:
Поэтому
h((@=@x)2 + h) (! (x) (x)); e(j )y(k) (x)i =
= h! (x) (x); ((@=@x)2 + h) (e(j )y(k) (x))i = (k ) h! (x) (x); e(j )y(k) (x)i:
Из выписанных равенств и ортонормированности ', во-первых, следует сходимость по норме
рядов
X
(k ) zk y(k) (x) 8 ; 8 2 (2);
k
в которых zk | вектор-столбец с координатами zk;j = h! (x) (x); e(j )y(k) (x)i, j = 1; : : : ; m,
во-вторых, справедливо равенство
F1 =
M X X
=1
tE +
k
X
2(2)
2 1=2
a( ( ))(k ) zk :
Учитывая (5.8), получим
F1 g1
M X
X
X
=1 2(2) k((@=@x)2 + h) (!
(x)
(x))k2 + g1 (d(t))2 k! (x)
(x)k2
1=2
: (5.11)
Так как
k((@=@x)2 + h) (! (x) (x))k2 21 k! (x)((@=@x)2 + h) (x)k2 ;
; k! (x)((@=@x)2 + h) (x) ; ((@=@x)2 + h) (! (x) (x))k2 ;
то в силу леммы 5.2 при каждом "1 > 0, не зависящим от ",
k((@=@x)2 + h) (! (x) (x))k2 12 k! (x)((@=@x)2 + h) (x)k2 ;
X
; "1 k((@=@x)2 + h) (x)k2 ; ck (x)k2 :
Отсюда и из (5.11) следует неравенство
F12
;g
1
2
; "1 B )
X
X
2(2) k((@=@x)2 + h)
(x)k2
+ ((d(t))2 ; c)k (x)k2 :
В нем B не зависит от "1 , но зависит от ". Таким образом, доказано, что в случае (d(t))2 c
имеет место
F1 ; (F2 + F3 ) (g1 =2 ; "1B ; 3")
X
X
2(2) k((@=@x)2 + h) (x)k2
38
1=2
+ ((d(t))2 ; c)1=2 k (x)k:
Здесь ", "1 | положительные числа, которые можно выбрать сколь угодно малыми; g1 , B , c не
зависят от (x) и от t; g1 не зависит от ", "1 ; g1 , B не зависит от "1 . С другой стороны,
X X X
kQ (x)k2 =
j(k ) j2j k j2:
k 2(2) Поэтому выполняются оценки
kLt (x) (x)k g2 kQ (x)k + ((d(t))2 ; c)1=2 k (x)k:
(5.12)
Следовательно, выполняются аналоги оценок (2.1). Обозначим через Lt+ (x) оператор, формально
сопряженный к Lt (x). В силу предположений относительно a (x) оператор L+t (x) определяется
равенствами
X
(a (x)) ((@=@x)2 + h) (x) + t (x) +
L+t (x) (x) =
2(2)
+
X
X
2(2) <
Be; (x)(@=@x) (;) ((@=@x)2 + h) (x) 8 (x) 2 L';
причем элементы матриц Be; (x) ограничены и измеримы. Так как матрицы a (x) конечномерны
и квадратны, то в силу (5.8)
tE +
X
(a (x)) (k )
2(2)
2
z
X X
2
2
g1 (d(t)) +
j(k ) j jzj2 ;
2(2) (5.13)
причем g1 и d(t) | объекты, используемые в (5.8). Оценки (5.13), как доказано ранее, гарантируют
X
2
tE +
(a (x)) ((@=@x) + h) (x) g2 kQ (x)k ; ((d(t))2 ; c)1=2 k (x)k:
2(2)
Отсюда, а также из леммы 5.2 следует справедливость аналогов оценок (2.8). Так как DQ H ,
то аналоги включений (2.11) выполняются автоматически.
Убедимся в том, что при каждом достаточно малом c3 > 0 выполняются аналоги оценок
(2.13). Пусть (x) 2 L' , v(x) 2 L'. Тогда
S3 h(Q+ );1 (x); (QLt(x)Q;1 ; Lt(x))v(x)i = h((Q+ );1 Lt+(x) ; L+t (x)(Q+ );1 ) (x); v(x)i:
Подчеркнем, что возможность интегрирования по частям и исчезновение внеинтегральных
членов при интегрировании по частям гарантируется
предположениями относительно a (x),
y(k; )(x ). Запишем полином q() в виде P l ( ) . Очевидно,
QLt(x)Q;1 v(x) =
X
X
~ 2(2) 2(2)
l~
=
2(2)
((@=@x)2 + h)~ [a
X
X
~ 2(2) 2(2)
l~
(x)((@=@x)
X
~
2 + h) (Q;1 v (x))] =
c;;~ (x)(@=@x) (~;)((@=@x)2 + h)+Q;1 v(x):
e ) введено в начале п. 5. В последних равенствах a (x) = c;;~ (x), если e = .
Обозначение (;
Другими словами, сумма членов, для которых = e, совпадает с Lt (x)v(x). Поэтому
X
X
X
S3 =
l~ h(c;;~ (x)) (Q+);1 (x); (@=@x)(~;)((@=@x)2 + h)+(Q;1 v(x))i:
~ 2(2) 2(2)
<~
Предположения относительно a (x), y(k; ) (t) позволяют интегрировать по частям (2 ) раз. При
этом внеинтегральные члены исчезнут и получим
X
X
XX
l~
hc;;;~ (x)(@=@x)(;) ((@=@x)2 +h) (Q+);1 (x); ((@=@x)2 +h) (Q;1v(x))i;
S3 =
~ 2(2) 2(2)
<~ 39
причем требования a (x) 2 Cm;m ((D2 + h) ) гарантируют ограниченность элементов матриц
c;;;~ (x). Поэтому
jS3j B
X
X XX
~ 2(2) 2(2) <~ k(@=@x)(;) ((@=@x)2 + h) (Q+);1 (x)k k((@=@x)2 + h) (Q;1v(x))k:
В силу (5.5), (5,6) имеем
k(@=@x)(;) ((@=@x)2 + h) (Q+ );1 (x)k B1k((@=@x)2 + h)(;)+ (Q+);1 (x)k;
k((@=@x)2 + h) (Q;1v(x))k B2kv(x)k:
Из последних трех серий оценок следует
jS3j Be
X
X
~ 2(2) <~
k((@=@x)2 + h) (Q+);1 (x)k kv(x)k:
(5.14)
При этом постоянная Be не зависит от (x) и от v(x). Если < e , то в силу (5.4), (5.5) имеем
k((@=@x)2 + h) (Q+ );1 (x) =
X
k
j k j2 j(k ) j2 jq(k )j;2
"1
Итак, доказано, что
X
k
j k j2
1=2
1=2
X
+c
jkjN
j k j2
1=2
"1 k (x)k + ck (N; x)k:
e k (x)k + cek (N; x)k)kv (x)k;
jS3j (B"
1
причем Be не зависит от "1 , и "1 можно выбрать сколь угодно малым. Так как в последней оценке
e выполняется аналог
постоянные не зависят от v(x), и множество L' плотно в H , то при c3 = B"
1
оценок (2.13). В силу (5.12), (5.13) при больших jtj числа t, t являются несобственными значениями соответственно операторов Lt (x), L+t (x). При этом выполняются аналоги предположений
теоремы 2.2. Поэтому последние числа t, t являются регулярными значениями соответственно
операторов Lt (x), Lt+ (x). Отсюда, из (5.12) и из леммы 5.2 легко следует, что каждое несобственное значение '-задачи для уравнения (7) является регулярным. Первое утверждение теоремы
доказано. Второе | простое следствие оценок (5.8).
Замечание 5.1. Среди предположений теоремы 5.1 наиболее надуманным является предположение a (x) 2 Cm;m((D2 + h) ). Естественно возникает вопрос: нельзя ли ограничиться непрерывностью a (x)? В общем случае нельзя. Это объясняется тем, что в случае Re h (t) = h (t)
функции h (t) обязаны быть неограниченными, что следует из теоремы А.М. Молчанова ([3],
c. 393). Поэтому отказ от последнего включения хотя бы при одном привел бы к тому, что при
исследовании спектра '-задачи для уравнения (7) члены вида b; (x) = (@=@x) (;) ((@=@x)2 +h)
при < играли бы существенную роль.
Замечание 5.2. Мы не доказываем индивидуальную теорему о гладкости. Ее доказательство мало чем отличается от доказательства аналогичной теоремы для (b;a)-периодической
задачи. Последняя будет доказана в третьей части. Для '-задачи, рассматриваемой в части II,
индивидуальная теорема о гладкости гласит:
пусть выполняются предположения теоремы 5.1 и при , не превосходящем некоторого
e 2 (2), включения
a (x) 2 Cm;m((D2 + h)2(+ ) ); b; (x) 2 Cm;m((D2 + h) ) 8 2 (2); 8 2 (2);
((@=@x)2 + h) f (x) 2 L2m (Rn );
40
тогда в случае существования '-решение u уравнения (7) удовлетворяет условию
X XX
j(k )+ j2 juk j2 < +1:
2(2) k
Напомним, что uk | вектор-столбец из соответствующих коэффициентов Фурье '-решения u.
Литература
1. Мокейчев В.С., Мокейчев А.В.
Новый подход к теории линейных задач для систем диффе-
. I. // Изв. вузов. Математика. { 1999. { Є 1.
{ C. 25{35.
2. Мокейчев В.С. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами. { Казань:
Изд-во Казанск. ун-та, 1985. { 222 с.
3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. { 2-е изд. { М.: Наука, 1969. { 526 с.
ренциальных уравнений в частных производных
Казанский государственный
Поступила
18.03.1996
университет
41
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
217 Кб
Теги
уравнения, дифференциальной, частных, система, подход, линейный, производной, новый, задачи, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа