close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О базисности на компактах корневых функций дифференциальных операторов второго порядка.

код для вставкиСкачать
1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (431)
УДК 517.927.25
И.С. ЛОМОВ
О БАЗИСНОСТИ НА КОМПАКТАХ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА
p
Рассмотрим систему функций fuk (x)g1
k=1 , uk (x) 2 L (G), G = (0; 1), p 1, имеющую биортоp
гонально сопряженную в L (G) систему. Следуя В.А. Ильину [1], [2], будем говорить, что система
функций fuk g обладает свойством базисности в Lp , если для любой функции f (x) 2 Lp (G) (биортогональный) ряд Фурье этой функции по системе fuk g сходится к f (x) в метрике пространства
Lp на любом компакте K G.
В работе выделен класс линейных несамосопряженных дифференциальных операторов, порожденных дифференциальным выражением второго порядка
L1u = u00 + p1 (x)u0 + q1 (x)u; x 2 G;
(1)
с негладким коэффициентом p1 (x), корневые функции которых обладают свойством базисности
в Lp , 1 < p < s, где s | степень суммируемости p1 (x) (п. 2). На системы, биортогонально сопряженные с системами корневых функций операторов, налагаются минимальные требования. Допускается случай существенно несамосопряженных операторов, для которых система корневых
функций содержит бесконечное число присоединенных функций. Доказана теорема о равносходимости в Lp (K ), K G, биортогональных разложений функций по корневым функциям этих
операторов с разложением этой же функции в обычный тригонометрический ряд Фурье (п. 2).
Получены оценки скорости равносходимости указанных разложений (п. 5). В качестве примера дифференциального выражения, удовлетворяющего условиям теоремы о базисности, будет
рассмотрено выражение (п. 3)
u00 + x;u0 + q(x)u; 2 (0; 1); q(x) 2 L1 (G); x 2 G:
(2)
1. Постановка задачи. Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор, порожденный дифференциальным выражением (1) на классе функций D | абсолютно непрерывных на
G = [0; 1] вместе со своей первой производной;
p1 (x) 2 Ls(G; C ); s > 1; q1 (x) 2 L(G; C ):
(3)
Корневые функции (т.е. собственные и присоединенные функции) оператора L1 определим
в обобщенном (по Ильину) смысле, рассматривая их как регулярные решения дифференциальных уравнений и освободив их от требования удовлетворения каким-либо конкретным краевым
условиям [1]{[3]. Ограничения при этом налагаются на свойства спектра и корневых функций
оператора. Это позволяет изучать как системы функций типа системы экспонент, не удовлетворяющие никаким краевым условиям без спектрального параметра, так и корневые функции
конкретных краевых задач (в том числе и с интегральными краевыми условиями). Рассмотрены два встречающихся типа спектральных задач (отличающихся нормировкой присоединенных
функций). Под собственной функцией оператора L1 , отвечающей собственному значению 2 2 C
будем понимать любую не равную тождественному нулю функцию u0 (x) 2 D, удовлетворяющую почти всюду в G уравнению L1 u0 + 2 u0 = 0. Под присоединенной функцией порядка m,
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект Є 96-01-01158).
40
m = 1; 2; : : : ; отвечающей тому же и собственной функции u, будем понимать любую функцию mu(x), которая почти всюду в G удовлетворяет уравнению L mu + mu = m mu; . Здесь либо
m = 1 (спектральная задача 1), либо m = (Re 0) при jj 1, m = 1 при jj < 1
0
2
1
2
1
(спектральная задача 2).
Приведем основные ограничения на рассматриваемые системы корневых функций. Фиксируем произвольную систему собственных значений f2k g1
k=1 и произвольную систему fuk g корневых
функций оператора L1 , отвечающую этим собственным значениям, с тремя условиями А:
1) система fuk g замкнута и минимальна в Lr (G) при некотором r 2 [1; 1);
2) 9c1 ; c2 = const > 0 :
j Im k j c 8k;
X
1
jk j;1
1 c2 8 0;
(4)
0
3) 9c3 = const > 0 :
kuk kr kvk kr0 c 8k;
(5)
где fvk g | биортогонально сопряженная с fuk g система функций: vk 2 Lr0 (G), (uk ; vl ) = kl
8k; l 2 N , r0 = r=(r ; 1), k kr | обозначение нормы в Lr (G).
Не ограничивая общности, считаем, что fk g занумерованы в порядке неубывания их модулей. Для произвольной функции f (x) 2 Lr (G) составим частичные суммы биортогонального
3
разложения
(x; f ) =
X
jk j
fk uk (x); > 0; fk (f; vk ):
Равносходимость биортогональных разложений будем рассматривать в метрике пространств Lp ,
p 1.
Замечание 1. В случае абсолютно непрерывной функции p1 (x) в выражении (1) (при этом
известной подстановкой задача сводится к оператору Шредингера) условия А совпадают с условиями, при которых система fuk g обладает свойством базисности в Lr (G) при любом r > 1, и
имеет место равномерная на любом отрезке K G равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье разложений (x; f ) (см. работы В.А.Ильина [1]{[4], где результаты получены и для
операторов произвольного порядка). Необходимость условия (5) для базисности в Lr (G) следует
из известной теоремы Банаха.
Обозначим через L2 оператор, порожденный выражением L2 u = u00 на множестве D и краевыми условиями u(j) (0) = u(j) (1), j = 0; 1. Пусть fb 2k g | собственные значения, fubk g | нормированные собственные функции этого оператора (тригонометрическая система функций), ubk = vbk ,
b(x; f ) S (x; f ) | разложение функции f в ряд по этой системе (тригонометрический ряд
Фурье).
Основная задача состоит в том, чтобы установить факт равносходимости спектральных разложений (x; f ) и S (x; f ) функции f (x) в метрике пространств Lp на любом отрезке K G
(отсюда, как следствие, получаем теорему о свойстве базисности в Lp ) и оценить скорость равносходимости этих разложений, т.е. оценить погрешность аппроксимации одного разложения
другим. Из факта равносходимости следует, в частности, что оба разложения сходятся или
расходятся в метрике данного пространства Lp одновременно.
2. Теорема о свойстве базисности. Введем обозначение для рассматриваемой разности спектральных разложений
= k (x; f ) ; S (x; f )kp;K ;
41
(6)
где kkp;K | обозначение нормы в Lp (K ), K G. Приведем оценку скорости стремления к нулю
разности (6), полученную при единственном условии (3) на функцию p1 (x) из (1). Фиксируем
произвольные p 2 [1; 1) и отрезок K G. Параметры p и s свяжем соотношением
p;1 + s;1 1; т. е. p s0 = s=(s ; 1); s q = p=(p ; 1):
(7)
Предположим, что f (x) и fvk (x)g таковы, что
9 = const > 0 : fek fk k = O(;k ); jk j 1; k = kvk k;r01 :
(8)
Теорема 1 ([5]). Пусть выполняются условия (3), (7), (8) и условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел справедлива оценка
c max(;1 ; ; ln2 ; ;( +1=p;1=s) ln );
(9)
постоянная c не зависит от .
Замечание 2. При s 2 (1; p) имеем + 1=p ; 1=s 2 ( ; 1=q; ), поэтому при s p следует
убрать третью дробь в правой части (9), оценка не зависит от s; при s < p следует убрать вторую
дробь в (9), оценка существенно зависит от степени суммируемости s.
Оценка (9) показывает, что свойства существенно ухудшаются при s < p. Рассматриваем далее случай s > p. Несколько сузив класс функций p1 (x), получим теорему о свойстве
базисности для системы fuk g оператора L1 .
Пусть s > 1, фиксируем любое p 2 [1; s). Будем предполагать, что p1 (x) удовлетворяет
одному из двух условий:
1) 8K b G 9C (K ) = const > 0,
ps 1
R0
Z
0
; kp (x ) ; p (x)ks;K d C (K ) < 1;
1
1
1
(10)
2) фиксируем некоторое число 2 [s; 1], и пусть найдется такое число > 1= , что
8K b G :
R0
Z
0
j ; (p1(x ) ; p1(x))j d
=
1
2 Ls(K ):
(11)
Здесь R0 2 (0; dist(K; @G)) | произвольно фиксированное число.
Замечание 3. Для выполнения условия (10) достаточно, чтобы выполнялось одно из условий: p1 2 s (G) 8 2 (0; 1] ([6], с. 79), p1 2 Hs1 (G) или p1 2 Bs; 1 (G) 8 2 (0; 1] ([8], с. 293). Условие
(11) аналогично условию на разлагаемую в ряд функцию, которое гарантирует сходимость (почти всюду) ее тригонометрического ряда Фурье ([7], с. 244).
Теорема 2. Пусть p 2 [1; s), выполняются условие (3), условия А и хотя бы одно из условий
(10), (11). Тогда
8f (x) 2 Lr (G) : ! 0; ! 1:
(12)
Если r 2 [1; p], p 2 (1; s), то
8f (x) 2 Lp(G) : kf (x) ; (x; f )kp;K ! 0; ! 1;
(13)
т. е. система fuk g обладает свойством базисности в Lp . Если для fek имеет место оценка (8)
и p 2 [1; s), то
= O(max(; ; ;1 ln )); 1; = O(;1 ); > 1:
(14)
Замечание 4. Пример применения теоремы Ильина о базисности на компактах можно найти в [9], где исследовался оператор Шредингера.
42
Для обоснования приведенных результатов работы на первом этапе применен известный
метод Ильина [1]{[4]. Этот метод основан на использовании интегрального представления (формулы среднего) для решений дифференциальных уравнений со спектральным параметром и
заключается в выделении спектральной функции оператора из ядра Дирихле и далее в эффективной оценке остатка. Для обоснования проводимых преобразований используется модификация метода, предложенного в [10].
3. Пример. Рассмотрим дифференциальное выражение (2) с негладкой функцией p1 (x) =
x; , 2 (0; 1), для которой выполнены условия теоремы 2. Функция p1 2 Ls (G) 8s < ;1 . Фиксируем любой отрезок K = [a; b] G. Применяя формулу Лагранжа, получаем ( 2 [0; R0 =a],
R0 =a < 1)
) ; 1 = (1 + );1 :
0 p1 (x) ; p1 (x + ) = (1 +(x=x
(15)
+ )
x+1(1 + =x) x+1
Поскольку x;;1 2 Ls (K ) 8s 1, то kp1 (x ) ; p1 (x)ks;K C (K; s; ) , и условие (10) выполняется. Фиксировав любое число s, заключаем, что имеет место и условие (11): достаточно
взять любое число 2 ( ;1 ; 1 + ;1 ), подставить в (11) оценку (15) и посчитать интеграл по от функции (1;) . Таким образом, при выполнении условий А система корневых функций оператора L1 , порожденного дифференциальным выражением (2), обладает свойством базисности
в любом пространстве Lp , 1 < p < ;1 .
Замечание 5. В [11] для оператора n-го порядка с ненулевым коэффициентом p1 при (n ;
1)-й производной и регулярными двухточечными краевыми условиями на концах G получены
оценки в C (K ), K b G, скорости равносходимости (x; f ) и S (x; f ). При этом условия на p1 и
f накладываются в терминах классов Hr(G), состоящих из;функций f 2 Lr (G), интегральный
модуль непрерывности !r (f; ) которых есть величина O(ln (;1 )).
4. Доказательство равносходимости спектральных разложений. Установим справедливость соотношения (12) основной теоремы.
r
Лемма 1. Пусть выполняется первое из условий А. Тогда для любой функции f 2 L (G)
коэффициенты Фурье fk удовлетворяют соотношению fek fk k = o(1), k ! 1. Если при
этом выполняется и условие (5), то fk kuk kr = o(1).
r
Доказательство. Система fuk g замкнута в L (G), поэтому
8" > 0; 8f
2 Lr (G)
9N 2 N : f ;
X
k N
ck uk < ";
r
где c1 ; : : : ; cN | некоторые постоянные. Для любого числа j > N , используя свойство биортогональности систем и применяя неравенство Гельдера, получаем
jfj j = j
e
Z
G
f;
X
kN
ck uk vj dx f ;
X
kN
ck uk < ";
r
т. е. fej = o(1). Из условия (5) получаем jfk j kuk kr c3 jfek j.
Возьмем любой отрезок K G и произвольное число R0 2 (0; 2;1 dist(K; @G)). Фиксируем произвольно числа R 2 [R0 =2; R0 ], 2 [0; R], > 0 | достаточно большое число
( > max(4; 2=R0 )) и числа fk g; jk j 1, удовлетворяющие первому условию (4). Рассмотрим
интегралы
K
0
= ;1
k
R
Z
r;1 sin r sin k (r ; )dr;
2
= k K0 ; 1 ;
43
=
Z 1
1
=
r;1 sin r sin k (r ; )dr;
3 = k K0 ;
где 2 [0; 1=] для 1 , 2 и 1= для 3 . Используя интегрирование по частям, формулы Маклорена для синуса и косинуса и вторую формулу среднего значения для интегралов, нетрудно
доказать следующие соотношения.
Лемма 2 ([12]). Равномерно по , R, , k из указанных выше множеств имеют место
оценки
а) 1 = O(k ;1 ), 2 = O(;1 k ln ), 3 = O(( );1 ) при
jk j =2; б) 1 = O(;k 1 ), 2 = O(;k 1 ln ), 3 = O(( ; jk j);1 ) при 0 < c ; jk j =2;
в) 1 = O(1) , 2 = O(ln ), 3 = O(ln ) при ; jk j c;
г) 1 = O(;k 1 ), 2 = O(;k 1 ln ), 3 = O((k );1 ) при jk j 3=2.
P
Фиксируем произвольное
число > 1. Обозначим через 1Pсумму по тем k 2 fk g, для
P
которых
jk j 1, через 2 | сумму по k : 1 jk jP =2, через 3 | сумму по k : jkj 3=2,
P
через 4 | сумму по k : ; jk j 2=R0 , через 5 | сумму по k : 2=R0 ; jk j =2.
Переходя к исследованию свойств разности , отметим, что при единственном условии
p1 2 L1 (G) имеет место следующее неравенство, фактически доказанное в [12].
1
Лемма 3. Пусть p1 ; q1 2 L (G) и выполнены условия А. Тогда для разности (6) имеет
место оценка
c(I + Ib); c = const > 0;
(16)
где
h
i
X
X
X
X
X
I = ;1 1 jfek j + ;2 2 jfek j + 3 j;k 2fek j + 4 jfek j + 5 j( ; jk j);2 fek j +
h
i
X
X
X
X
+ kq1 k1 ;1 2 j;k 1=p fek j + 1=q 3 j;k 2 fek j + ;1=p 4 jfek j + 1=q 5 j(k ( ; jk j));1 fek j +
X
+ jk j1
fk
m
X
l=0
lm S
R
hZ
0
m;l
K (; k ; ; R)Bl (stl (p (x) u0k (x)))d
0
0
1
i
p;K
; (17)
а Ib в (16) получается из (17) заменой k , uk , vk , p1 , q1 на соответствующие величины оператора L2 . В (17) обозначено
0
Btl0 (g(tl )) = ;k l
t0
Z
0
1
0
tl;1
Z
0
g(tl )
l
Y
j =1
1
t
Z
uk (x) = muk (x); Bt (g(t )) = g(t); Bt (g(t )) = ;k
1
g(t ) sin k (t ; t )dt ;
1
0
1
1
sin k (tj;1 ; tj ) dtl : : : dt1 ; l = 1; m;
st(u(x)) = u(x + t) + u(x ; t);
S [S (R)] = 8(3R
2
0
0
);1
R0
Z
R0 =2
RS (R)dR; S [1] = 1;
0
| операция усреднения функции S по R. При p = 1 в (17) следует положить 1=q = 0 в выражении, заключенном в квадратные скобки,P с коэффициентом
kq1k1 ; под знаком суммы P2
P
P
добавить сомножитель ln k , а выражения 3 , 4 , 5 умножить на ln .
Оценим последнюю часть (Lp -норму ряда) в выражении (17), обозначим ее через I0 . Перейдем от нормы суммы к сумме норм по l = 0; 1; : : : ; m. Проведем преобразования для l = 0.
Остальные слагаемые оцениваются
по той же схеме. Всюду ниже для суммы по k с jk j 1
P
используем обозначение .
k
В сумме st0 оставим одно слагаемое с аргументом x + t0 , оставшаяся часть рассматривается
так же. Исследуем выражение
A =
0
X
k
fk S
Z
0
0
R
K0 (; k ; ; R)p1 (x + )u0 (x + )d
k
44
p;K
:
Применим обобщенное неравенство Минковского ([8], с. 22), учитывая, что p 1,
0
R Z
A S
0
p (x + )
X
1
0
fk K u0k (x + )p;K d :
(18)
0
k
Фиксируем любое число 2 (1; s=p) (т. е. p < s и s > p) и к интегралу по x в (18) применим
неравенство Гельдера с параметрами , 0 = =( ; 1):
0
R
Z
A S
0
kp (x + )kp;K
1
0
kp ks;GS
1
0
kp ks S
1
R X
Z
R X
Z
0
k
0
k
fk K u0k (x + )0p;K d 0
fk K0 (; k ; ; R)u0 ( )
k
k
0
X
k
k
d fk K0 k (u0 ();1 )
0 p;G
d ;
(19)
где введена новая переменная = x + ; = max(2; s0 ; 0 p) < 1.
К L -норме суммы в правой части (19) при фиксированных , R применим обобщение на
биортогональные системы известной теоремы Рисса (Рисса-Фишера), установленное в [12]. При
этом обобщении требуется, чтобы max(2; s0 ), что для системы fu0k ( );k 1 g, jk j 1, выполнено. Справедливость остальных условий обобщенной теоремы в рассматриваемой ситуации
установлена в [12]. Положим = =( ; 1) > 1. Получаем (через c здесь и далее обозначены
неотрицательные постоянные)
0
1
1
0
=
Z 1
c
0
R
Z
A kp k;s cS
e
0
0
Z 1
0
=
Z 1
kfk kl d + S
e
=
kfk K k kl d = cS
1
0
0
e
0
e
0
2
R
Z
kfk kl d + S
0
=
1
R
Z
kfk K k kl d +
kfk K k kl d e
=
1
0
kfk kl d cfU + U + U g; (20)
e
3
1
2
3
где jk j 1, интегралы по и r (в K0 ) разбиты на части и использованы обозначения леммы 2.
Применяя оценки этой леммы, получаем
h
U c; ;
1
1
1
X
X
jfk ;k j
X
U c ; ln 1
3
+ S0
h
1
=
1
ln d
2
=
1
X
+
jfk ;k j
3
B;
e
4
jfk j
=
=
X
+ ln +
=
1
X
+ ln X
jfk j
e
4
1
=
+
1
5
+
jfk ( ; jk j); j
1
e
5
P
jfk ;k j
e
3
1
e
3
1
jfk ;k j
1
=
2
X
jfk j
1
U cB ln ;
+ ln X
1
e
и ; jk j;1 jk j;1 в
e
2
= i
P
X
A ckp ks ; ln 1
R
=
1
1
jfk j
e
2
Z
Поскольку jk j =2 в
оценки в (20)
0
1
e
5
e
2
+
jfk k j
= 1
B :
1
, то Ui cB1 , i = 1; 2; 3. Подставим эти
=
1
+
X
jfk j
e
4
X
+ ln =
1
jfk ( ; jk j); j
e
5
+
1
= i
1
: (21)
Заметим, что если в выражении A0 отделим часть
X
5
R
Z
fk S
0
=
1
K p (x + )u0k (x + )d ;
0 1
45
(22)
а оставшуюся в A0 часть (обозначим ее через Ae0 ) оценим по приведенной выше схеме, то результат будет лучше (ниже мы это используем). Именно,
h
X
Ae ckp ks ; ln 0
1
1
jfk j
e
2
1
=
X
+ ln jfk ;k j
1
e
3
1
=
+
X
jfk j
e
4
1
=
+
= i
X
1
+ ln 5 jfek ;k 1 j
: (23)
Для слагаемых, отвечающих значениям l 6= 0 в выражении I0 , схема работы та же самая: все
интегралы (по R, , t1 ; : : : ; tl ) выносим за знак нормы по x с помощью обобщенного неравенства
Минковского, в интеграле по x применяем неравенство Гельдера, выделяя kp1 kp kp1 ks . Разбиваем интеграл по и интеграл K0 на части, как в (20), применяем обобщение теоремы Рисса
m;l
к системе flm ;k l;1 u0k ( )g (при фиксированных R, , t1 ; : : : ; tl ) и оценки леммы 2. Ситуация в
этом случае лучше, т.к. дополнительные интегралы дают множитель , что позволяет убрать
особенность (при ! 0) из оценок интеграла 3 и улучшить оценки (в оценке U3 все ln следует
убрать). Так что наихудшей является оценка при l = 0, которая получена выше. Итак, при s > p
I =
0
X
k
fk
m
X
l=0
lmS0
Z
R
0
m;0 l
l
K0(; k ; ; R)B (stl (p1 (x) uk (x)))d h
X
ckp ks ; ln 1
1
+
e
2
X
4
jfk j
jfk j
e
=
1
=
1
X
+ ln X
+ ln 1
=
1
+
jfk ( ; jk j); j
e
5
jfk ;k j
e
3
p;K
1
1
= i
; > 1: (24)
Положив в (24) fek = o(1), что имеет место по лемме 1, получим
I0 ckp1 ks [;1= ln + o(1);1= ln + o(1) + o(1) ln ];
т. е.
I0 = kp1 ks [o(ln ) + O(;1= ln )]:
(25)
Правая часть оценки (25) не является величиной o(1) в общем случае, но эта оценка получена
при единственном условии (3) на функцию p1 (x) (s > p 1).
Замечание 6. Учитывая сделанное выше указание о членах I0 с l 6= 0 (в частности, отP
сутствие ln при 5 в оценке U3 ), заключаем, что для этих членов будет верна оценка (25) с
заменой o(ln ) на o(1).
Подставляя в (24) различные асимптотики для fek , легко установить для I0 оценки (s > p)
I = kp ks [o(1) + O(; = ln )] ! 0; ! 1; при fek = o(ln; k );
(26)
I = kp ks O(ln ; ) 8 > 0
при fek = O(ln; k );
(27)
I = kp ks O(max(; ln ; ; ln )); > 0; при fek = O(;k ):
(28)
Если из I удалить часть (22) и соответствующее выражение с x ; вместо x + , то для
оставшейся части (обозначим ее Ie ) будет верна оценка (23). Из этой оценки получаем для Ie
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
аналоги соотношений (25), (28):
0
Ie = kp ks [o(1) + O(; = ln ) при fek = o(1);
(29)
Ie = kp ks O(max(; ; ; ln )) при fek = O(;k ); > 0:
(30)
Соотношения (25){(28) для I позволят нам ниже сформулировать соответствующее утвер0
1
0
1
1
1
0
ждение для (теорема 3 в п. 5).
46
Анализ оценок (24), (25), (29) и замечания 6 показывает, что для получения в правой части
(25) величины o(1) необходимо установить для выражения (22) и соответствующего
выражения
P
с аргументом x ; оценку на ln лучше полученной выше (член с 5 в (24)). Сузим класс
функций p1 (x). Исследуем выражение
J=
X
5
fk S
R
Z
0
1
=
K0 (; k ; ; R)s (p1 u0 (x))d
k
(31)
p;K
при условии (10) на p1 (x). Это условие (как и (11)) позволит убрать (или уменьшить) коэффициент ;1 в оценках интеграла 3 в лемме 2. Добавим и вычтем в (31) под знаком интеграла по
сумму p1(x)s (u0k (x)). Применим в (31) обобщенное неравенство Минковского, вынося S0 [] за
знак нормы, и неравенство треугольника
R
Z
0 J S
=
1
X
jp (x + ) ; p (x)j
1
1
R
Z
0 +S
1
=
5
fk K0 u0 (x + )d k
X
jp (x ; ) ; p (x)j
1
1
h
+ S0 p1 (x)
X
5
fk
5
+
p;K
fk K0 u0 (x ; )d k
R
Z
1
=
p;K
+
i
K s (u0k (x))d p;K A + A + A : (32)
0
1
2
3
Для выражения A1 применим обобщенное неравенство Минковского, вынося интеграл по за
знак нормы, далее в точности повторяем всю схему преобразований (18){(20), проведенную для
A0 . Получаем
A S
1
(p1 (x + ) ; p1 (x))
1
Z
0
=
R0
R0
Z
0
= cp+1s
5
0
1
X
1
X
1
jfk ( ; jk j); j
1
e
5
jfk
e
5
; kp (x + ) ; p (x)ks;K d
1
=
1
i
fk K u0k (x + )p;K d X
kp (x + ) ; p (x)ks;K
1
0
X
0
S
c
R Z
5
3
1=
j d jfk ( ; jk j); j
1
e
1
=
;
=
(33)
что лучше оценки (24) на ln . Аналогично получаем для A2 из (32) оценку
A cp;s
2
X
1
jfk ( ; jk j); j
1
e
5
=
1
:
(34)
Рассмотрим третье выражение A3 в (32). Обозначим
A uk (x) = mu;k (x) ; p (x)u0k (x) ; q (x)uk (x); uk muk ; t (f (x)) = f (x + t) ; f (x ; t):
Для производных корневых функций оператора L имеет место формула среднего (ее легко
проверить интегрированием по частям после замены A uk (x) = u00k (x) + k uk (x))
1
1
1
1
1
s (u0k (x)) = 2u0k (x) cos k +
Z
0
2
1
(A1 uk (x)) cos k ( ; )d:
Используем эту формулу в A3 и применим неравенство треугольника. Тогда
h
0 1
A S p (x)
3
h
0 1
+ S p (x)
X
5
R
Z
1
=
fk u0 (x)
k
X
5
R
Z
=
1
fk K (; k ; ; R)
0
i
2 cos k K0 (; k ; ; R)d p;K +
Z
0
i
(A1 uk (x)) cos k ( ; )d d p;K A31 + A32 : (35)
47
Для A31 применим неравенство Гельдера и обобщение теоремы Рисса (для системы fu0k (x);k 1 g)
по схеме оценки A0
A kp ks
31
1
X e
5
fk k
R
Z
=
1
=
Z
1
R
Z
R
=
=
1
R
2 cos k Z
2
R
Z
2 cos k K0 (; k ; ; R)d =
=
1
r;1 sin r sin k r dr d ;
; > 1;
(36)
конечная. Оценим интеграл по в (36)
Z R
2 cos k sin r sinrk (r ; ) dr d =
где учтено, что по второму условию (4) сумма
k
=
1
2 cos k K0 (; k ; ; R)d P
5
R
Z
1
=
sin 2k R
Z
r; sin r cos k r dr d I ; I : (37)
1
1
2
В выражении I проинтегрируем по частям внутренний интеграл и используем оценку sin( k ) = O(( k )" ") 8" 2 (0; 1), справедливую в силу первого условия (4),
1
I =
1
R
Z
=
1
R
Z
r; (cos( ; k )r ; cos( + k )r)dr d =
Z R
; k )R ; sin( + k )R ; sin( ; k ) + sin( + k ) +
=
cos k sin(
(
; k )R
( + k )R
( ; k )
( + k )
=
Z R
sin( ; k )r ; sin( + k )r dr d = O(( ; j j);
+
k
( ; )r
( + )r
cos k 2
1
2
1
k
2
с использованием также неравенства j k j ; jk j .
В выражении I2 в (37) поменяем местами интегралы
I =
R
Z
2
=
1
r; sin r cos k r
r
Z
1
;") )
(1
=
1
k
2
sin 2k d dr = O(;k 1 ln ) = O(( ; jk j);(1;") );
т. к. 2jk j, jk j ; jk j.
Подставив оценки для I1 , I2 в (37) и (36), получим
A kp ks
31
X
1
jfk O(( ; jk j);
5
;") )j 1= ;
(1
e
" 2 (0; ; );
(38)
1
где на " 2 (0; 1) наложено условие, гарантирующее ограниченность суммы 5 в (38) равномерно
по при fek = O(1): (1 ; ") > 1, " < 1 ; ;1 = ;1 .
Рассмотрим выражение A32 из (35). Наличие в A32 интеграла по по отрезку [0; ] позволит
получить множитель и улучшить оценку на ln . Расщепляя разность в A32 на две части
и применяя неравенство треугольника, получим A32 A+32 + A;32 , где A+32 и A;32 отличаются
аргументом x + и x ; функции A1 uk . Рассмотрим A+32 ; A;32 исследуется аналогично. Подставим
в A+32 выражение для A1 uk и применим неравенство треугольника
P
R
Z
A S
+
32
0
1
=
Z
0
p (x)
1
h
+ S0 p1 (x)
h
0 1
+ S p (x)
X
R
Z
=
1
fk K0mu;k1(x + ) cos k (
5
X
5
Z
0
fk
R
Z
=
1
p (x + )
1
K
Z
0
0
; )
p;K
d d +
1
X
5
i
q (x + )uR (x + ) cos k ( ; )d d p;K +
i
fk K u0k (x + ) cos k ( ; )d d p;K J + J + J : (39)
0
1
2
3
Здесь применено обобщенное неравенство Минковского для первого слагаемого. Оцениваем J1
по схеме оценки A0 : неравенство Гельдера, обобщение теоремы Рисса для системы fmu;k1;k 1 g и
48
оценка
3
из леммы 2. Получаем
J ckp ks S
1
1
R
Z
0
X
Z
=
1
5
0
ckp ks
R0
Z
1
=
1
3
X
5
R0
Z
kuk k1;k c;
1
h
0 1
J cS p (x)
2
5
ckp kp kq k
1
e
X
1
i
1 1
p;K
:
1
e
5
1
e
5
=
1
jfk ( ; jk j); j
1
0
=
d ckp ks
jK (; k ; ; R)jd = O((( ; jk j)k ); ln );
jK jd kq k
1
=
1
jfk (k ( ; jk j)); j ln ckp ks kq k ; ln X
1 1
R
1
0
0
Z
jfk j
X
j ; fk ( ; jk j); j
1 e
Применяя неравенства из [12]
оценим
1=
; )j d d jfk cos k (
e
1
1
1 1
; jk j; jfek j:
X 5
1
Рассмотрим последнее слагаемое J3 из (39). В интеграле по x применим неравенство Гельдера
с теми же параметрами , 0 , что и для A0 , а затем неравенство Гельдера в интеграле по с
параметрами s, s0
J kp ks S
3
R
Z
0 1
kp ks S
2
1
Z
p (x + )
= 0
Z R X
1
0 =
1
5
fk K0 u0 (x + ) cos k ( ; )d d k
5
1
X
fk K0 u0 (x + ) cos k ( ; )
k
s0 ;[0; ]
d
;K
;K
:
По условию = max(2; s0 ; 0 p) s0 , поэтому можно применить в правой части обобщенное
неравенство Минковского
3
1
Z
kp ks S
1
0
2
0
2
0
2
k
=
1
;s0 ); K [0; ]
(
d fk K u0k () cos k ( ; ) ;s0 ; G ; d 0
(
jfk cos k ( ; ) j
e
5
1
Z
0
=
R
fk K0 u0 (x + ) cos k ( ; )
5
=
Z R X
1
ckp ks S
1
5
=
R X
1
ckp ks S
1
R X
Z
J kp ks S
2
X
5
1
)
[0
]
d ;
s0 ; [0 ]
=
j);1 j d ckp
3
jfk ; ( ; jk
e
=
1
1
1
ks
2
X
jfk ( ; jk j); j
1
e
5
=
1
;
где введена новая переменная = x + , применено обобщение теоремы Рисса для системы
fu0k ();k 1 g и оценка 3 из леммы 2. Объединяя оценки для Ji , а также A32 , получим
h
X
A ckp ks
hX
jfk ( ; jk j); j
=
1
i
+ kq1 k1 ;1 ln 5 jfek ( ; jk j);1 j : (40)
32
1
1
5
Оценки (38), (40), (35) позволяют оценить последнее выражение A3 в (32)
A ckp ks (1 + kp ks )
1
e
jfk ( ; jk j);
X
;") j 1= + kq1 k1 ;1 ln X
i
jfk ( ; jk j); j :
(41)
Соотношения (32){(34), (41) дают окончательную оценку для исследуемого выражения (31)
(P1s = max P1s )
3
1
5
hX
J c(kp ks + P s )
1
1
jfk ( ; jk j);
e
5
(1
e
(1
5
;") j 1= + kq1 k1 ;1 ln X
49
i
jfk ( ; jk j); j ; " 2 (0; ; ):
e
5
1
e
1
1
(42)
Искомая оценка установлена. Объединяя ее с (24), имеем окончательное соотношение для исходного выражения
h
I c(kp ks + P s ) ; ln 0
1
+
1
X
1
X
e
5
e
2
jfk ( ; jk j);
jfk j
=
1
X
+ ln ;") j 1= + ;1 ln X
=
1
X
=
1
3
jfk ;k j
5
jfk ( ; jk j); j ; > 1; " 2 (0; ; ): (43)
1
e
(1
+
1
e
jfk j
e
4
+
i
1
Подставляя в (42) оценки для fek , получим
J = (kp ks + P s )o(1)(1 + ; ln )
при fek = o(1);
J = (kp ks + P s )O(; )(1 + ; ln ) при fek = O(;k ); > 0:
Соединяя соотношения (29), (30) и (44), (45), получим оценки для I при условии (10)
1
1
1
1
(44)
(45)
2
1
2
1
0
I = (kp ks + P s )[o(1) + O(; = ln )] при fek = o(1);
(46)
I = (kp ks + P s )O(max(; ; ; ln )) при fek = O(;k ):
(47)
Пусть выполняется условие (11) для p (x). Оценим выражения J из (31). Обозначим
0
1
1
0
1
1
1
1
1
Z
P (; ; s) = max
K
k ; (p (x ) ; p (x))ks;
1
1
1
;R0 dx
[0
=s
max k ;(p (x ) ; p (x))k ;s ;
1
]
1
(
) [0
;R0 ]K :
Для оценки A1 из (32) фиксируем любое число 2 [s; 1] и > 1= так, чтобы P (; ; s) <
c < 1 (т. е. имеет место (11)). Под знаком интеграла по в A1 умножим и разделим на и
применим неравенство Гельдера с параметрами , 0 = =( ; 1), затем во внешнем интеграле по
x применим неравенство Гельдера с параметрами , 0 | теми же, что и для A0 в (19). Получим
A S
1
h
0 k ; (p (x + ) ; p (x))k;
1
1
0 P (; ; s)S
0 5
5
cP (; ; s)S 0
1
(
jfk j
e
5
=;R0 ]
[1
(
= )
fk K u0k (x + ) 0;
) [1
[1
1
0
i
=;R0 ]K
X
1
i
=
=;R0 ] p;K
[1
i
1
1
jfk ( ; jk j); j
e
5
i
=;R0 ]
0 ; [1=;R0 ]
3
jfk ( ; jk j); j
e
5
0
X
1
X
5
fk K u0k ( ) ;0 ; G
cP (; ; s)k ; k0;
A cP (; ; s)
fk K u0k (x + ) 0; ;
hX
h
0 X
;R0 ] hX
P (; ; s)S
[0
=
1
;
:
(48)
При выводе оценки (48) мы повторили схему (18){(20) выкладок с A0 . Условие > 1= гарантирует справедливость соотношения ( ; 1) 0 > ;1; поскольку s, то 0 s0 , что
обеспечивает условие применимости обобщенного неравенства Минковского. Такая же оценка
(48) верна для A2 . По прежней схеме оценивается A3 . В итоге получаем оценки (43){(47) с
заменой P1s на P (; ; s).
Мы оценили часть I0 выражения (17). Заменяя I0 в (17) соотношением (43) и используя оценки (46), (47), устанавливаем для всего выражения I , а следовательно, и для окончательные
оценки. Имеем I ; I0 = o(1) + ;1=p при fek = o(1), I ; I0 = O(max(; ; ;1 )) при fek = O(;k ),
поэтому
= o(1) + O(;1= ln ) при fek = o(1); = max(2; s0 ; 0 p);
= O(max(; ; ;1 ln )) при fek = O(;k ):
50
(49)
(50)
Оценка (49) и лемма 1 приводят к соотношению (12). Поскольку тригонометрическая система функций образует базис в Lp (G) 8p > 1, то из (12) и неравенства треугольника следует
справедливость (13). Оценка (50) доказывает последнее соотношение (14) в теореме. Теорема 2
доказана.
0
Замечание 7. Уточним оценку (49). В нее входит параметр . Оценка остатка в (49) будет
наилучшей при наименьшем . Для справедливо 1 < s=p, поэтому (1 ; p=s);1 0 < 1.
Положим = s=p, 0 = (1 ; p=s);1 , 0 p = (1=p ; 1=s);1 . Поскольку p > 1, то (s0 );1 > 1=p ; 1=s,
т. е. s0 < (1=p ; 1=s);1 = 0 p. Таким образом, считаем в оценках
= max(2; (1=p ; 1=s);1 ):
(51)
s
5. Заключение. Оценим разности для p1 (x) 2 L (G). Доказывая теорему 2, мы фактически установили следующие оценки разности спектральных разложений, справедливые при
единственном условии (3) на p1 (x).
r
Теорема 3. Пусть p 2 [1; s), выполняются условие (3) и условия А. Тогда 8f (x) 2 L (G) :
= o(1)(1 + kp1 ks ln ), ! 1;
= o(1)(kp1 ks + ln;1 )
при fek = o(ln;1 k );
= O(ln; )(1 + kp1 ks ln )
при fek = O(ln; k );
= O(max(; ; ;1 ; kp1 ks ; ln )) при fek = O(;k ):
(52)
Для доказательства оценок теоремы 3 следует подставить соотношения для fek в (17) и воспользоваться оценками (25){(28). Оценка (52) при > 1 должна была бы содержать выражение
kp1ks ;1 ln (согласно (28)), но в [5] установлена оценка = O(;1) при > 1 8s (без условий
(10), (11) на p1 (x)). Эта оценка приведена в (52) и в (14).
Оценка (14) теоремы 2 при 2 (0; 1) совпадает с оценкой последнего члена суммы (x; f ),
что подтверждает точность полученных оценок.
В заключение отметим, что ранее, в основном, исследовался вопрос о равномерной равносходимости на компактах спектральных разложений по собственным и присоединенным функциям операторов n-го порядка и разложений в тригонометрический ряд Фурье | это работы Ж. Биркгофа, Я.Д. Тамаркина, М. Стоуна, В.А. Ильина, И. Йо, А.П. Хромова, В.С. Рыхлова,
А.М. Минкина, Е.И. Никольской и др. Краткий обзор этих результатов можно найти в [12], [13].
Случай негладкого коэффициента при (n;1)-й производной подробно исследован В.С. Рыхловым
для регулярной двухточечной краевой задачи (см. замечание 5). При этом рассматривался более общий, квазидифференциальный оператор; для обоснования результатов применен метод
резольвент. Отметим также работы [14]{[17], связанные с вопросами равномерной равносходимости спектральных разложений и сходимости их в Lp для широкого класса двухточечных
краевых задач.
Автор признателен В.А. Ильину и Е.И. Моисееву за плодотворные беседы по теме работы.
Литература
1. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. 1 // Дифференц. уравнения. { 1980. {
Т.16. { Є 5. { С.771-794.
2. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. 2 // Дифференц. уравнения. { 1980. {
Т.16. { Є 6. { С.980{1006.
3. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности в Lp и равносходимости с
тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент // ДАН СССР. { 1983. { Т.273. { Є 4. { С.789{793.
51
4. Ильин В.А. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса L1 // Дифференц. уравнения. { 1991. { Т.27. { Є 4. { С.577{597.
5. Ломов И.С. О приближении функций на отрезке биортогональными рядами, связанными с
дифференциальными операторами второго порядка // Докл. РАН. { 1995. { Т.343. { Є 5. {
С.910{913.
6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1. { М.: Мир, 1965. { 615 с.
7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. { М.: Мир, 1965. { 537 с.
8. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы
вложения. { М.: Наука, 1975. { 480 с.
9. Ломов И.С. Об аппроксимации функций на отрезке спектральными разложениями оператора Шредингера // Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. { 1995. { Є 4. { С.43{54.
10. Ломов И.С. O скорости равносходимости рядов Фурье по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля в интегральной метрике // Дифференц. уравнения. { 1982. { Т.18.
{ Є 9. { С.1480{1493.
11. Рыхлов В.С. О скорости равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым
коэффициентом при (n ; 1)-й производной // ДАН СССР. { 1984. { Т.279. { Є 5. { С.1053{
1056.
12. Ломов И.С. O скорости сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами второго порядка // Дифференц. уравнения. { 1996. { Т.32. { Є 1. {
С.71{82.
13. Рыхлов В.С. Скорость равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым
коэффициентом при (n ; 1)-й производной // Дифференц. уравнения. { 1990. { Т.26. { Є 6.
{ С.975{989.
14. Rykhlov V. Equiconvergence rate in terms of general moduli of continuity for dierential operators
// Results in Math. { 1996. { V.29. { P.153{168.
15. Касумов Т.Б. Дробные степени квазидифференциальных операторов и теоремы о базисности // Дифференц. уравнения. { 1989. { Т.25. { Є 4. { С.729{731.
16. Kaufmann F.J., Luther W.J. Degree of convergence of Birkho series, direct and inverse theorems
// J. Math. Anal. and Appl. { 1994. { V.187. { Є 1. { Р.156{168.
17. Benzinger H.E. The Lp behavior of eigenfunction expansions // Trans. Amer. Math. Soc. { 1972.
{ V.174. { Є 447. { Р.333{344.
Московский государственный
университет
Поступила
19.09.1995
52
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
237 Кб
Теги
корневых, компактах, дифференциальной, базисность, оператора, функции, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа