close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О векторном уравнении Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве.

код для вставкиСкачать
УДК 517. 928. 4
О ВЕКТОРНОМ УРАВНЕНИИ ЭЙЛЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В.И. Фомин
Кафедра прикладной математики и механики, ТГТУ
Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым
Ключевые слова и фразы: банахово пространство; косинус операторфункция; малое стабилизирующее возмущение; ограниченное решение; операторный дискриминант; сингулярное дифференциальное уравнение; синус оператор-функция; спектр оператора; точка вырождения.
Аннотация: В банаховом пространстве находится методом малых стабилизирующих возмущений ограниченное в точке вырождения решение уравнения из
названия статьи.
В банаховом пространстве Е находится методом малых стабилизирующих
возмущений ограниченное в точке вырождения t = 0 решение сингулярного дифференциального уравнения
t2x″(t) + tAx′(t) + Bx(t) = f(t), 0 < t < ∞ ,
(1)
где А, В∈ L(E), L(E) – банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в Е; f(t)∈ C([0, ∞); E), C([0, ∞); E) – множество непрерывных функций,
действующих из [0, ∞) в Е.
Рассмотрим стабилизирующее, то есть, устраняющее вырожденность, возмущение уравнения (1) малым параметром ε ∈ (0, ε0], ε0 = const, ε0 > 0:
(t + ε)2 xε′′ (t ) + (t + ε) Axε′ (t ) + Bxε (t ) = f (t ), 0 ≤ t < ∞,
(2)
xε (0) = xε,0 , xε′ (0) = xε′ ,0 .
(3)
Пусть
Λ=
1
( I − A).
2
В работе также используются следующие обозначения: для любого Q ∈ L(E)
σ(Q) – спектр оператора Q,
μQ = min {Re λ | λ ∈ σ(Q)} , νQ = max {Re λ | λ ∈ σ(Q)} ,
ωQ = max {νQ , −μQ } .
Заметим, что ωQ ≥ 0.
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
731
Пусть
1) операторный дискриминант D = (A – I)2 – 4B удовлетворяет условию
D = F2, где F ∈ L(E);
2) AF = FA;
3) σ (A)⊂ C/ λ>3 , где C/ λ>3 = {λ ∈ C/ | Re λ > 3} ;
4) в предположении, что выполнены условия 1) – 3), справедливо неравенст-
во ωF < 2(−1 − ν Λ );
5) xε,0 ≤ L0 ⋅ ε −1 , xε′ ,0 ≤ L1 ⋅ ε −2 , где L0, L1 – const; L0, L1 > 0.
Замечание 1. Так как ωF ≥ 0, то для корректности условия 4) необходимо,
чтобы
−1 − ν Λ > 0.
Последнее неравенство следует из условия 3):
σ( A) ⊂ C/ λ>3 ⇒ σ(Λ ) ⊂ C/ λ<−1 ⇒ ν Λ < −1 ⇒ −1 − ν Λ > 0.
В дальнейшем понадобятся косинус оператор-функция с производящим опе1
1
ратором D1 = D = F 2 :
4
4
1
⎛ 1
− Ft ⎞⎟
⎛ 1 2 ⎞ 1 ⎜ 2 Ft
+e 2 ⎠
C (t ) = C ⎜ t , F ⎟ = ⎝ e
(4)
⎝ 4
⎠ 2
и ассоциированная с ней синус оператор – функция
t
S (t ) = S (t ,
1 2
F ) = C (τ)d τ.
4
∫
(5)
0
Замечание 2. Если F∈ GL(E), где GL(E) = {Q ∈ L(E)|∃ Q–1∈L(E)}, то S(t)
можно записать в виде
1
⎛ 1 Ft
− Ft ⎞⎟
⎜
⎛ 1
⎞
S (t ) = S ⎜ t , F 2 ⎟ = F −1 ⎝ e 2 − e 2 ⎠ .
⎝ 4
⎠
Теорема. При выполнении условий 1), 2) задача (2), (3) при любом фиксированном ε ∈ (0, ε0] имеет решение
⎤
t +ε ⎞⎡ ⎛ t +ε ⎞
⎛
⎛ t +ε⎞
xε (t ) = exp ⎜ Λ ln
⎟ ⎢C ⎜ ln
⎟ xε,0 + S ⎜ ln
⎟ ( ε xε′ ,0 − Λxε,0 ) ⎥ +
ε ⎠⎣ ⎝
ε ⎠
ε ⎠
⎝
⎝
⎦
t
t + ε ⎞ f (τ)
⎛ t+ε ⎞
⎛
d τ.
+ S ⎜ ln
⎟ exp ⎜ Λ ln
⎟
τ+ε⎠ τ+ε
⎝ τ+ε⎠
⎝
∫
(6)
0
При выполнении условий 3) – 5) справедлив предельный переход
lim xε (t ) = x0 (t ) , t∈(0, ∞),
ε→0
(7)
где
t
t ⎞ f (τ)
⎛ t⎞
⎛
x0 (t ) = S ⎜ ln ⎟ exp ⎜ Λ ln ⎟
d τ.
τ⎠ τ
⎝ τ⎠
⎝
∫
0
732
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
(8)
Предельная функция x0 (t ) является решением уравнения (1); это решение ограничено при t → + 0; если f(t) ограничена на [0, ∞), то x0 (t ) ограничено на (0, ∞).
Эта теорема справедлива в силу лемм 1 – 4, доказываемых ниже.
При доказательстве леммы 1 будет использовано следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 0. Задача Коши
u″(t) + A1u′(t) + A2u(t) = f(t), 0 ≤ t < ∞,
(9)
u(0) = u0, u′(0) = u′0
(10)
c A1, A2 ∈ L(E); f(t) ∈ C([0, ∞); E) при условии, что D = A12 − 4 A2 = F 2 ,
где F∈ L(E), имеет решение
A1F = FA1 ,
1
⎛ 1
⎞⎡
⎛
⎞⎤
u (t ) = exp ⎜ − A1t ⎟ ⎢C (t )u0 + S (t ) ⎜ u0′ + A1u0 ⎟ ⎥ +
2
⎝ 2
⎠⎣
⎝
⎠⎦
t
⎡ 1
⎤
+ S (t − τ) exp ⎢ − A1 (t − τ) ⎥ f (τ)d τ,
⎣ 2
⎦
∫
(11)
0
где C(t), S(t) – соответственно косинус и синус оператор-функции с производя1
щим оператором D1 = D .
4
Доказательство. Учитывая формулы (4), (5), заметим, что
C(0) = I, S(0) = 0;
1 2
F S (t ), S ′(t ) = C (t );
4
(13)
1 2
1
F C (t ), S ′′(t ) = F 2 S (t ).
4
4
(14)
C ′(t ) =
C ′′(t ) =
(12)
Докажем, например, первую из формул в (13). Применяя правило дифференцирования операторной экспоненты (eAt)′ = AeAt [1, c. 41], получаем:
C ′(t ) =
1
1 ⎞
1
1
1
⎛
⎛ 1
− Ft ⎟⎞ 1 ⎜⎛ F τ
− F τ ⎟⎞
1 ⎜ 1 2 Ft 1 − 2 Ft ⎟ 1 ⎜ 2 Ft
− Fe
− e 2 ⎠ = F ⎝ e2 − e 2 ⎠
⎜ Fe
⎟ = F ⎝e
2⎝2
2
4
⎠ 4
t
=
0
′
1
1
1
t ⎛ 1 Fτ
t⎛
⎞
− F τ ⎞⎟
1
1
1 2 Fτ 1 − 2 Fτ ⎟
⎜ 2
⎜
2
dτ =
= F∫⎝e
−e
+ Fe
⎠ d τ = F ∫ Fe
⎜2
⎟
4
4
2
0
0⎝
⎠
t
1
1
= F 2 ∫ C (τ)d τ = F 2 S (t ).
4
4
0
Остальные из указанных формул очевидны. В силу (12) функция (11) удовлетворяет начальному условию u(0) = u0. Запишем (11) в виде
u (t ) = e
1
− A1t
2
1
t
⎡
⎤
Aτ
⎢C (t )u0 + S (t ) ⎜⎛ u0′ + 1 A1u0 ⎞⎟ + S (t − τ)e 2 1 f (τ)d τ ⎥ .
⎢
⎥
2
⎝
⎠ ∫
0
⎣
⎦
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
733
Тогда
1
1
t
⎤
− A1t ⎡
A1τ
1
1
⎛
⎞
2
⎢
u ′(t ) = − A1e
C (t )u0 + S (t ) ⎜ u0′ + A1u0 ⎟ + ∫ S (t − τ)e 2 f (τ)d τ ⎥ +
⎢
⎥
2
2
⎝
⎠ 0
⎣
⎦
1
1
t
⎤
− A1t ⎡
A1τ
1
⎛
⎞
+ e 2 ⎢C ′(t )u0 + S ′(t ) ⎜ u0′ + A1u0 ⎟ + ∫ S ′(t − τ)e 2 f (τ)d τ ⎥ ,
⎢
⎥
2
⎝
⎠ 0
⎣
⎦
или
1
⎡
1
⎛
⎞
⎢C ′(t )u0 + S ′(t ) ⎜ u0′ + A1u0 ⎟ +
2
⎝
⎠
⎣
1
t
⎤
A1τ
+ ∫ S ′(t − τ)e 2 f (τ)d τ ⎥ .
⎥
0
⎦
− A1t
1
u ′(t ) = − A1u (t ) + e 2
2
В силу (12), (13) функция (11) удовлетворяет начальному условию u′(0) = u′0.
Вычислим u″(t):
1
− A1t
1
1
u ′′(t ) = − A1u ′(t ) − A1e 2
2
2
t
+∫
1
A1τ
S ′(t − τ)e 2
0
t
⎡
1
⎛
⎞
⎢C ′(t )u0 + S ′(t ) ⎜ u0′ + A1u0 ⎟ +
2
⎝
⎠
⎣
⎤ − 1 A1t
f (τ)d τ ⎥ + e 2
⎥
⎦
1
+ ∫ S ′′(t − τ)e 2
A1τ
1
⎡
⎢⎣C ′′ (t )u0 + S ′′(t )(u0′ + 2 A1u0 ) +
1
f (τ)d τ + e 2
A1t
0
⎤
f (t ) ⎥ .
⎥
⎦
В силу условия A1F = FA1 и соотношений (14), (15)
u ′′(t ) =
1
1 ⎡
1
⎤ 1
A1u ′(t ) − A1 ⎢u ′(t ) + A1u (t ) ⎥ + F 2u (t ) + f (t ),
2
2 ⎣
2
⎦ 4
или, учитывая равенство F 2 − A12 = −4 A 2 ,
u ′′(t ) = f (t ) − A1u ′(t ) − A 2u (t ).
Тогда
u ′′(t ) + A1u ′(t ) + A 2 u (t ) =
= f (t ) − A1u ′(t ) − A 2u (t ) + A1u ′(t ) + A 2u (t ) = f (t ).
Лемма 0 доказана.
Замечание 3. В случае F ∈ GL(E) формула (11) получена в [2] – [6].
Лемма 1. При выполнении условий 1), 2) функция (6) является решением задачи (2), (3).
Доказательство. Заменой переменной
t = ε es – ε
задача (2), (3) сводится к задаче вида
734
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
uε′′ ( s ) + ( A − I )uε′ ( s ) + Buε ( s ) = gε ( s ), 0 ≤ s < ∞,
(16)
uε (0) = xε,0 , uε′ (0) = εxε′ ,0 ,
(17)
где uε ( s ) = xε (ε e s − ε), gε ( s ) = f (ε e s − ε).
Задача (16), (17) – это задача вида (9), (10). В силу формулы (11) она имеет
решение
uε ( s ) = exp(Λs ) ⎡⎣C ( s ) xε,0 + S ( s )(ε xε′ ,0 − Λxε,0 ) ⎤⎦ +
s
+ ∫ S ( s − ρ) exp[Λ( s − ρ)]gε (ρ)d ρ.
(18)
0
После замены переменной
ρ = ln
τ+ε
ε
в интеграле в правой части (18) и возвращения к прежней переменной t формула
(18) принимает вид (6).
Лемма 1 доказана.
Для обоснования предельного перехода (7) потребуются оценки сверху для
нормы косинус и синус оператор-функций с производящим оператором Q2, где
Q∈L(E), то есть для функций
(
)
C (t ) = C t , Q 2 =
(
)
1 Qt
e + e−Qt ;
2
t
∫
S (t ) = S (t , Q 2 ) = C (τ)d τ.
0
Из соотношения [1, c. 42]
lim
ln eQt
= νQ
t
t →∞
следует, что для любого δ > 0 найдется такая постоянная Мδ > 0, что
eQt ≤ M δ e
δ
νQ
t
, 0 ≤ t < ∞,
(19)
δ
где νQ
= νQ + δ .
что
Замечание 4. В силу (19) для любого ρ > 0 найдется такая постоянная Nρ > 0,
e−Qt ≤ Nρ e
νρ−Q t
0 ≤ t < ∞,
,
(20)
где νρ−Q = ν −Q + ρ , или νρ−Q = −μQ + ρ , ибо ν −Q = −μQ .
Замечание 5. В силу (19), (20) справедлива оценка
C (t ) ≤ Kδ,ρ e
δ ,ρ
ωQ
t
,
0 ≤ t < ∞,
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
(21)
735
{
}
δ ,ρ
δ ρ
где K δ,ρ = max {M δ , Nρ } , ωQ
= max νQ
, ν −Q .
Замечание 6. В силу (21)
S (t ) ≤
K δ,ρ ⎛ ωQδ,ρ t ⎞
− 1⎟ , 0 ≤ t < ∞.
⎜e
δ,ρ ⎜
⎟
ωQ
⎝
⎠
(22)
Действительно,
t
S (t ) ≤ ∫ C (τ)
0
t
d τ ≤ K δ,ρ ∫ e
δ ,ρ
ωQ
τ
dτ =
0
Kδ,ρ
δ,ρ
ωQ
e
δ,ρ
ωQ
τ t
=
0
Kδ,ρ
δ,ρ
ωQ
(e
δ ,ρ
ωQ
t
− 1).
Лемма 2. Пусть выполнены условия 1) – 4). Тогда функция (8) определена
при любом t ∈ (0, ∞). Эта функция ограничена при t → +0. Если f(t) ограничена на
[0, ∞), то x0(t) ограничена на (0, ∞).
Доказательство. Возьмем произвольное фиксированное t > 0. В силу непрерывности синус оператор-функции, операторной экспоненты и функции f(τ)
подынтегральная функция
t ⎞ f (τ)
⎛ t⎞
⎛
,
g0 (τ, t ) = S ⎜ ln ⎟ exp ⎜ Λ ln ⎟
τ⎠ τ
⎝ τ⎠
⎝
(23)
представляющая собой композицию операторной и векторной функций, непрерывна и, следовательно, интегрируема на любом промежутке [Δ, t], Δ – произвольное сколь угодно малое положительное число. Покажем, что
lim g0 (τ, t ) = 0.
(24)
τ→+0
В силу (22) при Q =
1
F
2
⎡
⎤
ωδ,ρ
⎢⎛ t ⎞ 12 F − 1⎥ .
⎢⎜⎝ τ ⎟⎠
⎥
⎢
⎥⎦
F ⎣
K δ,ρ
⎛ t⎞
S ⎜ ln ⎟ ≤
⎝ τ⎠
ωδ1,ρ
2
(25)
В силу (19) для любого δ′ > 0 найдется такая постоянная Мδ′ > 0, что
t⎞
⎛
⎛t⎞
exp ⎜ Λ ln ⎟ ≤ M δ′ ⎜ ⎟
τ
⎝
⎠
⎝τ⎠
′
νδΛ
,
где ν δΛ′ = ν Λ + δ′.
Положим
N (t ) = max f (τ) .
0≤τ≤t
736
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
(26)
В силу (25), (26)
δ ,ρ
⎤
νδΛ′
M δ′ ⋅ K δ,ρ ⎡⎢⎛ t ⎞ω1 F
f (τ)
t
⎛
⎞
⎥
g0 (τ, t ) ≤
≤
⎜ τ ⎟ 2 − 1⎥ ⎜ τ ⎟
δ ,ρ
⎢
τ
⎝ ⎠
⎝ ⎠
ω1
⎢⎣
⎥⎦
F
2
≤
ωδ1,ρ +ν δΛ′
M δ′ ⋅ K δ,ρ
⋅ N (t ) ⋅ t
ωδ1,ρ
F
2
2
F
−1−ωδ1,ρ −νδΛ′
⋅τ
2
F
(27)
⎯⎯⎯⎯
→ 0,
τ→+0
ибо в силу условия 4) и за счет выбора δ, ρ, δ′ можно считать, что
−1 − ωδ1,ρ − ν δΛ′ > 0.
2
(28)
F
Действительно,
ωF < 2 ( −1 − ν Λ ) ⇒ ω 1
2
⇒ ν1
2
F
< −1 − ν Λ , −μ 1
2
= νρ 1
− F
2
F
{
}
= max ν 1 , −μ 1 < −1 − ν Λ ⇒
F
F
2
2
< −1 − ν Λ ⇒ ν 1 + δ = νδ1 < −1 − ν Λ , −μ 1 + ρ =
F
F
F
F
2
2
2
< −1 − ν Λ ⇒ max ⎧⎪ν δ1 , νρ 1 ⎫⎪ = ωδ1,ρ < −1 − ν Λ ⇒
⎨ F − F⎬
F
⎪
2 ⎭
2
⎩⎪ 2
⇒ ωδ1,ρ < −1 − ν δΛ′ ⇒ −1 − ωδ1,ρ − νδΛ′ > 0.
2
F
2
F
Из (27) следует (24). В силу (24) доопределим g0(τ, t) по непрерывности в нуле
g0 (0, t ) = lim g0 (τ, t ) = 0.
(29)
τ→+0
Итак, точка τ = 0 является устранимой точкой разрыва подынтегральной
функции g0(τ, t). Отсюда следует сходимость несобственного интеграла
t
∫ g0 (τ, t )dτ,
0
то есть, существование функции (8).
Используя (27), получаем:
t
′
t
∫ g0 (τ, t )d τ ≤ ∫
0
g0 (τ, t ) d τ ≤
M δ′ ⋅ K δ,ρ
ωδ1,ρ
F
2
0
=
M δ′ ⋅ K δ,ρ
ωδ1,ρ
2
F
ωδ1,ρ +νδΛ′
⋅ N (t ) ⋅ t
2
F
′
2
F
−ωδ1,ρ − ν δΛ′
2
F
⋅ N (t ) ⋅ t
2
F
∫τ
2
F
dτ =
0
−ωδ1,ρ −ν δΛ
τ
′
ωδ1,ρ +ν δΛ t −1−ωδ1,ρ −νδΛ
t
M δ′ ⋅ K δ,ρ
=
0
ωδ1,ρ
F
2
⎛
⎞
⎜ −ωδ,ρ − ν δ′ ⎟
Λ
⎜⎜ 1 F
⎟⎟
⎝ 2
⎠
N (t ),
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
737
ибо в силу (28)
−ωδ1,ρ − ν δΛ′ > 0.
2
(30)
F
Получена оценка
t
∫ g0 (τ, t )d τ
0
≤
M δ′ ⋅ K δ,ρ
ωδ1,ρ ⎛ −ωδ1,ρ − ν δΛ′ ⎞
⎟
F⎜
F
2 ⎝
2
⎠
(31)
N (t ),
из которой следует ограниченность функции (8) при t→ + 0. Если f(t) ограничена
на [0, ∞):
sup N (t ) = C < ∞,
t∈[0, ∞ )
то из (31) следует ограниченность функции (8) на (0,∞).
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. При выполнении условий 1) – 5) справедлив предельный переход
(7).
Доказательство. Возьмем произвольное фиксированное t > 0. Покажем вначале, что внеинтегральные члены в (6) сходятся к нулю при ε → 0. В силу (19) при
Q=Λ
t +ε⎞
⎛
⎛t +ε⎞
exp ⎜ Λ ln
⎟ ≤ M δ′ ⎜ ε ⎟
ε
⎝
⎠
⎝
⎠
В силу (21) при Q =
′
νδΛ
(32)
.
1
F
2
⎛ t+ε⎞
⎛t +ε⎞
C ⎜ ln
⎟ ≤ K δ ,ρ ⎜
⎟
ε ⎠
⎝
⎝ ε ⎠
ωδ1,ρ
2
F
.
(33)
В силу (32), (33) и условия 5)
t +ε⎞ ⎛ t+ε⎞
⎛
exp ⎜ Λ ln
C ln
xε,0 ≤ M δ′ K δ,ρ L0 (t + ε)
ε ⎟⎠ ⎜⎝
ε ⎟⎠
⎝
ωδ1,ρ +ν δΛ′ −1−ωδ1,ρ −νδΛ′
2
F
ε
2
F
⎯⎯⎯→ 0
ε→0
в силу (28), откуда следует сходимость первого внеинтегрального члена в (6) к
1
нулю при ε → 0. В силу (22) при Q = F
2
δ ,ρ
⎤ K
ωδ,ρ
K δ,ρ ⎡⎢⎛ t + ε ⎞ω1 F
⎛ t+ε⎞
δ,ρ ⎛ t + ε ⎞ 1 F
⎥
(34)
≤
S ⎜ ln
⎜
⎟ 2 − 1⎥ ≤ δ,ρ ⎜ ε ⎟ 2 .
ε ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
ωδ1,ρ ⎢⎢⎝ ε ⎠
ω
1
⎦⎥
F ⎣
F
2
2
В силу (32), (34) и условия 5)
M δ′ K δ,ρ
t+ε⎞ ⎛ t+ε⎞
⎛
ε xε′ ,0 ≤
S ⎜ ln
L1 (t + ε)
exp ⎜ Λ ln
⎟
⎟
ε ⎠ ⎝
ε ⎠
⎝
ωδ1,ρ
2
738
ωδ1,ρ +ν δΛ′ −1−ωδ1,ρ −νδΛ′
2
F
ε
2
F
⎯⎯⎯→ 0,
F
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
ε→0
откуда следует сходимость второго внеинтегрального члена в (6) к нулю при
ε → 0. В силу (32), (34) и условия 5)
t+ε⎞ ⎛ t +ε⎞1
⎛
exp ⎜ Λ ln
S ln
( A − I ) xε, 0 ≤
ε ⎟⎠ ⎜⎝
ε ⎟⎠ 2
⎝
ωδ1,ρ +νδΛ′
1 M δ′ K δ,ρ
≤
L0 A − I
2 ωδ,ρ
(t + ε)
2
F
−1−ωδ1,ρ −ν δΛ′
⋅ε
2
F
⎯⎯⎯→ 0,
1
F
2
ε→0
откуда следует сходимость третьего внеинтегрального члена в (6) к нулю при
ε → 0.
Для справедливости (7) осталось показать, что
t
t
∫
∫
lim gε (τ, t )d τ = g0 (τ, t ) d τ,
ε→0
0
(35)
0
где
t + ε ⎞ f (τ)
⎛ t+ε ⎞
⎛
gε (τ, t ) = S ⎜ ln
exp ⎜ Λ ln
,
⎟
τ + ε ⎟⎠ τ + ε
⎝ τ+ε⎠
⎝
g0 (τ, t ) задается формулой (23). Для справедливости (35) достаточно показать,
что
t
lim
ε→0
∫ [ gε (τ, t ) − g0 (τ, t )] dτ = 0.
(36)
0
В силу оценки
t
t
∫ [ gε (τ, t ) − g0 (τ, t )] dτ
≤
0
∫
gε (τ, t ) − g0 (τ, t ) d τ
0
для справедливости (36) достаточно показать, что
t
lim
ε→0
∫
gε (τ, t ) − g0 (τ, t ) d τ = 0.
(37)
0
Имеем
ε
gε (τ, t ) − g0 (τ, t ) = ∫
0
¢
⎡ ⎛ t+κ⎞
t + κ ⎞ f (τ) ⎤
⎛
⎢ S ⎜ ln
⎟ exp ⎜ Λ ln τ + κ ⎟ τ + κ ⎥ d κ.
τ
+
κ
⎠
⎝
⎠
⎣ ⎝
⎦κ
(38)
Обозначим выражение в квадратных скобках в (38) через h(κ). Тогда
¢
⎡ ⎛ t + κ ⎞⎤
t + κ ⎞ f (τ)
⎛
h′( κ) = ⎢ S ⎜ ln
+
⎥ exp ⎜ Λ ln
⎟
τ + κ ⎟⎠ τ + κ
⎝
⎣ ⎝ τ + κ ⎠⎦ κ
¢
¢
t + κ ⎞ ⎤ f (τ)
t + κ ⎞ ⎛ f (τ) ⎞
⎛ t + κ ⎞⎡
⎛
⎛ t+κ⎞
⎛
exp ⎜ Λ ln
.
+ S ⎜ ln
+ S ⎜ ln
⎢exp ⎜ Λ ln
⎥
⎟
⎟
⎟
τ + κ ⎠⎦ κ τ + κ
τ + κ ⎟⎠ ⎜⎝ τ + κ ⎟⎠ κ
⎝ τ+ κ⎠⎣
⎝
⎝ τ+κ⎠
⎝
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
739
Учитывая, что
¢
t −τ
⎛ t+κ⎞
⎜ ln τ + κ ⎟ = − (t + κ)(τ + κ) ,
⎝
⎠κ
получаем:
t + κ ⎞ t − τ f (τ)
⎛ t+κ⎞
⎛
−
h′( κ) = −C ⎜ ln
exp ⎜ Λ ln
⎟
τ + κ ⎟⎠ t + κ (τ + κ)2
⎝ τ+κ⎠
⎝
t + κ ⎞ t − τ f (τ)
⎛ t+κ⎞
⎛
− S ⎜ ln
−
⎟ Λ exp ⎜ Λ ln τ + κ ⎟ t + κ
τ
+
κ
⎝
⎠
⎝
⎠
( τ + κ) 2
t + κ ⎞ f (τ)
⎛ t+κ⎞
⎛
− S ⎜ ln
exp ⎜ Λ ln
.
⎟
τ + κ ⎟⎠ (τ + κ)2
⎝ τ+κ⎠
⎝
(39)
Обозначая через W1, W2, W3 слагаемые в правой части (39), получаем в силу (38)
ε
ε
∫
ε
∫
∫
gε (τ, t ) − g0 (τ, t ) = W1d κ + W2 d κ + W3 d κ,
0
0
0
откуда
ε
gε (τ, t ) − g0 (τ, t ) ≤
∫
ε
W1 d κ +
0
ε
∫
W2 d κ +
0
∫
W3 d κ .
0
Тогда
t ⎡ε
t ⎡ε
t ⎡ε
⎤
⎤
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
gε (τ, t ) − g0 (τ, t ) d τ ≤
W1 d κ d τ +
W2 d κ d τ + ⎢ W3 d κ ⎥ d τ. (40)
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
0
0 ⎣0
0 ⎣0
0 ⎣0
⎦
⎦
⎦
t
∫
∫∫
∫∫
∫∫
В силу (19), (21)
⎛t+κ⎞
W1 ≤ M δ′ K δ,ρ ⎜
⎟
⎝ τ+κ⎠
≤ M δ′ K δ,ρ
ωδ1,ρ
2
F
⎛t+κ⎞
⎜ τ+κ⎟
⎝
⎠
N (t ) ⎛ t + κ ⎞
t ⎜⎝ τ + κ ⎟⎠
νδΛ′
t − τ f (τ)
≤
t + κ ( τ + κ) 2
′
ωδ1,ρ +ν δΛ
2
t−τ
F
( τ + κ) 2
.
Тогда
ε
∫
ε
W1 d κ ≤ M δ′ K δ,ρ
0
N (t ) ⎛ t + κ ⎞
⎜ τ+κ⎟
t
⎝
⎠
0
∫
ε
= − M δ′ K δ,ρ
=
=
740
∫
M δ′ K δ,ρ
−1 − ωδ1,ρ
F
2
M δ′ K δ,ρ
−1 − ωδ1,ρ − ν δΛ′
2
N (t ) ⎛ t + κ ⎞
⎜ τ+κ⎟
t
⎝
⎠
0
F
− ν δΛ′
′
ωδ1,ρ +νδΛ
2
F
( τ + κ) 2
′
ωδ1,ρ +νδΛ
2
F
t−τ
⎛t+κ⎞
d⎜
⎟=
⎝ τ+κ⎠
′
1+ωδ1,ρ +ν δΛ ε
N (t ) ⎛ t + κ ⎞
t ⎜⎝ τ + κ ⎟⎠
dκ =
2
F
=
0
⎡
−1−ωδ1,ρ −ν δΛ′
−1−ωδ1,ρ −ν δΛ′ ⎤
N (t ) ⎢⎛ τ + ε ⎞
⎛τ⎞
F
F
⎥.
−⎜ ⎟
2
2
⎥
t ⎢⎝⎜ t + ε ⎠⎟
⎝t⎠
⎢⎣
⎥⎦
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
Обозначив выражение перед квадратными скобками через P1(t), получаем
оценку
ε
∫
0
⎡
−1−ωδ1,ρ −ν δΛ′
−1−ωδ1,ρ −ν δΛ′ ⎤
⎛ τ+ε⎞
⎛τ⎞
F
F
⎢
⎥.
−⎜ ⎟
W1 d κ ≤ P1 (t ) ⎜
2
2
⎢⎝ t + ε ⎠⎟
⎥
⎝t⎠
⎢⎣
⎥⎦
Тогда
t⎡
−1−ωδ1,ρ −νδΛ′
−1−ωδ1,ρ −ν δΛ′ ⎤
⎤
τ+ε⎞
τ⎞
⎛
⎛
F
F
⎢
⎥ dτ =
−⎜ ⎟
2
∫ ⎢⎢ ∫ W1 d κ ⎥⎥ d τ ≤ P1 (t )∫ ⎢⎜⎝ t + ε ⎟⎠ 2
⎥
t⎠
⎝
0 ⎣0
0 ⎣⎢
⎦
⎦⎥
t ⎡ε
=
⎡
−ωδ,ρ −νδ′
⎢
⎛ τ + ε ⎞ 1F Λ
⎢(t + ε) ⎜
⎟ 2
⎝ t+ε ⎠
− ν δΛ′ ⎢
⎣⎢
P1 (t )
−ωδ1,ρ
2
=
F
P1 (t )
−ωδ1,ρ − ν δΛ′
2
F
t
⎛τ⎞
−t⎜ ⎟
⎝t⎠
0
⎤
⎥
⎥=
0⎥
⎦⎥
−ωδ1,ρ −νδΛ′ t
2
F
′
⎡
⎤
⎡
−ωδ,ρ −ν δΛ ⎤
⎢(t + ε) ⎢1 − ⎛ ε ⎞ 1 F
⎥
− t ⎥ ⎯⎯⎯→ 0
⎢
⎢ ⎜⎝ t + ε ⎟⎠ 2
⎥ ⎥ ε→0
⎣⎢
⎦⎥ ⎦⎥
⎣⎢
в силу (30), откуда следует, что
t ⎡ε
⎤
lim ∫ ⎢ ∫ W1 d κ ⎥ d τ = 0.
ε→0 ⎢
⎥
0 ⎣0
⎦
(41)
Аналогично, в силу (19), (22)
δ ,ρ
W2
δ′
M δ′ K δ,ρ N (t ) ⎛ t + κ ⎞ω 1 F +ν Λ t − τ
1
≤ I−A
.
2
2
t ⎜⎝ τ + κ ⎟⎠
( τ + κ) 2
ωδ1,ρ
2
F
Проведя те же выкладки, что и выше, получаем соотношение
t ⎡ε
⎤
lim ∫ ⎢ ∫ W2 d κ ⎥ d τ = 0.
ε→0 ⎢
⎥
0 ⎣0
⎦
(42)
В силу (19), (22)
W3 ≤
M δ′ K δ,ρ
ωδ1,ρ
F
2
⎛t+κ⎞
N (t ) ⎜
⎟
⎝ τ+κ⎠
′
ωδ1,ρ +νδΛ
2
F
1
( τ + κ) 2
.
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
741
Тогда
ε
∫
W3 d κ ≤
M δ′ K δ,ρ
ωδ1,ρ
F
2
0
≤
ε
⎛ τ+κ⎞
N (t ) ⎜
⎟
⎝t+κ⎠
0
∫
N (t )
ωδ1,ρ
F
2
−ωδ1,ρ −νδΛ′
t
2
F
2
∫ ( τ + κ)
2
M δ′ K δ,ρ N (t ) t
ωδ1,ρ
2
F
≤
F
dκ =
0
′
=
( τ + κ) 2
−2 −ωδ1,ρ −ν δΛ
ωδ1,ρ +ν δΛ
2
dκ
F
′
ε
M δ′ K δ,ρ
′
−ωδ1,ρ −ν δΛ
′ ε
−1−ωδ1,ρ −ν δΛ
F
⎛
⎞
⎜ −1 − ωδ,ρ − ν δ′ ⎟
Λ
1
⎜⎜
⎟⎟
F
2
⎝
⎠
( τ + κ)
2
F
.
0
Обозначив последнюю дробь через P3(t), получаем оценку
ε
∫
0
′
′
⎡
−1−ωδ1,ρ −νδΛ
−1−ωδ1,ρ −ν δΛ ⎤
F
F
⎢
⎥
2
2
−τ
W3 d κ ≤ P3 (t ) ⎢ (τ + ε)
⎥.
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
Тогда
t
∫
0
t
⎡ε
⎤
⎢ ∫ W3 d κ ⎥ d τ ≤ P3 (t ) ∫
⎢0
⎥
0
⎣
⎦
′
′
⎡
−1−ωδ1,ρ −ν δΛ
−1−ωδ1,ρ −ν δΛ ⎤
F
F
⎢
⎥
2
2
−τ
⎢ ( τ + ε)
⎥ dτ =
⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎡
′
−ωδ1,ρ −νδΛ
⎢
F
P3 (t )
⎢ ( τ + ε) 2
=
−ωδ1,ρ − ν δΛ′ ⎢
⎢
F
⎣
2
=
t
⎤
⎥
⎥=
⎥
⎥
0⎦
′ t
−ωδ1,ρ −ν δΛ
−τ
0
2
F
⎡
−ωδ1,ρ −ν δΛ′ ⎤
−ωδ1,ρ −νδΛ′
−ωδ1,ρ −ν δΛ′
F
F
F
⎢
⎥
(t + ε) 2
−t 2
→0
−ε 2
⎥ ⎯⎯⎯
δ′ ⎢
ε→0
− νΛ ⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
P3 (t )
−ωδ1,ρ
2
F
в силу (30), откуда следует, что
t ⎡ε
⎤
lim ∫ ⎢ ∫ W3 d κ ⎥ d τ = 0.
ε→0 ⎢
⎥
0 ⎣0
⎦
(43)
Из (40), (43) следует (37).
Лемма 3 доказана.
Замечание 7. В силу условия 2)
742
A C(t) = C(t) A,
(44)
S(t) A = A S(t).
(45)
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
Действительно, соотношение (44) следует из формулы
1
⎛ 1
∞ 2k 2k
− Ft ⎞
t F
⎛ 1 2 ⎞ 1 ⎜ 2 Ft
C (t ) = C ⎜ t , F ⎟ =
e
.
+e 2 ⎟ =
⎟
⎝ 4
⎠ 2⎜
22 k (2k )!
=
k
0
⎝
⎠
∑
Используя (5), (44) и замкнутость оператора А, получаем для любого v∈ E
t
t
∫
t
∫
∫
AS (t )v = A C (τ)vd τ = AC (τ)vd τ = C (τ) Avd τ = S (t ) Av,
0
0
0
что означает справедливость (45).
Лемма 4. При выполнении условий 1) – 5) предельная функция (8) является
решением уравнения (1).
Доказательство. В силу (29) подынтегральная функция g0(τ, t) непрерывна
по переменным τ, t. Применяя (13), получаем
f (τ) 1 ⎛ t ⎞
t ⎞ f (τ)
⎛
+ S ⎜ ln ⎟ Λ exp ⎜ Λ ln ⎟
t ⎝ τ⎠
τ⎠ τ
⎠ τ
⎝
[ g0 (τ, t )]t¢ = t C ⎛⎜ ln τ ⎞⎟ exp ⎛⎜ Λ ln τ ⎞⎟
1
t
⎝
t
⎠
⎝
или в силу (45)
f (τ)
1
+ Λ g0 (τ, t ).
t
⎠ τ
[ g0 (τ, t )]t¢ = t C ⎛⎜ ln τ ⎞⎟ exp ⎛⎜ Λ ln τ ⎞⎟
1
t
⎝
t
⎠
⎝
(46)
Покажем, что
¢
lim [ g0 (τ, t ) ]t = 0.
(47)
τ→+0
В силу (24) для этого достаточно показать, что первое слагаемое в правой
части (46) сходится к нулю при τ → + 0. В силу (19), (21)
1 ⎛ t⎞
t ⎞ f (τ)
1
⎛
⎛t⎞
C ⎜ ln ⎟ exp ⎜ Λ ln ⎟
≤ K δ ,ρ ⎜ ⎟
t ⎝ τ⎠
τ⎠ τ
t
⎝
⎝τ⎠
−1+ωδ1,ρ +ν δΛ′
≤ M δ′ K δ,ρ N (t ) t
2
F
ωδ1,ρ
2
⎛t⎞
M δ′ ⎜ ⎟
⎝τ⎠
F
′
ν δΛ
f (τ)
τ
≤
−1−ωδ1,ρ −νδΛ′
⋅τ
2
F
⎯⎯⎯⎯
→0
τ→+0
в силу (28), откуда следует вышесказанное утверждение. В силу (47) доопределим
[ g0 (τ, t )]t′ по непрерывности в нуле:
[ g0 (τ, t )]t¢
¢
τ=0
= lim [ g0 (τ, t ) ]t = 0.
τ→+0
(48)
В силу (48) [ g0 (τ, t )]t′ непрерывна по τ, t. Следовательно, можно применить
формулу дифференцирования интеграла по параметру
⎡t
⎤′ t
¢
x0′ (t ) = ⎢ g 0 (τ, t )d τ ⎥ = [ g0 (τ, t ) ]t d τ + g0 (t , t ) .
⎢0
⎥ 0
⎣
⎦
∫
∫
В силу того, что S(0) = 0, eQ t|t = 0 = I, получаем
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
743
f (t )
= 0.
t
g0 (t , t ) = S (0) I
Тогда
t
x0′ (t ) = ∫ [ g 0 (τ, t )]t′ d τ.
(49)
0
Далее, учитывая (46), (13) получаем:
[ g0 (τ, t )]′′2 = −
t
+
t ⎞ f (τ)
⎛ t⎞
⎛
C ⎜ ln ⎟ exp ⎜ Λ ln ⎟
+
τ⎠ τ
⎝ τ⎠
⎝
t
1
2
1 1 2 ⎛ t⎞
t ⎞ f (τ) 1 ⎛ t ⎞
t ⎞ f (τ)
⎛
⎛
F S ⎜ ln ⎟ exp ⎜ Λ ln ⎟
+ C ⎜ ln ⎟ Λ exp ⎜ Λ ln ⎟
+
2 4
2
τ
τ
τ
τ
τ
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠ τ
t
t
⎡ 1
⎤
1
+Λ ⎢ − g 0 (τ, t ) + [ g0 (τ, t )]t′ ⎥ .
2
t
⎣ t
⎦
В силу (46)
t ⎞ f (τ)
⎛ t⎞
⎛
= t[ g0 (τ, t )]t′ − Λg0 (τ, t ).
C ⎜ ln ⎟ exp ⎜ Λ ln ⎟
τ
τ
⎝
⎠
⎝
⎠ τ
Тогда, учитывая (44), получаем:
1
1
1
1
[ g0 (τ, t )]′′2 = − [ g0 (τ, t )]t′ + Λ g0 (τ, t ) + F 2 g0 (τ, t ) +
2
t
4
t
t
t2
1
1
1
1
+Λ [ g0 (τ, t )]t′ − Λ 2 g0 (τ, t ) − Λ g0 (τ, t ) + Λ [ g0 (τ, t )]t′ =
2
2
t
t
t
t
1
1
1
= − A[ g0 (τ, t )]t′ + ⎡ F 2 − ( I − A) 2 ⎤ g0 (τ, t ) =
⎦ t2
4⎣
t
1
1
= − A[ g0 (τ, t )]t′ − Bg0 (τ, t ),
t
t2
ибо в силу условия 1) F 2 − ( I − A)2 = −4 B . Итак,
1
1
[ g0 (τ, t )]′′2 = − A[ g0 (τ, t )]t′ − Bg0 (τ, t ).
t
t
t2
(50)
lim [ g0 (τ, t )]′′2 = 0.
(51)
В силу (24), (47)
t
τ→+0
В силу (51) доопределим [ g 0 (τ, t )]′′2 по непрерывности в нуле:
t
[ g0 (τ, t )]′′2 |τ=0 = lim [ g0 (τ, t )]′′2 = 0.
t
τ→+0
t
(52)
В силу (52) [ g 0 (τ, t )]′′2 непрерывна по τ, t. Следовательно, можно еще раз
t
применить формулу дифференцирования интеграла по параметру. Учитывая (49),
(50) а также соотношения C(0) = I, g0(t, t) = 0, получаем
744
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
⎡t
⎤′ t
x0′′ (t ) = ⎢ [ g0 (τ, t )]t′ d τ ⎥ = [ g0 (τ, t )]′′2 d τ + [ g0 (τ, t )]t′ |τ=t =
t
⎢0
⎥ 0
⎣
⎦
∫
∫
t
t
1
1
1
f (t )
1
= − A [ g0 (τ, t )]t′ d τ − B g0 (τ, t )d τ + C (0)
+ Λ g0 (t , t ) =
2
t
t
t
t
t
∫
∫
0
0
f (t )
1
1
= − Ax0′ (t ) − Bx0 (t ) +
.
2
t
t
t2
Итак,
1
1
f (t )
x0′′ (t ) == − Ax0′ (t ) − Bx0 (t ) +
.
2
t
t
t2
Тогда
t 2 x0′′ (t ) + tAx0′ (t ) + Bx0 (t ) =
= −tAx0′ (t ) − Bx0 (t ) + f (t ) + tAx0′ (t ) + Bx0 (t ) = f (t ).
Лемма 4 доказана.
Теорема доказана.
Установленные выше факты дополняют результаты работ [7] – [10].
В скалярном случае малые стабилизирующие возмущения уравнения (1) исследованы в [11].
Список литературы
1. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в
банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. – М.: Наука, 1970. – 536 с.
2. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального
уравнения в банаховом пространстве: Тез. докл. / «Понтрягинские чтения – XI».
Воронеж: Изд-во ВГУ, 2000. – С. 145.
3. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального
уравнения второго порядка в банаховом пространстве (на англ. яз.) // Вестник
ТГТУ. – 2000. – Т. 6, №4. – С. 643 – 646.
4. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального
уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. –
2002. – Т. 38, №8. – С. 1140 – 1141.
5. Фомин В.И. О представлении решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве через КОФ и СОФ: Материалы VIII науч. конф. Тамб. гос. техн. ун-та. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2003. –
С. 37 – 38.
6. Фомин. В.И. О представлении решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве через КОФ
и СОФ // Вестник ТГТУ. Сер. Естеств. и техн. науки. – 2003. – Т. 8, вып. 5. –
С. 864 – 865.
7. Фомин В.И. Малые возмущения векторного уравнения Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами: Тез. докл. / «Понтрягинские чтения – VIII». Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997. – С. 156.
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
745
8. Фомин В.И. Малые стабилизирующие возмущения векторного уравнения
Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами и нулевым операторным дискриминантом // Вестник ТГТУ. – 1999. –Т. 5, №4. –
С. 603 – 612.
9. Фомин В.И. Малые стабилизирующие возмущения векторного уравнения
Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами и позитивным операторным дискриминантом // Вестник ТГТУ. – 2000. – Т. 6, №1. –
С. 114 – 118.
10. Фомин В.И. Малые стабилизирующие возмущения векторного уравнения
Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами //
Дифференц. уравнения. – 2000. – Т. 36, № 11. – С. 1568 – 1569.
11. Фомин В.И. Малые стабилизирующие возмущения уравнения Эйлера
второго порядка // Вестник ТГТУ. – 1999. – Т. 5, № 2. – С. 266 – 270.
On Euler Equation of the Second Order
with Bounded Operator Coefficients in Banach Space
V.I. Fomin
Department “Applied Mathematics and Mechanics”, TSTU
Key words and phrases: Banach space; singular differentiation equation; small
stabilization perturbation; bounded solution; degenerate point; operator spectrum; operator discriminant; cosine operator function; sine operator function.
Abstract: In the Banach space we can find the solution of the equation form the
title of the article, bounded in a generate point, by means of the method of small stabilization perturbation.
Über Euler-Vektorgleichung der zweiten Ordnung
mit den begrenzten Operatorkoeffizienten im Banachischen Raum
Zusammenfassung: Es wird die im Degenerationspunkt begrenzte Lösung der
im Titel angegebenen Gleichung durch die Methode von kleinen Stabilisierungsstörungen
im Banachischen Raum gesucht.
Sur l’équation vectorielle Euler du deuxième ordre
avec les coefficients opérateurs limités dans l’espace de Banach
Résumé: Dans l’espace de Banach on trouve par la méthode de petites
perturbations stabilisantes la solution limitée dans le point de la dégénération pour
l’équation citée dans le titre de l’article.
746
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 3. Transactions TSTU.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа