close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О вычислении вероятности неразорения страховой компании.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2009. Вып. 3
УДК 519.95
В. Н. Иголкин
О ВЫЧИСЛЕНИИ ВЕРОЯТНОСТИ НЕРАЗОРЕНИЯ
СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ∗)
1. Введение. В работе рассматривается одно обобщение классической модели
Лундберга–Крамера разорения страховой компании. В этой модели капитал компании
u(t) изменяется таким образом:
N (t)
u(t) = u + ct −
N (t)
Xk = u +
k=1
(cτk − Xk ).
k=1
Здесь tk – моменты прихода исков, τk = tk − tk−1 , u – начальный капитал, c – интенсивность поступления премий, Xk – случайные иски с распределением F (x), N (t) – простейший поток. Данная модель обобщалась разными авторами в основном в отношении
распределения τk . Хороший обзор этих работ приведен в [1], где также рассмотрена модель, в которой интенсивность потока N (t) меняется по марковскому закону.
В работе [2] предложена модель, в которой интервалы τk и иски Xk могут быть m
типов с распределениями gk (t) и fk (x) соответственно, k = 1, 2, ..., m. Интервалы связаны в марковскую цепь с известной матрицей вероятностей переходов Π, тип интервала
определяет тип иска, приходящего в конце интервала. Интервал от начала функционирования страховой компании t = 0 до прихода первого иска является, вообще говоря, особым, и мы будем его называть нулевым. Если в некоторый момент t u(t) < 0,
то произошло разорение компании и она прекращает свое существование. Ясно, что разорение может произойти только в моменты прихода исков, и приход очередного иска
будем называть шагом.
Обозначим Pn,j (uj ) вероятность неразорения на шаге n, если в конце нулевого интервала пришел иск типа j, не произошло разорения и после выплаты по иску остался
капитал uj . Тогда для Pn,j (uj ) справедлива следующая система рекуррентных соотношений [2, с. 56]:
Pn,j (uj ) =
∞
m
−uj k=1
πj,k Pn−1,k (y + uj )dΦk (y),
где
Φk (y)
1
=
c
∞
−∞
gk
x+y
c
j = 1, 2, . . . , m,
(1)
fk (x)dx.
Иголкин Владимир Николаевич – доцент кафедры математической теории моделирования систем
управления факультета прикладной математики–процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 45. Научное направление: задачи оптимизации при случайных воздействиях. E-mail: Vigolkin@pobox.spbu.ru.
∗) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00360).
c В. Н. Иголкин, 2009
38
К этой системе нужно добавить еще описание изменения капитала от u до uj на нулевом интервале, если пришел иск типа j и не произошло разорения. Такая процедура
аналогична заданию начального распределения состояний в марковском процессе. Последовательность Pn,j (uj ) является монотонной по n при P0,j (uj ) = 1. Потому в (1)
можно перейти к пределу по n → ∞ и получить систему интегральных уравнений
для вероятностей неразорения Pj (uj ) на бесконечном интервале
Pj (uj ) =
∞
m
−uj k=1
πj,k Pk (y + uj )dΦk (y),
j = 1, 2, . . . , m.
(2)
Если система (2) решена и определены Pj (uj ), j = 1, . . . , m, найдем pj (u, uj ) – плотности распределения вероятностей неразорения на нулевом интервале, где u – начальный
капитал, uj = u + cτj − Xj > 0. Тогда P (u) – вероятность неразорения на бесконечном
интервале с начальным капиталом u равна
∞
m
πj
p(u, uj )Pj (uj )duj .
(3)
P (u) =
0
j=1
Здесь πj – вероятность интервала и иска типа j на нулевом шаге.
2. Решение системы (2). Рассмотрим подробнее, как решается система (2). Если
использовать преобразование Лапласа, то при переходе к изображениям в уравнениях
для изображений появляются неизвестные константы, подлежащие определению.
Рассмотрим важный частный случай m = 2, g1 (t) = λ1 exp(−λ1 t), g2 (t) =
λ2 exp(−λ2 t). Для существования нетривиальных Pj (uj ) будем предполагать, что λc1 >
m1 , λc2 > m2 , где m1 и m2 – средние значения исков первого и второго типов. Обозначим λc1 = l1 , λc2 = l2 . Выпишем систему (2) для рассматриваемого случая, опустив
для краткости индекс j:
∞
∞
π1,1 P1 (y + u)
l1 exp[−l1 (y + t)]f1 (t)dtdy +
P1 (u) =
−u
∞
+
−u
P2 (u) =
π1,2 P2 (y + u)
−u
∞
π1,1 P1 (x)
0
∞
+
π1,2 P2 (x)
0
P2 (u) =
π2,1 P1 (x)
0
∞
0
−∞
∞
∞
l1 exp[−l1 (y + t)]f1 (t)dtdy +
l2 exp[−l2 (y + t)]f2 (t)dtdy,
l1 exp[−l1 (x + t − u)]f1 (t)dtdx +
l2 exp[−l2 (x + t − u)]f2 (t)dtdx,
∞
−∞
∞
−∞
l2 exp[−l2 (y + t)]f2 (t)dtdy,
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
π2,2 P2 (x)
+
∞
π2,1 P1 (y + u)
π2,2 P2 (y + u)
P1 (u) =
−∞
−∞
∞
−u
∞
+
или
l1 exp[−l1 (x + t − u)]f1 (t)dtdx +
l2 exp[−l2 (x + t − u)]f2 (t)dtdx.
39
Перейдем к изображениям по Лапласу, обозначив P1 (u) → φ1 (p), P2 (u) → φ2 (p), f1 (x) →
ψ1 (p), f2 (x) → ψ2 (p). Имеем
∞
∞
∞
φ1 (p) =
exp(−pu)du
π1,1 P1 (x)
l1 exp[−l1 (x + t − u)]f1 (t)dtdx +
0
∞
π1,2 P2 (x)
+
−∞
0
0
φ2 (p) =
−∞
∞
∞
π2,1 P1 (x)
0
∞
+
∞
exp(−pu)du
0
l2 exp[−l2 (x + t − u)]f2 (t)dtdx ,
π2,2 P2 (x)
∞
−∞
0
∞
−∞
l1 exp[−l1 (x + t − u)]f1 (t)dtdx +
l2 exp[−l2 (x + t − u)]f2 (t)dtdx .
Нетрудно обосновать возможность перестановки интегралов и, сделав замену x+t−u =
y во внутреннем интеграле, после несложных преобразований получим
∞
∞
x+t
φ1 (p) =
π1,1 P1 (x) exp(−px)
f1 (t) exp(−pt)
l1 exp[y(p − l1 )]dydtdx +
0
0
∞
∞
π1,2 P2 (x) exp(−px)
+
0
∞
φ2 (p) =
π2,1 P1 (x) exp(−px)
0
∞
+
l2 exp[y(p − l2 )]dydtdx,
0
∞
x+t
l1 exp[y(p − l1 )]dydtdx +
f1 (t) exp(−pt)
0
∞
π2,2 P2 (x) exp(−px)
0
x+t
f2 (t) exp(−pt)
0
0
x+t
l2 exp[y(p − l2 )]dydtdx.
f2 (t) exp(−pt)
0
0
0
Вычисляя интегралы, находим
φ1 (p) =
π1,1 l1
π1,2 l2
(φ1 (l1 )ψ1 (l1 ) − φ1 (p)ψ1 (p)) +
(φ2 (l2 )ψ2 (l2 ) − φ2 (p)ψ2 (p)),
p − l1
p − l2
φ2 (p) =
π2,1 l1
π2,2 l2
(φ1 (l1 )ψ1 (l1 ) − φ1 (p)ψ1 (p)) +
(φ2 (l2 )ψ2 (l2 ) − φ2 (p)ψ2 (p)),
p − l1
p − l2
или
φ1 (p)(p − l1 + π1,1 l1 ψ1 (p))(p − l2 ) + φ2 (p)π1,2 l2 (p − l1 )ψ2 (p) =
= π1,1 l1 d1 (p − l2 ) + π1,2 l2 d2 (p − l1 ),
φ1 (p)π2,1 l1 (p − l2 )ψ1 (p) + φ2 (p)(p − l2 + π2,2 l2 ψ2 (p))(p − l1 ) =
= π2,1 l1 d1 (p − l2 ) + π2,2 l2 d2 (p − l1 ),
где
d1 = φ1 (l1 )ψ1 (l1 ), d2 = φ2 (l2 )ψ2 (l2 ).
Из системы (4) получим φ1 (p) =
Δ1
Δ ,
φ2 (p) =
Δ2
Δ ,
где
Δ = (p/l1 − 1)(p/l2 − 1)(l1 l2 )2 [(p/l1 − 1 + π1,1 ψ1 (p))×
×(p/l2 − 1 + π2,2 ψ2 (p)) − π1,2 π2,1 ψ1 (p)ψ2 (p)] ,
40
(4)
Δ1 = (p/l1 − 1)(p/l2 − 1)(l1 l2 )2 [π1,1 d1 (p/l2 − 1) +
+ π1,2 d2 (p/l1 − 1) + |Π|d1 ψ2 (p)] ,
Δ2 = (p/l1 − 1)(p/l2 − 1)(l1 l2 )2 [π2,1 d1 (p/l2 − 1) +
+ π2,2 d2 (p/l1 − 1) + |Π|d1 ψ1 (p)] .
Здесь |Π| = π1,1 π2,2 − π1,2 π2,1 . Тогда
φ1 (p) =
π1,1 d1 (p/l2 − 1) + π1,2 d2 (p/l1 − 1) + |Π|d1 ψ2 (p)
,
(p/l1 − 1 + π1,1 ψ1 (p))(p/l2 − 1 + π2,2 ψ2 (p)) − π1,2 π2,1 ψ1 (p)ψ2 (p)
φ2 (p) =
π2,1 d1 (p/l2 − 1) + π2,2 d2 (p/l1 − 1) + |Π|d2 ψ1 (p)
.
(p/l1 − 1 + π1,1 ψ1 (p))(p/l2 − 1 + π2,2 ψ2 (p)) − π1,2 π2,1 ψ1 (p)ψ2 (p)
3. Нахождение неизвестных констант. Для того чтобы найти неизвестные константы d1 и d2 , используем известное свойство преобразования Лапласа
lim pφ1 (p) = 1, lim pφ2 (p) = 1.
p→0
p→0
Обозначим через Δ̃(p) знаменатель φ1 (p) и φ2 (p). Заметим, что p = 0 является простым
корнем Δ̃(p), так как Δ̃ (p) = −π2,1 (1/l1 − m1 ) − π1,2 (1/l2 − m2 ) < 0. Тогда предельные
соотношения дают только одно уравнение
−π1,1 d1 − π1,2 d2 + |Π|d1 = −π2,1 d1 − π1,2 d2 = lim Δ̃(p)/p.
p→0
Чтобы получить еще одно уравнение, покажем, что Δ̃(p) имеет корень q0 в правой
полуплоскости. Тогда, в силу аналитичности φ1 (p) и φ2 (p) в Rep > 0, числители φ1
и φ2 также равны 0 при p = q0 .
Рассмотрим замкнутый контур ΓR,r , состоящий из правой полуокружности CR
сколь угодно большого радиуса, левой полуокружности Cr сколь угодно малого радиуса и отрезков мнимой оси. Запишем Δ̃(p) в виде Δ̃(p) = W (p) + χ(p), где
W (p) = (p/l1 − 1 + π1,1 ψ1 (p))(p/l2 − 1 + π2,2 ψ2 (p)),
χ(p) = π1,2 π2,1 ψ1 (p)ψ2 (p).
Покажем, что на контуре ΓR,r |W (p)| > |χ(p)|. Очевидно, что это неравенство выполняется на CR и отрезках мнимой оси. При малых p
W (p) = [p/l1 − 1 + π1,1 (1 + ψ1 (0)p + 0(p))][p/l2 − 1 + π2,2 (ψ2 (0)p + 0(p))] =
= [(1/l1 − π1,1 m1 )p − π1,2 + 0(p)][(1/l2 − π2,2 m2 )p − π2,1 + o(p)] =
= π1,2 π2,1 − [π1,2 (1/l2 − π2,2 m2 ) + π2,1 (1/l1 − π1,1 m1 )]p + 0(p) =
= π1,2 π2,1 (1 − (m1 + m2 )p) − [π1,2 (1/l2 − m2 ) + π2,1 (1/l1 − m1 )]p + 0(p).
Так как 1/l1 > m1 , 1/l2 > m2 и Rep < 0, то при достаточно малом p
|W (p)| > π1,2 π2,1 [1 − (m1 + m2 )Rep]
на Cr , а
|χ(p)| π1,2 π2,1 [1 − (m1 + m2 )Rep].
41
Так как W (p) имеет в Rep > 0 два корня, то по теореме Руше Δ̃(p) также имеет два
корня в области с границей ΓR,r . Значит, существует q0 , Req0 > 0 такой, что Δ̃(q0 ) = 0.
А тогда числители φ1 и φ2 при p = q0 равны 0. Имеем
d1 [π1,1 (q0 /l2 − 1) + |Π|ψ2 (q0 )] + d2 π1,2 (q0 /l1 − 1) = 0,
d1 π2,1 (q0 /l2 − 1) + d2 [π2,2 (q0 /l1 − 1) + |Π|ψ1 (q0 )] = 0.
Получили систему линейных однородных алгебраических уравнений. Ее определитель
равен |Π|Δ̃(q0 ) = 0. Значит, эти уравнения линейно зависимы. Таким образом, для определения констант d1 и d2 имеем два уравнения
π2,1 d1 + π1,2 d2 = − lim Δ̃(p)/p,
p→0
d1 [π1,1 (q0 /l2 − 1) + |Π|ψ2 (q0 )] + d2 π1,2 (q0 /l1 − 1) = 0.
Если константы d1 , d2 получены, можно обратить преобразование Лапласа и найти
P1 (u) и P2 (u). После этого, определив p(u, u1 ) и p(u, u2 ), можно вычислить вероятность
неразорения P (u), использовав формулу (3):
∞
1
p(u, uj ) =
c
gj
x + uj − u
c
fj (x)dx.
max(0,u−uj )
Тогда
⎡ u⎛ ∞
⎞
x
+
u
1
−
u
1
P (u) = π1 ⎣ ⎝
g1
f1 (x)dx⎠ P1 (u1 )du1 +
c
c
u−u1
0
⎛
⎤
⎞
∞ ∞
x
+
u
1
−
u
1
g1
+ ⎝
f1 (x)dx⎠ P1 (u1 )du1 ⎦ +
c
c
u
0
⎡ u⎛ ∞
⎞
x + u2 − u
1
g2
+ π2 ⎣ ⎝
f2 (x)dx⎠ P2 (u2 )du2 +
c
c
0
∞
+
u−u2
⎛∞
⎤
⎞
⎝ 1 g2 x + u2 − u f2 (x)dx⎠ P2 (u2 )du2 ⎦ .
c
c
u
(5)
0
4. Пример. Рассмотрим пример вычисления вероятности неразорения. Он заимствован из дипломной работы студента V курса СПбГУ И. С. Демьянова.
Пусть λ1 = λ2 = λ = 3, f1 (x) = μ1 exp(−μ1 x), f2 (x) = μ2 exp(−μ2 x), μ1 = 10, μ2 = 11,
c = 1, π1,1 = 0.6, π2,2 = 0.7:
42
φ1 (p) =
1
[c1 ((p − λ)(p + μ2 ) + λπ2,2 μ2 ) − c2 λπ1,2 μ2 ],
Δ
φ2 (p) =
1
[c2 ((p − λ)(p + μ1 ) + λπ1,1 μ1 ) − c1 λπ2,1 μ1 ].
Δ
Здесь c1 = π1,1 d1 + π1,2 d2 , c2 = π2,1 d1 + π2,2 d2 – новые неизвестные константы,
Δ(p) = [(p − λ)(p + μ1 ) + π1,1 μ1 λ][(p − λ)(p + μ2 ) + π2,2 μ2 λ] − λ2 π1,2 π2,1 μ1 μ2 ,
Δ(p) = p4 + 15p3 + 34.1p2 − 165.3p.
Для нахождения корней использована стандартная программа Mathcad 2001
Professional.
Приближенными значениями корней являются –9.79, –7.46, 0, 2.26.
Тогда для нахождения c1 и c2 получим систему
−0.3c1 − 0.4c2 = −0.167,
−9c1 + 8.93c2 = 0.
Отсюда c1 ≈ c2 = 0.24. Разделив числитель и знаменатель φ1 , φ2 на p − 2.26, находим
φ1 (p) =
0.71p2 + 14.47p + 73.26
,
p(p + 9.79)(P + 7.46)
φ2 (p) =
0.71p2 + 14.47p + 72.73
.
p(p + 9.79)(p + 7.46)
Разложив эти выражения на простейшие, имеем
φ1 (p) =
0.02
0.27
1
−
−
,
p p + 9.79 p + 7.46
φ2 (p) =
0.02
0.26
1
−
−
.
p p + 9.79 p + 7.46
Отсюда
P1 (u1 ) = 1 − 0.02 exp(−9.79u1) − 0.27 exp(−7.46u1),
P2 (u2 ) = 1 − 0.02 exp(−9.79u2) − 0.26 exp(−7.46u2).
Используя (5), получим
P (u) = 1 − π1 (0.22 exp(−9.79u) + 0.31 exp(−7.46u) − 0.23 exp(−10u)) −
− π2 (0.43 exp(−9.79u) + 0.23 exp(−7.46u)).
Литература
1. Grandell J. Aspects of Risk Theory. New York: Springer-Verlag, 1992. 175 p.
2. Иголкин В. Н., Ковригин А. Б. Финансовые потоки и их флуктуации. СПб.: Изд-во С.-Петерб.
ун-та, 2006. 134 с.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.
Статья принята к печати 5 марта 2009 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
263 Кб
Теги
компания, вероятности, вычисления, неразорения, страховой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа