close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О граничном поведении рядов Дирихле с ограниченной сумматорной функцией коэффициентов.

код для вставкиСкачать
50
где h(n) — конечнозначный неединичный характер, имеющий ограниченную сумматорную функцию S(x), т.е.
X
S(x) =
h(n) = O(1).
n6x
Для рядов Дирихле такого вида доказаны следующие утверждения
Теорема 1. Ряд Дирихле вида (1) определяет функцию, регулярную в
полуплоскости ς > 0, для которой все точки мнимой оси являются
точками непрерывности в широком смысле.
Теорема 2. Линия Γ(t) = f (it) является простой жордановой линией.
Последнее утверждение позволяет к функции f (s), определенной рядом Дирихле (1), применить известный принцип симметрии аналитического продолжения Римана-Шварца (см. [1]) и продолжить f (s) регулярным образом на комплексную плоскость. Этот результат имеет важное
значение для решение известной проблемы обобщенных характеров (см.
[2, 3]).
Библиографический список
1. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М. : Наука,
1968. Т. 2.
2. Чудаков Н. Г., Линник Ю. В. Об одном классе вполне мультипликативных функций // Докл. АН СССР. 1950. Т. 74, № 2.
3. Чудаков Н. Г., Родосский К. А. Об обобщенном характере // Докл.
АН СССР. 1950. Т. 74, № 4.
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЯДОВ ДИРИХЛЕ
С ОГРАНИЧЕННОЙ СУММАТОРНОЙ ФУНКЦИЕЙ
КОЭФФИЦИЕНТОВ1
В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов)
E-mail: kuznetsovvn@info.sgu.ru, olga.matveeva.0@gmail.com
Рассмотрим ряд Дирихле
f (s) =
inf
X
an
1
1
ns
,
s = σ + it,
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).
(1)
51
коэффициенты которого удовлетворяют условию
X
S(x) =
an = O(1).
n6x
Пусть соответствующий степенной ряд
g(x) =
∞
X
an x n
1
удовлетворяет условиям:
1. существует конечный предел вида lim g(x) = α0
x→1−0
2. для любого натурального k имеет место оценка
C
,
|g(x) − α0 | < k
ln (1 − x)
x ∈ [0, 1],
(2)
где константа C не зависит от k.
При этих предположениях имеет место
Теорема 1. Ряд Дирихле вида (1) определяет функцию, аналитическую в полуплоскости σ > 0. При этом все точки мнимой оси являются точками непрерывности в широком смысле
Замечание Условие (2) будет иметь место, если производная функции f (x) будет ограничена на отрезке [0; 1).
В докладе обсуждаются условия, при которых линия Γ(t) : Γ(t) =
= f (it), будет простой жордановой линией. Последнее представляет интерес в связи с задачей аналитического продолжения ряда Дирихле (1)
в левую полуплоскость комплексной плоскости.
К ЗАДАЧЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ
РЯДОВ ДИРИХЛЕ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ1
В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов)
E-mail: kuznetsovvn@info.sgu.ru, olga.matveeva.0@gmail.com
Рассмотри ряд Дирихле вида
f (s) =
∞
X
h(n)
1
1
ns
,
s = σ + it,
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).
(1)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
305 Кб
Теги
поведения, сумматорной, функцией, рядом, коэффициента, дирихле, граничного, ограниченной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа