close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О диссипативности решений стохастических дифференциальных уравнений второго порядка.

код для вставкиСкачать
ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32) 2008
УДК 519.2
ББК 22.171.5
Ш 96
М.М. Шумафов
О диссипативности решений стохастических
дифференциальных уравнений второго порядка1
(Рецензирована)
Аннотация:
Рассматриваются типичные для нелинейной механики дифференциальные уравнения
второго порядка со случайными правыми частями. Получены достаточные условия
принадлежности рассматриваемых уравнений к классу диссипативных систем. Выяснены
также условия, при которых рассматриваемые уравнения обладают стационарным и
периодическим решениями.
Ключевые слова:
Случайный процесс, математическое ожидание, диссипативная система, функция
Ляпунова.
1
Результаты настоящей работы были анонсированы в [1] без доказательств. Здесь приводятся полные доказательства
соответствующих утверждений.
-1-
ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32)
2008
§1. Введение
Диссипативность является одной из важнейших свойств динамических систем. Изучение
свойства диссипативности динамических систем было стимулировано в первую очередь
физическими соображениями. Физические системы, как правило, – системы с диссипацией.
Исходной математической работой, в которой было введено понятие диссипативной системы
(или D–системы), была работа Левинсона [2]. После выхода работы [2] теория D–систем
получила развитие в ряде фундаментальных работ Йошизавы [3-7]. Решения диссипативной
системы названы Йошизавой в [7] предельно (финально) ограниченными. Получению
критериев ограниченности решений и принадлежности динамической системы к классу D–
систем были посвящены работы Бихари [8], Лакшниканфа [9], Кордуняну [10], Рейссига [11],
Демидовича [12], Скрипника [13], Бхатия [14], Эзейло [15-21], Леонова [22] и других авторов. В
этих работах рассматривались детерминированные динамические системы, определяемые
дифференциальными уравнениями. Для изучения D–поведения и свойства ограниченности
этих систем широко применялся модифицированный метод функций Ляпунова.
Результаты детерминистической теории были обобщены и на стохастический случай.
Первыми работами, в которых рассматривались вопросы D–поведения, а также
ограниченности и устойчивости стохастических систем с применением метода функций
Ляпунова, были работы Кушнера (см. [23]) и Хасьминского (см. [24]). В этих работах на
стохастический случай был перенесён один из самых мощных классических методов
качественного исследования- прямой метод функций Ляпунова.
В настоящей работе мы рассматриваем типичные для нелинейной механики
дифференциальные уравнения второго порядка со случайными правыми частями. Для таких
уравнений изучается свойство диссипативности с помощью модифицированного метода
функций Ляпунова. Нами получены условия принадлежности того или иного рассматриваемого
уравнения к классу диссипативных систем (D–систем).
§2. Постановка вопроса
Рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения вида
x + f ( x, x ) x + g ( x) = σ ( x, x )ξ (t , ω ) ,
x + F ( x ) + g ( x) = σ ( x, x )ξ (t , ω ) ,
(1)
(2)
x + g ( x) = ϕ ( x, x , t ) + σ ( x, x )ξ (t , ω ) , (3)
где функции f ( x, y ) , F ( y ) , g (x) , ϕ ( x, y, t ) , σ ( x, y ) ( − ∞ < x < + ∞ , − ∞ < y < + ∞ , t ≥ t 0 )
удовлетворяют локальному условию Липшица относительно своих аргументов, а ξ (t , ω ) –
измеримый случайный процесс, абсолютно интегрируемый на каждом конечном интервале с
вероятностью 1, причем функция σ ограничена.
В детерминированном случае (т.е. когда σ ( x, x ) ≡ 0 ) различные свойства решений (1)-(3),
включая диссипативность, изучались многими авторами. Обзор этих результатов приводится,
например, в [26].
В том частном случае, когда f ( x, x ) ≡ f ( x) , уравнение (1) рассмотрено в [24, 25], и для
него установлены достаточные условия диссипативности решений.
В настоящей статье нами получены достаточные условия диссипативности решений
соответственно уравнений (1)-(3). Эти условия даются в виде обобщенных (в какой-либо
форме) условий Рауза-Гурвица.
При сделанных предположениях относительно функций, входящих в уравнения (1)-(3),
существует и единственно [24, с. 26-28] решение (представляющее собой абсолютно
непрерывный с вероятностью 1 случайный процесс) соответствующей задачи Коши (
-2-
ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32)
2008
x(t 0 ) = x0 (ω ) , x (t 0 ) = y0 (ω ) , где x0 (ω ) , y0 (ω ) – случайные величины) для каждого из
уравнений (1)-(3).
§3. Дисипативность уравнений в случае,
когда математическое ожидание
случайного возмущения ограничено
Вместо уравнений (1)-(3) будем рассматривать соответствующие им эквивалентные
системы:
x = y , y = − f ( x, y ) y − g ( x ) + σ ( x, y )ξ (t , ω ), (1′ )
x = y , y = − F ( y ) − g ( x) + σ ( x, y )ξ (t , ω ),
( 2′ )
x = y , y = ϕ ( x, y, t ) − g ( x ) + σ ( x, y )ξ (t , ω ) . ( 3′ )
Напомним определение диссипативности для систем со случайными правыми частями.
Определение [24, 25]. Система (1′ )(( 2′ ),( 3′ )) называется диссипативной, если случайные
величины x(t , ω ; x0 , y0 , t 0 ), y (t , ω ; x0 , y0 , t 0 ) ограничены по вероятности равномерно
относительно t ≥ t 0 и относительно случайных величин ( x0 (ω ), y0 (ω )) ∈ Ar при любом r > 0 ,
т. е.
Sup P{ ( x (t , ω ; x0 , y0 , t0 ), y (t , ω ; x0 , y0 , t 0 )) > r} → 0 при r → ∞ , где A – класс случайных величин
r
{t ≥ t0 }× Ar
( x0 (ω ), y0 (ω )) таких, что
P{ ( x0 (ω ), y0 (ω )) < r} = 1.
Сформулируем теперь теоремы о диссипативности систем (1′ )–( 3′ ).
Во всех нижеследующих теоремах утверждается также неограниченная продолжаемость
решений при всех t ≥ t 0 [24, c.28].
Теорема 1. Пусть в системе (1′ ) случайный процесс ξ (t , ω ) имеет ограниченное
математическое ожидание: Sup M ξ (t , ω ) < ∞ . Пусть, далее, функция σ ( x, y ) ограничена:
t ≥ t0
Sup σ ( x, y ) < B , а функции f ( x, y ) и g (x) удовлетворяют условиям:
( x , y )∈ R 2
g ( x)
< c2 для x > X 0 ,
x
b) 0 ≤ f ( x, y ) < k ( x + y ) для x > X 0 , y ≤ Y0 и x ≤ X 0 , y > Y0 ,
a) 0 < c1 <
c) f ( x, y ) ≥ f 0 > 0 для x > X 0 , y > Y0 , x ⋅ y > 0 , 0 < c3 < f ( x, y ) < c 4 для x > X 0 , y > Y0 ,
x⋅ y < 0,
где c1 , c2 , c3 , c4 , f 0 , X 0 , Y0 – некоторые положительные числа, а положительная
константа k удовлетворяет неравенству:
 A c1ϕ 0 
k < min 
,
(4)
,
 Φ 0 Yo ϕ 1 
причем положительные числа A, Φ 0 , ϕ 0 , ϕ 1 связаны с некоторой непрерывно
дифференцируемой (возможно также нарушение дифференцируемости в отдельных точках)
функцией Φ (x) , x ∈ R такой, что
Φ ′ ( x) < − A при x ≤ X 0 ; Φ 0 = max Φ ( x) ,

x ≤ X0
 (5)

0 < ϕ 0 < Φ ′ ( x) < ϕ 1 при x > X 0′ ≥ X 0 .
-3-
ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32)
2008
Тогда система (1′ ) диссипативна.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
x
y2
G
(
x
)
=
W ( x, y ) =
+ G ( x) + ω Φ ( x ) y,
∫ g ( s)ds,
2
0
где ω > 0 пока произвольная, но позже выбираемая подходящим образом постоянная, а Φ (x)
– функция, удовлетворяющая соотношениям (5).
А. Вычислим производную функции W ( x, y ) в силу «укороченной» системы
x = y , y = − f ( x, y ) y − g ( x) .
Имеем
− W = [ f ( x, y ) − ω Φ ′ ( x)] y 2 +
.
+ ω Φ ( x ) f ( x, y ) y + ω Φ ( x ) g ( x )
Оценим − W вне некоторого прямоугольника Π = {( x, y ) : x ≤ X 0 , y ≤ Y0 } .
1. x ≤ X 0 , y > Y0 . Используя условие b) теоремы и первое неравенство из (5), получим
− W ≥ ω ( A − kΦ ) y 2 − ω kΦ X y − ω Φ g . (6)
0
0
0
0
0
g ( x) .
Здесь g 0 = max
x ≤ X0
2. x > X 0 , y ≤ Y0 . Используя условие a) теоремы и второе неравенство из (5), будем иметь
после некоторых промежуточных элементарных оценок:
(7)
− W ≥ ω (с ϕ − kY ϕ ) x 2 + λ x + µ ,
1 0
0 1
где λ и µ – константы, зависящие от c1 , c2 , k , X 0 , Y0 , ϕ 0 , ϕ 1 , ω .
3. x > X 0 , y > Y0 , xy > 0 . С учётом условия с) теоремы и второго неравенства из 5), после
некоторых промежуточных элементарных оценок получим
− W ≥ ( f 0 − ω ϕ 1) y 2 + ω f 0ϕ 0 xy +
+ ω c1ϕ 0 x 2 + λ 1x + λ 2 y
где λ 1 и λ 2 – константы, зависящие от c1 , f 0 , X 0 , ϕ 0 , ω .
4. x > X 0 , y > Y0 , xy < 0 . Аналогично предыдущей оценке имеем
,
(8)
− W ≥ (c3 − ω ϕ 1 ) y 2 + ω c4ϕ 1xy +
,
(9)
+ ω c1ϕ 0 x 2 + λ 3 x + λ 4 y
где λ 3 и λ 4 – константы, зависящие от c1 , c4 , X 0 , ϕ 0 , ϕ 1 , ω .
В силу неравенства (4) правые части неравенств (6) и (7) будут положительно
определенными для достаточно больших соответственно y и x : y > Y0′ ≥ Y0 ;
x > X 0′ ≥ X 0 :
− W ≥ δ 1 y 2 для x ≤ X 0′ , y > Y0′ ( δ 1 > 0 ), (10)
− W ≥ δ 2 x 2 для x > X 0′ , y ≤ Y0′ ( δ 2 > 0 ). (11)
Далее, выберем ω удовлетворяющим неравенству:
 f c

4c f
4c1c3ϕ 0
ω < ω 0 ≡ min  0 ; 3 ; 2 1 0
;
.
2
 ϕ 1 ϕ 1 f 0 ϕ 0 + 4c1ϕ 1 ϕ 1 (c4 ϕ 1 + 4c1ϕ 0 ) 
Тогда квадратичные формы в правых частях неравенств (8) и (9) будут положительно
определенными. Для достаточно больших x и y : x > X 0′ ≥ X 0 , y > Y0′ ≥ Y0 , будем иметь
оценку
-4-
ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32)
2008
− W ≥ δ 3 ( x 2 + y 2 ) , δ 3 > 0 .
Таким образом, вне некоторого достаточно большого прямоугольника
Π ′ = {( x, y ) : x ≤ X 0′ , y ≤ Y0′ } ⊃ Π производная W отрицательно определена.
В. Приступим теперь к оценкам самой функции W ( x, y ) .
Имеем:
1. x ≤ X 0 , y > Y0
(12)
y2
y2
− ω Φ 0 y − G0 ≤ W ( x , y ) ≤
+ ω Φ 0 y + G0 , (13)
2
2
G ( x) .
где G0 = max
x ≤ X0
2. x > X 0 , y ≤ Y0 .
с1 2
с
x − ω ϕ 1Y0 x + µ 1 ≤ W ≤ 2 x 2 +
2
2
,
+ ω ϕ 1Y0 x + µ 2
(14)
где µ 1 и µ 2 – константы, зависящие от c1 , c2 , X 0 , Y0 , ϕ 1 , ω .
3. x > X 0 , y > Y0 , xy > 0 .
y2
c
y2
+ ω ϕ 0 xy + 1 x 2 + l1 ( y ) ≤ W ≤
+
2
2
2 , (15)
c
+ ω ϕ 1xy + 2 x 2 + l2 ( y )
2
l
(
y
)
=
λ
y
+
µ
l
(
y
)
=
λ
y
+
µ
λ
λ
где 1
5
3,
2
6
4 ; константы
5и
6 зависят от X 0 , ϕ 0 , ϕ 1 , ω , а
константы µ 3 и µ 4 – от c1 , c2 , X 0 .
4. x > X 0 , y > Y0 , xy < 0 .
y2
c
y2
+ ω ϕ 1xy + 1 x 2 + l3 ( y ) ≤ W ≤
+
2
2
2 , (16)
c
+ ω ϕ 0 xy + 2 x 2 + l4 ( y )
2
где l3 ( y ) = λ 7 y + µ 5 , l 4 ( y ) = λ 8 y + µ 6 ; λ 7 , λ 8 , µ 5 , µ 6 – константы; λ 7 , λ 8 зависят от X 0 , ϕ 0 ,
ϕ 1 , ω , а µ 5 , µ 6 – от c1 , c2 , X 0 .
Выбирая снова ω :

c 
0 < ω < min  ω 0 , 1  ,
ϕ 1 

обеспечим положительную определенность квадратичных форм в неравенствах (15) и (16).
Очевидно, из неравенств (13)-(16) следует, что W ( x, y ) → + ∞ при x + y → + ∞ .
Далее, сопоставляя оценки для − W и W в соответствующих областях, из неравенств (10)(12) и (13)-(16) получим, что соотношение W ≤ − ε W выполняется в дополнении
прямоугольника Π ′ при достаточно малом ε > 0 .
Определим теперь функцию Ляпунова:
 [W ( x, y )] α − C при [W ( x, y )] α > C
V ( x, y ) = 
 0
при [W ( x, y )] α ≤ C
-5-
ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32)
2008
1
1
где С > ( X ′ 2 + Y ′ 2 ) 2 , 0 < α ≤ .
0
0
2
С. Нетрудно проверить, что V ( x, y ) удовлетворяет глобальному условию Липшица во всей
плоскости ( x, y ) (частные производные Vx и V y будут ограниченными при сделанном выборе
α ).
D. Далее, для функции V ( x, y ) выполняется также неравенство: V ≤ − β V , β > 0.
Таким образом, выполнены все условия общей теоремы 4.1 гл. 1 [24, c. 31]. Следовательно,
система (1') диссипативна. Теорема 1 доказана.
Замечание. Из оценки − W в области { x ≤ X 0 , y > Y0 }, видно (см.(6)), что условие b)
теоремы 1 можно несколько ослабить, заменив нижнюю границу нуль на − ω A0 . Для этого
достаточно выбрать функцию Φ (x) с Φ ′ ( x) < − A0 − A при x ≤ X 0 ( A0 > 0, A > 0).
Перейдём к рассмотрению уравнения (3) или эквивалентной ему системы ( 3′ ).
Теорема 2. Пусть в системе ( 3′ )
Sup M ξ (t , ω ) < ∞ , Sup σ ( x, y ) < B,
t≥ t
( x , y )∈ R 2
0
а функции g (x) и ϕ ( x, y, t ) удовлетворяют условиям:
g ( x)
< c2 для x > X 0 ,
a) 0 < c1 <
x
b) ϕ ( x, y, t ) sgn y < − c3 y для x > X 0 , y > Y0 , xy > 0 ,
− α ( x + y ) < ϕ sgn y < − c3 y для x > X 0 , y > Y0 , xy < 0 ,
с) − β y ( y + X 0 ) < ϕ sgn y < ω A0 y для x ≤ X 0 , y > Y0 ,
~
d) ϕ ( x, y, t ) ≤ κ Y0 ( x + Y0 ) для x > X 0 , y ≤ Y0 ,
~
где с1 , с2 , с3 , A0 , X 0 , Y0 , Y0 – некоторые положительные числа, a α , β , κ , ω – числа,
такие что
cϕ
c1ϕ 0
A
0< α < 1 0 , 0< β <
, 0< κ <
,
ϕ1
Φ0
Y0ϕ 1
 c
c
4c (c ϕ − α ϕ 1 )

0 < ω < min  3 ; 1 ; 2 2 3 1 0
,
 ϕ 1 ϕ 1 α ϕ 1 + 4ϕ 1 (c1ϕ 0 − α ϕ 1 ) 
причем положительные константы А, Ф0, ϕ 0 , ϕ 1 связаны с некоторой гладкой (или кусочногладкой) функцией Φ (x), удовлетворяющей соотношениям (5) теоремы 1.
Тогда система ( 3′ ) диссипативна.
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1 с использованием той
же самой функции Ляпунова V ( x, y ) .
Полагая в системе ( 3′ ) ϕ ( x, y, t ) ≡ − F ( y ), из теоремы 2 получаем следующее
Следствие. Пусть в системе (2') Sup M ξ (t , ω ) < ∞ , Sup σ ( x, y ) < B . Тогда условия
t ≥ t0
( x , y )∈ R 2
g ( x)
< c2 для x > X 0 ,
x
F ( y)
< c4 для y > Y0 ,
b) 0 < c3 <
y
обеспечивают принадлежность системы (2') к классу диссипативных систем.
a) 0 < c1 <
-6-
ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32)
2008
§4. Диссипативность уравнений в случае,
когда случайное возмущение принадлежит
специальному классу случайных процессов
Будем теперь брать случайный процесс ξ (t , ω ) из более узкого класса. А именно,
предположим, что ([24, c.34])
t
M exp{a1 ∫ | ξ (u , ω ) | du} ≤ A exp{a2 (t − s )} (А)
s
для всех 0 ≤ s ≤ t и некоторых a1 > 0, a2 > 0, A > 0 . Тогда можно получить менее жесткие условия
диссипативности.
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
1
1

 [W ( x, y )] 2 − C при W ( x, y )] 2 > C ,
V ( x, y ) = 
(17)
1
2
0
при W ( x, y )] ≤ C ,

W ( x, y )] =
y2
+ G ( x ) + Φ ( x ) y;
2
x
G ( x ) = ∫ g ( s ) ds; C > 0,
0
где Φ (x) – произвольная ограниченная гладкая (или кусочно-гладкая) функция, определенная
на R со свойствами:
Φ ′ ( x) ≤ 0 при | x |≤ X 0 , T = max Φ ( x) ,
x∈ R
Φ ′ ( x) < f1 , | Φ ( x) |> γ > 0 для | x |> X 0′ ≥ X 0 .
Непосредственно можно проверить, что частные производные Vx и V y функции V ( x, y )
ограничены на всей плоскости ( x, y ) , и следовательно, функция V удовлетворяет глобальному
условию Липшица.
Пусть
| V ( x2 , y2 ) − V ( x1 , y1 ) |
K = lim Sup
(i = 1,2). (18)
r → ∞ ( xi , yi )∈ U r | x2 − x1 | + | y 2 − y1 |
Здесь U r = {( x, y ) : x 2 + y 2 > r 2 } .
Имеет место
Теорема 3. Пусть в системе (1') случайный процесс ξ (t , ω ) удовлетворяет условию (A).
Пусть, далее, для функций g ( x), f ( x, y ) и σ ( x, y ) выполнены условия
g ( x)
< c2 для x > X 0 ,
a) 0 < c1 <
x
b) y f ( x, y ) ≥ f 0 > 0 для x ≤ X 0 , y > Y0 ,
с) − k 0 < f ( x, y ) < k1 x + k 2 для x > X 0 , y ≤ Y0 ,
d) f ( x, y ) ≥ f1 > 0 для x > X 0 , y > Y0
е) σ ( x, y ) ≤ B для всех x, y,
где c1 , c2 , f 0 , f1 , k 0 , k1 , k 2 , B, X 0 , Y0 – некоторые положительные константы. Пусть
k1T Y0 < c1γ , BΚ < a1.
Тогда система (1') диссипативна.
Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1. Рассмотрим
в качестве функции Ляпунова функцию V ( x, y ) определяемую равенством (17).
-7-
ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32)
2008
Оценки для функций W и − W вне некоторого прямоугольника
Π = {( x, y ) :| x |≤ X 0 , | y |≤ Y0 } с учётом условий теоремы имеют вид:
1. | x |≤ X 0 , | y |> Y0 .
y2
y2
− T | y | − G0 ≤ W ≤
+ T | y | + G0 ,
2
2
G0 = max | G ( x) |,
| x|≤ X 0
2. | x |> X 0 , | y |≤ Y0 .
 | y|

− W ≥ f 0 
− T  − Tg 0 ,
 2

g 0 = max | g ( x) | .
| x|≤ X 0
2
Y
c1 2
c
x − TY0 ≤ W ≤ 2 x 2 + TY0 + 0
2
2
2

− W ≥ (c1γ − k1TY0 ) | x | − c , c = const
3. | x |> X 0 , | y |> Y0 .
~
| y|

− W ≥ f1 | y | 
− T  + c1γ | x | ≥ f1Y0 | y | +
y2
y2
2 2
2
 2

− T | y | + c1 x ≤ W ≤
+ T | y | + c2 x ,
2
2
~
+ c1γ | x |, Y0 > 0.
Из последних неравенств следует, что:
1) W ( x, y ) → + ∞ (а значит, и V → + ∞ ) при | x | + | y |→ + ∞ ;
2)
неравенство
1
W ≤ − δ W 2 выполняется вне некоторого достаточно большого
прямоугольника Π ′ = {( x, y ) :| x |≤ X 0′ , | y |≤ Y0′ } при достаточно малом δ > 0 .
Далее, используя свойство 2) функции W , убеждаемся, что вне прямоугольника Π ′
δ
выполнено неравенство: V ≤ − .
2
Итак, выполнены все условия общей теоремы 4.3 гл. I [24, с. 34, 35]. Поэтому система (1')
диссипативна. Теорема 3 доказана.
Из теоремы 3 получаем следующее
Следствие. Пусть в системе (1') f ( x, y ) ≡ f ( x) и случайный процесс ξ (t , ω )
удовлетворяет условию (A). Тогда при выполнении условий
g ( x)
< c2
a) 0 < c1 <
при | x |> X 0 ,
x
b) f ( x) > 0
при | x |≤ X 0 ,
c) 0 < f1 < f ( x ) < k1 | x | + k 2
при | x |> X 0 , k1 > 0, k 2 > 0,
а также условия е) теоремы 3, уравнение
x + f ( x) x + g ( x) = σ ( x, x)ξ (t , ω )
обладает свойством диссипативности.
Теорема 4. Пусть в системе (1') случайный процесс ξ (t , ω ) удовлетворяет условию (A).
Пусть, далее, для функций
g ( x), ϕ ( x, y , t ) и σ ( x, y ) выполнены условия:
g ( x)
< c2 для x > X 0 ,
a) 0 < c1 <
x
b) ϕ ( x, y, t ) sgn y < − c3 y для x > X 0 , y > Y0 ,
-8-
ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32)
2008
с) ϕ ( x, y, t ) sgn y < − c4 для x ≤ X 0 , y > Y0 ,
~
d) ϕ ( x, y, t ) ≤ κ Y0 x + Y0 для x > X 0 , y ≤ Y0 ,
е) σ ( x, y ) ≤ B для всех x, y ,
~
где c1 , c2 , c3 , c4 , B, X 0 , Y0 , Y0 – некоторые положительные числа. Предположим, что
(
)
2
κ (Y0 + Y0T ) < c1γ , BΚ < a1 ,
где константа K > 0 определяется формулой (18).
Тогда система (3') диссипативна.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.
Следствие. Пусть в системе (3') ϕ ( x, y, t ) ≡ − F ( y ) . Тогда если
g ( x)
< c2 для | x |> X 0 ,
a) 0 < c1 <
x
F ( y)
b) 0 < c3 <
для | y |> Y0 ,
y
функция σ ( x, y ) удовлетворяет условию е) теоремы 4, а случайный процесс ξ (t , ω ) – условию
(A) , то система (2') диссипативна.
§5. Достаточные условия существования
стационарных и периодических решений
Из теорем 1 и 2, используя теорему 3.1 гл. I [24, с.80], получаем следующие предложения.
Теорема 5. Пусть в уравнениях (1)-(3) ξ (t , ω ) – стационарный случайный процесс. Тогда
условия теорем 1, 2 и следствия теоремы 2 (порознь) достаточны для существования
стационарного решения соответственно уравнений (1), (3) и (2).
Теорема 6. Пусть в уравнениях (1)-(3) функции f ( x, x ), F ( x) и σ ( x, x ) заменены
f ( x, x , t ), F ( x , t )
σ ( x, x , t ) .
соответственно
на
и
Пусть,
далее,
функции
f ( x, y, t ), F ( x, y, t ), ϕ ( x, y, t ) и σ ( x, x , t ) – периодические по t с периодом T > 0 и
удовлетворяют локальному условию Липшица, причем f (0,0, t ), F (0, t ), ϕ (0,0, t ) абсолютно
интегрируемы на любом конечном интервале. Пусть | σ ( x, y, t ) |< B для всех x, y и t.
Тогда условия теорем 1, 2 и следствия теоремы 2 (порознь) обеспечивают существование
Т-периодического решения соответственно уравнений (1), (3) и (2) для любого Т –
периодического стохастически непрерывного процесса ξ (t , ω ) с конечным математическим
ожиданием.
Примечания:
1. Шумафов М.М. О диссипативности случайных процессов, определяемых некоторыми нелинейными
дифференциальными уравнениями второго порядка // Дифф. уравн. 1993. Т. 29, № 1. С. 175-176.
2. Levinson N. Transformation theory of nonlinear differential equations of the second order // Ann. of Math.
1944. Vol. 45, № 4. P. 723-737.
3. Yoshizawa T. Note on the boundedness of solutions of a system of differential equations // Mem. Coll. Sci.
Univ. Kyoto. Ser. A. Math. 1954. Vol. 28. P. 293-298.
4. Yoshizawa T. Note on the boundedness and the ultimate boundedness of solutions of x = F ( t , x ) // Mem.
Coll. Sci. Univ. Kyoto. Ser. A. Math. 1955. Vol. 29. P. 275-291.
5. Yoshizawa T. Note on the equi-ultimate boundedness of solutions of x = F ( t , x ) // Mem. Coll. Sci. Univ.
Kyoto. Ser. A. Math. 1958. Vol. 31, № 3. P. 211-217.
6. Yoshizawa T. Liapynov’s function and boundedness of solutions // Funkcialag Ekvacioj. Ser. Internacia.
1959. Vol. 2. P. 95-142.
7. Йошизава Т. Функция Ляпунова и ограниченность решений // Математика. 1965. Т. 9, № 5.
-9-
ISBN 978-5-85108-178-1 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (32)
2008
8. Bihari I. Researches of the boundedness and stability of the solutions of nonlinear differential equations // Acta
Math. Acad. Sci. Hung. 1957. Vol. 8, №3-4. P. 261-278.
9. Lakshnikanth V. On the boundedness of solutions of nonlinear differential equations // Proc. Amer. Math.
Soc. 1957. Vol. 8, № 6. P. 1044-1048.
10. Кордуняну К. О существовании ограниченных решений для некоторых нелинейных
дифференциальных систем // ДАН СССР. 1960. Т. 131, № 4. С. 735-737.
11. Reissig R. Kriterien für die Zugehörigkeit dynamischer Systeme zur Klasse D // Math. Nachr. 1959. Vol. 20,
№1-2. P. 67-72.
12. Демидович Б. П. О диссипативности некоторой нелинейной системы дифференциальных
уравнений // Вестник МГУ. Сер. Матем. Механ. 1961. № 6. C. 19-27; 1962. № 1. С. 3-8.
13. Скрипник В.П. Некоторые критерии ограниченности решений систем нелинейных
дифференциальных уравнений // Матем. сб. 1961. Т. 54, № 4. С. 469-488.
14. Bhatia N.P. Anwendung der direkten Methode von Ljapunov zum Nachweis der Beschränktheit und der
Stabilität der Lösungen einer Klasse nichlinearer Differential-gleichungen zweiter Ordung // Abh. Deutsch.
Akad. Wiss. Berlin, Kl. Math. Phys. Tech. 1962. Jg. 5.
15. Ezeilo J.O.C. A boundedness theorem for a certain third-order differential equation // Proc. London Math.
Soc. Ser. 3. 1963. Vol. 13, № 49. P. 99-124.
16. Ezeilo J.O.C. On the boundedness of the solutions of the equation x + ax + f ( x ) x + g ( x ) = p (t ) // Ann.
Matem. Pura Appl. Ser. 4. 1968. Vol. 80. P. 281-299.
17. Ezeilo J.O.C. Boundedness and periodicity of solutions of a certain system of third-order non-linear
differential equations // Ann. Matem. Pura Appl. Ser. 4. 1966. Vol. 74. P. 283-316.
18. Ezeilo J.O.C. A boundedness theorem for a certain fourth order differential equation // Ann. Matem. Pura
Appl. Ser. 4. 1971. Vol. 88. P. 207-216.
19. Ezeilo J.O.C. A boundedness theorem for a certain nth order differential equation // Ann. Matem. Pura Appl.
Ser. 4. 1971. Vol. 88. P. 135-142.
20. Ezeilo J.O.C. A boundedness theorem for a certain fourth order differential equation // J. London Math. Soc.
Ser. 2. 1972. Vol. 5, № 2. P. 376-384.
21. Ezeilo J.O.C., Tejumola H.O. Boundedness theorems for certain third order differential equations // Atti
Accad. Naz. Lincei. Ser. 8. 1973. Vol. 55, № 3-4. P. 194-201.
22. Леонов Г.А. О диссипативности и глобальной устойчивости системы Лоренца // Дифф. уравн. 1986.
Т. 22, № 9. С. 1642-1644.
23. Кушнер Г.Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М., 1969. 200 с.
24. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях
их параметров. М., 1969. 367 с.
25. Хасьминский Р.З. О диссипативности случайных процессов, определяемых дифференциальными
уравнениями // Проблемы передачи информации. 1965. Т. 1, № 1. С. 88-104.
26. Рейссинг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений.
М., 1974. 318 с.
- 10 -
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
223 Кб
Теги
решение, уравнения, дифференциальной, стохастических, диссипативного, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа