close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О достаточных условиях существования стационарного режима в одной системе обслуживания с разделением времени и ветвящимися вторичными потоками.

код для вставкиСкачать
Вестник Нижегородского
университета
им. Н.И. Лобачевского,
2, с. 145–150
О достаточных
условиях существования
стационарного
режима в 2007,
одной№системе
обслуживания
145
МАТЕМАТИКА
УДК 519.21
О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО
РЕЖИМА В ОДНОЙ СИСТЕМЕ ОБСЛУЖИВАНИЯ С РАЗДЕЛЕНИЕМ
ВРЕМЕНИ И ВЕТВЯЩИМИСЯ ВТОРИЧНЫМИ ПОТОКАМИ
 2007 г.
А.В. Зорин
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
zoavl@uic.nnov.ru
Поступила в редакцию 16.02.2007
Системы обслуживания конфликтных потоков требований алгоритмом с разделением времени и
переналадками являются адекватными моделями многих реальных процессов обслуживания. В отличие от классических моделей, входной поток изучаемой системы формируется в случайной среде с
конечным числом состояний, а обслуженные требования также порождают новые требования, образуя
ветвящиеся потоки. Приводятся некоторые достаточные условия существования стационарного режима функционирования такого класса систем.
Введение
Данная работа является непосредственным
продолжением работы [1] и использует введённые там обозначения. Тем не менее, напомним,
что рассматривается система обслуживания
m < ∞ конфликтных потоков в системе разделения времени и переналадками. Входные потоки системы формируются в случайной среде с
d < ∞ состояниями e (1) , e( 2 ) , …, e (d ) . При
состоянии среды e (k ) , k = 1 , 2, …, d, требования по j-му потоку, j = 1 , 2, …, m, поступают
группами так, что поток групп есть пуассоновский с параметром λ(jk ) > 0 . Распределение
размера группы задано производящей функцией
f j( k ) ( z ) , z < 1 + ε для некоторого ε > 0 . Требования этих потоков называют первичными.
Длительность обслуживания требования из j-го
потока задана функцией распределения B j (t ) ,
B j ( +0) = 0 , а длительность переналадки после
обслуживания этого требования имеет функцию
распределения B j (t ) , B j ( +0) = 0 . Длительности обслуживаний и переналадок независимы
между собой и от входных потоков. Обслуженное требование покидает систему, порождая
при этом требования в каждый входной поток в
случайном числе. Поток этих требований образует ветвящийся поток вторичных требований.
Совместное распределение
{p
(k )
j ( y) :
y∈X =
= {0, 1, K, m}} числа порождённых требований
по каждому потоку определяется состоянием
случайной среды e (k ) . Если по окончании переналадки очереди пусты, то начинается обслуживание первого пришедшего требования. Если
же длины очередей описываются ненулевым
вектором x = ( x1, x2 , K , xm ) ∈ X , то на обслуживание выбирается требование из очереди
j = h(x) ,
где
h: X →
с
номером
→ {1, 2, K m + 1} — заданное отображение такое, что прообразом точки n = m + 1 является
нулевой вектор 0 ∈ X , и равенство j = h(x )
влечёт x j > 0 . Смена состояний среды может
происходить только в моменты окончаний обслуживаний или переналадок. Состояние e
(l )
сменяется на состояние e (k ) с вероятностью
alk . По отношению к матрице (alk )l , k =1, d
состояния внешней среды образуют неразложимый класс, либо апериодический, либо содержащий конечное число циклических под-
~
классов. Положим d = 1 в случае апериодиче-
~
ского класса, в противном случае пусть d равно числу циклических подклассов. Обозначим
через C1 , C 2 , …, Cd~ множества номеров со-
146
А.В. Зорин
стояний среды, соответствующих каждому подклассу, и положим для удобства C0 = Cd~ ,
~
C d~ +1 = C1 . Будем считать, что при d > 1 подклассы пронумерованы таким образом, что
внешняя среда совершает переходы по пути
e(k ) ; k ∈ C1 → e(k ) ; k ∈ C2 → K → e( k ) ; k ∈ Cd .
{
} {
}
{
}
вестное свойство марковских цепей со счётным
числом состояний, составляющих единственный неразложимый класс [3], замечаем, что в
нашем случае возможно одно из двух: либо для
любого состояния Γ ( s ) , w, e( k ) , s = 1 , 2, …, n,
(
w ∈ X , k = 1 , 2, …, d имеет место равенство
lim P(Ai(s,{w},k)) = 0 ,
Пусть τ0 = 0 , τi — момент окончания обслуживания
{
или
τ i < τ i +1 ,
переналадки,
χ 0 ∈ e , e , K, e
(1)
( 2)
{
(d )
}—
состояние среды в
}
момент τ 0 , χ i ∈ e(1) , e( 2 ) ,K, e( d ) — состояние
среды на промежутке (τ i , τ i +1 ] , κ j ,i — число
требований в j-й очереди в момент
{
τi ,
κ i = (κ1,i ,κ 2,i ,K,κ m,i ) , Γ0 ∈ Γ = Γ(1) , Γ( 2) ,K, Γ( n )
}
— состояние обслуживающего устройства в
момент τ 0 , Γi ∈ Γ — состояние обслуживающего устройства на промежутке (τ i −1 , τ i ] . Ра-
венство Γi = Γ ( j ) имеет место, если на проме-
жутке (τ i −1 , τ i ] осуществлялось обслуживание
требования из j-й очереди, а Γi = Γ ( n ) , если на
промежутке (τ i −1 , τ i ] осуществлялась переналадка прибора.
Все рассматриваемые случайные объекты
определяются или задаются конструктивно на
некотором
вероятностном
пространстве
(Ω, F,P ) , где Ω — пространство описаний
элементарных исходов, F — σ-алгебра событий
A ⊂ Ω , P (⋅) — вероятностная мера на F, E —
символ математического ожидания по вероятностной мере P. В статье приведены результаты
изучения предельных свойств выделенной дискретной компоненты {(Γi , κ i , χ i ); i = 0, 1, K}
маркированного
точечного
процесса
{(τ i , Γi ,κ i , χi ); i = 0, 1, K}. Для доказательства
утверждений существенным образом используется итеративно-мажорантный метод [2].
=Γ
, κ i (ω ) ∈ X ′, χ i (ω ) = e
{Q
( s ,k )
( w) : s = 1, 2, K , n; w ∈ X ; k = 1, 2, K , d
}
этой цепи такое, что все Q ( s ,k ) ( w) > 0 . В следствии 3.1 из [1] содержится достаточное условие на ветвящиеся потоки вторичных требований: состояния цепи (1) образуют один или два
неприводимых класса в зависимости от того,
~
чётно или нечётно число d циклических подклассов, которые образует неприводимая марковская цепь {χ i ; i = 0, 1, K} состояний среды.
Напомним необходимые обозначения из [1]:
∞
1 = (1, 1, K, 1) ∈ X , β j1 = ∫ t dB j (t ) ,
0
∞
β j1 = ∫ t dB j (t ), β − = min β r1 , β + = max β r1 ,
1≤ r ≤ m
1≤ r ≤m
0
β − = min β r1 , β + = max β r1 ,
1≤ r ≤ m
1≤ r ≤ m
β = (β11 , β 21 ,K, β m1 ) , β = = (β11 , β 21,K, β m1 ) ,
( )
p (jrk ) = ∑ xr p (jrk ) , Q (k ) = = p (jrk )
x∈X
j ,r =1,m
,
(
)′ , λ = = λ µ ,
λ = (λ , λ ,K, λ ) , ρ =
= β (E − (Q )) λ , ρ = β (E − (Q ))
µ (jk ) = f j( k ) ( z )
(k )
z =1
(k )
j
(k )
(k ) T
m
2
(1) −1 ( k )
(k )
(k )
1
(k )
j
(k )
j
(k )
(1) −1 ( k )
λ
.
Для w∈ X и действительного или комплексного вектора v = ( v1 , v2 ,K, vm ) положим
v w = v1w1 v2w2 Lvmwm , R (jk ) (v ) = v −j 1 ∑ v w p (jk ) ( w) ,
q (jk ) ( v ) = ∫ ∏ exp{λ(rk ) ( f r( k ) ( vr ) − 1)t} dB j (t ) ,
состояний. Обозначим Ai ( s, X ′, k ) = ω : Γ (ω ) =
(k )
либо существует единственное стационарное
распределение
∞m
В работе [1] было показано, что дискретная
компонента
{(Γi , κi , χi ); i = 0, 1, K}
(1)
является марковской цепью со счётным числом
(s)
(2)
i →∞
w∈X
Достаточные условия
существования стационарного
распределения
{
)
i
}. Вспоминая из-
0 r =1
∞m
q (j k ) (v ) = ∫ ∏ exp{λ(rk ) ( f r( k ) (vr ) − 1)t} dB j (t ) .
0 r =1
~
Теорема 1. Пусть d нечётно, для каждого
k = 1 , 2, …, d существует хотя бы один номер
j0 ∈ {1, 2, K, m} такой, что p (j0k ) ( 0 ) > 0 , и
О достаточных условиях существования стационарного режима в одной системе обслуживания
существуют положительные числа θ1 , θ2 , …,
θm удовлетворяющие неравенству
m

d

m

s =1
β r1 ∑  ∑ akl λs(l ) θ s + β r1 ∑ λs( k )θ s +
s =1 l =1
m
+∑
s =1
(k )
prs
θs
(3)
− θr < 0
для любых r = 1 , 2, …, m и k = 1 , 2, …, d. Тогда
существует единственное стационарное распределение марковской цепи (1).
Доказательство. Для производящих функций
Ψ ( i ) (v, s, k ) = ∑ v wP( Ai ( s,{w}, k )) ,
w∈X
w: w∈X
j =h ( w )
теоремы 3.1 из [1] находим рекуррентное по
i = 0 , 1, … уравнение
(i + 2 )
неограниченно возрастает. Покажем, что при
выполнении условия (3) эта последовательность
ограничена.
Справедливо разложение:
d
(l )
(k )
(k )
∑ akl qr (v (u )) qr ( v (u )) Rr (v (u )) =
l =1
k
m
m

= 1 + u ∑ akl  β r1 ∑ λs( l )θ s + β r1 ∑ λs( k )θ s +
l =1
s =1
 s =1
m

(l )
+ ∑ θ s ( prs
− δ rs )  + O (u 2 ).
s =1

k

m
m
l =1

s =1
s =1
(l )
(k )
∑ akl  β r1 ∑ λs θ s + β r1 ∑ λs θ s +
j = 1 , 2, …, m, и k = 1 , 2, …, d из соотношений
d
(4)
Преобразуем коэффициент перед u в этом разложении:
s = 1 , 2, …, n,
Φ (i ) ( v, j, k ) = ∑ v wP( Ai ( n,{w}, k )) ,
∑Ψ
  m


E ∑ κ j ,i ; i = 0, 1, K
  j =1 

147
m
m d


(l )
+ ∑ θ s ( prs
− δ rs )  = β r1 ∑  ∑ akl λs( l ) θ s +
s =1 l =1
s =1


(
)
m d
m

(k )
+ β r1 ∑  ∑ akl λs( k ) θ s + ∑ θ s prs
akl − θ r =
s =1 l =1
s =1

( v , n, k ) =
k =1
m
m d
 ~ (i )
d
 = β ∑  ∑ a λ ( l ) θ + β ∑ λ ( k )θ +
(l )
(k )
(k )
= ∑ ∑ Φ (v, r, k ) ∑ akl qr ( v )qr (v ) Rr ( v )  +
r1
kl s
r1
s
s
s
s =1
s =1 l =1

k =1r =1
 l =1

d m
+
(
m
)
λ(rk ) ( k )
f r ( vr ) − 1 P( Ai ( n,{0}, k )) ×
λ(+k )
(k )
+ ∑ prs
θs − θr .
s =1
d

×  ∑ akl qr( l ) ( v )qr( k ) (v ) Rr( k ) ( v )  .
 l =1

d
Положим R+ (u ) = max  ∑ akl qr( l ) ( v (u )) qr( k ) ×
r =1, 2,Km l =1
Из
× ( v (u )) Rr( k ) ( v (u ))
неравенства
m
∑
s =1
(k )
prs
θs
(3)
k =1, 2,Kd
следует,
что
− θ r < 0 для всех k и r. Пусть v (u ) =
= (v1 (u ), v2 (u ),K, vm (u )) — вектор дифференцируемых функций переменного u такой, что
′
v j (0) = 1 и v ′j (0) = θ j . Тогда R (jk ) ( v (u )) u =0 =
(
)
m
= ∑ p (jsk )θ s − θ j < 0 и, следовательно, R (jk ) ( v~ ) < 1
}.
Из определения следует,
что R+ (0) = 1 . Кроме того, существует такое
U 0 > 0 , что R+ (u ) < 1 для всех
u ∈ (0,U 0 ) и в силу ограничений на функции
число
f r( k ) ( vr ) ряд f r( k ) ( vr (u )) сходится. Поскольку
µr( k )θ r > 0 , то f r( k ) ( vr (u )) > 1 для u ∈ (0,U 0 ) .
Для любого u1 ∈ (0,U 0 ) справедлива оценка:
s =1
в точке v~ = v (u~ ) такой, что vr (u~ ) > 1 , r = 1 , 2,
…, m, u~ > 0 . По следствию 3.1 из [1] все состояния цепи образуют единственный неразложимый класс. Пусть стационарного распределения не существует, тогда для любых Γ (s ) ∈ Γ ,
x ∈ X , e ( k ) ∈ e(1) , e( 2 ) ,K, e ( d ) имеет место
равенство (2). Отсюда необходимо следует, что
последовательность
{
}
d
∑Ψ
k =1
(i+2)
(v (u1 ), n, k ) < R+ (u1 ) ×
 d m
λ( k )
×  ∑ ∑ Φ (i ) ( v (u1 ), r, k ) + (rk ) ×
 k =1r =1
λ+

(
)
)
× f r( k ) (v (u1 )) − 1 P ( Ai ( n,{0}, k )) .
m
Поскольку ∑ Φ ( i ) ( v, r, k ) =Ψ ( i ) ( v, n, k ) , то
r =1
148
d
А.В. Зорин
∑Ψ
(i+2)
k =1
β − ∑ akl ( ρ ( l ) + ρ ( l ) − 1) + β + ∑ akl ( ρ ( l ) + ρ ( l ) − 1) +
(v (u1 ), n, k ) < R+ (u1 ) ×
l∈L3
(
)
m λ( k )
 d
×  ∑ Ψ ( i ) ( v (u1 ), r, k ) + ∑ (rk ) f r( k ) ( v (u1 )) − 1 ×
r =1 λ+
 k =1
× P ( Ai (n,{0}, k )) ) .
Выберем в качестве распределения элемента
(Γ0 , κ 0 , χ 0 ) распределение, сосредоточенное на
конечном числе значений этого элемента. Положим
M +( 0 )
M +(1)
M +( i +2 )
d
= ∑Ψ
k =1
d m
= ∑ ∑Ψ
( 0)
k =1r =1
( v (u1 ), r, k ) ,
l∉L3
+ β+ (ρ
(k )
+ρ
последовательность
мажорирует последователь-
того, существует lim M +( i ) < ∞ . Следовательно,
i →∞
обе последовательности ограничены. Но тогда,
вследствие формулы Коши, ограничена после
  m

довательность  E  ∑ κ j ,i ; i = 0, 1, K .

  j =1 
Условия теоремы 1 предполагают совместность системы неравенств (3). В некоторых случаях можно указать конкретный набор чисел θ1 ,
θ 2 , …, θ m и уменьшить число неравенств. Такой
(
j = 1 , 2, …, m.
)
(E − Q )
(1) −1
×
деление чисел ρ (l ) , ρ (l ) находим:
m

d
s =1 l =1
что
p (jk ) ( 0 ) > 0 ,
0
p (jr1) = p (jr2 ) = K = p (jrd ) , j, r = 1 , 2, …, m и пер(1)
меньше единицы.
ронов корень матрицы Q
Для существования стационарного распределения достаточно, чтобы нашлось непустое
множество L3 = l1 , l2 , K, lϕ ⊆ {1, 2, K, d } , для
{
ρ (l ) + ρ (l ) < 1
}
при
l ∈ L3 ,
m

s =1
m
d
(k )
+ ∑ prs
θ s − θ r = ∑ akl β r1 ( ρ (l ) + ρ (l ) ) +
s =1
l =1
+ β r1 ( ρ
(k )
+ β r1 ( ρ
+ρ
(k )
d
) − β r1 − β r1 = ∑ akl β r1 ( ρ ( l ) + ρ (l ) − 1) +
l =1
(k )
+ρ
(k )
− 1).
Теперь для k ∈ L3
d
∑ akl β r1 ( ρ
(l )
l =1
+ ρ ( l ) − 1) + β r1 ( ρ ( k ) + ρ ( k ) − 1) ≤
≤ β − ∑ akl (ρ ( l ) + ρ ( l ) − 1) +
l∈L3
+ β + ∑ akl (ρ ( l ) + ρ ( l ) − 1) + β − ( ρ ( k ) + ρ ( k ) − 1),
l∉L3
∑ akl β r1 ( ρ
такой,

β r1 ∑  ∑ akl λs( l ) θ s + β r1 ∑ λs( k )θ s +
а для k ∉ L3
≥ 1 при l ∉ L3 ,
k ∉ L3 .
θ m удовлетворяют системе
~
Теорема 2. Пусть d нечётно, для каждого
k = 1 , 2, …, d существует хотя бы один номер
+ρ
при
Доказательство. Пусть числа θ1 , θ 2 , …,
пример содержится в следующей теореме.
ρ
− 1) < 0
× ( β + β )T и положительное. Используя опре-

 d (i )
 ∑ Ψ (v (u1 ), n, k ); i = 0, 1, K . Кроме

k =1
(l )
(k )
θ j есть j-й элемент вектора
ность
(l )
k ∈ L3 ,
Поскольку матрица E − Q (1) обратима, число
= 0, 1, K
которого
при
l∈L3
r =1
{
j0 ∈ {1, 2, K, m}
− 1) < 0
θ j = ∑ p (jr1)θ r + β j1 + β j1 ,
= R+ (u1 ) ×
}
+ρ
β − ∑ akl ( ρ (l ) + ρ ( l ) − 1) + β + ∑ akl ( ρ ( l ) + ρ ( l ) − 1) +
( v (u1 ), n, k ) ,
построенная
M +( i ) ; i
+ β− (ρ
(k )
m
( 0)
d m λ( k )


×  M +( i ) + ∑ ∑ (rk ) ( f r( k ) (vr (u1 ) − 1)  .
k =1r =1λ+


Так
l∉L3
(k )
d
l =1
(l )
+ ρ ( l ) − 1) + β r1 ( ρ ( k ) + ρ ( k ) − 1) ≤
≤ β − ∑ akl (ρ ( l ) + ρ ( l ) − 1) +
l∈L3
+ β + ∑ akl (ρ ( l ) + ρ ( l ) − 1) + β + ( ρ ( k ) + ρ ( k ) − 1).
l∉L3
Таким образом, выполнены условия теоремы 1.
Поэтому существует единственное стационарное распределение.
~
В случае чётного d множество состояний
цепи (1) распадаются на два несообщающихся
класса
О достаточных условиях существования стационарного режима в одной системе обслуживания
{(Γ
( j)
)

 (i )
λ(rϕ ) (ϕ )
( n ,ϕ )

×  Φ ( v, r , ϕ ) + Qi ( 0 ) (ϕ ) ( f r ( vr ) − 1) .
λ+


, x, e( k ) : j = 1, 2, K, m;
x ∈ X ; k ∈ C2υ −1 , υ = 1, 2, K,
{(
)
~
d
U
2
(5)
U Γ( n ) , x, e( k ) : x ∈ X ;
~
d 
k ∈ C2υ , υ = 1, 2, K, ,
2 
{ (Γ
, x, e( k ) : j = 1, 2, K, m; x ∈ X ;
~
d
k ∈ C2υ , υ = 1, 2, K,  U
2
{(
)
U Γ( n ) , x, e( k ) : x ∈ X ;
~
d
k ∈ C2υ −1 , υ = 1, 2, K,
2
Пусть v (u ) = (v1 (u ), v2 (u ),K, vm (u )) — вектор
дифференцируемых функций одного (комплексного) переменного u, удовлетворяющих
условиям: v j (0) = 1 и v′j (0) = θ j для j =
=1, 2, …, m. Тогда

d 
(l )
(ϕ )
(ϕ )
=
∑ aϕl qr ( v (u )) qr (v (u )) Rr ( v (u )) 

du  l∈C2υ −1
 u =0
)
( j)
(6)

,

и поэтому исследование свойств цепи сводится
к исследованию свойств двух цепей, состояниями которых являются соответственно множества (5) и (6), а переходные вероятности
совпадают с переходными вероятностями цепи
(1). Рассмотрим класс (5) и сформулируем
достаточные условия аналогично случаю нечёт-
~
ных d .
~
m
(l )
∑ aϕl ∑ vs′ (0)( λs β r1 +
=
l∈C2υ −1
j0 ∈ {1, 2, K, m} такой, что
~
= 1, 2, …, m, υ = 1 , 2, …, d 2 и k ∈ C2υ −2 выполняется равенство:
m

β r1 ∑  ∑ akl λs( l )θ s  +
s =1 l∈C2υ −1

m
m
s =1
s =1
(k )
+ β r1 ∑ λs( k )θ s + ∑ prs
θs − θr < 0 .
Доказательство. В условиях теоремы состояния из множества (5) образуют неразложимый класс. Покажем, что последовательность (4) ограничена. Из соотношений теоремы
3.1 [1] находим:
~
d 2
∑ ∑Ψ
(i +2)
( v, n, k ) =
= ∑ ∑
m
(l )
∑ qr ( v ) ∑
υ =1l∈C2υ −1 r =1
ϕ∈C2υ −2
(7)
R+ (u) =
= max~
(l )
(ϕ )
(ϕ )
∑ aϕ l qr (v(u))qr (v(u))Rr (v(u)) .
ϕ =2,4,Kd ; l∈C2υ −1
r =1,2,K,m
Поскольку R+ (0) = 1 , с учётом
(ϕ )
+ λs(ϕ ) β r1 + prs
− δ rs ) < 0.
(7)
получаем:
R+ (u ) < 1 для u из некоторой положительной
окрестности нуля. Но тогда числовая последовательность с членами
M +( 0 )
~
d 2
= ∑ ∑ Ψ ( 0 ) (v (u1 ), n, k ) ,
υ =1 k∈C2υ
~
d 2
m
M +(1) = ∑ ∑ ∑ Ψ ( 0) ( v (u1 ), r , k ) ,
υ =1 k∈C2υ r =1
M +(i + 2) =
~
d 2
m λ( k )


= R+ (u ) M +(i ) + ∑ ∑ ∑ (rk ) ( f r( k ) ( vr (u1 ) − 1) ,


υ =1 k∈C2υ −1 r =1 λ+


i = 0 , 1, …
ограничена некоторой константой M, причём
~
d 2
∑ ∑ Ψ (i ) (v (u ), n, l ) < M +(i ) < M .
Вследствие
υ =1 l∈C2υ
интегральной формулы Коши, последовательность (4) ограничена. Следовательно, стационарное распределение обязано существовать в единственном числе. Доказательство завершено.
Следующая теорема является аналогом теоремы 2 и доказывается совершенно так же.
~
Теорема 4. Пусть d нечётно, для каждого
k = 1 , 2, …, d существует хотя бы один номер
υ =1 k∈C2υ
~
d 2
(ϕ )
prs
− δ rs ) < 0.
Положим
> 0 . Для
существования стационарного распределения
цепи (1) со множеством состояний (5) достаточно существования положительных чисел
θ1 , θ 2 , …, θm таких, что для всякого r =
s =1
+ λs(ϕ ) β r1 +
Теорема 3. Пусть d чётно, для каждого
k = 1 , 2, …, d существует хотя бы один номер
p (jk ) ( 0 )
0
149
aϕl qr(ϕ ) ( v ) Rr(ϕ ) ( v ) ×
j0 ∈ {1, 2, K, m}
p (jr1)
=
p (jr2 )
=K=
такой,
p (jrd ) ,
что
p (jk ) ( 0 ) > 0 ,
0
j, r = 1 , 2, …, m и пер-
150
А.В. Зорин
ронов корень матрицы Q (1) меньше единицы.
Пусть также существует непустое множество L3 = l1 , l2 , K, lϕ ⊆ {1, 2, K, d } , для которого
{
ρ
(l )
+ρ
}
(l )
< 1 при l ∈ L3 , ρ ( l ) + ρ ( l ) ≥ 1 при
l ∉ L3 . Положим L3 = {1, 2, K, d }. Для существования стационарного распределения достаточно выполнения неравенств
β−
∑ alk ( ρ
(l )
+ ρ ( l ) − 1) +
l∈C2υ −1I L3
+ β+
∑ alk ( ρ
l∈C2υ −1I L3
(l )
+ρ
(l )
длительностей β r1 обслуживаний и средних дли-
− 1) +
тельностей β r1 переналадок это неравенство легко удовлетворяется, и в системе наступит стационарный режим по теореме 1 либо по теореме 3. Это объясняется тем, что система не перегружена обслуживанием вторичных требований.
Вторичный ветвящийся поток, порождённый каждым требованием, вырождается и небольшой
приток требований извне допустим.
+ β − ( ρ ( k ) + ρ ( k ) − 1) < 0
~
при υ = 1 , 2, …, d 2 , k ∈ C2υ −2 I L3 ,
β−
∑ alk ( ρ
(l )
+ ρ ( l ) − 1) +
l∈C2υ −1I L3
+ β+
∑ alk ( ρ
(l )
фиксируем какую-нибудь точку (θ1 ,θ 2 ,K,θ m )
из их пересечения. Перепишем неравенство (3)
в виде:
m d
m
m

(k )
β r1 ∑  ∑ akl λs(l ) θ s + β r1 ∑ λs( k ) < θ r − ∑ prs
θs .
s =1 l =1
s =1
s =1

Выражение в левой части неравенства непрерывно по всем входящим в него параметрам, а значит, для небольших положительных значений
интенсивностей λs(k ) входных потоков, средних
+ ρ ( l ) − 1) +
l∈C2υ −1I L3
Список литературы
+ β + ( ρ ( k ) + ρ ( k ) − 1) < 0
~
при υ = 1 , 2, …, d 2 , k ∈ C2υ −2 I L3 .
Кроме условия
p (jr1)
=
p (jr2 )
=K=
p (jrd )
обсу-
дим другое условие на средние численности
вторичных требований. А именно, пусть матриm
цы Q ( k ) таковы, что ∑ p (jrk ) < 1 для всех j =
r =1
= 1, 2, …, m, т.е. при любом состоянии среды
среднее число порождённых вторичных требований меньше единицы. Тогда содержащие точку 1 открытые множества {(θ1 , θ 2 , K, θ m ) :
m
(k )
: θ1 > 0, θ 2 > 0, K, θ m > 0, θ r > ∑ prs
θ s для
s =1
всех r = 1, 2, K, m} образуют конусы (с вершиной в начале координат) [5] при каждом k = 1 ,
2, …, d. Очевидно, эти конусы пересекаются и
пересечение есть также открытое множество. За-
1. Зорин А.В. О стационарном режиме системы
разделения времени с ветвящимися потоками вторичных требований, формируемыми в случайный
среде // Вестник Нижегородского госуниверситета
им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. 2006.
Вып. 1(4). С. 38–48.
2. Федоткин М.А. Оптимальное управление
конфликтными потоками и маркированные точечные
процессы с выделенной дискретной компонентой //
Литовский математический сборник. 1989. Т. 29.
№ 1. С. 148–159.
3. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. Кн. 2. –
М.: МЦНМО, 2004. – 408 с.
4. Зорин А.В., Федоткин М.А. Анализ и оптимизация процессов с разделением времени, функционирующих в случайной среде // Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. Серия
Математика. 2004. № 1. С. 92–103.
5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В.
Оптимальное управление. – М.: Наука, 1979. – 432 с.
SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF A STATIONARY MODE
IN A TIME-SHARING SYSTEM WITH BRANCHING SECONDARY FLOWS
A.V. Zorin
Time-sharing queuing systems with conflict input flows and adjustments are adequate models for many real servicing processes. Contrary to the classical models, input flows to the system under consideration are modulated by a
random environment with finite number of states, and the exiting customers generate new customers, thus forming
branching flows. Sufficient conditions for the existence of a stationary mode in this class of queuing systems are presented.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа