close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О зависимости волнового числа от скорости движения упругой полосы.

код для вставкиСкачать
УДК 539.3, 517.518.865
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4
О ЗАВИСИМОСТИ ВОЛНОВОГО ЧИСЛА
ОТ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ
В. К. Лащенов1 , М. Г. Сулимов2
1. С.-Петербургский государственный университет водных коммуникаций,
канд. физ.-мат. наук, профессор
2. С.-Петербургский государственный университет,
канд. физ.-мат. наук, доцент
1. Предварительные сведения и основные результаты. В [1] изучалась задача об установившемся поступательном движении упругой полосы в условиях скользящей заделки нижнего основания и отсутствия напряжений на верхнем основании.
Характеристическая функция задачи имеет вид
2 2
N1 (p) = p2 4ab
s sin ap cos bp −s(1 + b ) cos ap sin bp ,
c2
c2
a = 1 − 2, b = 1 − 2 .
c1
c2
Здесь c1 , c2 — скорости распространения волн сжатия и сдвига в материале — положительные
с постоянными Ламе λ, µ и плотностью ρ формулами
p константы, связанные
p
c1 = (λ + 2µ)/ρ, c2 = µ/ρ; c — скорость движения полосы, 0 < c < c2 .
Замечание. Отметим неравенства 0 < c2 < c1 , ∆ = c21 /c22 > 2, 0 < b < a < 1.
Каждой паре (в случае существования) чисто мнимых нулей p = ±iβ, β > 0,
функции N1 (p) соответствует упругая гармоническая волна с волновым числом β и
угловой скоростью cβ. Запишем уравнение N1 (iβ) = 0 в виде
Q − M = 0,
(1)
где
Q=
sh (a − b)β
,
sh (a + b)β
M=
4ab − (1 + b2 )2
.
4ab + (1 + b2 )2
Известно, что функция (0, c2 ) ∋ c 7→ 4ab − (1 + b2 )2 имеет единственный нуль cR ,
называемый скоростью волн Рэлея, и что для 0 < c < cR уравнение (1) однозначно
разрешимо относительно β > 0, в то время как для cR ≤ c < c2 оно неразрешимо из-за
того, что тогда Q−M > 0 при любом β > 0. Эти результаты частично воспроизведены
в лемме 2 и в следующем за ней замечании.
Начиная с этого места безразмерную переменную b будем рассматривать как альтернативную независимую переменную вместо c. Корректность такой замены переменной основывается на очевидном наблюдении, что C ∞ -отображение (0, c2 ) ∋ c 7→ b
является строго убывающим, т. е. обратимым. Кроме того, исходный b-диапазон (0, 1)
сужается до интервала IR = (bR , 1), где bR соответствует рэлеевской скорости cR .
c
106
В. К. Лащенов, М. Г. Сулимов, 2012
Напомним, что для любого b ∈ IR уравнение (1) имеет единственное решение относительно β > 0, и, таким образом, отображение B : IR 7→ R+ определено корректно. Заметим, что a, M являются C ∞ -функциями от b ∈ IR , а Q = Q(β, b) является C ∞ -функцией на R+ × IR . В силу теоремы о неявной функции отсюда следует
B ∈ C ∞ (IR ).
В теореме 1 обоснована строгая монотонность функции B(b). В заключительной части статьи получены асимптотики функции β = B(b) в окрестностях концов
интервала IR , т. е. при c → 0+ и c → cR − 0 .
2. Разрешимость уравнения (1) относительно β. В следующей лемме устанавливаются неравенства для некоторых частных производных функции Q = Q(β, b).
Лемма 1. Для 0 < β, 0 < b < a < 1 справедливы следующие неравенства:
(i)
∂Q
< 0,
∂β
(ii)
∂Q
< 0,
∂b
(iii)
∂2Q
> 0.
∂b2
(2)
Доказательство. Производные первого порядка функции Q = Q(β, b) имеют
вид
a sh 2bβ − b sh 2aβ
∂Q
=
,
∂β
sh2 (a + b)β
b
sh 2bβ − sh 2aβ
∂Q
= β a∆ 2
.
∂b
sh (a + b)β
Из строгой выпуклости функции y 7→ sh y, 0 ≤ y, равенства sh 0 = 0 и неравенств
0 < b/a < 1 из условий леммы следует sh 2bβ < b/a sh 2aβ. Это сразу обосновывает
(2, i), а также и (2, ii) с учетом того, что b2 /(a2 ∆) < 1. В представлении
∂2Q
β(∆ − 1)
sh 2bβ
+
=
2
2
3
2
∂b
a ∆
sh (a + b)β
+ 2β 2 ch (a + b)β
sh 2aβ −
3
b2
a2 ∆2
sh 2bβ
sh (a + b)β
+
4β 2 b sh (a − b)β
a∆ sh3 (a + b)β
все слагаемые в правой части положительны: 2-е с учетом того, что b3 /(a3 ∆2 ) < 1.
Лемма 2. Для каждого фиксированного 0 < b < 1 уравнение (1) разрешимо
относительно 0 < β, если и только если 4ab − (1 + b2 )2 > 0. При этом решение β
единственно.
Доказательство. При фиксированном 0 < b < 1 частная функция β 7→ Q(β, b)
является строго убывающим отображением (0, +∞) 7→ (0, (a − b)/(a + b)) — ср. (2, i),
т. е. уравнение (1) (однозначно) разрешимо относительно 0 < β, если и только если
значения M = M (b) лежат в том же диапазоне. Неравенство M < (a − b)/(a + b),
эквивалентное 4b2 < (1 + b2 )2 , выполняется при любом b 6= 1. Таким образом, условие
0 < M , т. е. 4ab − (1 + b2 )2 > 0, является критерием однозначной разрешимости
уравнения (1). Замечание. В терминах τ = c2 /c22 ∈ (0, 1) неравенство 4ab − (1 + b2)2 > 0 имеет вид
0 < T (τ ),
T (τ ) = ∆ (16 − 24τ + 8τ 2 − τ 3 ) − 16 + 16τ.
107
Функция T (τ ) строго выпукла на (0, 1) и принимает значения разных знаков на
концах интервала. Это обеспечивает существование единственного нуля τR ∈ (0, 1)
функции T , и 0 < T (τ ) при 0 < τ < τR . Другими словами, решением неравенства
√
4ab − (1 + b2 )2 > 0 на c-диапазоне (0, c2 ) является 0 < c < cR , где cR = c2 τR .
3. Монотонность β = B(b)
Лемма 3.
M ′′ (b) < 0,
b ∈ IR .
(3)
Доказательство. Вторая производная M ′′ может быть записана в виде
"
#
2
8ab
3 b2 − 1 (1 + b2 ) b
q
′′
−
M+ 2 4 2 ,
M =−
(4ab + (1 + b2 )2 )2
b
∆ a2
∆ a b
где
q = (1+6b2 −3b4 ) ∆2 − (2+11b2 −16b4 +7b6 ) ∆ + 1+5b2 −11b4 +15b6 −2b8 .
При фиксированном b ∈ (0, 1) частная функция q(b, ·) является квадратичным полиномом от ∆ с положительным старшим коэффициентом. Из
q
∆=1
= 2b4 (1 + 4b2 − b4 ) > 0,
∂q
= b2 (1 + 10b2 − 7b4 ) > 0
∂∆ ∆ = 1
следует q > 0 при 1 ≤ ∆, которое дает результат с учетом того, что 0 < M на IR .
Теорема 1. Отображение B является строго убывающим C ∞ -диффеоморфизмом IR 7→ R+ .
Доказательство. При фиксированном 0 < β определим функцию ϕβ : IR ∋
b 7→ Q − M . Имеем
(i) 0 < ϕβ (bR ); действительно, M (bR ) = 0, в то время как 0 < Q(β, bR ) — в
силу (2, ii) и Q(β, 1) = 0;
∆−1
2β
(ii) ϕβ (1) = 0, ϕ′β (1) =
1−
> 0;
2∆
sh 2β
(iii) ϕβ (b) выпуклая функция на IR — в силу (2, iii), (3).
Из (i)–(iii) следует существование и единственность нуля bβ функции ϕβ на IR , т. е.
для каждого фиксированного 0 < β уравнение (1) однозначно разрешимо относительно b ∈ IR . Следовательно, отображение B : IR ∋ b 7→ β = B(b) ∈ R+ обратимо
(bβ = B −1 (β), и строгая монотонность отображения B теперь следует из его непрерывности на интервале. Из (2, i) следует ∂/∂β (bβ ) < 0, т. е. B −1 , как и B, является
строго убывающим отображением. 4. Асимптотика β = B(b) вблизи концов IR . Асимптотика при b → 1 − 0.
В левосторонней окрестности точки b = 1 разложение Тейлора функции M (b) и
частной функции b 7→ Q(β, b) при фиксированном β > 0 имеют вид
M (1−h) =
108
∆−1
∆2 − ∆ + 2 2
h−
h + O(h3 ) при h → 0+,
2∆
4∆2
(4)
Q(β, 1−h) =
∆−1 2β
∆−1 1 + 2β (∆+1) cth 2β 2
h+β
h + O(h3 ) при h → 0 + . (5)
2∆ sh 2β
∆2
sh 2β
Замечание. Остаточные члены O(h3 ) здесь подчинены оценке |O(h3 )| ≤ C h3 , справедливой в некоторой окрестности точки h = 0, где C — постоянная, не зависящая от
β, b. Например, оценка для O(h3 ) в (5) имеет вид
|O(h3 ) | ≤
1
3!
sup
(β,b)∈ΩH
3
∂b Q(β, b) h3 ,
ΩH = R+ × [1 − H, 1)
при некотором фиксированном H > 0, и sup | · | — конечен по следующим причинам.
Функция ∂b3 Q(·, ·) может быть непрерывно продолжена вплоть до границы ΩH (с
нулевыми значениями на полупрямой b = 1), и так полученная непрерывная функция
на замыкании ΩH равномерно ограничена — с учетом того, что ∂b3 Q(β, b) исчезает
при β → +∞ — каким бы ни было допустимое b. Подобные замечания относятся ко
всем встречающимся ниже O(·), o(·). Подстановка в (1) разложений (4) и (5), где в качестве β берется β = B(1 − h) —
решение уравнения (1), дает
2β
= 1 − K1 h + O(h2 ),
sh 2β
1
K1 =
2∆
(6)
∆2 − ∆ + 2
1 + 2β(∆ + 1) cth 2β
+ 2β
∆−1
sh 2β
.
Коэффициент K1 , как функция от β > 0, равномерно ограничен относительно β ∈
R+ (ср. замечание). Таким образом, 2β/sh 2β = 1 + O(h), откуда β = o(1). В свою
очередь отсюда следует K1 = ∆/(∆ − 1) + O(h) и обратная подстановка в (6) дает
несколько более простое соотношение 2β/sh 2β = 1 − ∆/(∆ − 1) h + O(h2 ). Сравнение
с 2β/sh 2β = 1 − 2/3 β 2 + O(β 4 ) при β → 0, приводит к
s
3∆ h
B(1 − h) =
+ O(h)
при h → 0 + .
2 (∆ − 1)
Используя разложение b(c) = 1 − 1/2 c2/c22 + O(c4 ), запишем последнею асимптотику
в терминах c:
β(c) = A0 c + O(c2 ) при c → 0+,
p
где A0 = 1/(2 c2 ) 3∆/(∆ − 1), и β(c) = B(b(c)) означает решение — относительно
β > 0 — уравнения (1), записанного в терминах β, c.
Асимптотика при b → bR + 0. В точке b = bR имеем 4ab = (1 + b2 )2 так, что
M (bR ) = 0, и
MR′ = M ′ (bR ) =
(1 + b2 )∆ E
,
8ab2 (∆ − 1 + b2 ) b = bR
E = 1 − 3b2 −
1 − 5b2 + 2b4
.
∆
Сначала убедимся, что MR′ > 0. Действительно, значение b = bR удовлетворяет уравнению ∆ = 16b2 /(b6 +5b4 +11b2 −1), и подстановка в формулу для E дает
E=
(1 − b4 )(2b6 + 5b4 + 1)
> 0.
16b2
109
Пусть b = bR + h и h → 0+. Поскольку M → 0, решение β = B(bR + h) уравнения
(1) стремится к +∞ (ср. с аргументами в доказательстве леммы 2). Отсюда с учетом
того, что оба a ± b являются непрерывными функциями от b с положительными
предельными значениями в b = bR , получаем
Q = e−2bβ
1 − e−2 (a−b) β
∼ e−2 bR β ,
1 − e−2 (a+b) β
и сравнение с локальной формулой Тейлора M (bR + h) ∼ MR′ h дает
B(bR + h) ∼
1
1
ln ′ ,
2 bR
MR h
при h → 0 + .
Используя локальную формулу Тейлора b |c=cR −τ ∼ bR + cR /(c22 bR ) τ при τ → 0+
получим h = b − bR ∼ cR /(c22 bR ) τ , после чего предыдущие асимптотики для β =
B(bR + h) принимают вид
β(cR − τ ) ∼
AR
1
ln
,
2bR
τ
при τ → 0+,
где β(c) = B(b(c)) и AR = c22 bR /(MR′ cR ).
Литература
1. Лащенов В. К. О стационарном движении упругих балок по границе изотропной упругой полосы // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 4. С. 163–175.
Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.
110
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
255 Кб
Теги
движение, полоса, скорость, зависимости, волнового, упругом, числа
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа