close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О задаче Коши движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил.

код для вставкиСкачать
О задаче Коши движения эмульсии . . .
УДК 517.946
А.Г. Петрова
О задаче Коши движения эмульсии в поле
микроускорений и термокапиллярных сил
A.G. Petrova
On the Cauchy Problem for an Emulsion Moving
under the Action of Microacceleration and Thermocapillary Forces
Данная работа посвящена исследованию
задачи Коши для модели эмульсии, линеаризованной на простейших решениях, о которых
шла речь выше. Используя преобразование
Фурье по времени и пространственным переменным, удается доказать существование
и единственность решения задачи в классе
функций, суммируемых в квадрате вместе с
квадратами производных, входящих в уравнения на множестве R3 ╫ [0, T ] при условии,
что начальные функции также суммируемы в
квадрате вместе с квадратами соответствующих
производных по всему пространству.
Ключевые слова: термокапиллярное движе-
The paper is devoted to the study on Cauchy
problem for emulsion model linearized on a simple
solution mentioned above. Using Fourier transformation with respect to time and space variables
the author proves the existence and uniqueness
of solving the problem in the class of function
summing up in squared with the appropriate
derivatives raised to the second power in the set
R3 [0, T] under the conditions that the initial
functions are also summing up in squared with
the appropriate derivatives raised to the second
power over all space.
Математическая модель термокапиллярного
движения эмульсии, предложенная В.В. Пухначевым и О.В. Воиновым в 1995 г. [1], представляет собой систему неопределенного типа, состоящую из девяти уравнений для определения
концентрации дисперсной фазы, температуры
смеси, векторов скоростей несущей и дисперсной фаз и общего давления. Простейшие решения, соответствующие однородному распределению дисперсных включений, исследовались на
устойчивость в [2{4]. В случае одномерного движения эмульсии с плоскими волнами корректность постановки простейшей начально-краевой
задачи рассматривалась в [5, 6]. Особенностью
многомерного случая является, в частности, то,
что не удается свести модель к классу систем,
рассмотренных Вольпертом и Худяевым [7].
Данная работа посвящена исследованию задачи Коши для модели эмульсии, линеаризованной на простейших решениях, о которых речь
шла выше. Используя преобразование Фурье по
времени и пространственным переменным, удается доказать существование и единственность
решения задачи в классе функций, суммируемых в квадрате вместе с квадратами производных, входящих в уравнения на множестве
R3 ╫ [0, T ] при условии, что начальные функции также суммируемы в квадрате вместе с квадратами соответствующих производных по всему пространству.
ние, эмульсия, задача Коши, существование и
единственность решения.
Key words: thermocapillary motion, Cauchy
problem, existence and uniqueness of solution.
1. Уравнения модели и линеаризованные задачи.
Определяющими уравнениями модели являются [1]:
?c
+ div(cu) = 0;
(1.1)
?t
? (1 ? c)
+ div((1 ? c)v) = 0;
(1.2)
?t
├
!
├
!
?u
?v
?d c
+ (u╖)?u + ?m (1 ? c)
+ (v╖)?v =
?t
?t
├
!
= ??p + div
╡m (1 + cN )(?v + (?v)? )
?d cg + ?m (1 ? c)g;
+
(1.3)
? Работа выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009{2010 годы)", (проект № 2.2.2.4/4278).
51
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
├
??
? d ?d c
+ u ╖??
?t
!
├
+ ?m ?m (1 ?c)
├
= div
??
+ v ╖??
?t
!
=
!
k (c)??
;
(1.4)
u ? v = K g + L??.
(1.5)
Здесь c, где 0 < c < 1 { концентрация дисперсной фазы; ? { общая температура; u и v { осредненные скорости дисперсной и несущей фаз соответственно; p { давление. Индекс "d" будем
использовать для обозначения параметров дисперсной фазы; "m" { несущей; ? { плотность;
╡ { динамическая вязкость; ? { удельная теплоемкость; k { удельная теплопроводность; R { радиус сферических включений; ?? { производная
с обратным знаком поверхностного натяжения
по температуре;
N
=
╡m + 5╡d /2
,
╡m + ╡d
K
=
2R2 (?d ? ?m )(╡m + ╡d )
;
3╡m (2╡m + 3╡d )
2Rkm ??
.
(2╡m + 3╡d )(2km + kd )
Нелинейный коэффициент теплопроводности k(c) имеет производную по своему аргументу, ограничен снизу и сверху соответственно
min(kd , km ) и max(kd , km ) и пусть |k0 (c)| ? q, где
q { положительная константа.
В данной работе исследуется линеаризованная на простейших решениях многомерная модель. Рассматриваются две линейные системы.
Первая является частным случаем второй, однако для упрощения громоздких выкладок вначале сосредоточим внимание именно на ней как
более простой, затем отметим сложности и отличия, возникающие при рассмотрении второй
системы. Сформулируем эти задачи.
Линейная задача 1.
Рассмотрим простейшее решение с нулевыми
скоростями фаз, постоянной концентрацией c0 и
постоянным градиентом температуры, уравновешивающим силы плавучести: L??0 + K g = 0.
L=
c = c0 ,
u = 0, v = 0, p = p0 = ?p0 ╖ x,
= ??0 ╖ x + const,
где g = (g, 0, 0), c0 , ??0 = ?Kg/L, ?p0 = [?d c0 +
?m (1 ? c0 )]g = const.
Отметим, что условия устойчивости такого
решения исследовались в [3]. Линеаризуя систему (1.1){(1.5) на этом решении, получим систему
уравнений для определения функций c, v, u, ?, p:
?0
ct + c0 div u;
(1.6)
52
? (1 ? c)
+ (1 ? c0 )v = 0;
(1.7)
?t
?v
?u
?d c0
+ ?m (1 ?c0 ) = ??p + ╡m (1+ c0 N )4v?
?t
?t
?c0 ╡m (1 + c0 N )(L??) + (?d ? ?m )cg; (1.8)
├
!
??
?d ?d c0
+ u ╖ ??0 +
?t
├
!
??
?m ?m (1 ? c0 )
+ v ╖ ??0 =
?t
= k(c0 )4? + k0 (c0 )??0 ╖ ?c;
(1.9)
u ? v = L??.
(1.10)
Линейная задача 2.
Линеаризуем теперь нашу задачу на
пространственно-однородном решении с ненулевыми скоростями. Это решение выглядит так
[2]:
c = c0 ,
u = u0 , v = v0 , p = p0 = ?p0 ╖ x,
= ?0 = ??0 ╖ x + ?0t t,
(1.11)
где c0 , ??0 = const, ?p0 = [?d c0 + ?m (1 ? c0 )]g =
?
const.
В силу галиллеевой инвариантности системы
можно считать, что v0 = 0. Тогда
?0t
=?
?d ?d c0 (Kg1 + L??0 ) ╖ ??0
,
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
u0 = K g + L??0 .
Выберем систему координат так, чтобы
??0
= (G, 0, 0), g = (g1 , g2 , 0),
тогда
? 0t
=?
?d ?d c0 (Kg1 + LG)G
,
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
u0 = (Kg1 + LG, Kg2 , 0).
(1.12)
Линеаризованная на этом решении система
выглядит следующим образом:
?c
?t
+ c0 divu + u0 ╖ ?c = 0;
? (1 ? c)
+ (1 ? c0 )divv = 0;
?t
├
!
?u
?v
?d c0
+ u0 ╖ ?u + ?m (1 ? c0 )
?t
?t
(1.13)
(1.14)
=
= ??p + ╡m (1+ c0 N )4v ? c0 ╡m (1+ c0 N )L???
?╡m (1 + c0 N )(u0 ╖ ?)?c + (?d ? ?m )cg; (1.15)
О задаче Коши движения эмульсии . . .
├
??
?d ?d c0
?t
!
+ u0 ╖ ?? + u ╖ ??0 +
├
+?m ?m (1 ? c0 )
├
? d ?d c
??0
?t
├
??
+ v ╖ ??0
?t
!
+ u0 ╖ ??0
+?m ?m (1 ? c0 )
!
? ? m ?m c
ct
Rt + ?
├
╖
где
получим следующую систему уравнений:
!
?U
;
?x1
(2.5)
(?d c0 + ?m (1 ? c0 ))wt = ??(p+
+(?d ? ?m )c0 (1 ? c0 )L?t + 2c0 ╡m (1 + c0 N )divU)+
+╡m (1 + c0 N )w ? (?d ? ?m )cg;
(2.6)
│ ?U
┤
? ?w1 Kg1
+
В уравнении (2.6)
= ?c0 (1 ? c0 )divU;
L?t
div v = ?c0 div U;
F (c0 )k (c0 )K
(g ╖ ?)R =
+ ?m ?m (1 ? c0 )
d ?d c0
K (?d ?d c0 + k 0 (c0 )F (c0 ))
?(g ╖ U);
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
│ ?v ?U ┤
?v
+
+ ?m (1 ? c0 ) = ??p+
?d c0
?t
?t
?t
+╡m (1 + c0 N )v ? c0 ╡m (1 + c0 N )?divU+
F (c0 )K?(g ╖ v)+
!
+ ?(v ? c0 U ) ╖ ??0 +
53
= Kg1 w1 + Kg1 U1 ╖
(?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 ) + k0 (c0 )F (c0 )
+
(?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 ))
k (c0 )
+
div U?
(?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 ))
k 0 (c0 )Kg1
?
R .
(2.70 )
(?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )) 1
Доказательство единственности решения задачи Коши для этой линейной системы проведем аналогично тому, как это делалось в одномерной начально-краевой задаче [5, 6]. Предполагая, что c ? W21,1 (T ), p ? W21,0 (T ), R ?
W12,1 (T ), U ? W12,2 (T ), w, где t = R3 ╫ [0, t]
╖
0
?U
? d ?d c 0
?t
=
?t
│
0
?1
+Kg1 k (c0 )L ?R1 ? ?U1 (?d ?d ? ?m ?m )╖
┤
╖c0 (1 ? c0 ) + k 0 (c0 )F (c0 )L?1 = k (c0 )4U. (2.7)
?(g ╖ R) = (g ╖ ?)R, ?div U = U,
(?d ? ?m )cg;
(2.4)
(?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 )
+
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
(?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 ))
следовательно,
├
F (c0 )k (c0 )K
?R
g1
?x1
d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
0
k 0 (c )c (1 ? c0 )
+ 0 0
k (c0 )
F (c0 ) = c0 (1 ? c0 )(?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 ))/k (c0 ).
rotR = 0, rotU = 0,
(2.3)
= F (c0 )Kg1 ?w1 + F (c0 )Kg1 ╖
(2.1)
Для 11 функций c, p, U, R, v путем взятия градиента скалярных уравнений (1.6), (1.8) с учетом равенства смешанных производных, из которого следуют соотношения
= ?c0 (1 ? c0 )divU;
div w = 0;
Так же, как и при исследовании одномерной
задачи [5, 6], для того чтобы "развязать" систему в главных членах, введем вспомогательные
функции
R = ?c + ?? ╖ F (c0 ), U = L??,
(2.2)
и примем во внимание, что в выбранной системе координат g = (g1 , 0, 0), ??0 = (?Kg1 , 0, 0).
В итоге получим следующую систему уравнений
для определения функций c, p, U, R, w :
2. Единственности решения задачи
Коши для линейной системы 1.
Rt + ?
+ ?v ╖ ??0 =
w = v + c0 L??
=
= k(c0 )4? + k0 (c0 )??0 ╖ ?c;
(1.16)
u ? v = L??.
(1.17)
Будем рассматривать задачу Коши для системы (1.6){(1.10) и (1.13){(1.17) во всем пространстве R3 .
ct
!
= k(c0 )U + k0 (c0 )??0 ╖ (R ? F (c0 )U).
Введем соленоидальное поле скоростей
+
??0
?t
?U
?t
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
и все функции равны нулю в начальный момент
времени, введем
Z (t) =
Zt │
┤
kUk2 (t)+kwk2 (t)+kRk2 (t)+kck2 (t) dt,
0
где
╖
t i=1
kUk2 (t) =
R3
t
Z
Умножим уравнение (2.3) на 2c(x, t) и проинтегрируем по t , t ? (0, T ]. Получим:
Z
c2 (t)dx = 2
R3
Z
div (cU)dxdt ? 2
t
Z
+2F (c0 )
R3
Z
t
t
Z
dZ
dt
|U|2 dxdt.
R3
Z
╖
?U1 ╖ Rdxdt.
!
╖
╖
(2.9)
╖
w2 (t)dx +2
R3
╡m (1 + c0 N )
?d c0 + ?m (1 ? c0 )
2(?d ? ?m )g1
=
?d c0 + ?m (1 ? c0 )
Z X
3
t i=1
Z
cw1 dxdt.
t
Наконец, уравнение (2.7) умножим скалярно
на U:
Z
U2 (t)dx + 2 c ? ? + k(1(c?0 ) c )? ? ╖
0 d d
0 m m
R3
54
Z
?U1 ╖ Rdxdt +
+2
|?Ui |2 dxdt =
t
?w1 ╖ Rdxdt + 2F (c0 )Kg1 ╖
2(?d ? ?m )g1
?d c0 + ?m (1 ? c0 )
Z
!
╖
cw1 dxdt+
t
((?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 ) + k0 (c0 )F (c0 )L?1 )
╖
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
Z
?U1 ╖ Udxdt ? 2
╖Kg1
Z
(2.10)
Z X
3
(?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 ) k0 (c0 )c0 (1 ? c0 )
+
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
k (c0 )
t
|?wi |2 dx =
t i=1
|?wi |2 dxdt+
t
Z
Проделаем то же самое с уравнением (2.6)
для w:
Z X
3
t i=1
Z
R ╖ Udxdt + 2F (c0 ) |U|2 dxdt+
2g1 F (c0 )K
├
t
Z
Z
t
?w1 ╖Rdxdt+2F (c0 )Kg1 ╖
(?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 ) k0 (c0 )c0 (1 ? c0 )
+
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
k (c0 )
2╡m (1 + c0 N )
(?d c0 + ?m (1 ? c0 ))
+
?2
t
├
╖
Z
R1 div Udx,
R3
2k(c0 )
+
c0 ?d ?d + (1 ? c0 )?m ?m
t
R2 (t)dx = 2g1 F (c0 )K
(2.11)
получим
(2.8)
Теперь умножим почленно скалярно уравнение (2.5) для R на 2R и проинтегрируем по t .
Получим
Z
Z
?R1 ╖ Udx = ?
R3
R ╖ Udxdt + 2F (c0 )
?w1 ╖ Udxdt.
t
|U|2 dxdt.
В рассматриваемых классах функций интеграл по всему пространству от дивергенции
обращается в силу теоремы ОстроградскогоГаусса в ноль, следовательно, имеем:
c2 (t)dx = ?2
Z
?R1 ╖ Udxdt + 2Kg1
╖g1
Z
t
Z
k 0 (c0 )K
╖
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
Складывая уравнения (2.8){(2.11) и принимая во внимание равенство
R ╖ Udxdt+
t
Z
?U1 ╖ Udxdt ? 2
╖
(U12 + U22 + U32 )dx.
|?Ui |2 dxdt =
((?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 ) + k0 (c0 )F (c0 )L?1 )
Kg1 ╖
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
=2
Z
Z
Z X
3
t
k 0 (c0 )K
╖
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
R1 divUdxdt +2Kg1
╖g1
t
Z
?w1 ╖ Udxdt.
(2.12)
t
Правая часть (2.12) оценивается при помощи
неравенства Коши следующим образом:
?2
Z
t
R ╖ Udxdt + 2F (c0 )
Z
t
|U|2 dxdt+
О задаче Коши движения эмульсии . . .
2g1 F (c0 )K
├
╖
Z
Z
t
(?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 ) k (c0 )c0 (1 ? c0 )
+
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
k (c0 )
0
?U1 ╖ Rdxdt +
╖
t
┤
+?d ?d c0 u + ?m ?m (1 ? c0 )v)
?w1 ╖ Rdxdt + 2F (c0 )Kg1 ╖
2(?d ? ?m )g1
?d c0 + ?m (1 ? c0 )
Z
!
╖
cw1 dxdt+
t
((?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 ) + k0 (c0 )F (c0 )L?1 )
╖
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
Z
k 0 (c0 )K
╖Kg1 ?U1 ╖ Udxdt ? 2
╖
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
t
Z
╖g1
R1 divUdxdt + 2Kg1
t
Zt
? ?1
Z
k?Uk2 dt + ?2
0
?w1 ╖ Udxdt ?
c ? W21,1 (T ), p ? W21,0 (T ),
k?wk2 dt + N (?1 , ?2 )Z (t),
где N (?1 , ?2 ) -положительная величина, зависящая, помимо своих аргументов, от констант задачи. Выбирая ?1 , ?2 так, чтобы выполнялись
неравенства
2k(c0 )
,
c0 ?d ?d + (1 ? c0 )?m ?m
2╡m (1 + c0 N )
(?d c0 + ?m (1 ? c0 ))
и учитывая оценки левой и правой частей равенства (2.12), получаем
?2 ?
dZ
? A ╖ Z (t), Z (0) = 0, A = const > 0.
dt
Следовательно, Z ? 0, а значит, для решения
задачи Коши с однородными начальными условиями c = 0, R = 0, U = 0, w = 0 почти всюду
в T .
Восстановим скорости u v по формулам
u = w + (1 ? c0 )U, v = w ? c0 U,
(2.13)
температуру { по формуле
?(x, t) = L?1
Zx
u ? W22,1 (T ),
v ? W22,1 (T ), ? ? W22,1 (T ) ?xxx ? L2 (T ).
3. Существование решения задачи Коши для линейной системы 1.
Для доказательства существования решения
задачи Коши можно обойтись без введения
функций U, это сделает выкладки менее громоздкими. В уравнениях (2.4){(2.6), в которых
U нужно заменить на L??, и в уравнении (2.7')
перейдем к новым функциям с однородными начальными данными
Rg (x, t) = R(x, t)?R0 (x);
wg (x, t) = w(x, t) ? ( ?1 w0 (x));
cg (x, t) = c(x, t)?c0 (x);
?g (x, t) = ?(x, t) ? ?0 (x),
где
c0 (x) = c(x, 0);
R0 (x) = R(x, 0) = ?c0 (x) + L??0 (x)F (c0 );
w0 (x) = w(x, 0) = v0 (x) + c0 L??0 (x);
(x, t) { фундаментальное решение уравнения
теплопроводности.
Опуская индексы и сохраняя прежние обозначения для искомых функций, получим задачу Коши с однородными начальными данными
для неоднородной системы
ct ? c0 (1 ? c0 )L? ? fc (x);
div w = 0;
Udr + ?0 (x0 )?
?R
F (c0 )k 0 (c0 )K
g1
?
?x1
d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
│ K (? ? c + k 0 (c )F (c ))
┤
d d 0
0
0
F (c0 )Kg1 ?w1 ?
? c0 ╖
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
F (c0 )k 0 (c0 )K
? R0
??
=?
g1
+
╖g1 ?
?x1
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 ) ?x1
Rt + ?
x0
?(L(?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 ))?1 ╖
╖
R ? W21,1 (T ),
решение задачи Коши для системы (1.1){(1.6)
единственно в классе функций
0
?1 ?
(2.14)
w ? W22,1 (T ), U ? W22,1 (T )
таких, что rotU = 0, rotR = 0, следовательно,
t
Zt
dt,
где x0 { произвольная точка односвязной области .
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Утверждение 2.1. Решение задачи Коши
для линейной системы (2.3){(2.7) единственно в
классе функций
c ? W21,1 (T ), p ? W21,0 (T ),
2
x=x0
Zt │
k (c0 )divU ? K g(k 0 (c0 )(R ? F (c0 )U)+
0
55
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
+F (c0 )Kg1 ?w1 (x, 0)+
│ K (? ? c + k 0 (c )F (c ))
┤
d d 0
0
0
+
? c0 ╖
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
??0
╖g1 ?
? fR (x);
?x1
В результате получим
(? ?1 + ia0 )~c ? c0 (1 ? c0 )a2 ?~ = F~c ;
~ = 0;
ia ╖ w
(?d c0 +?m (1?c0 ))wt +?(p+(?d ??m )c0 (1?c0 )L?t +
+2c0 ╡m (1 + c0 N )divL??) ? ╡m (1 + c0 N )w?
?(?d ? ?m )cg = ??(p + (?d ? ?m )c0 (1 ? c0 )L?t +
+2c0 ╡m (1 + c0 N )divU)|t=0 + ╡m (1 + c0 N )w0 ?
?(?d ? ?m )c0 g ? fw (x),
?t ?w1 L?1 +Kg1 L?1
┤
+k0 (c0 )F (c0 )
?? │
(?d ?d ??m ?m )c0 (1?c0 )+
?x1
? k (c0 )? ? k 0 (c0 )Kg1 L?1 R1
=
??0 │
(?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 )+
?x1
┤
+k0 (c0 )F (c0 ) + k(c0 )?0 (x)?
+Kg1 L?1
?k 0 (c0 )Kg1 L?1 R1,0 (x) ? w1,0 (x)L?1 ? f? .
Введем обозначение q для комбинации, стоящей под знаком градиента в уравнении для модифицированной скорости w :
q
= p + (?d ? ?m )c0 (1 ? c0 )L?t +
+2c0 ╡m (1 + c0 N )divL??.
(3.0)
Для решения задачи применим преобразование Фурье по x и по t. Следуя [8], гл. IV,
разд. 6, продолжим решение нулем при t < 0
и сделаем, не меняя обозначений, замену неизвестных функций на новые, представляющие
собой произведение продолженных функций на
exp(?t/? ), где константа ? имеет размерность
времени.
Положим
Z
1
c(x, t) =
c~(a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 ;
(2?)2
R(x, t) = (2?1 )2
w(x, t) = (2?1 )2
1
Z
Z
R~ (a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 ;
?
├
?
(3.2)
F (c0 )k (c0 )K
~?
g1 ia1 R
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
0
F (c0 )Kg1
iaw~1 ? F (c0 )Kg1 ╖
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
(?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 ) k0 (c0 )c0 (1 ? c0 )
+
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
k (c0 )
!
╖
~ R;
╖a1 aL?~ = F
(3.3)
?1
~ + iaq~+
(?d c0 + ?m (1 ? c0 ))(? + ia0 )w
~ ? (?d ? ?m )cg = F~ U ; (3.4)
+╡(1 + c0 N )a2 w
(? ?1 + ia0 )?~ ? w~1 L?1 Kg1 +
│
┤
Kg1 (?d ?d ? ?m ?m )c0 (1 ? c0 ) + k 0 (c0 )F (c0 )
+
╖
L(?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 ))
k (c0 )
~
a2 ??
(?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 ))
k 0 (c0 )Kg1 L?1
~ = F~? .
R
(3.5)
?
(?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )) 1
Здесь новые правые части, обозначенные большими буквами, связаны со старыми следующим соотношением: FR (x, t) =
fR (x) exp(?t/? ), t > 0 и FR (x, t) = 0, t ? 0,
╖ia1 ?~ +
F (x, t) =
1
(2?)2
Z
F~ (a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 .
Нашей целью является доказательство разрешимости линейной системы (3.1){(3.5) отно~ p~ при любых правых частях.
~,w
~ , ?,
сительно c~, R
Для этого исключим c~, используя уравнение
(3.1), R~ { используя (3.2) и q~, умножая (3.4) скалярно на ia и принимая во внимание (3.2).
В результате, опуская тильды, получим следующую систему двух скалярных уравнений для
? и w1 :
│
? ?1 + ia0 + a2 k (c0 )/? + Kg1 Qia1 ?
w~ (a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 ;
Z
?~(a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 ;
(2?)2
Z
1
g (x, t) =
q~(a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 ,
(2?)2
где a = (a1 , a2 , a3 ), da = da1 da2 da3 , ak (k =
1, 2, 3) и a0 - вещественные, а интегралы берутся
в пределах ?? < ak < +?, k = 0, 1, 2, 3.
?(x, t) =
~+
(? ?1 + ia0 )R
(3.1)
56
┤
HQKg1 a2
??
? ?1 + i(a0 + a1 HKg1 )
? ?1 + ia0
?Kg1 /L ?1
w1 = F; (3.6)
? + i(a0 + a1 HKg1 )
│
┤
(?d c0 + ?m (1 ? c0 )) ? ?1 + ia0 + a2 ? w1 ?
?
?
(?d ? ?m )c0 (1 ? c0 )Lg1 2 2
(a1 ? a )? = F4 . (3.7)
? ?1 + ia0
О задаче Коши движения эмульсии . . .
Здесь новые буквенные обозначения имеют
следующий смысл:
╡m (1 + c0 N )
;
?d c0 + ?m (1 ? c0 )
├
!
k 0 (c0 )
?d ?d ? ?m ?m
+
;
Q = c0 (1 ?c0 )
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 ) k (c0 )
? = ?d ?d c0 +?m ?m (1?c0 ), ?
=
k 0 (c0 )
H = c0 (1 ? c0 )
.
k (c0 )
Для определителя D системы двух скалярных уравнений (3.6), (3.7) имеем следующее выражение:
├
D
=
вместе с квадратами нужных производных, искомые функции можно восстановить по следующим формулам:
Z
1
c~(a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 +
c(x, t) =
(2?)2
1
R(x, t) = (2?)2
w(x, t) = (2?1 )2
Z
1
(2?)2
Z
1
(2?)2
Z
?(x, t) =
? ?1 + ia0 + a2 k (c0 )/? + Kg1 Qia1 ?
!
?
? ?1
HQKg1 a2
╖ (?d c0 + ?m (1 ? c0 ))╖
+ i(a0 + a1 HKg1 )
│
┤
╖ ? ?1 + ia0 + a2 ? ?
?
q (x, t) =
из которого следует оценка
|D| > (? ?1 + a2 (k (c0 )/? ? |HQKg1 |? ))cdot
╖(?d c0 + ?m (1 ? c0 )) ╖ (? ?1 + a2 ? )?
?|Kg12 (?d ? ?m )|c0 (1 ? c0 )a2 ?.
>0
+c0 (x);
R~ (a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 +
+R0 (x);
w~ (a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 +
+w0 (x);
?~(a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 +
+?0 (x);
q~(a, a0 ) exp(iax + ia0 )dada0 +
+q0 (x).
Сходимость полученных интегралов, а также принадлежность функций c, R, ?, w, q вместе с производными первого порядка по времени
и производными первого порядка по пространственным переменным от R, w, p и второго от
??, w, классу L2 (T ), t = R3 ╫ [0, T ] проверяется так же, как и в [8], гл.IV, разд. 6. Отметим,
что найденное решение удовлетворяет условиям
rotR = 0, поскольку правые части уравнений
для R системы с нулевыми начальными данными подчинялись этому условию. Итак, доказано
следующее утверждение.
Функция p восстанавливается по формуле
(3.0).
Утверждение 3.1. Если
Kg12 (?d ? ?m )c0 (1 ? c0 )(a21 ? a2 )
,
? ?1 + i(a0 + a1 HKg1 )
Подчинив выбор ?
Z
условиям
k (c0 )/? ? ? |HQKg1 | > 0,
|k (c0 )/(?? ) ? |HQKg1 | + ?/? ) ? ? g12 c0 (1 ? c0 )╖
c0 (x) ? W21 (R3 ),
|K (?d ? ?m )|
╖
< ? ?1 ,
(?d c0 + ?m (1 ? c0 ))
мы гарантируем отличие от нуля определителя
D при всех a0 , a.
Последнее позволяет выразить функции ? и
w1 из системы (3.7), (3.8), умножая слева вектор
правых частей на обратную матрицу коэффициентов системы, зависящих от a, a0 . Осталось
восстановить исключенные на предыдущем этапе функции c, q, R, w2 , w3 при помощи уравнений (3.1){(3.4).
Таким образом, мы нашли "образы" искомых
функций относительно преобразования Фурье,
которые являются функциями аргументов a, a0
(для них были использованы прежние обозначения). Предполагая, что начальные данные для
искомых функций суммируемы в квадрате по R3
57
R0 (x), w0 (x),
??0 (x) ? W12 (R3 ),
то задача Коши для линейной системы
(2.3){(2.7) имеет решение c, R, w, ?, p
такое, что rotR
=
0 и функции
?x , ?xx , ?xxx ?t , w, wx , wxx , wt ,
c, ct , p, px принадлежат L2 (T ).
R, Rx , Rt ,
Итогом рассмотрения задачи Коши для системы уравнений (1.6){(1.10) является
Теорема 3.1.
Если начальные данные c(x, 0), u(x, 0), v(x, 0) являются элементами W12 (R3 ), а ?0 (x) ? W22 (R3 ), то
задача Коши для линейной системы (1.6){
(1.10) имеет единственное решение такое, что
c, ct , cx , cxx , ?, ?x , ?xx , ?xxx , ?t , p, px , u, ux , uxx , ut ,
v, vx , vxx , vt принадлежат L2 (T ).
Замечание 3.1. Здесь, как и в задачах для
вязкой несжимаемой жидкости, единственность
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
для давления понимается с точностью до произвольного слагаемого, не зависящего от пространственных переменных.
4. Существование и единственность решения задачи Коши для линейной системы 2.
Вводя вспомогательные функции по формулам (2.1), а модифицированное соленоидальное
поле скоростей { по формуле
w = v + c0 U + cu0 ,
для 11 функций c, R, U, w и p получим следующую систему уравнений:
ct
= ?c0 (1 ? c0 )L? ? (1 ? c0 )u0 (R ? UF (c0 ));
(4.1)
div w = 0;
(4.2)
├
Rt ?
F (c0 )k 0 (c0 )LG
+
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
!
+(1 ? c0 )(Kg1 + LG)
=
= ((1?c0 )(Kg1 +LG)+c0 (1?c0 )(?d ?d ??m ?m )LG+
??
?
?x1
??
?LGF (c0 )?w1 ?
?x2
?F (Kg1 + LG)LG(?d ?d ?m ?m /?2 + 1)R+
+F 2 (Kg1 + LG)LG(?d ?d ?m ?m /?2 + 1)??; (4.3)
(?d c0 + ?m (1 ? c0 ))wt =
??q + ╡m (1 + c0 N )w?
?╡m (1 + c0 N ))(u0 ╖ ?)(R ? F (c0 )U)+
+(?d ? ?m )cg;
(4.4)
k (c0 )
?t =
? ? (LGc0 (1 ? c0 )(?d ?d ? ?m ?m )+
?
?
?d ?d c0
??
Kg2
?
?x2
╖LG(
? d ?m ? m ?d
?2
??
?
?x1
k 0 (c0 )
LGR1 .
?
iaw = 0;
(4.7)
├
F (c0 )k 0 (c0 )LG
(? ?1 + ia0 )R ?
+
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
!
╖Kg2 iaR2
│
= (1 ? c0 )(Kg1 + LG) + c0 (1 ? c0 )╖
┤
╖(?d ?d + ?m ?m )LG + (Kg1 + LG)?d ?d c0 ╖
╖??1 F (c0 )aa1 L? ? (F Kg2 ((1 ? c0 ) + ?d ?d c0 /?)╖
╖Laa2 ? ? LGF (c0 )iaw1 ?
?F (Kg1 + LG)LG(?d ?d ?m ?m ??2 + 1)R+
+F 2 (Kg1 + LG)LG(?d ?d ?m ?m ??2 + 1)╖
╖Lia? + f;
(4.8)
(? ?1 + ia0 )?w = ?iaq ? ╡m (1 + c0 N )a2 w?
?╡m (1 + c0 N )(u0 ╖ ia)(R ? iaL?F )+
+ LGw1 ? c(Kg1 + LG)╖
+ 1) +
(4.6)
+(1 ? c0 )(Kg1 + LG) iaR1 ? (1 ? c0 )╖
?(F Kg2 ((1?c0 )+?d ?d c0 /?)?
+?d ?d c0 (Kg1 + LG) + k0 (c0 )F (c0 )LG)??1
(? ?1 + ia0 )c = c0 (1 ? c0 )La2 ? ? (1 ? c0 )u0 ╖
╖(R ? iaL?F (c0 )) = f ;
?R1 ? (1 ? c0 )Kg2 ?R2
+(Kg1 + LG)?d ?d c0 )??1 F (c0 )?
условий и доказательство возможности выбора
?, обеспечивающего отличие от нуля определителя матрицы системы, не столь очевидно.
Прежде всего перейдем, не меняя обозначений к новым функциям с нулевыми начальными
данными. Получим линейную систему уравнений, отличающуюся от системы (4.1){(4.5) наличием ненулевых правых частей, включающих
начальные функции и их производные соответствующих порядков. Все правые части будем
обозначать одной буквой f . Оставим для новых
уравнений системы прежние обозначения. Далее сделаем преобразование Фурье по формулам
п. 3, оставляя прежние обозначения для функций и правых частей. Получим следующую систему:
(4.5).
Доказательство единственности решения задачи Коши для системы (4.1){(4.5) принципиально не отличается от случая задачи 1.
Доказательство существования проводится
по той же схеме, что и в п. 3, однако имеется
ряд трудностей технического характера. Именно выбор ? подчинен здесь большему количеству
58
+(?d ? ?m )cg + f;
k (c )
(? ?1 + ia0 )? + 0 a2 ? =
(4.9)
?
= (Gc0 (1 ?c0 )(?d ?d ??m ?m )+ ?d ?d c0 (Kg1 + LG)?
?k 0 (c0 )F (c0 )G)??1 ia1 ? ?
?d ?d c0
Kg2 ia2 ?
?
+Gia1 w1 + c(Kg1 + LG)LG(
?
? d ?m ? m ?d
?2
k 0 (c0 )
LGR1 + f.
?
+ 1)?
(4.10).
О задаче Коши движения эмульсии . . .
При получении уравнения (4.9) в слагаемое
как и прежде, были собраны все слагаемые
градиентного вида.
Как и ранее, исключим из системы c, R и q.
Уравнение (4.9) с учетом (4.7) приобретает вид
?q,
правой части (4.13) и получить для его модуля оценку снизу, потребуем, чтобы выполнялось
неравенство
(? ?1 + ia0 + ? (?d c0 + ?m (1 ? c0 ))a2 )w =
0.5? ?1 + F (Kg1 + LG)LG(?d ?d ?m ?m ??2 + 1) > 0,
(4.14)
гарантирующее оценку
= (?d ? ?m )c(ga2 ? a(ga))a?2 +
|d(a0 , a1 , a2 )| > 0.5? ?1 .
│
+╡(1 + c0 N )i(u0 a) a2 (R ? iaLF (c0 )?)?
?((R ? iaLF (c0 )?)a)a
┤
a? 2 .
Перепишем (4.13) в виде
(4.11)
R = d(a
Из уравнения (4.6) для c следует, что
c=
+
f
? ?1 + ia0
.
(4.12)
Из (4.8) выражаем Rj , j = 1, 2, 3.
+
или
│
Rj
├
│
+
│
├
├
? ?1 +
│
╖(
│
?
!
a2 ? (Kg1 + LG)LG╖
? d ?m ? m ?d
?2
+(1 ? c0 )Kg2 ia2 + F (Kg1 + LG)LG╖
╖(?d ?d ?m ?m ??2 + 1)
59
+ 1)╖
(1 ? c0 )(A1 a1 + A2 a2 )(u0 a)
+
(? ?1 + a0 )d
A a2 + A2 a1 a2
?
+ia0 ? k0 (c0 )??1 LG 1 1
d
?(Kg1 + LG)LG(
┤
F (c0 )k 0 (c0 )LG
+(1?c0 )(Kg1 +LG) ia1
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
+ 1)╖
╖
Для того чтобы обеспечить отличие от нуля
знаменателя
d(a0 , a1 , a2 ) = ? ?1 + ia0 ?
? d ?m ? m ?d
k (c0 )
? (Kg1 + LG)LG(
?
?2
c0 (1 ? c0 )L
╖ ?1
? + ia0
F (c0 )k 0 (c0 )LG
f ? + ia0 ?
+
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
┤
+(1 ? c0 )(Kg1 + LG) ia1 + (1 ? c0 )Kg2 ia2 +
┤?1
+F (Kg1 + LG)LG(?d ?d ?m ?m ??2 +1) . (4.13)
?1
(4.16)
Здесь и далее заглавными буквами A, B и т.д.
будем обозначать комбинации известных величин (коэффициентов модели).
С учетом (4.12), (4.15) и (4.16) уравнение
(4.10) может быть записано в виде
F (c0 )k 0 (c0 )LG
+
?d ?d c0 + ?m ?m (1 ? c0 )
┤
+(1 ? c0 )(Kg1 + LG) ia1 + (1 ? c0 )Kg2 ia2 +
!?1
?2
+F (Kg1 + LG)LG(?d ?d ?m ?m ? + 1) +
╖ ? ?1 + ia0 ?
(4.15)
A1
aa1 ? + d(a ,Aa2 , a ) aa2 ?+
d(a0 , a1 , a2 )
0 1 2
A3
iaw1 +
d(a0 , a1 , a2 )
│
┤
A4
+
? F (c0 )L ia?.
d(a0 , a1 , a2 )
+c0 (1 ?c0 )(?d ?d ??m ?m )LG +(Kg1 + LG)?d ?d c0 )╖
╖??1 F (c0 )Liaj ia1 ? ? (F Kg2 (1 ? c0 ) + ?d ?d c0 /?)╖
╖Liaj ia2 ? ? LGF (c0 )iaj w1 + F 2 (Kg1 + LG)╖
┤
╖LG(?d ?d ?m ?m /?2 + 1)Laj ? ╖
A4
f
ia? +
,
d(a0 , a1 , a2 )
d(a0 , a1 , a2 )
R ? iaF (c0 )L? =
=
= ((1 ? c0 )(Kg1 + LG)+
=
A3
A2
a
a2 ? +
iaw1
d(a0 , a1 , a2 )
d(a0 , a1 , a2 )
=
c0 (1 ? c0 )a2 ? (1 ? c0 )u0 (R ? iaL?F (c0 ))
+
? ?1 + ia0
A1
aa1 ?
,
0 a1 , a2 )
╖
│A
? d ?m ? m ?d
?2
+ 1)(1 ? c0 )╖
┤
4
? F (c0 )L i(a ╖ u0 ) ? k 0 (c0 )??1 LG╖
d
!
│A
┤
4
╖
? F (c0 )L ia1 ?+
d
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
├
A3
? (Kg1 + LG)╖
d
!
? d ?m ? m ?d
(1 ? c0 )A3
╖LG(
+ 1)
ia1 w1 =
?2
d
│
1
1┤
= f 1 + ?1
+ .
(4.17)
? + ia0
d
+
G ? k 0 (c0 )??1 LG
Уравнение (4.11) с использованием равенств
(4.12), (4.15) и (4.16) переписывается как
│
? ?1 + ia0 + ? a2 + (?d ? ?m )(1 ? c0 )╖
!
i(u0 ╖ a)A3 (g1 (a22 + a23 ) ? g2 a1 a2 )
+
w ?
(?d c0 + ?m (1 ? c0 ))(? ?1 + ia0 )da2 1
├
(?d ? ?m )c0 (1 ? c0 )(g1 (a22 + a23 ) ? g2 a1 a2 )
?
?
? ?1 + ia0
?
(?d ? ?m )(1 ? c0 )
A a + A2 a2
(u0 ╖ a) 1 1
+
?d c0 + ?m (1 ? c0 )
d
!
│A
┤
4
+
? F L i(u0 ╖ a) ? =
d
│
1
1┤
= f 1 + ?1
+ .
(4.18)
? + ia0
d
Для того чтобы обеспечить диагональное
преобладание в матрице коэффициентов при ?
и w1 в уравнениях (4.17), (4.18), сначала выберем ? так, чтобы
k (c0 )
? d ?m ? m ?d
? (Kg1 + LG)LG(
?
?2
╖
c0 (1 ? c0 )L
> ?2 > 0.
? ?1 + ia0
+ 1)╖
(4.19)
Возможность такого выбора очевидна, и он в
свою очередь гарантирует возможность выбора
такого, что коэффициент B11 при ? в уравнении (4.17) больше по абсолютной величине коэффициента B12 при w1 в этом же уравнении:
?
|B11 | > |B12 |.
(4.20)
Наличие знаменателей, содержащих ? ?1 в
слагаемых уравнения (4.18), содержащих величины порядка a2 и вид коэффициента B22 при
w1 в этом уравнении, позволяют выбрать достаточно малое ? так, чтобы выполнялось неравенство
|B22 | > |B21 |,
(4.21)
где B21 { коэффициент при ? в (4.18).
Выбирая ? удовлетворяющим условиям малости (4.12), (4.19){(4.21), получаем диагональное преобладание в матрице, соответствующей
системе линейных относительно ? и w1 уравнений (4.17) и (4.18). Следовательно, система
(4.17), (4.18) однозначно разрешима относительно ? и w1 . Далее функции Ri находятся из (4.13),
функция c { из (4.12), w2 и w3 { из (4.7) и (4.11).
Утверждение 4.1.
Если c0 (x) ?
W21 (R3 ), R0 (x), w0 (x), ??0 (x) ? W12 (R3 ),
то задача Коши для линейной системы
(4.1) { (4.5) имеет решение такое, что
??, ??x , ??xx , ??t , w, wx , wxx ,
Rx , Rt , c, ct , p, px принадлежат
rotR = 0.
wt , R,
L2 (T ) и
В итоге получаем следующий результат
для задачи Коши для линеаризованной задачи
(1.13){(1.17):
Теорема 4.1. Если начальные данные
c(x, 0), u(x, 0), v(x, 0) являются элементами W12 (R3 ), а ??0 (x) ? W22 (R3 ), то задача Коши для линейной системы (1.13){
(1.17) имеет единственное решение такое, что
c, ct , cx , cxx , ?, ?x , ?xx , ?xxx , ?t , p, px , u, ux , uxx , ut ,
v, vx , vxx , vt принадлежат L2 (T ).
Библиографический список
1. Pukhnachov V. V., Voinov O. V. Mathematical
model of motion of emulsion under eect of thermocapillary forces and microacceleration // Abstracts of Ninth European Symposium on Gravity Dependent Phenomena in Phisical Sciences
{ Berlin, 1995.
2. Pukhnachov V. V., Voinov O. V., Petrova A. G.,
Zhuravleva E. N., Gudz O. A. Dynamics, stability and solidication of emulsion under the action of thermocapillary forces and microacceleration Interfacial Fluid Dynamics and Transport
Processes. Lecture Notes on Physics { Springer,
2003.
60
3. Миронова О.А., Петрова А.Г. Исследование
устойчивости равновесия однородной эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил // Известия АлтГУ { Барнаул,
2005. { № 1.
4. Petrova A.G., Pukhnachev V.V. Thermocapillary motion in an emulsion. Microgravity science and technology, 21, s227{s 232 { Springer,
2009.
5. Петрова А.Г. Задача непротекания для одномерного движения эмульсии // СибЖим. {
2007. { Т. X, 3(31).
О задаче Коши движения эмульсии . . .
6. Петрова А. Г. О начально-краевой задаче для
одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил //
СибЖим. { 2009.{ Т. XII, № 2(38).
7. Вольперт А.И., Худяев А.И. О задаче Коши
для составных систем нелинейных диффе-
61
ренциальных уравнений // Мат. сб. { 1972.
{Т. 87, №4.
8. Ладыженская О.А.Математические вопросы
динамики вязкой несжимаемой жидкости. {
М., 1970.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
280 Кб
Теги
термокапиллярного, поле, движение, кошик, микроускорений, сил, задачи, эмульсий
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа